一阶线性偏微分方程

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þ°ã²ŒÆA^êÆX April 19, 2010

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_I

·‚òd™•¼êu(x1, x2, · · · , xn)(n ≥ 2)9Ù˜ ê∂u ∂x1, ∂u ∂x2, · · · , ∂u ∂xn ¤ 'Xª F  x1, x2, · · · , xn; u, ∂u ∂x1 , ∂u ∂x2 , · · · , ∂u ∂xn  = 0 (1) ¡•˜ ‡©•§" eF 'uu, ∂u ∂x1, ∂u ∂x2, · · · , ∂u ∂xn´‚5 £˜g ¤§ a0(x1, x2, · · · , xn)u + n X i=1 ai(x1, x2, · · · , xn) ∂u ∂xi = f (x1, x2, · · · , xn) (2) K¡Ù•˜ ‚5 ‡©•§¶

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AO§eþª¥ f (x1, x2, · · · , xn) ≡ 0§= a0(x1, x2, · · · , xn)u + n X i=1 ai(x1, x2, · · · , xn) ∂u ∂xi = 0 (3) K¡Ù•˜ ‚5àg ‡©•§" Ù¤?Ø ˜ ‚5àg ‡©•§A•_{(3)¥ a0}(x1, x2, · · · , xn) ≡ 0 œ/" ¡Ø´‚5 ‡©•§•š‚5 ‡©•§"eš‚5 ‡© •§'uÙ•p ê´‚5 §K¡§´[‚5 ‡©• §" Ù=•?ØXe ˜ [‚5 ‡©•§" n X j=1 bj(x1, · · · , xn) ∂z ∂xj = Z(x1, x2, · · · , xn; z)

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_III

XJr˜m{x1, x2, · · · , xn}S ,˜«•DSk½Â ëYŒ‡ ¼êu = ϕ(x1, x2, · · · , xn)“\•§(1)¥ ð ª F  x1, x2, · · · , xn; ϕ, ∂ϕ ∂x1 , ∂ϕ ∂x2 , · · · , ∂ϕ ∂xn  ≡ 0 K¡u = ϕ(x1, x2, · · · , xn)´ ‡©•§(1) ˜‡)§ D´T) ½Â•"

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éu˜ ‡©•§_{(1)§ n = 2ž§Ù˜„/ªŒ± •} F  x, y, z,∂z ∂x, ∂z ∂y  = 0 (4) ez = ϕ(x, y), (x, y) ∈ D´§ )§@o·‚¡n‘˜ m(x, y, z)¥ -¡z = ϕ(x, y)••§(4) È©-¡"•˜„ § éu•§_{(1) )u = ϕ(x}1, x2, · · · , xn)Œ±Ä–/w¤n + 1‘˜ m{x1, x2, · · · , xn, u}S ˜Ü-¡§Ïd•¡• ‡©•§(1) È©-¡"

¹kn‡™•¼ê ˜ ~‡©•§|

•Ä¹kn‡™•¼ê ˜ ~‡©•§|                            dy1 dx = f1(x, y1, y2, · · · , yn), dy2 dx = f2(x, y1, y2, · · · , yn), · · · · dyn dx = fn(x, y1, y2, · · · , yn). (5)

ÄgÈ©

½Â_{7.1 £ÄgÈ© ½Â¤} XJ•3Øð•" ëYŒ‡¼êϕ(x, y1, y2, · · · , yn)§¦ •§ |_{(5)£3,‡«•GS¤ ?˜)Ñ÷vµ} dϕ(x, y1(x), y2(x), · · · , yn(x)) = 0 K'Xª ϕ(x, y1(x), y2(x), · · · , yn(x)) = c (6) ¡••§|_{(5) ˜‡ÄgÈ©"kž•¡ϕ••§|(5) ˜‡Ä} gÈ©"

n‡*dÕá

ÄgÈ©

•§|_{(5) n‡ÄgÈ} ©ϕj(x, y1, y2, · · · , yn) = cj(j = 1, 2, · · · , n)¡•´*dÕá §X J_{Jacobi1 ª} ∂(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn) ∂(y1, y2, · · · , yn) =          ∂ϕ1 ∂y1 ∂ϕ2 ∂y1 · · · ∂ϕn ∂y1 ∂ϕ1 ∂y2 ∂ϕ2 ∂y2 · · · ∂ϕn ∂y2 · · · · ∂ϕ1 ∂yn ∂ϕ2 ∂yn · · · ∂ϕn ∂yn          def = det (J ) (7) 3GSðØ•0"·‚•Œ±^JacobiÝ J ••n5½ Âϕj(j = 1, 2, · · · , n) Õá5"

