2-1-2指數與對數-指數函數及其圖形

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(1)第二冊 1-2 指數與對數-指數函數及其圖形 【定義】 指數方程式 【定義】 指數函數 設 a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ,稱函數 f ( x) = a x 為以 a 為底數的指數函數。 【性質】 1. 對於任意實數 x , f ( x) = a x > 0 恆成立。 2. 對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 f ( x1 + x 2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) 3. f ( x) = a x , a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ,對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 當 a > 1 時, x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) (嚴格遞增) 當 0 < a < 1 時, x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) (嚴格遞減) 【問題】 1. 試用描點法畫出 y = 2 x 的圖形。 2. 試用描點法畫出 y = 3 x 的圖形。 1 3. 試用描點法畫出 y = ( ) x 的圖形。 2 1 x 4. 試用描點法畫出 y = ( ) 的圖形。 3 【問題】 1. 試畫出 y = 2 x 的圖形。 2. 試畫出 y = 2 − x 的圖形。 3. 試畫出 y = −2 x 的圖形。 4. 試畫出 y = −2 − x 的圖形。 5. 試畫出 y = 2 x + 1 的圖形。 6. 試畫出 y = 2 x +1 的圖形。 7. 試畫出 y = 2 | x| 的圖形。 8. 試畫出 y = 2 −| x| 的圖形。 9. 試畫出 y = −2 | x| 的圖形。 10.試畫出 y = −2 −| x| 的圖形。 2 x + 2−x 的圖形。 2 2x − 2−x 的圖形。 12.試畫出 y = 2 【性質】 指數函數 y = a x , a > 0, a ≠ 1 之圖形的特性: 1. 圖形恆在 x 軸的上方,即 a x > 0 對任意實數 x 恆成立 2. y = a x 之圖形恆過點 (0,1) 3. y = a x 的圖形是連續的(沒有斷點) 4. 平行於 x 軸且在 x 軸上方的每一條直線都恰與 y = a x 圖形交於一點(一對一函 11.試畫出 y =. 4.

(2) 5. 6. 7. 8.. 數) 當 a > 1 時,圖形由左往右逐漸上升,愈向右邊( x → ∞ )上升得愈快,愈向左 邊( x → −∞ )圖形愈接近 x 軸,稱 x 軸是 y = a x 圖形的漸近線 當 0 < a < 1 時,圖形由左往右逐漸下降,愈向右邊( x → −∞ )下降得愈慢,愈 向右邊( x → ∞ )圖形愈接近 x 軸,稱 x 軸是 y = a x 圖形的漸近線 1 y = a x 與 y = ( ) x 的圖形對稱於 y 軸 a 圖形凹向上 指數函數圖形的凹凸性涵意:(凹口向上) 對於任意的正數 a ,實數 x1 , x2 而言下列的不等式成立: x +x. 1 2 a x1 + a x2 ≥ a 2 ,且等號成立的充要條件為 x1 = x2 2 【定義】 生長函數: 形如 f ( x) = ca x , a > 0, c > 0 的函數稱為生長函數,其中 a 是生長因子,c 是 f (x ) 在 x = 0 的初始值。當 0 < a < 1 時,生長因子 a 的意義是衰變(蛻變)因子 【定義】 嚴格遞增函數: 若函數 y = f (x ) 的圖形,由左往右逐漸上升 即滿足對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) 嚴格遞減函數: 若函數 y = f (x ) 的圖形,由左往右逐漸下降 即滿足對於任意實數 x1 , x2 ,恆有 x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) 一對一函數: 若函數 y = f (x ) 的定義域內任意兩個相異元素 x1 , x2 ,它們所對應的函數值 f ( x1 ), f ( x2 ) 也相異,就稱 y = f (x ) 為一對一函數 【問題】 下列何種定義表示函數 y = f (x ) 是一對一函數? 1. 若 x1 ≠ x2 ,則 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) 2. 若 f ( x1 ) = f ( x2 ) ,則 x1 = x2 3. 任一水平線與圖形至多交一點 4. 不同的 x 對不同的 y 5. 若 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ,則 x1 ≠ x2 6. 若 x1 = x2 ,則 f ( x1 ) = f ( x2 ) 7. 任一鉛垂線與圖形至多交一點 8. 不同的 y 對不同的 x. 5.

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