國小六年級縮圖、放大圖與比例尺單元之二階段電腦化診斷測驗之研發

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授：施淑娟博士

國小六年級縮圖、放大圖與比例尺單元

之二階段電腦化診斷測驗之研發

研究生：張靜惠撰

中華民國一 ○ ○ 年六月

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致謝

淚水與歡笑啟程，劃破心中的寧靜，民國一百年，人生有個精彩一百可以驕傲——我畢業了。從起點到終點之間，踏實的寸步，我靜靜地把微小的努力擴大，回想過往，生命中有些片刻不容忘記，懵懂無知、焦慮、慌亂、喜悅……譜出千絲萬縷的點點滴滴，兩年的日子裡，謝謝恩師施淑娟教授的一路提攜，猶記某夜晚十點多，教授一封打氣的簡訊，讓我身上所有的辛苦都化為羽翼遠走高飛；也謝謝口委袁媛教授與楊晉民教授的細心指導，您們的寶貴建議更是引領著我，使得我的論文更加完善。六月，炙熱的陽光閃爍著濃郁的友情，朵朵綻放在中教大這座書香殿堂。怡雯是朵芳香的玫瑰花，總是溫柔又熱情地拉起我的手，帶著我一同遨遊；秀如和玉華是向日葵，有了他們倆黑夜就不漫長；智為學長是香水百合，小小一朵香氣四溢，他的協助就像花香，無所不在且無限量供應；還有研究所的同窗們，朵朵俏皮善良，讓我彷彿是一株幸運草，愉悅的幸福感將永存在我心中。而蛻變的過程中，一定有首專屬於家人的愛之歌，在每個人的心中不斷播送。謝謝我最親愛的爸爸、媽媽、姐姐還有視我為親生女兒的阿姨，一路愛相隨呵護著我，讓我無後顧之憂「半工半讀」，盡情享受當學生的充實忙碌。畢業不代表結束，而是開啟人生另一段旅程，期許自己在未來的日子裡，能保有研究家之精神，循著微風中的清香，展翅繼續我的學習旅程。張靜惠謹致中華民國一百年六月

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摘要

本研究的主要目的為結合二階段試題與貝氏網路，研發二階段電腦化診斷測驗，並以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元為應用領域，診斷學生在此單元具有的數學概念與迷思概念。研究依以下四個步驟進行：研究者先依據此單元相關的數學概念、蒐集相關文獻及學生開放式試卷的作答想法；根據學生解題想法編製選擇題型之二階段診斷測驗；將學生在二階段試題之作答反應與三種不同的貝氏網路診斷模型結合並比較不同模式之診斷成效；而後將二階段試題與最佳辨識率的貝氏網路診斷模型結合，建置「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段電腦化診斷測驗，最後根據診斷結果分析學生的數學概念以及迷思概念。本研究結果如下：一、二階段電腦化診斷測驗試題，只採計試題的第一階段二元計分作答資料，試題的 Cronbach α值為0.81；採取兩個階段聯合計分的方式，試題的 Cronbach α值為0.83。研究結果顯示以二階段試題進行測驗，試題將更具信度。二、比較結合一階段與二階段試題之貝氏網路診斷模型之成效，結合二階段試題的貝氏網路診斷模型，在數學概念以及迷思概念的辨識率，均優於一階段試題。三、比較本研究所建立二種二階段貝氏網路診斷模式之成效，兩者差異不大。四、應用二階段試題與貝氏網路診斷模型於國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元，可建置出一套能同時診斷迷思概念與數學概念的診斷測驗。五、在「縮圖、放大圖與比例尺」單元的數學概念中，學生在「找出兩圖形間的對應點」，以及「比例尺的表示法」表現較佳。但學生容易誤認圖形的角度會隨圖形縮小而變小，且學生不容易具備計算縮圖、放大圖面積的數學概念。六、在「縮圖、放大圖與比例尺」單元的迷思概念中，學生在計算縮圖或放大圖面積時容易產生迷思概念，其中以「將長度一維倍數當成面積二維的倍數」的迷思概念出現的頻率最高。七、學生對於二階段電腦化診斷測驗之想法，持非負向意見均達81.84％以上； 94.46％的學生同意本研究之電腦測驗系統介面清楚、操作容易；81.84％的學生認同在電腦做測驗沒有壓力。最後，研究者針對研究結果提出建議，作為本研究二階段電腦化診斷測驗在教學應用以及未來研究的參考。關鍵字：縮圖、放大圖與比例尺、迷思概念、二階段測驗、貝氏網路、電腦化診 斷測驗

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The research and development of two-tier computerized diagnostic test in the “Reduced, Enlarged and Scales” unit of the sixth grade

Abstract

The purpose of this study was mainly to develop a two-tier computerized diagnostic test combining the two-tier test and Bayesian networks. Next, the test was applied in the “Reduced, Enlarged and Scales” unit of the sixth grade math lessons to diagnose students’ math concepts and misconceptions. The procedure of the study had four general steps: collected related literature and analyzed misconception data of students from open-ended test; used the data to develop two-tier multiple choice items in which the first tier examined content knowledge and the second examined

understanding of that knowledge; combined students’ responses in two-tier test with three different Bayesian modules to assess the effectiveness of the combined

diagnosis models; chose the best combined diagnosis model and two-tier test

questions to develop a computerized diagnostic test about the “Reduced, Enlarged and Scales” unit. Finally, the math concepts and misconceptions of students were analyzed according to the diagnostic reports. The major findings of this study were as

followings:

1. When only the binary-answers in the first tier of each item were adopted by the two-tier computerized diagnostic test, the Cronbach α value was 0.81. When binary-answers in the first tier and in the second tier of each item collectively were adopted, the Cronbach α value was 0.83. The result showed that using two-tier test would get higher reliability.

2. Comparing the efficiency of the one-tier items combined model and the two-tier items combined models, the latter model was better than the former one in identification rate of math concepts and misconceptions.

3. There was little difference between two kinds of two-tier items combined models proposed in this study.

4. Applying the two-tier items combined diagnosis model in the “Reduced, Enlarged and Scales” unit of the sixth grade could build a good diagnostic test to diagnose students’ math concepts and misconceptions both.

5. In the “Reduced, Enlarged and Scales” unit, students got better performance in finding out the corresponding points and the notation of Scales. Furthermore, students easily mistook that the angle of the figure diminished as the figure reduced, and could not calculate the area of reduced or enlarged graph correctly. 6. In the misconceptions of the “Reduced, Enlarged and Scales” unit, students were

easily to make mistakes in calculating area of reduced or enlarged graph. 7. The non-negative comments of students on two-tier computerized diagnostic test

were up to 81.84%, above all, 94.46% of students agreed that the computerized test system interface was distinct and easy-operated; 81.84% of students thought they have no pressure under the computerized test.

Based on the findings, some suggestions were offered regarding instructional application and future research.

Key words: “Reduced, Enlarged and Scaled”, misconception, two-tier test, Bayesian network, computerized diagnostic test

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摘要 Ⅰ Abstract Ⅱ 目錄 Ⅲ 表目錄 Ⅴ 圖目錄 Ⅵ 第一章 緒論 ... 1 第一節研究動機 ... 1 第二節研究目的 ... 4 第三節待答問題 ... 5 第四節名詞解釋 ... 6 第五節研究範圍與限制 ... 8 第二章 文獻探討...11 第一節二階段試題之相關研究... 11 第二節貝氏網路之相關研究... 20 第三節縮圖、放大圖與比例尺相關內容分析... 29 第四節縮圖、放大圖與比例尺之迷思概念 ... 40 第三章 研究方法...53 第一節研究流程 ... 53 第二節研究對象 ... 56 第三節研究工具 ... 58 第四節建置二階段試題之貝氏網路診斷模型... 67 第五節資料收集與分析 ... 72 第四章 研究結果...75 第一節 二階段電腦化診斷測驗研發成果... 75 第二節結合二階段試題與貝氏網路診斷模型之成效 ... 83 第三節二階段電腦化診斷測驗之測驗表現 ... 88 第四節對二階段電腦化診斷測驗之意見調查... 100 第五章 結論與建議...103 第一節結論... 103 第二節建議... 106

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參考文獻... ...109 中文部分... 109 英文部分... 113 附錄...114 附錄一迷思概念 ... 114 附錄二專家知識結構 ... 116 附錄三開放性紙筆測驗理由選項 ... 117 附錄四雙向細目表 ... 126 附錄五二階段紙筆診斷測驗試題 ... 127 附錄六二階段電腦化診斷測驗之意見問卷 ... 135