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éun = 1 œ/§~‡©•§|(5)òz•˜ ~‡©•§ dy dx = f (x, y) (8) b ÙÏ)•y = ψ(x, c)§l¥) ϕ(x, y) = c"@o§ùÒ´• §_{(8) ÄgÈ©"^•§(8) ?˜)y(x)“\§Œ} ϕ(x, y(x)) = c u´ dϕ(x, y(x)) = ∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂y dy dx = 0 ½ ∂ϕ ∂x + ∂ϕ ∂yf (x, y) = 0 ù`²u = ϕ(x, y)´˜ àg‚5 ‡©•§ ∂u ∂x + f (x, y) ∂u ∂y = 0 (9) )"

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‡ƒ§ò•§_{(8) ?˜)y(x)“\•§(9) )u = u(x, y)¥§2} 'ux¦ §Œ du dx = ∂u ∂x + ∂u ∂y dy dx = ∂u ∂x + f (x, y) ∂u ∂y = 0 = u(x, y(x)) = ~ê ù`²u(x, y) = c´•§(8) ÄgÈ©"

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éun > 1 ˜„œ¹§•k±eÓ (Ø" ½n_7.1 ψ(x, y1, y2, · · · , yn) = c´•§|(5) ÄgÈ© ¿‡^‡´ 3GS¤á ∂ψ ∂x + f1 ∂ψ ∂y1 + f2 ∂ψ ∂y2 + · · · + fn ∂ψ ∂yn = 0 (10)

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• y²½n_{7.1§‡^ ±e‚5~‡©•§|) •3•˜5} ½n" ½n_{7.2£‚5~‡©•§|) •3•˜5½n¤} XJA(t)´n × nÝ §f (t)´n‘ •þ§§‚Ñ3« ma ≤ t ≤ bþëY§Kéu«ma ≤ t ≤ bþ ?Ûêt0±9?˜ ~ên‘ •þ秕§| x0 = A(t)x + f (t) (11) •3•˜)φ(t)§½Âu ‡«ma ≤ t ≤ bþ§…÷vЩ^‡ φ(t0) = η

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½Â_{7.2£ÏÈ© ½Â¤}

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Nϕj(x, y1, · · · , yn) = cj§j = 1, 2, · · · , n••§|(5) ÏÈ©" ¦)•§|_{(5) ¯KÒ8(•Ï¦§ ÏÈ©"}

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ò•§|_{(5)U •Xe é¡/ª} dx g0 = dy1 g1 = dy2 g2 = · · · = dyn gn Ù¥§gj = g0fj(j = 1, 2, · · · , n)" XJU¦ n + 1‡ØÓž•" ¼êµ0, µ1, · · · , µn¦ (1) µ0g0+ µ1g1+ · · · + µngn = 0¶ (2) µ0dx + µ1dy1+ · · · + µndyn´,‡¼êϕ ‡©§ Kϕ = cÒ´•§ ˜‡ÄgÈ©"

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~₁ ¦•§| dx xz = dy yz = dz xy ÏÈ©" ~₂ )•§| dx x = dy y = dz z +px2_{+ y}2_{+ z}2

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½n_{7.3£˜ àg‚5 ‡©•§Ï) ( ½n¤} ϕi(x1, x2, · · · , xn) = ci(i = 1, 2, · · · , n − 1)´•§(13) ÏÈ ©§K•§_{(12) Ï)Œ±L«•} u = Ψ(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn−1) (14) Ù¥Ψ´ÙCþ ?¿ëYŒ‡¼ê" 5 du½n_{7.3´3,:+•S¤á§ ´ÛÜ §Ïd ‡©•} §_{(12) Ï)Lˆª3nØþ•´Ûܤá "}

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éu ‡©•§_{(12)•kü‡gCþ œ/§}    P (x, y)∂u ∂x + Q(x, y) ∂u ∂y = 0, x0 < x < ∞, −∞ < y < ∞ u|x=x0 = ϕ(y), −∞ < y < ∞ (15) äN`²Ù¦)L§"

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~₃ ¦•§ x∂u ∂y − y ∂u ∂x = 0 ÏL-‚x = 0, u = y2 _È©-¡" ~₄ ¦)Xe ‡©•§ x1 ∂u ∂x1 + x2 ∂u ∂x2 + · · · + xn ∂u ∂xn = 0 Ù¥§x 6= 0"

