常識能力之個案研究
林勇吉
楊德清
國立嘉義大學數學教育研究所 （投稿日期：91 年 9 月 17 日；修正日期：91 年 11 月 11 日；接受日期：91 年 12 月 15 日）摘要
本研究的主要目的在於探討電算器教學活動，對國小五年級學生數字常識能力的 發展是否具有正面的影響。因此，本研究採個案研究法，以一位國小五年級學生作為 本研究之個案。首先進行前測訪談，瞭解個案學生所缺乏的數字常識能力，再針對個 案所缺乏的數字常識能力進行電算器教學活動，最後再進行後測訪談，以確認個案是 否透過教學活動學習到數字常識能力。研究結果發現以電算器教學活動培養數字常識 能力對於該個案學生是有助益的，藉由電算器計算的便利，讓該學生很容易將焦點放 在數字常識能力的學習上，同時該學生也可以藉由電算器快速驗證自己的想法，也讓 教師的教學更為便利。 關鍵詞：電算器、個案研究、數字常識壹、前言
過去的許多研究，已證實電算器應該融入我們的數學教學中（吳美蓉, 2000；美
國數學教師協會,簡稱 NCTM, 1989, 2000；Hembree ＆ Dessart, 1986, 1992；Dunham ＆ Dick, 1994；Heid, 1997；Smith, 1997）；不僅如此，我國最新的教育改革，九年 一貫課程綱要（教育部, 2000）亦認同電算器應該適當地融入數學教學中，同時主張 「對電算器正向且有效的使用（p. 39）」。事實上，許多的研究報告更具體指出電算
器融入數學教學的優點，這包括幫助數學概念的瞭解（Demana, 1999；Goldenberg,
1991；Huinker, 1992, 2002；Irwin, 1997）、有助於解題能力的發展（Dunham & Dick, 1994；Frick, 1989；Keller & Russell, 1997；McClendon, 1992；Runde, 1997；Siskind, 1995；Wilkins, 1995 ）、以及提升學習數學的興趣（ Hembree & Dessart, 1986； NCTM, 2000）。
綜觀上述之研究報告，可知電算器對數學教育有其存在的價值，然而現今的課 程與數學教學，仍然不見電算器被重視，何以會產生如此的矛盾？也許是許多人更 害怕學生習慣使用電算器後，會失去計算能力，不再學習基本數學概念和完全的依 賴 電算 器（Payne, 1996；Smith, 1996 ；Simonsen ＆ Dick, 1997；Zand ＆ Crowe, 1997）。針對這項爭議，研究者認同 Higgins（1990）的觀點，如果能善用電算器來 幫助學生學習，電算器才可以允許被使用，如果電算器只是用在取代學生的思考能 力時，那麼電算器必須被嚴格的禁止。如此一來，一個好的電算器教學活動與能夠正 確引導學生使用電算器學習的教師就變的格外重要了。 基於上述的分析，以及Wheatley 和 Clements（1990）將電算器融入教學中，以 幫助兒童發展數字常識之啟示，研究者乃思考如何運用電算器教學活動以發展兒童 之數字常識。因此本研究的研究目的在於：探討電算器教學活動，對國小五年級學生 數字常識能力的發展是否具有正面的影響。而本研究選取國小五年級學生的原因，在 於五年級的學生已經熟悉整數乘法與除法的運算，同時也有能力處理較為複雜的計 算，此時電算器的介入是比較合適的，此外，研究報告亦指出大部分的高年級學生 仍然不具備良好的數字常識能力（許清楊、楊德清、李茂能, 2001；楊德清, 2000）， 因此幫助五年級學生學習數字常識能力有其正面意義。
貳、
文獻探討
一、數字常識的相關理論
什麼是數字常識（number sense）？數字常識是一種對數字及運算的理解能力， 具有這樣能力的人會把數字視為有意義的物體，能夠以多重的方式來表現數字，並 且也將運算視為有意義的過程，所以在運算時會考慮多重的層面，作出最合理的運 算方式，同時也具備一套檢視結果的邏輯，當運算結果與個人的邏輯產生衝突時， 個體會嘗試去解決這個衝突（楊德清, 2000；徐俊仁、楊德清, 2000；Howden, 1989； McIntosh, Reys ＆ Reys, 1992）。由此可知，數字常識是一種思考的能力，這個能力 將數字、運算皆賦予意義，並且瞭解它們彼此間的關係。經過美、澳等國家十幾年的研究與探討，數字常識已不再是一個新的名詞，它的 組織架構已臻完備，即使數學家們各有不同的主張，卻也只是大同小異，相關的研
究與文獻報告已清楚的定義數字常識的組織架構（支毅君, 1996；楊德清, 2000；