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表目錄

表 2-2-1 專家知識結構編製原則 ...24 表 2-2-2 貝氏網路應用 ...26 表 2-4-1 「縮圖、放大圖與比例尺」單元之迷思概念相關研究 ...41 表 2-4-2 計算面積倍數之錯誤概念 ...49 表 2-4-3 學童作圖錯誤類型歸納表 ...52 表 3-1-1 辨識率計算方式...54 表 3-2-1 開放式紙筆測驗樣本分佈 ...56 表 3-2-2 二階段紙筆診斷測驗樣本分佈...57 表 3-2-3 二階段電腦化診斷測驗樣本分佈...58 表 3-3-1 開放性紙筆測驗試題的難度、鑑別度以及信度...60 表 3-3-2 開放性紙筆測驗之試題第 3 題 ...61 表 3-3-3 第 13 題與第 20 題之開放性紙筆測驗試題內容 ...62 表 3-3-4 命題卡 ...63 表 3-3-5 二階段紙筆診斷測驗試題的難度、鑑別度以及信度 ...64 表 3-4-1 二階段試題聯合判斷之結果 ...69 表 4-1-1 二階段電腦化診斷測驗之一階段試題之難度、鑑別度及信度...76 表 4-1-2 二階段電腦化診斷測驗試題之難度、鑑別度及信度 ...77 表 4-2-1 模式 1 之貝氏網路辨識率 ...84 表 4-2-2 模式 2 之貝氏網路辨識率 ...85 表 4-2-3 模式 3 之貝氏網路辨識率 ...86 表 4-2-4 三種不同模式的貝氏網路辨識率之比較 ...87 表 4-2-5 三種不同模式的貝氏網路辨識率之比較 ...88 表 4-3-1 二階段電腦化診斷測驗數學概念統計表 ...88 表 4-3-2 二階段電腦化診斷測驗試題 ...90 表 4-3-3 二階段電腦化診斷測驗高分組、中分組與低分組之數學概念...91 表 4-3-4 二階段電腦化診斷測驗迷思概念統計表 ...93 表 4-3-5 迷思概念 M15 的二階段試題...94 表 4-3-6 迷思概念 M3 的二階段試題...95 表 4-3-7 二階段電腦化診斷測驗高分組、中分組與低分組之迷思概念...96 表 4-4-1 學生對二階段電腦化診斷測驗之意見調查 ...100 表 4-4-2 學生對二階段電腦化測驗之意見調查持非負向意見的結果分析...101

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圖目錄

圖 2-1-1 二階段診斷試題架構...18 圖 2-1-2 聲音概念二階段試題...18 圖 2-1-3 時間概念二階段試題...19 圖 2-2-1 貝氏網路非循環有向圖 ...21 圖 2-2-2 多節點的貝氏網路...23 圖 2-2-3 建立貝氏網路模型的流程 ...24 圖 2-2-4 專家知識結構階層圖...25 圖 2-2-5 貝氏網路圖 ...25 圖 2-3-1 比例尺圖示法 ...34 圖 2-3-2 角的構成要素 ...35 圖 2-4-1 邊長不同且沒有弧線標示之角...46 圖 2-4-2 面積試題 ...50 圖 3-1-1 研究流程圖 ...55 圖 3-4-1 貝氏網路圖 ...67 圖 3-4-2 模式 1 之貝氏網路圖...68 圖 3-4-3 模式 2 之貝氏網路圖...70 圖 3-4-4 模式 3 之貝氏網路圖...71 圖 4-1-1 學生上網登入帳號密碼 ...79 圖 4-1-2 二階段電腦化診斷測驗一階段試題...79 圖 4-1-3 二階段電腦化診斷測驗二階段試題之一 ...80 圖 4-1-4 二階段電腦化診斷測驗二階段試題之二 ...80 圖 4-1-5 二階段電腦化診斷測驗二階段試題之三 ...81 圖 4-1-6 二階段電腦化診斷測驗二階段試題之四 ...81 圖 4-1-7 迷思概念診斷報告書...82 圖 4-1-8 數學概念診斷報告書...82 圖 4-1-9 班級學習狀態統計書...83 圖 4-3-1 迷思概念 M20 試題之圖形 ...98

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第一章緒論

本研究是以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元為研究領域，根據教育部（2003）頒佈的九年一貫數學領域課程綱要，分析此單元學生應學習之能力與專家知識結構，以及學生學習時常見的迷思概念（misconception），並以此為基礎建立二階段試題（two-tier test），並將其與貝氏網路（Bayesian networks, BN）結合，研發一套二階段電腦化診斷測驗，爾後實際運用於教學情境診斷學生數學概念以及迷思概念的有無，以評估結合二階段試題與貝氏網路之診斷成效。本論文共分為五章，本章將針對研究動機、研究目的、待答問題、名詞解釋以及研究範圍與限制逐一描述。 第一節研究動機 人因夢想而偉大，有夢才是人生中最美的事，而卡通的故事情節彷彿是每個孩子的夢想，奇幻的、溫馨的或是逗趣的畫面吸引著人們，日本卡通人物「哆啦A夢」有個藍藍胖胖的身軀，但似乎任何難題都難不倒他，只要一拿出任意門、百寶袋、時光機……等，所有難事皆迎刃而解，其中哆啦A夢的寶物縮小燈和放大燈，可以輕易將物品變小或變大，夢幻新奇的故事情節就是縮小、放大和比例的數學概念。縮小與放大的經驗在生活中俯拾皆是，影印機縮小或是放大原圖，模型汽車、袖珍屋、照片和地圖是實際景物的縮小表徵，學生上美勞課動手畫自畫像，比例沒有抓得精準可能就變成一幅四不像。縮圖與放大圖是相對於原圖的一種關係，在幾何領域是屬於相似圖形的概念，為按照特定的比例將原圖形縮小或是放大，而不失去相似圖形的性質。縮圖、放大圖與比例尺蘊含比例的關係，不完

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整的有理數概念會影響學生解比例問題的成敗（傅宗聖，2007）。此外，比例概念亦為整數過渡到有理數的階段，在科學領域佔有重要的地位，若能使學生在「縮圖、放大圖與比例尺」單元上習得正確的知識概念，將有助於其後續更深更廣的學習。然而研究者在教學現場發現學生對於縮圖、放大圖與比例尺的觀念在應用上常存在許多困難，例如在社會領域學生製作校園安全地圖，學童在實際製作操作上遇到了許多問題，顯然學童在縮小圖、放大圖和比例尺產生迷思概念，學生對此有許多想法與實際狀況的落差，可能是生活經驗阻礙學習，或是學校的教學模式有改善的空間，因此若有一評量工具在教學實務上能立即診斷出這些落差，提供教師即時的回饋與補強，對於學生學習成效的提升勢必有所助益。基於此，本研究試圖研發一套「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段電腦化診斷測驗，希望能藉以提供教學者了解學生在學習上較難理解的數學概念與產生的迷思概念，期許能加強教學者之教學成效，讓學生能輕鬆學習。

數學學習科技（technology of learning mathematics）的進步一向是數學教育圈內追求的重要目標（甯平獻，2010），因此近年來開始有許多研究聚焦於利用資訊科技的優勢來進行數學評量，例如葉啟村、葉淑慧以及曾建勳（2004）以「面積保留概念」為主題，結合資訊科技與電腦化測驗，發展一套面積保留概念診斷工具，來探討國小二年級學童面積保留概念發展的情形；郭伯臣（2005）以知識及試題結構為基礎，發展具有診斷學生錯誤概念的電腦化適性測驗，可診斷同分不同錯誤類型之學生。在這些研究中可發現，採用電腦進行評量是必然的趨勢，有關電腦化測驗的資訊科技是未來研究的主題（陳新豐，2007），電腦測驗應用在學習成效與學習診斷部分可說是最具發展潛力。由於本研究欲發展一套能診斷學生迷思概念的電腦化測驗，而在電腦

