第四章 研究結果
第三節 二階段電腦化診斷測驗之測驗表現
本研究是以二階段試題與貝氏網路為基礎的二階段電腦化診斷測驗，
能利用貝氏網路推論學生迷思概念以及數學概念的有無，研究者將接受二 階段電腦化診斷測驗的學生，診斷出的數學概念整理為表4-3-1。
表 4-3-1 二階段電腦化診斷測驗數學概念統計表
數學概念 次數 百分比％ 數學概念 次數 百分比％
C1 288 88.62 C12 116 35.69 C2 88 27.08 C13 100 30.77 C3 214 65.85 C14 165 50.77 C4 320 98.46 C15 287 88.31 C5 264 81.23 C16 286 88.00 C6 146 44.92 C17 320 98.46 C7 91 28.00 C18 240 73.85 C8 56 17.23 C19 105 32.31 C9 181 55.69 C20 27 8.31 C10 323 99.38 C21 5 1.54 C11 228 70.15
C1數學概念為「觀察圖形邊長的變化，長和寬等比例放大後的圖形為 放大圖」，即C1能辨識出放大圖，而C2數學概念為「觀察圖形邊長的變化，
長和寬等比例縮小後的圖形為縮小圖」，即C2為能辨識出縮小圖，從表4-3-1
的百分比數據，顯示辨識出縮小圖比放大圖明顯對學生困難許多。C3為「能 知道長和寬都同樣放大為原圖的若干倍的圖，叫做原圖的若干倍放大 圖」，即C3為能辨識出若干倍的放大圖，而C9為「能知道當長和寬都縮小 為原圖的若干分之一的圖，叫做原圖的若干分之一倍縮圖」，即C9為能辨 識出若干倍的縮小圖，從表4-3-1的百分比數據，同樣也是在辨識放大圖的 試題學生作答表現較佳。
有高達98.46％以上的學生具備C4和C10的數學概念，此兩個數學概念 分別是能在放大圖、縮小圖找出和原圖間的對應點，為了增加試題難度，
有關C4與C10數學概念的試題，研究者都會將縮小與放大圖兩者的圖形方 位旋轉改變，顯示在相似圖形中雖然圖形大小改變或是圖形方位改變，學 生仍可以正確找出兩圖形的對應點。
數學概念C5為「放大圖與原圖的對應角相等」，數學概念C14為「縮 小圖與原圖的對應角相等」，雖有81.23％的學生具有數學概念C5，但卻只 有50.77％的學生具有數學概念C14，且由表4-3-1中的統計數據得知，找出 兩圖形間的對應點學生表現較好，而角度不會更改的概念學生就表現稍 弱，會誤認圖形的角度會隨圖形放大或縮小而改變，即學者（鍾登宏，
2004；吳宜靜，2005）文獻內容指出學生有圖形放大或縮小，角度放大或 縮小之迷思，且縮小圖對應角角度不變表現更不佳。
44.92%的學生具有數學概念C6「找出原圖與放大圖的對應邊長之比 例」，70.15%的學生具有數學概念C11「找出原圖與縮小圖的對應邊長之 比例」，則是找出縮小圖的對應邊長比例表現較佳。
更高層次的數學概念C7與C12，有這兩個數學概念的學生又降低了，
28.00%的學生具有C7的數學概念，35.69%的學生具有C12的數學概念，C7 數學概念為「能求出放大圖的面積」，C12為「能求出縮小圖的面積」，
顯示計算縮圖與放大圖面積的試題學生較不易挑戰成功。
C8數學概念為「長和寬同時放大N倍，面積會變成原來的N2倍」，C8 為C7的上位節點，由表4-3-1統計數據得知具備C7數學概念的學生較多，
求出「放大圖面積」比求出「放大面積的倍數」簡單。而C13數學概念為
「長和寬同時縮小1/N倍，面積會變成原來的1/N2倍」，C12為「能求出縮 小圖的面積」，對於學生也是求出「縮小圖面積」比求出「縮小面積的倍 數」簡單。此外，研究者發現計算放大圖面積的倍數，在二階段電腦化診 斷測驗的試題如表4-3-2所示，49.85％答對的學生中，30.86％的學生選擇 想法1，即由邊長倍數算出面積倍數；而62.96％的學生會選擇想法2，即先 分別算出原圖與放大圖的面積，爾後使用除法算出放大的倍數，顯示對於 數學概念「長和寬同時放大N倍，面積會變成原來的N2倍」，學生較難融 會貫通，且分別計算出原圖與縮放圖的面積，多步驟的計算方式學生容易 會計算錯誤而影響作答。
表 4-3-2 二階段電腦化診斷測驗試題
（ ）下圖中，B 圖是 A 圖的放大圖，已知 A 圖面積是 6 平方公分，
則 B 圖面積是 A 圖面積的幾倍？
2 4 12 24 選
項 4 我的
想法
1.□ 4÷2=2， 2×2＝4 倍
2.□ A 的長 6÷2=3， B 的長 3×2=6， B 面積 6×4=24，
所以 24÷6=4 倍。
數學概念C15為「能用比的形式表示比例尺」，C16為「能用比值的形 式表示比例尺」，C17為「能用圖示法的形式表示比例尺」，高達88.00%
的學生具備此三個數學概念，顯示學生在比例尺的表示方式上較無困難。
