第二章 文獻探討
第二節 貝氏網路之相關研究
一、 貝氏網路簡介
科學方法要求嚴密性，為避免引用極端資料可能會扭曲研究結果，因 此，古典推論模式並不允許將先前知識引入計算中，然而在許多情況下，
善用先前知識或專家意見並結合可觀察的資訊是有助於推論的，此種推論 模式稱為貝氏推論，以貝氏推論為基礎的圖形模式即為貝氏網路（施淑 娟，2006）。
貝氏網路（Bayesian Networks）是一種利用圖形來展現的模式，結合 機率理論與圖形理論，以條件機率為基礎所建構出的非循環有向圖
（Directed Acycle Graph，DAG），能對不確定的事物加以描述與推論的工 具(Pearl, 1988），可將教育測驗領域中不確定性，應用其變數之間的因果 關係，與其相互影響的機率，是一種非常強大的知識表現方法和推論工具
（施淑娟，2006；楊智為，2007），所以貝氏網路亦稱為機率網路
（probabilistic networks）、因果關係網路（casualnetworks）、信念網路
（Bayesian belief networks）或者為知識地圖（knowledge map）（戴榮輝，
2008）。
如圖2-2-1是一個含有兩個節點（node）以及一條連線（link）的貝氏 網路，每個節點都表示一個事件（event），連線（link）表示兩個事件之 間的交互關係，當變數A確定有影響變數B的因果關係時，從A到B產生一 個相依的連結邊，此時，節點A稱為節點B的父節點（parent），而節點B 稱為節點A的子節點（child），因此可將學生的數學概念、迷思概念及試 題連結在一起，達成診斷迷思概念的目的。
圖 2-2-1 貝氏網路非循環有向圖 是由十八世紀數學家與神學家Thomas Bayes 於1763年所提出，其數學式表 示如下：
節點間之獨立或條件獨立關係。
p
(x
|z
)、p
(x)和p
(z)可以由研究中訓練的) (
) , , , ) (
| , ,
(
p D
D C B A D p
C B A
p
圖 2-2-2 多節點的貝氏網路
基於貝氏定理與圖形理論的概念，可清楚了解變項間的依賴以及條件 獨立關係，因此，如果已知結構圖中某觀測節點，可以依貝氏定理推論，
求出其他觀測節點發生的條件機率（劉景銘，2007）。
總結以上的觀念，本研究要以貝氏網路來做推論，必須取得研究樣本，
先將蒐集到的學生作答資料分成訓練資料和測試資料，根據資料及專家專 業知識的分析，用訓練資料建立一個完整的貝氏網路結構模型，模型建立 之後以作為將來推論運算所需，再依據新資料來進行推論，以測試資料當 作學生作答的證據，推論學生所具有的數學概念和產生的迷思概念。
二、 建立貝氏網路模型的步驟
楊智為（2007）指出研究的相關分析若要以貝氏網路來做推論，必須 先取得研究資料樣本後，研究者先根據資料及學科專業知識，予以將研究 樣本資料做分析，爾後建立一個完整的貝氏網路結構模型，接著再根據資 料來進行推論。而建立模型的過程可以分成三個步驟，如圖2-2-3所示：
D
B C
A
圖 2-2-3 建立貝氏網路模型的流程(楊智為，2007)
（一）根據研究資料，建立貝氏網路節點
研究者先設定所欲研究的主題與範圍，透過相關的文獻探討以及專家 學者的專業知識分析，根據專家知識結構編製原則（如表2-2-1），編製「縮 圖、放大圖與比例尺」單元的專家知識結構，如圖2-2-4所示，每一個方框 皆是一個數學概念，而有箭號連接表示有階層關係，箭頭所連接的為上位 概念，箭尾連接的為下位概念，如數學概念A為數學概念B與C的上位概 念，反之數學概念B與C為數學概念A的下位概念，以此方式建立了專家知 識結構。
表 2-2-1 專家知識結構編製原則（吳慧珉，2006）
知識結構編製原則 1 每一節點為單一概念，每一節點都可出題。
2 下位概念是上層概念的先備知識，受試者若通過上位節點的試題，則推
論受試者了解其所有下位節點的概念。
3 難度的排列為由下到上，由左到右，同層節點難度可能不一樣。
4 注意數字大小之影響，例如選項中有一數與其他數值差異很大，選項的
誘答力會降低。
5 注意非文字題及文字題之不同。
6 當無法明確界定節點間次序性時，宜定義為無次序性。
圖 2-2-4 專家知識結構階層圖
（三）評估後驗機率的正確性
表2-2-2（續）
表2-2-2（續）
第三節 縮圖、放大圖與比例尺相關內容分析
九年一貫課程綱要（教育部，2008）指出幾何不但是數學教育中的重 要課題，而且也是較易學習、較有趣的教學單元。幾何為典型的視覺影像 處理，例如直線、圖形的邊緣、平行與垂直、對稱、全等操作、放大縮小、
圖形識別等，國小階段幾何形體的理解包含察覺、操作、構造等諸面向。
小學教師在從事幾何教學時，必須避免自己歐氏幾何訓練的干擾，避免處 處受制於定義的認定與邏輯順序。歐氏幾何的價值，首先是對這些先民知 識的歸類與整理，其次才是作為知識典範的演繹系統。因此小學的幾何教 學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，儘量讓學童發 揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢 慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，
打下良好的基礎。
本研究選定幾何領域中「縮圖、放大圖與比例尺」單元進行測驗編製，
以診斷學生數學概念與迷思概念的表現情形，以下將對此單元的相關數學 概念逐一說明。
一、縮圖與放大圖
劉好（1997）指出放大圖與縮小圖通常以邊長的比值來描述其放大或 縮小的倍率，例如N表示一個正實數，甲表示一個圖形，如果甲圖形上任 意兩點的距離均放大或縮小為原來的N倍，所成的圖形稱為乙圖，如果N
＞1則稱乙圖為甲圖的N倍放大圖，反之若N＜1則稱乙圖為甲圖的縮小圖。
放大圖與縮小圖是相對的概念，學生應確實理解幾何圖形在縮放前後的變 化性質，例如直線變到直線、對應邊線段長成比例、對應角角度不變。
吳宜靜（2005）指出兩個幾何圖形若有相同的形狀，並且具備對應角 相等、對應邊成比例的特質，則稱為相似圖。我們可以從將圖形以一致均