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化診斷測驗的研究中，以貝氏網路為基礎的電腦化診斷測驗系統可同時診斷學生的數學概念與錯誤類型，並且兩者都有不錯的辨識效果（楊智為、劉育隆、楊晉民、曾彥鈞，2006），所以本研究選擇以貝氏網路為基礎的診斷模型來進行探究。貝氏網路（Bayesian network, BN）結合機率理論與圖形理論，是一種對於不確定的事物加以描述與推論的工具(Pearl,1988)。貝氏網路能針對數百個變數的不確定性作有效地推論，而且能幫助人類更了解領域知識的結構與模型，所以能被有效應用在各種領域。過去已有多位學者將貝氏網路應用於學生的學習診斷，例如施淑娟（2006）應用貝氏網路認知診斷模式進行國小五年級小數單元之學習診斷；廖盈絜與洪榮照（2009）以貝氏網路為基礎之電腦化適性診斷測驗與電腦輔助教學，探討對國中輕度障礙學生在數學學習的影響；劉明宜、鄭俊彥、郭伯臣與劉育隆（2011）以六年級數學「圓周長」單元為例，利用貝氏網路診斷錯誤類型。但是在先前的研究中，可發現以貝氏網路為基礎的診斷測驗皆只採用傳統一階段選擇題型，由於此題型無法避免學生猜測，或是學生的迷思概念不在試題的選項中等現象，常使得貝氏網路的辨識效果因測驗資料的誤差而降低。因此，研究者欲改良測驗的型態，使其能提供更精確的測驗資料作為貝氏網路診斷模型的推論證據，進而提升貝氏網路診斷模型的辨識效果。為了改善傳統一階段選擇題測驗的缺失，且利於建構電腦化測驗，本研究採用二階段試題（two-tier test）來降低學生猜測，以及增加可診斷的迷思概念。二階段測驗被視為瞭解學童認知概念的有用工具，且近年來二階段測驗工具已被廣泛應用於各年齡層及各種學童科學概念的探究上，如：聲音、光、磁、生物生殖……等概念的探究（林恬瑩、劉遠楨，2006）。本研究之二階段試題，每一題都包含兩個作答階段，第一階段的「事實選項」包含了學生對該題的回答，而第二階段的「理由選項」則是由對第一

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階段回答所持的理由想法。二階段測驗評量工具的優點，除了教師與研究者不必依靠費時費力的晤談工作就可以了解學生的學習情況，還可以減低學生作答的猜對率，提高題目評量的效果（蕭志芳，2003）。因此本研究希望結合二階段試題與貝氏網路的優點，提升貝氏網路診斷模型的辨識效果，再藉由資訊科技的優勢，建置一個可以診斷學生「縮圖、放大圖與比例尺」單元之數學概念與迷思概念的測驗系統，並評估其診斷成效。相較於江啟明（2010）以時間單元為例，結合二階段試題與貝氏網路研發電腦化測驗，其研究著重在程序性知識與評估不同貝氏網路模型的診斷成效，但未探討學生的測驗結果，而本研究以概念性知識為主，除了將二階段試題與最佳辨識率的貝氏網路診斷模型結合，研發一套二階段電腦化診斷測驗外，並分析學生在二階段電腦化診斷測驗，迷思概念與數學概念之測驗表現，提供未來數學教育更多的參考研究。期望透過此研究瞭解二階段試題結合貝氏網路在不同類型的數學能力之適用性，並透過分析學生的測驗表現，提供教學者與測驗編製者參考，進而更有效地進行學習診斷，嘉惠教學者及學習者。 第二節研究目的 基於上述的研究動機，本研究將以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元為例，結合二階段試題與貝氏網路，研發一套二階段電腦化診斷測驗，研究目的如下：一、建置「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段電腦化診斷測驗工具。二、根據「縮圖、放大圖與比例尺」單元之測驗結果，探討結合一階段試題與結合二階段試題對於貝氏網路診斷模型診斷成效之影響。

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三、探討何種二階段試題與貝氏網路診斷模型的結合方式診斷辨識率較高。四、探討在接受「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段電腦化診斷測驗後，學生所表現的數學概念與迷思概念之人數分布情形。五、 探討學生對實施二階段電腦化診斷測驗之意見。 第三節待答問題 依據前述研究目的，將本研究之待答問題分別陳述如下：一、針對六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元，以二階段試題及貝氏網路為基礎的二階段診斷測驗試題之信效度及試題分析結果為何？二、探討一階段試題的貝氏網路診斷模型與二階段試題的貝氏網路診斷模型，在「縮圖、放大圖與比例尺」單元的數學概念、迷思概念以及整體辨識率差異為何？三、比較兩種二階段試題與貝氏網路診斷模型的結合方式，何者辨識率較高？四、學生在「縮圖、放大圖與比例尺」單元的測驗表現為何？ 4-1 在「縮圖、放大圖與比例尺」單元，學生數學概念的測驗表現情形為何？ 4-2 在「縮圖、放大圖與比例尺」單元，學生較容易產生哪些迷思概念？五、學生對實施二階段電腦化診斷測驗之意見為何？

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第四節名詞解釋 一、縮圖、放大圖與比例尺 縮圖、放大圖是相對於原圖的一種關係，本研究所指的縮小圖與放大 圖為幾何上相似圖形的等比例縮小或放大，且各組對應角相等，各組對應邊的長度比也相等。而比例尺是一種抽象的內涵量概念，用以表示縮圖上的長度和原圖實際長度的比或比值，也可用圖示法表示比例尺。 二、數學概念 本研究的數學概念為根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，針對國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元能力指標「（6-s-02）能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。」而訂定之基本能力，且該能力的具備與否常伴隨影響迷思概念的發生。 三、迷思概念 學生的概念與專家接受的科學概念不同，因而造成學習困難，稱其錯誤的概念為迷思概念。本研究之迷思概念是指學生在學習「縮圖、放大圖與比例尺」單元，因概念模糊不完全而產生錯誤的理解或想法，其概念是與數學專家學者定義的概念不同，而本研究之迷思概念為研究者與國小高年級老師的教學經驗交流、參考相關文獻及與數學專家討論等方式所歸納訂定。 四、專家知識結構 下層概念為上層概念的先備知識，而上層的知識概念為此單元較難的

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高階概念，將知識以結構化的知識組成，即為知識結構。本研究之專家知識結構是以「縮圖、放大圖與比例尺」單元為研究領域，由國小教師、數學專家、及測驗專家共同分析，根據學生學習歷程與概念發展順序之上下位關係建置而成，作為診斷測驗試題的依據。 五、二階段試題 本研究的二階段試題為選擇題形式的評量工具，每一試題按順序分兩個階段作答，第一階段的選項包含該題學生解題後常見的答案內容，而第二階段的選項則是對第一階段的回答所持的理由選項，試題選項的編製除了為教師教學經驗、文獻探討，還有從紙筆測驗蒐集學生的解題策略及錯誤解法。 六、貝氏網路 貝氏網路（Bayesian networks）是以貝氏定理為基礎的理論，是由節點與連結所組成具有方向性且非循環的有向圖（Directed Acyclic Graph，簡稱為DAG），每一個節點都表示一個事件（event），以節點表示所欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，其影響程度的強弱則藉由條件機率的方式來表達（施淑娟，2006）。本研究以貝氏網路為診斷測驗之推論工具，教學者由診斷測驗報告書了解學生在此單元具備的數學概念，以及可能產生的迷思概念。 七、電腦化診斷測驗 本研究之電腦化診斷測驗係指結合二階段試題與貝氏網路之測驗系統，研究者研發的二階段電腦化診斷試題建置於「二階段BNAT診斷測驗暨適性學習系統」，學生連結上該網路系統即可做測驗。學生進行施測時，

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電腦根據學生的第一階段答案選取對應的二階段選項供學生作答，以了解學生的想法，整份測驗完成後，電腦會以施測結果作為證據，輸入貝氏網路診斷模型進行數學概念與迷思概念的機率推理，爾後完成個別學生的診斷報告。 第五節研究範圍與限制 一、研究範圍 本研究之目的為研發一套「縮圖、放大圖與比例尺」單元的二階段電腦化診斷測驗，並探討此測驗的成效。測驗內容為研究者根據教育部（2003）編訂之九年一貫數學領域課程綱要，以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元能力指標「（6-s-02）能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。」，參考坊間教科書版本，作為研發二階段電腦化診斷測驗試題之依據。此外，本研究亦評估不同二階段試題與貝氏網路診斷模型結合方式之成效，以及學生對實施二階段電腦化診斷測驗之評價，因此除了上述以外其他因素不在本研究探討範圍，故研究結果不宜做過度推論。 二、研究限制 因時間、人力、資源以及其他主客觀因素影響，本研究將有以下之 研究限制： (一) 施測樣本的限制本研究的開放性紙筆測驗之研究對象僅以臺中市兩所國小各兩班學

