5-2-1平面上的坐標變換-平移

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(1)5-2-1 平面上的坐標變換-平移【問題】使用時機: 1. 在平面上建立直角坐標系，可以不只有一個坐標系，不同的坐標系其原點可以不同，單位長亦可不同，為了討論方便，我們討論相同單位長的情形。若以 O 為原點的坐標系稱為坐標系 S ，它的兩軸為 x 軸與 y 軸；而以 O' 為原點的坐標系稱為坐標系 S ' ，它的兩軸為 x' 軸與 y' 軸。我們一般以. A( x1 , y1 ) S , B( x2 , y 2 ) S 及 A( x1 ' , y1 ' ) S ' , B( x2 ' , y 2 ' ) S ' 表示，以避免混淆。 2.. 3.. 當一個圖形經過平移之後可與另外一個圖形重疊時,我們嘗試著將原本比較複雜的方程式經過平移的過程變成比較簡單的方程式，這就是我們平移的用意，此時這兩個方程式的許多性質必會相同，圖形的特性更能掌握。要注意的是我們平移的方法有兩種，一種就是平移圖形(移圖)使得互相重. 疊，另一種就是平移坐標軸(移軸)使得方程式變的更為簡單。 4. 圖形左移一單位與坐標軸右移一單位之意義相同，圖形上移一單位與坐標軸下移一單位相同。 5. 平移是要找出一個更好的觀測圖形的點，一般是使中心點、對稱點在原點產生或頂點在原點產生的圖形比較容易掌握其性質及其方程式較為簡單，所以對於二次函數圖形而言，平移的目的就是要消去一次項或簡化一次項。【例題】方程式 Γ : y = x 3 的圖形如下及方程式 Γ': y = x 3 − 3 x 2 + 3x − 1 = ( x − 1) 3 的圖形如下左方圖形及右方圖形。. 2. -4. -2. 2. 4. -2. -4. 此兩圖形的大小相同，若將 Γ 右移一個單位可與 Γ' 重合另一種說法,即將坐標系 ( x, y ) 向右平移一個單位到 (1,0) 得 ( x' , y ' ) 則 Γ' 對新坐標系而言的方程式就是 y ' = x'3 ，此處， x' = x − 1, y ' = y 故平移可以在更好的觀點看圖形，使得方程式簡化。.

(2) 【方法】坐標軸平移(移軸)： → →. → →. 坐標系 S ≡ (O; i , j ) ， O = (0,0) 平移至新坐標系 S ' ≡ (O' ; i , j ) ， O' = (h, k ) ，因 OP = OO' + O' P 以坐標表示即 ( x, y ) = (h, k ) + ( x' , y ' ) = ( x'+ h, y '+ k ). ⎧ x = x'+ h ⎧ x' = x − h 或表成 ⎨ 則 P 的原坐標 ( x, y ) S 與新坐標 ( x' , y ' ) S ' 的關係式為 ⎨ ⎩ y = y '+ k ⎩ y' = y − k. 說明： 1. (原坐標)+(原原點)=(新坐標)+(新原點) 2. 移軸後只改變原點的位置，因此相對的方程式表現出來的就不一樣了 3. 若原先的方程式為 f ( x, y ) = 0 ，則新的方程式變為 f ( x'+ h, y '+ k ) = 0 4. 同理若新的方程式為 f ( x' , y ' ) = 0 ，則原先的方程式為 f ( x − h, y − k ) = 0. ⎧ x = x'+2 例如：方程式 Γ : x 2 + y 2 − 4 x − 2 y = 0 及 Γ': x'2 + y '2 = 5 的關係式為 ⎨ ⎩ y = y '+1 【問題】 1. 若是移動圖形則方程式是如何變化的呢? 解答：若原先的方程式為 f ( x, y ) = 0 ，則新的方程式變為 f ( x − h, y − k ) = 0 2.. → →. → →. 坐標系 S ≡ (O; i , j ) ， O = (0,0) 平移至新坐標系 S ' ≡ (O' ; i , j ) ， O' = (h, k ) ，則 (1)直線 L : ax + by + c = 0 的斜率是否改變？ (2)圓 C : ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = 0 的半徑是否改變？ (3)拋物線 Γ : ( y − k ) 2 = 4c( x − h) 的開口大小是否改變？. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 的長短軸是否改變？ a2 b2 x'2 y '2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + = 1 平移 (h, k ) 得到 2 + 2 = 1 ，試討論其相關性 3. 將橢圓 a2 b2 a b 質。 (4)橢圓 Γ :.

(3) 【性質】對於二元二次方程式，試比較移軸前的原方程式與移軸後的新方程式，試問那些項的係數不會改變？哪些是不變量？( x 2 , xy, y 2 等的係數，兩點距離) 解答：設原方程式 Γ : f ( x, y ) = ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0. ⎧ x = x'+ h 代入以⎨ ⎩ y = y '+ k 得 Γ : a( x'+ h) 2 + b( x'+ h)( y '+ k ) + c( y '+ k ) 2 + d ( x'+ h) + e( y '+ k ) + f = 0 新方程式 Γ': a ' x' 2 +b' x' y '+c' y '2 + d ' x'+e' y '+ f ' = 0 其中. a' = a b' = b c' = c d ' = 2ah + bk + d e' = bh + 2ck + e f ' = ah 2 + bhk + ck 2 + dh + ek + f = f (h, k ) ⎧d ' = 0 希望取新方程式的一次式為零，即 ⎨ ⎩e' = 0 當. 2a b = −(b 2 − 4ac) ≠ 0 時( b 2 − 4ac < 0 為橢圓類， b 2 − 4ac > 0 為雙曲線類) b 2c. ⎧2ah + bk + d = 0 有唯一解 O' = (h, k ) 方程組 ⎨ ⎩bh + 2ck + e = 0 得新方程式 Γ': ax'2 +bx' y '+cy'2 + f ' = 0 也就是此時移軸到 O' = (h, k ) ，以此當新的原點如此就會把一次項去掉，方程式會變的比較簡單即二元二次方程式經過移軸後，仍然是二元二次方程式，且二次項係數不變另有下列幾項不變量： 1. a'+c' = a + c 。.

(4) 2.. b'2 −4a' c' = b 2 − 4ac 。. 3.. b'2 +(a'−c' ) 2 = b 2 + (a − c) 2 。. 4. 5. 6.. 兩點距離。內積(也就是說角度)。三角形面積。.

(5) 【性質】 1.. ⎧ x = x'+ h 可以把 ⎨ 想成為原原點加上原坐標等於新原點加上新坐標。 ⎩ y = y '+ k. 2.. O' = (h, k ) 亦可以由 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 ，對 x 及 y 作偏微分求得，即兩偏微方向都是極值的位置。. 3.. 求出的 O' = (h, k ) 就是這個有心錐線 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 的中心。. 4.. 若 Γ : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 為無心錐線，則方程組求不出 O' = (h, k ) , 若作適當的平移，至多只能消去 x 或 y 項，此時平移的 O' = (h, k ) 可取成拋物. 5.. 線的頂點，以適度的將方程式簡化。直線 L : ax + by + c = 0 經過移軸後的方程式斜率不變。. 6.. 圓 C : x 2 + y 2 + dx + ey + f = 0 經過移軸後的方程式半徑不變。.

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