73.85%的學生有C18「能根據比例尺算出縮圖的長度」的數學概念，
32.31%的學生有C19「能根據比例尺算出縮圖的面積」的數學概念，C19 為C18的上位節點，由表4-3-1得知由比例尺運算出「長度」的題型與演算 出「面積」的題型，前者學生較易發揮，顯示學生較不易具備有關推算出 面積的數學概念。
由表4-3-1得知C20與C21對學生而言較困難，此兩個數學概念在專家知 識結構為上位的數學概念，8.31%的學生有C20「能根據比例尺算出實際的 長度」的數學概念， 1.54%的學生有C21為「能根據比例尺算出實際的面 積」的數學概念，同樣顯示出由比例尺運算出「長度」的題型與演算出「面 積」的題型，前者學生表現較佳。
研究者將學生的測驗成績由高而低依序排列，將總分前33.33％列為高 分組，總分最低的後33.33％列為低分組，而其餘學生則列為中分組。高分 組、中分組與低分組學生具備的數學概念，研究者將之整理為表4-3-3。
表 4-3-3 二階段電腦化診斷測驗高分組、中分組與低分組之數學概念
高分組 中分組 低分組
數學概念
次數 百分比％ 次數 百分比％ 次數 百分比％
C1 107 100.00 102 91.89 79 73.83
C2 65 60.75 21 18.92 2 1.87
C3 92 85.98 79 71.17 43 40.19 C4 107 100.00 110 99.10 103 92.26 C5 105 98.13 103 92.79 56 52.34 C6 75 70.09 55 49.55 16 14.95
C7 68 63.55 19 17.12 4 3.74
C8 44 41.12 11 9.91 1 0.93
C9 85 79.44 63 56.76 33 30.84 C10 107 100.00 111 100.00 105 98.13 C11 104 97.20 82 73.87 42 39.25
C12 78 72.90 34 30.63 4 3.74
C13 53 49.53 25 22.52 22 20.56 C14 74 69.16 63 56.76 28 26.17
表4-3-3（續）
高分組 中分組 低分組
數學概念
次數 百分比％ 次數 百分比％ 次數 百分比％
C15 105 98.13 93 83.78 89 83.18 C16 105 98.13 93 83.78 88 82.24 C17 107 100.00 111 100.00 102 95.33 C18 107 100.00 94 84.68 39 36.45
C19 75 70.09 29 26.13 1 0.93
C20 27 25.23 0 0.00 0 0.00
C21 5 4.67 0 0.00 0 0.00
C4與C10的數學概念分別為找出放大圖、縮小圖和原圖的對應點，而 C17為測驗比例尺的圖示法。在4-3-3統計表中，數學概念C4、C10與C17，
在低分組、中分組與高分組三組別的學生中，每組高達92.26％具備此三個 數學概念，高分組與中分組通過率更達99.10％以上。
數學概念C7為「能求出放大圖的面積」，而高分組在數學概念C7有 63.55%具有此數學概念，而C8「長和寬同時放大N倍，面積會變成原來的 N2倍」，高分組只有41.12％具備數學概念C8，17.12%以下的中低分組學 生具有此數學概念，顯示算出放大圖面積比算出放大面積的倍數學生表現 較佳。
C12為「能求出縮圖的面積」，C12的上位節點C13為「長和寬同時縮 小1/N倍，面積會變成原來的1/N2倍」，由表4-3-3可知，也顯示算出縮小圖 面積比算出縮小圖面積的倍數學生表現較佳。
小結：
(一) 縮圖與放大圖是相似圖形的概念，學生須瞭解相似圖形對應邊長成比 例，且對應角角度相等。找出相似圖形的對應點與對應邊長成比例的 概念上，學生表現佳，但是角度不會更改的概念學生表現稍弱，且縮
小圖對應角角度不變表現更不佳。
(二) 無論是計算縮小圖或是放大圖的面積，有關面積的試題學生均不容易 挑戰成功，且計算出縮圖（或放大圖）面積的倍數，對學生而言更加 困難。
(三) 比例尺有比、比值與圖示法的表示方式，多數學生具備了三種表示方 式的數學概念。
(四) 根據比例尺請學生算出縮圖的長度與縮圖的面積，後者面積的題型學 生不容易挑戰成功。
(五) 根據比例尺請學生算出放大圖的長度與放大圖的面積，很少學生具備 此兩個數學概念，且後者面積的題型更加困難。
二、迷思概念
研究者將接受二階段電腦化診斷測驗的學生，所具備的迷思概念整理 為表4-3-4。
表 4-3-4 二階段電腦化診斷測驗迷思概念統計表
迷思概念 次數 百分比％ 迷思概念 次數 百分比％