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生進行開放性紙筆測驗，採立意取樣，有效樣本4班，共計122人。二階段紙筆診斷測驗之研究對象僅以臺中市兩所國小，各4班、7班的學生進行紙筆測驗，有效樣本7班，共計308人。修正後的二階段試題與貝氏網路結合，將試題建置於網路資料庫，學生上網進行診斷測驗。本研究的二階段電腦化診斷測驗採立意取樣，對象僅以臺中市某所國小進行施測，受試人數有327名，有效樣本11班，共計325人。本研究受試的對象皆為臺中市國小的六年級學生，如果要將測驗結果推論至其他區域的學生，應考慮受試對象不同造成的影響，測驗結果所推論出的學生迷思概念之代表性可能會受到限制，因此結果不宜過度推論。 (二) 二階段電腦化診斷測驗的限制本研究之二階段電腦化診斷測驗，學生須上網作答，因此電腦教室需有穩定的網路連線。受限於電腦測驗施測介面，試題皆為選擇題，無提供學生開放作答的空間，較難涵蓋學生所有可能會產生的迷思概念。此外，本研究系統無法跳題，需要依照題號順序作答，且每題只有一次作答的機會，無法提供學生重新檢查以及修正答案的功能，因此施測前須和學生說明確定答案後再選答。 (三) 測驗時間的限制小學一節課為40分鐘，一節課要請學生思考作答完24題的二階段電腦化診斷測驗，時間不充裕的情況下，會帶給學生無形的壓力，可能會影響測驗的品質。

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第二章文獻探討

本研究是以國小六年級「縮圖、放大圖與比例尺」單元為研究領域，編製二階段試題並將其與貝氏網路結合，目的為研發一套二階段電腦化診斷測驗。因此，在本章的文獻探討中，將針對二階段試題、貝氏網路、「縮圖、放大圖與比例尺」教材與迷思概念等相關研究進行分析整理。 第一節二階段試題之相關研究 學生在日常生活中建構出許多概念，即學生在教師教學前對於生活中各種科學概念，常常已有一套自己的詮釋方式，然而這套詮釋方式往往和科學上所接受的概念不完全相同（黃可欣，2006），因此如果教學者能設計出可以診斷學生迷思概念的試題，才能在教學實務上幫助學生了解自我的學習狀況。編製高品質的試題並非一件容易的事，而測驗最重要的是試題的適切性，教師在佈題之前需釐清每一個試題欲達成的目標，如出題者能清楚的掌握佈題的主要概念，較能發覺學生思考上的瑕疵，因而可再進一步澄清某概念（陳淑娟、劉祥通，2002），試題也較能測出學生的學習情況。二階段測驗工具已被廣泛應用於各年齡層及各種科學概念的探究上，如：聲音、光、磁、生物生殖……等概念的探究（林恬瑩、劉遠楨，2006），也是近年來診斷學生科學迷思概念的測驗編製方式，具有應用於成就測驗中的潛力（楊毅立，2005）。因此本研究欲研發「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段試題，藉此評量工具診斷學生的數學概念與迷思概念。

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一、二階段試題 二階段（Two-tier）數學診斷測驗可作為評量成就測驗，以及探究學生迷思概念的工具。二階段測驗是由Treagust(1988)所提出，其試題部分共分為兩階段，第一階段是與概念內容有關的問題也就是核心概念的內容，第二階段是作答、探索的理由。第一階段的題目佈置了一個情境脈絡讓學生做選擇，第二階段提供幾個理由選項讓學生選擇，可讓教師瞭解學生在第一階段作答的理由。Treagust認為教師們最需要的就是使用簡單的方法評量出學生的科學概念，而二階段測驗正是可以符合教師們的需求，容易被教師們所接受，而且真正能對教學有幫助的評量方式。二階段選擇題型試題測驗，每個題目均為兩階段作答，試題的第一階段是選擇題，目的在評測學習單元的知識內容；試題的第二階段選擇題，每一題均包含幾個可能選答某一選項的原因，選項的原因包括正確的答案、或是符合迷思概念的答案。學生作答時，二個階段的試題都答對才算正確。因此，如果學生第一階段作答正確，而第二階段作答錯誤，則可顯示學生對某項數學概念尚未融會貫通。二階段評量的第二階段理由選項是透過學生作業資料、開放測驗資料以及與學生訪談得來，可以從學生在第二階段選答的理由選項瞭解學生的迷思概念。為了改善傳統診斷評量工具無法瞭解學生作答所持的理由想法，因而本研究採取二階段選擇題型試題測驗。此外，因應資訊時代的潮流，網路無遠弗屆，本研究將紙筆二階段診斷測驗試題建置於電腦系統，將使教學者能更快速、更簡便瞭解學生的數學概念與迷思概念。研發出的診斷工具兩個階段仍是選擇題的形式，可以不需要花費大量人力時間，因而能在短時間內搜集到大量的樣本資料，以提供研究及分析。

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二、二階段試題編製程序

二階段評量工具設計的編製程序，依據Treagust(1988）和Treagust（1995) 所載將其分為三個階段：一、定義內容；二、獲得相關學生概念的資訊；

三、發展診斷工具，及其所包含的十項步驟，其發展步驟說明如下：

(一) 第一階段—定義內容（defining the content）：確立明確的內容，以及相關內容的敘述，並發展概念圖。 1. 步驟1：確認命題知識（proposition knowledge）的敘述就研究主題內容，找出包含在此領域內的知識，並將其中的概念逐項條列，以確定命題之範圍。確立命題陳述，對於課程發展及教學上具有很重要的用途以及地位。 2. 步驟2：發展概念圖概念圖可以表達出研究領域概念間的關聯性，所以可以清楚界定研究的範圍，其中步驟1與步驟2可說是同時發展出來的，當確立了命題陳述，對應的概念圖也同時成形；或是確立了概念圖時，所對應的命題陳述亦成形，即兩者是相輔相成的。 3. 步驟3：檢視概念圖所含的概念與命題知識的敘述皆涵蓋相同的內容命題知識敘述與概念圖連結相比對，命題知識的敘述皆要與概念圖中對應之概念直接相關，確保被檢測的內容是具有其內部一致性，且彼此要能涵蓋整個研究主題。此為一種信度檢核，檢驗兩者是否真正能檢測和覆蓋於相同主題區域。

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4. 步驟4：試題內容效度化

命題敘述和概念圖是由專家學者和教學現場教師檢核進行內容

效度化，如內容有任何矛盾與不合理之處將進行刪除或修正。此步驟

是為了檢證，可使研究的內容和概念合乎科學的精確性，在發展診斷

工具的題幹時就會更加明確。

(二) 第二階段—獲得相關學生概念的資訊（obtaining information about

students＇ conceptions）第二階段是診斷工具評鑑學生概念的過程。先檢視先前研究的文獻，再由來自晤談和開放式紙筆問題的反應作答，評鑑學生對該學科內容的理解，如此該主題的學生概念的典型範圍就被確定。 1. 步驟5：檢視相關研究文獻蒐集該研究主題之相關文獻，可獲得學生的迷思概念，做為二階段試題的資料庫，藉此發展診斷工具。 2. 步驟6：與學生進行晤談採取非結構化開放式的問題與學生進行晤談，引導出更進一步學生的想法，可以廣泛獲得學生的迷思概念，有助於探求學生更深層的知識結構或迷思概念。 3. 步驟7：發展學生可回答想法理由之選擇題由來自文獻與晤談的資料，編製含命題知識陳述的選擇題紙筆測驗，每一題不可包含過多的命題陳述，題目內容來自前四個步驟效度化後所定義的內容。此外，每一題選擇題都有留有空白區，請學生填寫上選擇該選項的理由，以從中獲得學生的迷思概念。