~K

~₃ ¦•§ x∂u ∂y − y ∂u ∂x = 0 ÏL-‚x = 0, u = y2 _È©-¡" ~₄ ¦)Xe ‡©•§ x1 ∂u ∂x1 + x2 ∂u ∂x2 + · · · + xn ∂u ∂xn = 0 Ù¥§x1 6= 0"

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±e?ØXe ˜ [‚5 ‡©•§ n X i=1 bi(x1, · · · , xn, z) ∂z ∂xi + Z(x1, · · · , xn, z) = 0 (16) •Ä PÒ¦^ •B§·‚=ïÄn = 2ž nØ(J§= a(x, y, z)∂z ∂x + b(x, y, z) ∂z ∂y = Z(x, y, z) (17) Ù¥§¼êa(x, y, z)§b(x, y, z)§Z(x, y, z)' u(x, y, z) ∈ D ⊂ R3_{ëYŒ‡§¿…a, bØÓž•""}

ü‡gCþ

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b _{(17) )z = u(x, y)L•Û¼ê/ª} F (x, y, z) = 0 @oŠâÛ¼ê¦ úª´ ∂z ∂x = −  ∂F ∂x  ∂F ∂z  , ∂z ∂y = −  ∂F ∂y  ∂F ∂z  “\_(17)Œ a(x, y, z)∂F ∂x + b(x, y, z) ∂F ∂y + Z(x, y, z) ∂F ∂z = 0 (18)

ü‡gCþ

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¦),

±þí (JL²µXJF (x, y, z) = 0´[‚5•§(17) Ûª )§@o¼êF = F (x, y, z)Ò´˜ àg‚5 ‡©•§(18) wª)"±eI‡)ûUÄ|^ ‡©•§_{(18) Ï)5(½[} ‚5 ‡©•§_{(17) Ï)"}

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_{(18) Ï)(½[‚5 ‡©}

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_{(17) Ï)}

ϕ(x, y, z) = c1, ψ(x, y, z) = c2 ´•§_{(18) A •§} dx a = dy b = dz Z (19) ü‡pƒÕá ÄgÈ©"@oŠâ½n_{7.3§•§(18) Ï)} Œ±L«• F = Φϕ(x, y, z), ψ(x, y, z) Ù¥Φ´'uÙgCþ ?¿ëYŒ‡ ¼ê"

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_{(18) Ï)(½[‚5 ‡©}

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_{(17) Ï)}

±eÄk`² ∂Φ ∂z 6= 0ž§d Φϕ(x, y, z), ψ(x, y, z)= 0 ¤(½ Û¼êz = z(x, y) (´•§<sub>(17) )"</sub> ?˜Úy²µéu ‡©•§<sub>(17) ?Û˜‡)z = ζ(x, y)§</sub> o•3 ¼êΨ§¦ Ψ h ϕ  x, y, ζ(x, y)  , ψ  x, y, ζ(x, y) i ≡ 0 ùp§ϕ, ψ´A •§(19) pƒÕá ÄgÈ©"ùp§ ·‚ÏL`²ϕx, y, ζ(x, y)Úψx, y, ζ(x, y)´ƒ' 5‰

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½n_{7.4£˜ [‚5 ‡©•§Ï) ( ½n¤} ϕi(x1, · · · , xn; z) = ci(i = 1, 2, · · · , n)´~‡©•§| dx1 b1 = dx2 b2 = · · · = dxn bn = −dz Z (20) n‡pƒÕá ÄgÈ©§Φ´'uÙgCþ?¿ëYŒ‡ n ¼ê"XJl Φ(ϕ1, ϕ2, · · · , ϕn) = 0 (21) Œ±(½¼êz = z(x1, x2, · · · , xn)§@o(21)=•˜ [‚5 ‡©•§_{(16) £Ûª¤Ï)"}

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~₅ ¦XeЊ¯K  x∂z_∂x+ (y + x2)∂z_∂y = z z(x, y)|_x=2 = y − 4 ~₆ ¦)[‚5 ‡©•§y∂z ∂x= z" ~₇ ¦)Xe[‚5 ‡©•§ x1 ∂z ∂x1 + x2 ∂z ∂x2 + · · · + xn ∂z ∂xn = ωz Ù¥§ω•Œu" ê§x₁ 6= 0"