McIntosh, Reys ＆ Reys, 1992；Sowder, 1992a, 1992b；NCTM, 1989, 2000）。
參考上述的研究與文獻報告，可以發現學者們對數字常識的定義基本上是共通 的，因此，本研究根據這些文獻的共同部分，定義數字常識的組織架構為： 1.能分解組合數字。對整數、小數、分數等有理數的理解，並且具備比較和排序 數字大小的能力，同時能夠彈性且適當的方式分解或組合數字。 2.使用參考點的能力。用已知的數為基準點去推測未知的數或運算結果的能力。 3.瞭解運算與數字間的關係。理解不同的運算如加、減、乘、除對數字的影響。 4.發展多樣且彈性的策略。能夠在不同的情境下，做適當的決策，決定使用哪 一種計算方式是最有效且便利、流暢的（如心算、估算、紙筆計算或電算器）。 同時能夠檢視答案與題目是否存在著明顯的差異。 5.估算能力。包括彈性的思考能力、使用多種不同的估算策略、對數字與運算有 深入的理解。
二、 電算器在數學教育上的優點
電算器融入數學教學，在國外已經不是一項新的論點，早已存在著許多相關的 研究，而歸納一些文獻的共同觀點，發現其主要優點分別是計算、解題能力、概念瞭 解、檢驗答案與提升興趣方面，下面將敘述這些優點： 1.使用電算器於數學課室中，可以協助學生解決單調的計算。當我們一提及數學，許多人的共同想法就是一堆公式，與一連串的計算，這種 現象尤其發生在以計算為主的國小數學。的確，台灣的數學教育在強調數學成績與筆 算技巧時，的確創造了一群得高分的學生，並且這些學生優異的筆算能力也受到國 際許多研究的肯定（Beaton, et al.,1997；Stevenson, Chen & Lee, 1993；Stigler, Lee & Stevenson, 1991），然而筆算能力的成就並無法包含其它數學能力的成就，這包括 思考、邏輯與解決問題的能力，於是電算器在此時，就可以成為一種紙筆算則之外的 選擇，用來協助學生處理冗長的計算，免去一再的處理不具思考性的計算，並且擁 有機會去作真實生活情境的數學問題（Clark, 1996；Manly, 1997；NCTM, 1989, 2000），因為真實生活中數學問題的數據，不一定會如教科書般經過設計，例如一 個書櫃的面積可能是1.524 公尺 ×3.17 公尺。所以有了電算器，學生將更便於經驗生 活週遭的數學問題，更彈性的選擇不同計算方法。然而在強調使用電算器輔助計算同 時，我們仍然不能抹滅紙筆計算能力在數學中重要的地位（Wheatley, 1980），電算 器只是提供了一種計算的「選擇」，無法也不可能完全的取代計算能力。 2.適當的使用電算器，可以提升解題能力與幫助數學概念的學習。 Dick（1992）的研究報告主張藉由電算器幫助計算，教師可以有更多的時間用 在教導學生解題，同時電算器也提供一種有力工具讓學生作解題的工作，學生將擁 有 更 多 的 時 間 將 焦 點 放 在 分 析 問 題 與 思 考 解 題 的 方 法 上 。Hambree 和 Dessart（1992）的研究亦提出相同的論點，他們發現學生使用電算器去作解題可以 獲得較好的成效，這是因為學生將可以有更多機會去嘗試不同的解題路徑，並且在 減輕計算的負擔後，他們變的更有信心從事解題的工作。 當沒有電算器的時候，可能需要一串冗長的計算後才能獲得重要的數學原則 （Manly, 1997），但是經由電算器的輔助使用，有部分數學概念將可以較輕易的被 教 導 （ 劉 祥 通, 1994 ； Dunham, 1999 ； Wheatley & Shumway, 1992 ） 。 例 如 Higgins（1990）所提到的一個成功的電算器教學活動，一位教師利用電算器教導學 生π 的概念，她讓學生去測量許多不同圓的直徑和周長，並且將這些資料記錄下來， 然後讓學生用電算器計算這些周長除以直徑的比例，使學生認識π 這個常數，她成 功的利用電算器免除學生計算上的困擾，並使學生將焦點放在電算器背後的數學概 念。 3.適當的使用電算器於數學教學中，可以提昇學生的學習興趣。 根據Hembree 和 Dessart（1986,1992）的研究報告指出：允許學生使用電算器去