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(三) 第三階段—發展診斷工具（developing a diagnostic instrument）第三階段的診斷工具建構牽涉到兩階段題目的發展，第一階段為學生對內容之反應，第二階段為學生對第一階段選項所持的理由。這些理由選項的產生來自步驟5、6與7，藉以發展題目的第二階段之理由選項。 1. 步驟8：發展二階段診斷工具每一測驗題分兩個階段作答，學生兩階段都答對，此題才算答對。測驗題中的第一階段選擇的是內容問題，通常有二至三個選項；第二階段的選項是選擇第一階段的理由，通常包含四個可能的理由選項，選項為綜合文獻、晤談、和開放式紙筆測驗所獲得該題作答之理由，其中包含了迷思概念、正確概念或是完全錯誤的答案。 2. 步驟9：設計明細方格設計一個特定的表格如雙向細目表（two-way specification），可以確保所有診斷試題皆能問到所列出之命題陳述，且概念圖中的概念皆涵蓋在主題範圍之下。 3. 步驟10：不斷改良持續檢視相關文獻、與學生晤談，以及在不同的班級或不同群的學生進行施測，針對診斷測驗試題不斷的修正，以使診斷測驗能符合所需。 三、二階段試題的優點 以Treagust所提出的二階段評量診斷工具來診斷學生的迷思概念，其優點如下：

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(一) 經由二階段評量診斷出的學生迷思概念，學生可以了解自我的學習狀況，也可以提供教師作為擬定教學策略或實施補救教學的重要依據。 (二) 二階段評量工具兼具了晤談法質性的優點與測驗法量化的優點。因為二階段評量可以深入了解學生選擇答案的推理運算過程，在二階段評量診斷工具的發展中，對於每一題在第二階段理由選項的設計，是透過開放式紙筆測驗、文獻探討，以及與學生晤談的結果歸納建置而成。 (三) 成就測驗多半以紙筆測驗為主，雖然可以獲得大量的測驗樣本，但傳統紙筆測驗難避免學生猜測作答，且作答結果只顯示試題對或錯的訊息，無法瞭解到學生填答的理由想法與學生的迷思概念。晤談法近年來雖也應用於診斷學生的迷思概念，但必須和學生做訪談，再將訪談資料做轉錄的工作，非常耗費人力和時間，且訪談者的技巧也會影響晤談的結果（李永貞，2009）。而二階段評量診斷工具的兩個階段皆為選擇題的形式，所以研究者可在短時間大規模探討學生的迷思概念，改善了晤談法耗費人力、時間的缺點，也改善了傳統評量單一選擇題不清楚學生作答所持的想法，如此在實際教學現場的應用，二階段評量診斷工具就更具價值。 (四) 二階段評量可以降低學生作答時猜對的機率，提升試題評量的效果。二階段評量的第一階段與第二階段都答對，顯示學生有正確的概念，試題才會予以計分，如此可降低學生作答時猜測，提高題目評量的效果（蕭志芳，2003）。Odom和Barrow(1995)指出：在一個含有四個選項的選擇題測驗中，猜對答案的機率是25%，然而在二階段的選擇題中，如果第一階段試題含有兩個選項、第二階段含有五個選項，兩階段能做正確聯結而猜對者，其機率只有10%，相對的也提高試題評量的效果。 (五) 二階段試題可用以改良傳統選擇題，以及引導學生改善死背知識而不

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求甚解的學習態度，學生在作答的過程中可以澄清自我概念並加強原有知識概念間的連結。雖然二階段數學迷思概念診斷測驗工具的研發雖較費時，但因在試題上精心的設計與安排，讓教學者、學習者與研究者能從評量測驗的結果中獲得更有幫助的訊息。此外，二階段式迷思概念診斷測驗工具也可設置在電腦網站中，提供學生自我評量，且學習上之迷思概念可建置於資料庫，以提供更多研究，因此二階段數學迷思概念診斷測驗工具的發展與應用，將是日後促進數學領域教學與學習成效的一大利器（邱明星，2006）。 (六) 教師願意在課堂上運用二階段評量診斷工具，因為教學者可以利用此診斷工具，預先施測於準備學習該單元的一群學生，便可以快速得知學生對於該單元的原有概念為何，接著教師以學生的原有概念為基礎，在有限的教學時間利用適當的教學策略，使學生調適出的新概念是符合正統的科學概念。教師在教授完該單元後，可以再利用二階段評量診斷工具對學生施測，便可以針對仍有迷思概念的部分做補救教學，更可根據個別的迷思概念予以破除，是個省力省時的好方法（黃可欣，2006）。 四、二階段試題的相關研究 二階段電腦化測驗能依據學生第一階段的作答，給予不同的第二階段選項，能有效診斷學生的錯誤類型及概念的有無（江啟明，2010）。吳能州（2003）以「樂器的聲音」和「日常生活中的聲音現象」為探討主題，了解國小三至六年級學生對於聲音的想法，研究採取的二階段診斷試題架構如圖2-1-1，以及聲音概念二階段試題如圖2-1-2所示，如果試題提供兩個概念為作答選項，當受試者填寫測驗試題認為「概念一」是正確的，只需要從「概念一」後方陳述的理由中選出一個理由，並填入「概念一」前面

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的空格，而「概念二」的選項就不需要理會了。圖 2-1-1 二階段診斷試題架構（吳能州，2003）圖 2-1-2 聲音概念二階段試題（吳能州，2003）近年來有越來越多研究者，使用二階段評量來診斷學生的學習概念，例如：蕭志芳（2003）藉由二階段評量工具探究國小中高年級時間概念；黃可欣（2006），以二階段評量診斷工具，評測國中光學概念；江啟明（2010）以國小五年級數學能力指標5-n-13「能解決時間的乘除計算問題」為例，依據知識結構編製二階段試題，其二階段試題如圖2-1-3。學生在作答的過程中學習、澄清自我概念並幫助原有概念間的連結，因此二階段試題亦有

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助於教師了解學生學習上的困難，並可以進一步解決教學中的盲點，提升學生的學習效果（蕭志芳，2003）。圖 2-1-3 時間概念二階段試題（江啟明，2010）二階段診斷測驗試題的優點，可以避免學生二階段概念的填答有無法分析的情況產生，但缺點為紙筆試卷張數很多，會讓學生有負擔沉重的感覺（吳能州，2003），且作答時學生會從第二階段的選項中找尋正確答案，改變原本的想法，降低診斷測驗的效度。為了改進紙筆測驗的缺點，本研究研發二階段電腦化診斷測驗，施測時電腦介面上只先出現試題的第一階段選項，學生完成第一階段的作答後，介面再顯示第二階段的理由選項，學生可以依序填答避免受到其他第二階段理由選項的干擾而影響作答。許多研究的結果顯示，結合二階段試題的診斷測驗，教學者可以快速診斷學生的迷思概念，值得拓展研發。基於此，本研究以貝氏網路為基礎，採取吳能州（2003）提出的二階段試題架構，編製二階段電腦化診斷測驗試題，應用於教學實務上協助教學者診斷學生的數學概念以及迷思概念。（）請問 327 秒也可以說是幾分幾秒？ ☏3 分 27 秒 ☏5 分 27 秒 ☏27 分 5 秒 □其他 □327÷100＝3…27 □最左邊的3是分，剩下的27是秒。 □我是用猜的。 □327÷60＝5…27 □60×5＝300，300＋27＝327 □我是用猜的。 □327÷60＝5…27，27是分，5是秒。 □我是用猜的。 □327÷60＝50…27，50分27秒。 □327÷60＝5.45，5分45秒。 □327÷24＝13…15，13分15秒。 □我的答案這裡都沒有。我的想法我的想法我的想法我的想法

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第二節貝氏網路之相關研究 一、貝氏網路簡介 科學方法要求嚴密性，為避免引用極端資料可能會扭曲研究結果，因此，古典推論模式並不允許將先前知識引入計算中，然而在許多情況下，善用先前知識或專家意見並結合可觀察的資訊是有助於推論的，此種推論模式稱為貝氏推論，以貝氏推論為基礎的圖形模式即為貝氏網路（施淑娟，2006）。貝氏網路（Bayesian Networks）是一種利用圖形來展現的模式，結合機率理論與圖形理論，以條件機率為基礎所建構出的非循環有向圖

（Directed Acycle Graph，DAG），能對不確定的事物加以描述與推論的工具(Pearl, 1988），可將教育測驗領域中不確定性，應用其變數之間的因果關係，與其相互影響的機率，是一種非常強大的知識表現方法和推論工具