M1 12 3.96 M12 268 82.46 M2 128 39.38 M13 32 9.85 M3 167 51.38 M14 194 59.69 M4 1 0.31 M15 240 73.85 M5 2 0.62 M16 1 0.31 M6 8 2.46 M17 86 24.46 M7 8 2.46 M18 8 2.46 M8 4 1.23 M19 1 0.31 M9 72 22.15 M20 12 3.69 M10 15 4.62 M21 65 20.00 M11 235 72.31 M22 65 20.00
由表4-3-4得知，M11、M12、M14和M15的迷思概念次數偏高，M11
為「誤解放大圖面積的計算方法」、M12為「誤解面積放大倍數的計算方
M1為「不了解放大圖為原圖之長和寬等比例放大」，M2為「不了解
迷思概念M8為「誤解放大圖角度大小會跟著放大」，1.23％的學生具 有M8此迷思概念，而迷思概念M9為「誤解縮小圖角度大小會跟著縮小」，
22.15％的學生具有M9此迷思概念，顯示在相似圖形中對應角角度不變，
學生在縮小圖較易犯下角度會隨著縮小的迷思概念。
邊長改變是一維的變化概念，面積的改變是二維的變化概念（劉好，
1997；曾千純，2003；吳宜靜，2005)。M21迷思概念為「誤認面積比是縮 放倍數比」，有20.00％的學生有此迷思概念，誤認為圖形的面積比與縮放 比是相同的，顯示學生不了解邊長是一維的變化，面積是二維的變化。
有24.46％的受試學生有M17「長度、面積的單位引用、換算錯誤」的 迷思概念，國小長度單位教學以公分和公尺為主，但公尺和公分間的關 係，以及長度與面積間的關係，學生會有混淆不清的情形。迷思概念M22 為「因為不知道怎麼辦，所以隨便選一個」，20.00％的受試學生有此迷思 概念，顯示學生對數學概念不清時仍會採取碰運氣猜測的方式，因而影響 學習的情形。
研究者將接受二階段電腦化診斷測驗的學生測驗成績由高而低依序 排列，將總分前33.33％列為高分組，總分最低的後33.33％列為低分組，
而其餘學生則列為中分組。高分組、中分組與低分組學生表現出的迷思概 念，研究者將之整理為表4-3-7。
表 4-3-7 二階段電腦化診斷測驗高分組、中分組與低分組之迷思概念
高分組 中分組 低分組
迷思概念
次數 百分比％ 次數 百分比％ 次數 百分比％
M1 0 0.00 6 5.41 6 5.61
M2 14 13.08 47 42.34 67 62.62 M3 32 29.90 55 49.55 80 74.77
M4 0 0.00 0 0.00 1 0.93
M5 0 0.00 1 0.90 1 0.93
M6 0 0.00 2 1.80 6 5.61
表4-3-7（續）
高分組 中分組 低分組
迷思概念
次數 百分比％ 次數 百分比％ 次數 百分比％
M7 0 0.00 0 0.00 8 7.48
M8 0 0.00 0 0.00 4 3.74
M9 16 14.95 26 23.42 30 28.03
M10 2 1.87 4 3.60 9 8.41
M11 39 36.45 92 82.88 104 97.20 M12 63 58.88 100 90.09 105 98.13
M13 1 0.93 9 8.11 22 20.56
M14 26 23.30 66 59.46 102 95.33 M15 66 61.68 88 79.28 86 80.37
M16 0 0.00 0 0.00 1 0.93
M17 0 0.00 20 18.02 66 61.68
M18 0 0.00 4 3.60 4 3.74
M19 0 0.00 0 0.00 1 0.93
M20 0 0.00 1 0.90 11 10.28
M21 14 13.08 18 16.22 33 30.84
M22 1 0.93 6 5.41 58 54.21
迷思概念M11為「誤解放大圖面積的計算方法」，M12為「誤解面積 放大倍數的計算方法」，M14為「誤解縮小圖面積的計算方法」，M15為
「誤解面積縮小倍數的計算方法」，有此四個迷思概念的學生無論是高分 組、中分組或是低分組的人數都較多，且這四個迷思概念均關於計算面積 的錯誤概念，顯示學生在學習「縮圖、放大圖與比例尺」單元，無論是放 大圖面積還是縮小圖面積，此題型對於學生較難理解。
迷思概念M17為「長度、面積的單位引用、換算錯誤」，有此迷思概 念高分組學生為0.00％、中分組18.02％、低分組為61.68％，顯示中分組與 低分組學生在長度單位公分與公尺，以及面積單位平方公分與平方公尺的
迷思概念M17為「長度、面積的單位引用、換算錯誤」，有此迷思概 念高分組學生為0.00％、中分組18.02％、低分組為61.68％，顯示中分組與 低分組學生在長度單位公分與公尺，以及面積單位平方公分與平方公尺的