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•Än‘˜m¥ ˜‡ëY•þ| v = P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) ?¿‰½«•D¥ ˜:(x, y, z)§B ˜‡(½ ••" XJ˜m ˜^-‚lþz˜:(x, y, z) ƒ• þτ = (dx, dy, dz)†T: |• þvP (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)  ‚§K¡T-‚l•A -‚" dτ Úv ‚Œ dx P = dy Q = dz R (22) ÏdA -‚ld‡©•§_{(22)û½"dA -‚|¤ -¡}

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ePA -¡þ?˜:? {•þ•n§@o3T:§n†v˜½ §= n · v = 0 (23) , ·‚k±e(J A -¡ •§•wªz = z(x, y)ž§n =∂z ∂x, ∂z ∂y, −1  § l Šâ_(23)k P∂z ∂x + Q ∂z ∂y = R (24) A -¡ •§•Û ªu(x, y, z) = 0ž§n =∂u ∂x, ∂u ∂y, ∂u ∂z  §Ó Šâ_(23)k

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3 Ù˜m©§Ò®²0 È©-¡ Vg"=˜ ‚5£[ ‚5¤ ‡©•§ )Œ±Ž–¤n‘˜m¥ ˜Ü-¡" l_{(24)Ú(25)5w§˜ ‚5£[‚5¤ ‡©•§ )£È©} -¡¤Ò´A -¡§P•π"@oy3ÒŒ±‰Ñ˜ ‚5 £[‚5¤ ‡©•§¦) AÛ)º µ˜ ‚5£[‚5¤ ‡©•§£_{(24)§(25)¤ )£È©-¡¤´A -¡§§´} dA -‚|¤ " A -‚Œ±d~‡©•§|£A • §¤_{(22)û½"ù §˜ ‚5£[‚5¤ ‡©•§ ¦)¯} KÒ8(•~‡©•§| ¦)¯K "ù†c¡¤‰ (Ø´ ˜— "

Cauchy¯K

Cauchy¯K ‰½˜^1w-‚ Γ : x = α(σ), y = β(σ), z = ζ(σ), σ ∈ I Ù¥σ•-‚ ëê‹I§(½[‚5 ‡©•§(25) ˜ÜÈ©-¡π : z = f (x, y)§¦ƒ•¹‰½-‚Γ§=¤á ζ(σ) = f [α(σ), β(σ)] ùpα0_{(σ), β}0_{(σ), ζ}0_{(σ)Ñ´ëY §¿…α}02_{(σ) + β}02_{(σ) 6= 0"} 5

7L•Ñ§éu, -‚£XA -‚¤_{Cauchy¯K´Ø(½ §Ï•} é˜^A -‚§Œ±káõ‡A -¡²L§¶ éu, ˜

-Cauchy¯K

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7L•Ñ§éu, -‚£XA -‚¤_{Cauchy¯K´Ø(½ §Ï•}

é˜^A -‚§Œ±káõ‡A -¡²L§¶ éu, ˜

Cauchy¯K) œ¹

½n_7.5 éu˜ [‚5 ‡©•§(25) þãCauchy¯K§ (1) XJ¤áα0(σ) β0_(σ) 6= P  α(σ),β(σ),ζ(σ)  Q  α(σ),β(σ),ζ(σ)  §@oþãCauchy¯KkŽ˜)¶ (2) XJ-‚Γ´A -‚§=¤á α0(σ) Pα(σ), β(σ), ζ(σ) = β0(σ) Qα(σ), β(σ), ζ(σ) = ζ0(σ) Rα(σ), β(σ), ζ(σ) @oþãCauchy¯K )ØŽ˜¶ (3) XJ-‚ΓØ´A -‚§ ¤áα0(σ) β0_(σ)≡ P  α(σ),β(σ),ζ(σ)  Q  α(σ),β(σ),ζ(σ)  §@oþ

~K

~₁ ¦ ‡©•§ x∂z ∂x − y ∂z ∂y = z È©-¡§¦ §ÏLЩ-‚ Γ : x = t, y = 3t, z = 1 + t2, (t > 0) ~₂ (½ ‡©•§ y z ∂x − x ∂z ∂y = 0 L-‚Γ : z = x, x2_{+ y}2 _{= 1 È©-¡"}

~K

~₁ ¦ ‡©•§ x∂z ∂x − y ∂z ∂y = z È©-¡§¦ §ÏLЩ-‚ Γ : x = t, y = 3t, z = 1 + t2, (t > 0) ~₂ (½ ‡©•§ y z ∂x − x ∂z ∂y = 0