（施淑娟，2006；楊智為，2007），所以貝氏網路亦稱為機率網路（probabilistic networks）、因果關係網路（casualnetworks）、信念網路（Bayesian belief networks）或者為知識地圖（knowledge map）（戴榮輝， 2008）。如圖2-2-1是一個含有兩個節點（node）以及一條連線（link）的貝氏網路，每個節點都表示一個事件（event），連線（link）表示兩個事件之間的交互關係，當變數A確定有影響變數B的因果關係時，從A到B產生一個相依的連結邊，此時，節點A稱為節點B的父節點（parent），而節點B 稱為節點A的子節點（child），因此可將學生的數學概念、迷思概念及試題連結在一起，達成診斷迷思概念的目的。

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圖 2-2-1 貝氏網路非循環有向圖在貝氏網路中，節點對應於有限範圍中任意的變數。節點與節點之間利用有向邊連結，而有向邊的有無即代表其節點之間的關係，是否為條件相依或條件獨立的情形，其中若節點連結表示條件相依。學生的迷思概念和數學概念具有不確定性以及多變項的特性，這種不確定性容易造成診斷上的困難（江啟明，2010），本研究將節點分為三種，分別為試題（item）、數學概念以及迷思概念（misconception），以連結邊代表節點之間的因果關係編製貝氏網路結構，藉由貝氏網路其完整的機率理論做為推論學生迷思概念與數學概念的工具。貝氏網路採用貝氏定理（Bayesian Theorem）來進行推論，貝氏定理是由十八世紀數學家與神學家Thomas Bayes 於1763年所提出，其數學式表示如下：【定理】貝氏定理設x、z為兩事件 p(z|x)＝ ) ( ) ( ) | ( x p z p z x p 其中p(x)=E_p₍_z₎[p(x|z)]＝

_

p(x|z)p(z)dz為標準化係數 p(z)：先驗機率分布 p(x|z)：概似機率分布 p(z|x)：後驗機率分布設z、x為兩事件，變數之間的影響用因果關係來表示，當變數z確定有影響變數x的因果關係時，從z到x將產生一個相依的連結邊。此時，節點z稱為節點x的父節點，而節點x稱為節點z的子節點，節點代表欲研究的變項，連結代表變項間的影響關係，如果二節點間沒有連結，即表示二 A link B

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節點間之獨立或條件獨立關係。p(x|z)、p(x)和 p(z)可以由研究中訓練的資料求得，再將數據帶入上述的公式就可以求出後驗機率p(z|x)了，即貝氏推論為先統計可以觀測變數的先驗機率和後驗機率，藉由貝氏定理推論計算出無法觀察到的變數之後驗機率，依照計算出的後驗機率推論無法觀察到的變數，以診斷迷思概念與數學概念（吳怡松，2010）。施淑娟（2006）指出在多節點的貝氏網路中，基於貝氏定理與圖形理論的概念，貝氏網路同時從質與量兩個向度表徵一組變項之間的關係。從質的向度來看，貝氏網路是一種由節點與連結所組成的非循環的有向圖；就量的向度而言，影響的強度可以條件機率的方式表徵，並能計算所有變項的各種狀態之聯合機率分布，進而根據貝氏定理進行以證據為基礎的推論，其數學定義如下式：【定義】貝氏網路是由(D, P)所組成的序對，其中D是指一個非循環的有向圖（Directed acyclic graph，簡稱DAG），P {p(x₁|π₁),...,p(x_n|π_n)}是一

組條件機率，π 為節點_i x 之父節點所成的集合。而這一組 P 就可定義D中_i 所有節點 X 的聯合機率分布，P( X)如下式：



   n i n i i π X x x x x p X P 1 2 1, ,..., ) ( ), | ( ) ( 如圖2-2-2為多節點的貝氏網路， A是 B 的父節點，有條件機率 ) | (B A p ， B 和 C 是 D 的父節點，條件機率為p(D|B,C)，利用圖中條件獨立特性，可以將聯合機率分布的計算分解為簡單的條件機率分布如下： ) , | ( ) ( ) | ( ) ( ) , , , (A B C D p A p B A p C p D B C p  如果已經知道觀測節點 D ，則可以依貝氏定理推論，其餘節點發生的 條件機率如下：

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) ( ) , , , ( ) | , , ( D p D C B A p D C B A p  圖 2-2-2 多節點的貝氏網路基於貝氏定理與圖形理論的概念，可清楚了解變項間的依賴以及條件獨立關係，因此，如果已知結構圖中某觀測節點，可以依貝氏定理推論，求出其他觀測節點發生的條件機率（劉景銘，2007）。總結以上的觀念，本研究要以貝氏網路來做推論，必須取得研究樣本，先將蒐集到的學生作答資料分成訓練資料和測試資料，根據資料及專家專業知識的分析，用訓練資料建立一個完整的貝氏網路結構模型，模型建立之後以作為將來推論運算所需，再依據新資料來進行推論，以測試資料當作學生作答的證據，推論學生所具有的數學概念和產生的迷思概念。 二、建立貝氏網路模型的步驟 楊智為（2007）指出研究的相關分析若要以貝氏網路來做推論，必須先取得研究資料樣本後，研究者先根據資料及學科專業知識，予以將研究樣本資料做分析，爾後建立一個完整的貝氏網路結構模型，接著再根據資料來進行推論。而建立模型的過程可以分成三個步驟，如圖2-2-3所示： D B C A

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圖 2-2-3 建立貝氏網路模型的流程(楊智為，2007) （一）根據研究資料，建立貝氏網路節點研究者先設定所欲研究的主題與範圍，透過相關的文獻探討以及專家學者的專業知識分析，根據專家知識結構編製原則（如表2-2-1），編製「縮圖、放大圖與比例尺」單元的專家知識結構，如圖2-2-4所示，每一個方框皆是一個數學概念，而有箭號連接表示有階層關係，箭頭所連接的為上位概念，箭尾連接的為下位概念，如數學概念A為數學概念B與C的上位概念，反之數學概念B與C為數學概念A的下位概念，以此方式建立了專家知識結構。表 2-2-1 專家知識結構編製原則（吳慧珉，2006）知識結構編製原則 1 每一節點為單一概念，每一節點都可出題。 2 下位概念是上層概念的先備知識，受試者若通過上位節點的試題，則推論受試者了解其所有下位節點的概念。 3 難度的排列為由下到上，由左到右，同層節點難度可能不一樣。 4 注意數字大小之影響，例如選項中有一數與其他數值差異很大，選項的誘答力會降低。 5 注意非文字題及文字題之不同。 6 當無法明確界定節點間次序性時，宜定義為無次序性。

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圖 2-2-4 專家知識結構階層圖本研究目的為編製「縮圖、放大圖與比例尺」單元之二階段電腦化診斷測驗，先編製完專家知識結構後，蒐集相關文獻將數學概念與迷思概念結合編製二階段試題，確定了概念間節點與節點之間的連線關係，將數學概念、迷思概念與試題三者之間的關係連結，建立出貝氏網路圖，如圖 2-2-5。圖 2-2-5 貝氏網路圖（二）設定模型中，節點的機率分布將學生的作答資料作為訓練樣本，用來訓練貝氏網路的參數，計算所有可觀測節點和未觀測節點的先驗機率及條件機率分布。以觀測的資料當證據，透過貝氏網路推論，獲得所感興趣的未觀測節點後驗機率分布。 A B C D E F G 試題 1 2 . . . . . X1 迷思概念 1 2 . . . . . X2 數學概念 1 2 . . . . . X3

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（三）評估後驗機率的正確性利用MATLAB分析軟體推論出貝氏網路的辨識率數值，數值越高代表診斷出學生在「縮圖、放大圖與比例尺」單元之迷思概念及數學概念的精確度越高。由辨識率可以檢視建立的貝氏網路模型中節點的推論是否正確，並將之予以修正，進而取得一個最合適的貝氏網路模型，將可根據此貝氏網路模型來進行推論。本研究將根據以上步驟取得最佳辨識率的貝氏網路診斷模型，結合二階段試題後，將試題建置在「二階段BNAT測驗暨適性學習系統」，便可以依據此貝氏網路診斷模型，推論學生在二階段電腦化診斷測驗具備的數學概念與產生的迷思概念。 三、貝氏網路在教育測驗上的應用 貝氏網路是一個很有效的推論工具，其應用層面十分廣泛，而貝氏網路在教育測驗上的應用，最重要的目的為診斷學生是否具有錯誤類型（或迷思概念），另一個在教學上的應用是在診斷錯誤概念（或迷思概念）之後，可再加上相關的補救教學（楊智為，2007）。其相關文獻整理如表2-2-2。表 2-2-2 貝氏網路應用研究者研究內容摘要研究結果施淑娟（2006）應用貝氏網路認知診斷模式進行國小五年級小數單元學習診斷之研究建立貝氏網路為基礎的錯誤類型與數學概念認知診斷模式，專家診斷結果與訪談診斷具有統計上的一致性。楊智為、劉育隆、楊晉民、曾彥鈞（2006）結合試題順序理論與貝氏網路之電腦適性測驗演算法之探究利用試題順序理論進行電腦化適性測驗後，使用貝氏網路作為診斷工具。研究結果顯示能節省施測題數，並保有一定的辨識率。

