《图形的相似》全章复习与巩固--知识讲解(提高)
【学习目标】 1、了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段; 2、掌握黄金分割的定义、性质及应用; 3、理解相似三角形、相似多边形、相似比的概念;熟练掌握三角形相似的判定方法以及相似三角形的性 质,并能够运用性质与判定解决有关问题; 4、了解位似的概念,做的位似是特殊的相似变换,会利用位似的方法,讲一个图形放大或缩小; 5、了解平行投影和中心投影的基本概念与性质,能综合运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、比例线段及黄金分割 1.比例线段:对于四条线段 a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如 a:b=c:d,我 们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段. 要点诠释: (1)若 a:b=c:d ,则 ad=bc;(d 也叫第四比例项) (2)若 a:b=b:c ,则 b2=ac(b 称为 a、c 的比例中项).2.黄金分割的定义:如图,将一条线段 AB 分割成大小两条线段 AP、PB,若小段与大段的长度之比等于 大段的长度与全长之比,即
AB
AP
AP
PB
(此时线段 AP 叫作线段 PB、AB 的比例中项),则 P 点就是线段 AB的黄金分割点(黄金点),这种分割就叫黄金分割.3. 黄金矩形与黄金三角形: 黄金矩形:若矩形的两条邻边长度的比值约为 0.618,这种矩形称为黄金矩形. 黄金三角形:顶角为 36°的等腰三角形,它的底角为 72°,恰好是顶角的 2 倍,人们称这种三角形为黄金 三角形. 黄金三角形性质:底角平分线将其腰黄金分割. 要点二、相似图形 1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释: (1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两个图形全等. 2.相似多边形 各角分别相等,各边成比例的两个多边形,它们的形状相同,称为相似多边形. 要点诠释: (1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质. (2)相似多边形对应边的比称为相似比. 要点三、相似三角形 1. 相似三角形的判定: 判定方法(一):平行于三角形一边的直线与其他两边相交,所截得的三角形与原三角形相似. 判定方法(二):两角分别相等的两个三角形相似. 要点诠释: 要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言, 若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似. 判定方法(三):两边成比例夹角相等的两个三角形相似. 要点诠释: 此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹 角,否则,判断的结果可能是错误的. 判定方法(四):三边成比例的两个三角形相似. 相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等; (2)相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 3.相似多边形的性质: (1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等. (2)相似多边形的周长比等于相似比. (3)相似多边形的面积比等于相似比的平方. 要点四、图形的位似及投影
1.
位似多边形定义: 如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点 O,且每组对应点与点 O 点的距 离之比都等于一个定值 k,例如,如下图,OA′=k·OA(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形, 点 O 叫做位似中心.要点诠释: 位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能构成位似图形. 2.位似图形的性质: (1)位似图形的对应点相交于同一点,此点就是位似中心; (2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比; (3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 3. 作位似图形的步骤 第一步:在原图上找若干个关键点,并任取一点作为位似中心; 第二步:作位似中心与各关键点连线; 第三步:在连线上取关键点的对应点,使之满足放缩比例; 第四步:顺次连接各对应点. 要点诠释: 位似中心可以取在多边形外、多边形内,或多边形的一边上、或顶点,下面是位似中心不同的画法. 4.平行投影 在平行光的照射下,物体所产生的影称为平行投影. (1)等高的物体垂直地面放置时,如图 1 所示,在太阳光下,它们的影子一样长.
(2)等长的物体平行于地面放置时,如图 2 所示,它们在太阳光下的影子一样长,且影长等于物体本 身的长度. (3)在同一时刻,不同物体的物高与影长成正比例. 即:
=
.