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表2-2-2（續）研究者研究內容摘要研究結果楊智為（2007）以SVM結合多重貝氏網路在教育測驗上的應用本研究使用兩種辨識器，分別為1NN 與SVM分類器，而輸入分類器的訊息分為後驗機率值及二元類別型態兩種。研究結果顯示，以後驗機率值輸入SVM分類器的方法最佳，能有效的結合多重貝氏網路，提升辨識率。劉景銘（2007）結合貝氏網路與知識結構之電腦診斷測驗及補救教學系統研發—以國小數學領域「因數與倍數」為例 1. 知識結構與貝氏網路所建立的診斷評量系統，能有效應用於診斷學生錯誤類型與子技能。 2. 透過電腦化適性補救教學後，學生進步情形達到顯著水準。戴榮輝（2008）以貝氏網路與知識結構為基礎進行數位個別指導模式教材之研發及教學成效之探討—以國小六年級圓周長單元為例。運用個別指導及適性補救教學之數學教材與教學媒體，並結合以貝氏網路為基礎的電腦化適性診斷測驗。 1. 教學後的電腦化適性診斷測驗，預測精準度高達96.08%。 2. 補救教學後的電腦化適性診斷測驗，預測精準度高達95.67%。周雅釧（2009）國小六年級「比與比值」單元之適性診斷測驗與教材研發建立一個結合貝氏網路的電腦化適性診斷評量以提供教學診斷。 1. 電腦化適性診斷測驗精準度約 93.22％。 2. 錯誤類型診斷的精準度達到 97.31%，子技能有92.68%的預測精準度。陳金葉（2009）資訊融入異分母分數加減單元教學對國小五年級學生學習成效與動機之影響結合知識結構及貝氏網路等理論，進行自編教材、補救教材、教學媒體及電腦化適性診斷測驗之研發。 1. 適性診斷測驗能達到節省題目、縮短施測時間的目的。 2. 經電腦化適性診斷測驗，再進行補救教學後，資訊融入教學組的學生不管在錯誤類型的改善或子技能的習得均比傳統教學組獲得較佳成效。

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表2-2-2（續）研究者研究內容摘要研究結果林美秀（2009）數位教材與電腦適性診斷測驗融入教學之探討－以國小六年級數學「放大縮小比例尺」單元為例 1. 知識結構結合貝氏網路之電腦適性診斷測驗，在錯誤類型及子技能方面的預測精準度，前測達到 94.41％，後測達到94.83％。 2. 實驗組接受自編數位指導教材指導後，補救教學效果良好。江啟明（2010）二階段試題之貝氏網 路與電腦化測驗研發 以數學能力指標5-n-13「能解決時間的乘除計算問題」為例，將二階段試題與貝氏網路相結合，建立「二階段試題貝氏網路診斷模型」，能有效診斷學生的錯誤類型。劉明宜、鄭俊彥、郭伯臣與劉育隆（2011）國小六年級「圓周長」單元之電腦化試題研發以「圓周長」單元為例，編製以知識結構為基礎的試卷，經由貝氏網路診斷學生的迷思概念及學習成效。研究顯示電腦化測驗在貝氏網路的分析下，具有良好的辨識率。施雅文、楊智為、施淑娟、郭伯臣（2011）以貝氏網路為基礎建置二階段電腦化診斷測驗及補救教學媒體之研究－以國小低年級時間概念為例以貝氏網路為基礎，建置國小低年級時間概念之二階段電腦化診斷測驗。研究顯示二階段試題與貝氏網路診斷模型結合，其子技能與錯誤類型辨識率優於一階段試題。將貝氏網路與二階段試題結合，其數學概念與錯誤類型辨識率均優於一階段試題（江啟明，2010；施雅文、楊智為、施淑娟、郭伯臣，2011），也可以藉由不同貝氏網路模式的比較，進而得到最佳的辨識率，是一項值得研發的數學學習診斷工具（江啟明，2010）。綜合以上研究文獻，以貝氏網路為基礎的電腦化診斷測驗，均有不錯的診斷辨識率，可以應用於教學實務上診斷學生的數學概念與迷思概念，因此本研究以「縮圖、放大圖與比例尺」單元為例，將二階段試題與貝氏網路結合，研發一套二階段電腦化診斷測驗，診斷學生數學概念與迷思概念的有無，了解學生在此單元的學習成效。

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第三節縮圖、放大圖與比例尺相關內容分析 九年一貫課程綱要（教育部，2008）指出幾何不但是數學教育中的重要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。幾何為典型的視覺影像處理，例如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、圖形識別等，國小階段幾何形體的理解包含察覺、操作、構造等諸面向。小學教師在從事幾何教學時，必須避免自己歐氏幾何訓練的干擾，避免處處受制於定義的認定與邏輯順序。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。因此小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，儘量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。本研究選定幾何領域中「縮圖、放大圖與比例尺」單元進行測驗編製，以診斷學生數學概念與迷思概念的表現情形，以下將對此單元的相關數學概念逐一說明。 一、縮圖與放大圖 劉好（1997）指出放大圖與縮小圖通常以邊長的比值來描述其放大或縮小的倍率，例如N表示一個正實數，甲表示一個圖形，如果甲圖形上任意兩點的距離均放大或縮小為原來的N倍，所成的圖形稱為乙圖，如果N ＞1則稱乙圖為甲圖的N倍放大圖，反之若N＜1則稱乙圖為甲圖的縮小圖。放大圖與縮小圖是相對的概念，學生應確實理解幾何圖形在縮放前後的變化性質，例如直線變到直線、對應邊線段長成比例、對應角角度不變。吳宜靜（2005）指出兩個幾何圖形若有相同的形狀，並且具備對應角相等、對應邊成比例的特質，則稱為相似圖。我們可以從將圖形以一致均

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勻等比例的的伸縮，獲得相似圖形，而在邊長比等於1時，又稱為全等圖形。由原圖形經縮放比值為1的的轉換（亦即與原圖全等）、旋轉、翻轉、鏡射所得的新圖形，都是與原圖相似的相似形。若有相似的概念，更可以應用到所有幾何圖形上。縮圖與放大圖的產生，實則由全等的兩圖形透過邊長比例的變化形成。因此，與縮圖與放大圖相關之概念包含圖形各組成部分（邊、角、頂點）之對應關係與邊長比例縮放。 二、縮圖、放大圖與比例尺相關數學概念 依據九年一貫數學領域能力指標6-s-02「能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。」，以下逐一探討與此能力指標有關的「比與比例」、「比例尺」、「角度」以及「面積」的數學概念。 (一) 比與比例放大縮小的問題情境蘊含比例概念，而比例尺的學習也與比例概念密不可分，因此要在「縮圖、放大圖與比例尺」單元有良好的表現，須對比例概念相關教材熟悉。比是兩對應關係量A、B的記錄，當兩數量因某種原因而產生對應的關係，表示兩個數量A和B之間的對等關係時，用數學符號「A：B」來代表，其中A是比的前項，B是比的後項。在符號「A：B」中，將前項除以後項所得的商則稱為比值，而比值通常是以分數的形式表示。當兩個比的比值相等時，就稱這兩個比成比例。等值分數是比例概念的基礎，將相同的單位量做不同的等分除的分割，會有不同的等值分數產生，而將等值分數寫成等式，就產生了比例關係的概念。國小學生在比與比例基礎題的表現，六年級學生覺得由難而易的題型依序為：「求比值」→「比值的意義」→「求比例式第四項（非整數倍）」