甲物体的高甲物体的影长
乙物体的高乙物体的影长
利用上面的关系式可以计算高大物体的高度,比如旗杆的高度等. 注意:利用影长计算物高时,要注意的是测量两物体在同一时刻的影长. 5.中心投影 在点光源的照射下,物体所产生的影称为中心投影. (1)等高的物体垂直地面放置时,如图 1 所示,在灯光下,离点光源近的物体它的影子短,离点光源远 的物体它的影子长. (2)等长的物体平行于地面放置时,如图 2 所示.一般情况下,离点光源越近,影子越长;离点光源越 远,影子越短,但不会比物体本身的长度还短. 【典型例题】 类型一、黄金分割1.如图,用纸折出黄金分割点:裁一张正方的纸片 ABCD,先折出 BC 的中点 E,再折出线段 AE, 然后通过折叠使 EB 落到线段 EA 上,折出点 B 的新位置 B′,因而 EB′=EB.类似地,在 AB 上折出点 B″ 使 AB″=AB′.这是 B″就是 AB 的黄金分割点.请你证明这个结论. 【答案与解析】 设正方形 ABCD 的边长为 2, E为 BC 的中点, ∴BE=1
∴AE=
AB
2
BE
2
5
, 又 B′E=BE=1, ∴AB′=AE-B′E=5
-1, ∵AB″=AB′=5
-1 ∴AB″:AB=(5
-1):2 ∴点 B″是线段 AB 的黄金分割点. 【总结升华】本题考查了黄金分割的应用,知道黄金比并能求出黄金比是解题的关键. 举一反三 【变式】如图,已知△ABC 中,D 是 AC 边上一点,∠A=36°,∠C=72°,∠ADB=108°. 求证:(1)AD=BD=BC; (2)点 D 是线段 AC 的黄金分割点. 【答案】 (1)∵∠A=36°,∠C=72°, ∴∠ABC=72°,∠ADB=108°, ∴∠ABD=36°, ∴△ADB、△BDC 是等腰三角形, ∴AD=BD=BC. (2)∵∠DBC=∠A=36°,∠C=∠C, ∴△ABC∽△BDC, ∴BC:AC=CD:BC, ∴BC2=AC•DC, ∵BC=AD, ∴AD2=AC•DC, ∴点 D 是线段 AC 的黄金分割点. 类型二、相似三角形 2. 已知:如图,∠ABC=∠CDB=90°,AC=a,BC=b,当 BD 与 a、b 之间满足怎样的关系时,这两个三 角形相似?【答案与解析】 解:∵AC=a,BC=b, ∴AB=
a
2
b
2 , ①当△ABC∽△BDC 时,BD
BC
AB
AC
, 即 2 2b a
b
BD
a
. ②当△ABC∽△CDB 时,BD
BC
CB
AC
, 即 2b
BD
a
. 【总结升华】相似三角形中未明确对应点和对应边时,要注意分类讨论. 举一反三【变式】如图,在矩形 ABCD 中,AB=6,BC=8,沿直线 MN 对 折,使 A、C 重合,直线 MN 交 AC 于 O. (1)求证:△COM∽△CBA; (2)求线段 OM 的长度.
【答案】
(1)证明:
A与 C 关于直线 MN 对称, ∴AC
MN,∴∠COM=90°,在矩形 ABCD 中,∠B=90°, ∴∠COM=∠B , 又
∠ACB=∠ACB, ∴△COM∽△CBA , (2)
在 Rt△CBA 中,AB=6,BC=8, ∴AC=10 ,∴OC=5,
△COM∽△CBA, ∴ OC OM = BC AB , ∴OM=15
4
. 类型三、相似三角形的综合应用3.(2015•杭州)如图,在△ABC 中(BC>AC),∠ACB=90°,点 D 在 AB 边上,DE AC⊥ 于点 E. (1)若 = ,AE=2,求 EC 的长; (2)设点 F 在线段 EC 上,点 G 在射线 CB 上,以 F,C,G 为顶点的三角形与△EDC 有一个锐角相 等,FG 交 CD 于点 P.问:线段 CP 可能是△CFG 的高线还是中线?或两者都有可能?请说明理由. 【答案与解析】 解:(1)∵∠ACB=90°,DE AC⊥ , DE BC ∴ ∥ , ∴ , ∵ ,AE=2, EC=6 ∴ ; (2)①如图 1,若∠CFG= ECD∠ ,此时线段 CP 是△CFG 的 FG 边上的中线. 证明:∵∠CFG+ CGF=90°∠ ,∠ECD+ PCG=90°∠ , 又∵∠CFG= ECD∠ ,
CGF= PCG ∴∠ ∠ , CP=PG ∴ , CFG= ECD ∵∠ ∠ , CP=FP ∴ , PF=PG=CP ∴ , ∴线段 CP 是△CFG 的 FG 边上的中线; ② 如图 2,若∠CFG= EDC∠ ,此时线段 CP 为△CFG 的 FG 边上的高线. 证明:∵DE AC⊥ , EDC+ ECD=90° ∴∠ ∠ , CFG= EDC ∵∠ ∠ , CFG+ ECD=90° ∴∠ ∠ , CPF=90° ∴∠ , ∴线段 CP 为△CFG 的 FG 边上的高线. ③ 如图 3,当 CD 为∠ACB 的平分线时,CP 既是△CFG 的 FG 边上的高线又是中线. 【总结升华】本题主要考查了平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定、三角形的有关概念,分类讨 论,能全面的思考问题是解决问题的关键. 4. 如图,M 为线段 AB 的中点,AE 与 BD 交于点 C,∠DME=∠A=∠B=α ,且 DM 交 AC 于 F,ME 交 BC 于 G. (1)写出图中三对相似三角形,并证明其中的一对; (2)连结 FG,如果 α=45°,AB=4 2,AF=3,求 FG 的长.
【答案与解析】 (1)△AMF∽△BGM,△DMG∽△DBM,△EMF∽△EAM 以下证明△AMF∽△BGM. ∵∠AFM=∠DME+∠E=∠A+∠E=∠BMG,∠A=∠B ∴△AMF∽△BGM. (2)当 α=45°时,可得 AC⊥BC 且 AC=BC ∵M为 AB 的中点,∴AM=BM=2 2, 又∵AMF∽△BGM,∴ AF BM AM BG , ∴
2
2
3
2
2
8
3
AF
BM
AM
BG
, 又∵α=45°,AB=4 2, ∴AC=BC=4, ∴ 8 4 4 3 3 CG ,CF 4 3 1, ∴ 2 2 12 ( )4 2 5 3 3 FG CF CG . 【总结升华】本题考查了相似三角形知识的综合运用,并且渗透了转化思想. 5. 如图,已知在梯形 ABCD 中,AD//BC,AD=2,BC=4,点 M 是 AD 的中点,△MBC 是等边三 角形. (1)求证:梯形 ABCD 是等腰梯形. (2)动点 P、Q 分别在线段 BC 和 MC 上运动,且∠MPQ=60°保持不变.设 PC=x,MQ=y,求 y 与 x 的 函数关系式.【答案与解析】 (1)∵
△
MBC
是等边三角形 ∴MB MC
,∠∠
MBC
MCB
60
∵M
是AD
中点, ∴AM
MD
, ∵AD
∥
BC
, ∴∠∠,
AMB
MBC
60
∠∠
DMC
MCB
60
, ∴△≌△
AMB
DMC
, ∴AB DC
, ∴梯形ABCD
是等腰梯形. (2)在等边△
MBC
中,MB MC BC
,
4
∠∠
MBC
,
MCB
60
又∵∠
MPQ
60
, ∴∠∠∠∠
BMP
BPM
BPM
QPC
120
, ∴∠∠
BMP
QPC
, ∴△∽△
BMP
CQP
, ∴PC
CQ
BM
BP
, ∵PC
x MQ
,
y
∴BP
4
x QC
,
4
y
,∴
4
4
4
x
y
x
, ∴ 21
4
4
y
x
x
. 【总结升华】利用相似三角形得到的比例式,构建线段关系求得函数关系,关键是能够灵活运用所学知识 来解题. 举一反三 【变式】如图所示,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点 D 从点 B 出发,沿线段 BA 运动 到点 A 为止,运动速度为每秒 2 个单位长度.过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E,设动点 D 运动的时间为 x 秒,AE 的长为 y. (1)求出 y 关于 x 的函数关系式,并写出自变量 x 的取值范围; (2)当 x 为何值时,△BDE 的面积 S 有最大值,最大值为多少? 【答案】 (1)∵DE∥BC,所以△ADE∽△ABC, ∴ . 又∵AB=8,AC=6, , , ∵ ,即 , 自变量 x 的取值范围为 . (2) .所以当 时,S 有最大值,且最大值为 6. 类型四、图形的位似 6.如图,△ABC 中,A、B 两点在 x 轴的上方,点 C 的坐标是(﹣1,0).以点 C 为位似中心,在 x 轴的下方作△ABC 的位似图形△A′B′C,并把△ABC 的边长放大到原来的 2 倍.设点 B 的对应点 B′的横坐 标是 2,求点 B 的横坐标. 【思路点拨】过 B 和 B′向 x 轴引垂线,构造相似比为 1:2 的相似三角形,那么利用相似比和所给 B′的 横坐标即可求得点 B 的横坐标. 【答案与解析】 解:过点 B、B'分别作 BD⊥x 轴于 D,B'E⊥x 轴于 E, ∴∠BDC=∠B'EC=90°. ∵△ABC的位似图形是△A'B'C, ∴点 B、C、B'在一条直线上, ∴∠BCD=∠B'CE, ∴△BCD∽△B'CE. ∴ , 又∵ , ∴ , 又∵点 B'的横坐标是 2,点 C 的坐标是(﹣1,0), ∴CE=3, ∴ . ∴ , ∴点 B 的横坐标为 . 【总结升华】难点是利用对应点向 x 轴引垂线构造相似三角形,关键是利用相似比解决问题. 类型五、用相似三角形解决问题
7.(2014•陕西)某一天,小明和小亮来到一河边,想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度,两人 在确保无安全隐患的情况下,先在河岸边选择了一点 B(点 B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点 D 所确定 的直线垂直于河岸). ① 小明在 B 点面向树的方向站好,调整帽檐,使视线通过帽檐正好落在树的底部点 D 处,如图所示,这时 小亮测得小明眼睛距地面的距离 AB=1.7 米; ② 小明站在原地转动 180°后蹲下,并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外,其他姿态均不变),这时 视线通过帽檐落在了 DB 延长线上的点 E 处,此时小亮测得 BE=9.6 米,小明的眼睛距地面的距离 CB=1.2 米. 根据以上测量过程及测量数据,请你求出河宽 BD 是多少米?
【思路点拨】根据题意求出∠BAD= BCE∠ ,然后根据两组角对应相等,两三角形相似求出△BAD 和
△BCE 相似,再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可. 【答案与解析】 解:由题意得,∠BAD= BCE∠ , ABD= CBE=90° ∵∠ ∠ , BAD BCE ∴△ ∽△ , ∴ = , ∴ = , 解得 BD=13.6. 答:河宽 BD 是 13.6 米. 【总结升华】本题考查了相似三角形的应用,读懂题目信息得到两三角形相等的角并确定出相似三角形是 解题的关键,也是本题的难点.