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→「求比」→「求比例式第四項（整數倍）」→「比的判斷」。日常生活中，比例的相關用語經常用來被描述生活的問題，且解比例問題能力是決定能否學習更高層次數學的重要分界。但是，在學生數學知識的學習過程中，比例問題卻成了中小學學生的難題（黃寶彰，2003）。比例問題有其重要性與複雜性，劉祥通（1999）指出比例問題是「數與計算」的範圍，從整數、小數、與分數延續而來，它承繼整數加減法、整數乘除法、分數加減法、與分數乘除法；是「數量關係」的範圍，如比、比例與比值等性質；是「圖形與空間」題材，例如比例尺的意義、縮圖與放大圖；也是「量與實測」的題材，例如密度、消費、度量、價格、濃度等性質。九年一貫課程綱要（教育部，2008）指出：比例關係是日常生活與自然科學中經常用到的數量關係，本身有非常豐富的性質，可以視為乘除關係的重要延伸。比例關係有兩種看法：一是倍數相同的觀點，一是比值相等的觀點，兩者對於解決實際的應用問題都很重要，學生必須熟稔兩者，才算是真正掌握了比例關係。比例關係的具體表現是比例式，由倍數或比值的觀點，都可以歸結到「外項相乘等於內項相乘」的結果。在比例的計算中，可以自然的引入繁分數的記法與計算。比例在國中階段也有延伸課題，連比、正比與反比的關係以及函數關係的特例，可見比例概念是非常重要的數學學習基礎。莊玉如（2005）蒐集相關文獻，指出比例問題有下列幾個主要類型： 1. 組合問題（關聯的集合）：問題中兩個集合間並沒有明顯的意義關係，經過問題的陳述後才產生關係。例如，親子遊戲中3個小孩，需要2個大人來協助，有15個小孩將參加遊戲，需要多少大人來協助？ 2. 母子問題（部份—部份—全部）：一個集合是由兩個以上的部份集合所組成，而部份集合之間有比例關係。例如10個湯圓裝一盒，其中一盒有

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5個是花生口味，如果買5盒湯圓，有幾個是花生口味？ 3. 密度問題（內涵量的量數）：由兩個外延量所組合的比的關係，產生一個內涵量的量數。例如，水的密度是由水的重量及水的體積之比所決定。例如3公升的水重3公斤，請問多少公升的水重8公斤？這樣的關係可類推至其它內涵量如速率（距離與時間的比）等。 4. 交換問題：兩個物件因某種約定，使其具有相同的價值，例如以物易物情境中，3枝鉛筆可以換2塊橡皮擦，鉛筆與橡皮擦的等價是因某種約定，又如買賣的情境中，3個水煎包賣20元，水煎包與價格的等價亦是相同的道理。 5. 放大與縮小：問題情境中的兩個量數有固定的比值，如果將其中的一個量數增加，另一個量數亦跟著增加；反之若一個縮小，則另一個也跟著縮小。例如：樹的高度與影子的關係，樹高10公尺，影子長6公尺，若樹高15公尺，影子長為多少公尺？為了有效進行「縮圖、放大圖與比例尺」單元之診斷測驗，須深入了解學生解比例問題的策略（黃寶彰，2003；傅宗聖，2007）： 1. 乘法策略（1）倍數法：所謂倍數法即第一個比率式中分子與分母之間具有倍數關係，再將此倍數擴充到第二個比率式裡。例如「3顆糖果賣5元，9 顆糖可賣多少錢？」中，先以9÷3＝3，算出9顆糖果是3顆糖果的3 倍，而5元的3倍是15元，因而算出9顆糖果賣15元。（2）單價法：這是將比值單位化的作法，先計算出一個單位的量，然後再計算總額。例如「3顆糖果賣6元，5顆糖可賣多少錢？」中，先以6÷3＝2，算出一顆糖果要2元，再計算2×5＝10，求出5顆糖果要 10元。

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（3）數量分解法（decomposing method）：所謂數量分解法是指將問題量數在計算過程中分解為兩個以上的量數再予以組合的解題策略。Vergnaud(1983)的研究中，學生解「放熱器運轉32小時消耗8 公升的汽油，那麼運轉104小時會消耗多少公升的汽油？」之策略如下所述：學生解法 32×3＝96＋8＝104 ; 86＝24＋8/4＝26 Vergnaud （1983）的分析 104＝（3×32）＋（1/4×32） X＝（3×8）＋（1/4×8）＝24＋2＝26 上述學生的策略是將104分解為96和8這兩數字，再計算出答案。（4）公式法：常用的乘法策略，也就是十字交乘法。在「a：b＝X：c」的比例問題情境中，學童運用公式a×c＝b×X，求得X＝a×c÷b，公式法雖可提昇解題的效率，但對於國小學生過於抽象，易使學生形成公式化的記憶，忽略對本身問題的理解。 2. 加法策略以加、減代替乘、除求解比和比例問題的一種解題方法。在「a：b＝ X：c」的比例問題情境中，學童直接將a：b進行累加，形成na：nb，進而推算出X的解題方式。例如「玩具二個賣十元，六個賣多少錢呢？」，學生從玩具二個賣十元開始推算，玩具四個賣二十元，玩具六個賣三十元，這是一種擴充式的推理，但有其實際運用上的限制。對於比例問題有許多學生會以累加的方法來解題，當題目的數字較小時，應用加法常可順利解題，但是當數字較大時，要完成解題將是困難且不經濟的。學生解比例問題時最常出現的錯誤解法是加法策略，在比例的問題情

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境中，學生使用累加法來解題的三個可能原因（Hart,1981）：第一個原因為學生不熟悉乘法運算，逃避乘法；第二個可能的原因為學生不會求比值；第三個原因則為學生在分數的計算上比較薄弱，不熟悉分數的乘法。如果題目較容易或是數字較小，學生使用累加法可以解題，但當問題中的數字為非整數倍，就只有極少數人能用累加法成功解題。 (二) 比例尺比例尺是一種抽象的內涵量概念，它並非像量長度的直尺，可以拿來直接測量實物的長短，學生需先了解縮圖或放大圖與原圖邊長的倍率關係，才能理解的一種「表示原物與縮圖（或放大圖）之倍率關係」概念。因此先讓學童理解縮小或放大圖倍率關係後，再介紹比例尺概念及應用。劉好（1997）指出比例尺可以說是比和比值的應用，是表示縮圖或放大圖上的長度與實際長度的比值。比例尺的求法一般採計算縮圖或放大圖與原圖的對應邊長之比，常以1和其縮小或放大的倍率的比、比值或線段圖表示。例如在一張比例尺為1：1000的地圖，以比的觀點，表示地圖上的1個單位長線段代表實際上的1000個單位長，如果單位是公分，則地圖上的1公分表示實際長為1000公分；以比值的觀點，表示地圖上的1是實際距離的 1000 1 。比例尺除了有比和比值的形式外，還有圖示法，如圖2-3-1 所示，每條線段長為1公分，表示地圖上的1公分代表實際距離為40公尺。圖 2-3-1 比例尺圖示法 1. 2. 0 40 80 120m 0 40 80 120m

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(三) 角度在幾何的學習中，「角」也佔了很重要的地位，黃金泉（2002）指出學生對角的認識，通常來自於「非正式的生活經驗」與「正式的學科學習知識」二方面，「非正式的生活經驗」包括角落、桌角、牆角、路口的彎角、以及感覺門把旋轉或開門時張開的程度等經驗；「正式的學科學習知識」包括由角的幾何圖形所形成的兩邊線之間的張開度、圖形角，以及一直線繞一個點的旋轉量等的意義。實際生活中與數學上對於角的意義有多種解釋，角的大小是一種二維特徵，和長度的一維特性有較大的差異，一般人常不易釐清，而學生隨著認知發展程度的不同，對各種角的概念有不同的理解時機（黃榆婷， 2007）。角是共同端點的兩射線所成的角，但射線的概念小學生不易難理解，因此大多數小學的課本第一次介紹角時會以邊和頂點來定義角，即角是一個頂點和兩個邊所組成的，如圖2-3-2。圖 2-3-2 角的構成要素學習數學名詞時，一定要瞭解名詞的定義，而概念形成的多寡與建構的強弱，都會影響學習的效果。教師引導學生認識角時，要特別強調角是角的兩邊所夾的區域，輔導學生時可以搭配圖形講解，以同一個角的兩邊向外延伸或向內縮小，均代表同一個角，這樣學生就比較不會對角有錯誤的概念（黃金泉，2002）。以下先就角概念加以闡釋，再說明兒童的學習發展特徵及指導原則邊邊角頂點