Beardslee（1978）的研究也提到，傳統的教學方式會讓部分學生失去學習數學的動 機，然而使用電算器可以改善他們對數學學習的興趣。這也許是傳統的教法，只是教 師單純的講授計算方法，如果學生遇到他們聽不懂的地方，很容易就會覺得挫折並 失去興趣，但是，當我們允許學生使用電算器去解題，學生會變的有信心，不再害 怕計算，當然他們就會對教師的授課內容更有興趣，更樂於去參與。所以，我們要善 用電算器的這個特點，讓電算器配合有意義的教學活動，提高學生的學習興趣，使 他們覺得數學的學習是有趣的，進而樂於學習數學。 綜合上述，我們可以發現由於電算器的計算便利功能，可以讓學生在計算、解題、 概念瞭解、檢驗答案與提昇興趣上有所助益，同時除了在提升興趣上，每項優點背後 皆隱含著強調「思考」的重要性，例如協助處理冗長的計算，用以增加思考的時間、 利用簡化計算的麻煩，用以思考數學概念、思考哪種運算該用電算器等。所以允許學 生使用電算器的目的，除了促進學生更便利的學習外，也藉著減輕記憶性的算則負 擔，給予學生更多的思考時間。
三、 使用電算器在數學課室使用上的限制與可能缺失。
「科技不是一種萬靈丹，就像一般的教學輔助工具，它可以帶來很好的效果，也 可能一點助益都沒有。」（NCTM, 2000, P. 25）。縱使電算器有能力成為數學教育中 一項重要的輔助工具，但是它畢竟只是一項工具，並不是萬能的，如果我們沒有適 當的將它放入數學教學中，它也可能帶來反效果，同時它本身的功能也存在許多的 限制與缺失。 電算器主要的限制是在於它對數字的表示方式，一般形式的電算器只能表示小 數，只有特殊功能的電算器才能表示分數或其它的數字形式，其次，這些小數只能 表示有限的位數，通常是八位或十二位，因此當用電算器求出的答案太大或太小時 皆 會 得 到 錯 誤 的 答 案 。 例 如 ， 求 0.0000005 ÷ 1234567 × 98765432 = ？ （ Dick, 1988），若是直接由左向右輸入這些數字與運算符號，那麼電算器會顯示答案是 0，然而若是先將 0.0000005 ×98765432 再除以 1234567 就可以得到 0.00004 的答案， 這是因為0.0000005 ÷1234567 會得到很小的答案，由於顯示位數的限制，電算器會 將答案顯示為0，當然 0 ×1234567 仍然只會得到 0 這個答案。 使用電算器的缺失是：學生會失去計算技能而完全依賴電算器，並且不再學習 基 本 的 數 學 概 念 （Payne, 1996 ；Simonsen ＆ Dick, 1997；Smith, 1996 ；Zand ＆Crowe, 1997）。會產生這種過分依賴電算器的情形，主要原因在於教師沒有正確的 讓學生使用電算器（Higgins, 1990；Dick, 1988），並不是所有的問題都要用電算器 來解，電算器只是一種計算的選擇而已。
參、
研究方法
一、研究方法
本研究為了充分了解樣本在研究中的主觀想法與行為的意義，故採用質性研究 中的個案研究方法，以個案的方式，但較為深度訪談，藉以充分闡釋個案的語言、行 為，了解個案在教學活動前後所發生的變化。本個案研究分成三部分： 第一個是教學前的訪談：採半結構晤談法。在此過程研究者不介入，僅在不瞭解 樣本所表達的意思，才會進一步要求樣本澄清自己的想法。這項訪談的主要目的在於 探究兒童所具備或缺乏的數字常識能力。 第二個是教學中的訪談：教學中的訪談是研究者根據教學前的訪談結果，針對 個案所缺乏的數字常識能力進行電算器教學活動，藉由與個案的引導與互動幫助他 學習數字常識能力。 第三個是教學後訪談：亦採半結構晤談法。教學後的訪談，是用教學前的訪談問 題，在經教學2 個月後，再度對個案進行訪談，以確認個案是否確實具備教學中所 學習到的數字常識能力。二、 參與研究的對象
1.研究對象的選擇 參與本研究的個案必須具備口語表達能力清楚、樂於表現且易於溝通， 同時亦需欠缺本研究欲進行教學的數字常識能力。而選擇個案的過程是先向 該班國小教師說明研究的目的，請教師推薦適合參與本研究的個案3 人， 之後研究者再對這三個個案進行一對一的個別訪談，並從中選取口語清晰、 樂於表達且缺乏數字常識能力的1 位學生作研究對象。 2.研究對象 小然：男生。數學成績約在70 分上下，在班上屬於中等程度，個性乖 巧，對於研究的配合度頗高，表達能力不錯，除了在第一次與研究者接觸 時時略顯緊張外，之後便能與研究者自在的交談。三、 研究工具
本研究的研究工具包括教學前、後訪談問題與教學中的電算器教學活動，以下將 對這些工具作說明。 1.教學前、後訪談問題 教學前訪談的目的是為了用來檢定兒童是否缺乏數字常識能力，故題目的設計 乃依上述目的而來，題目如下： 檢驗的數字常識能力：能分解組合數字、使用參考點、發展多樣且彈性的策略 (1) 15 ×2 = (2) 24 × 5 = (3) 555 × 12= 15 × 4 = 24 ×15 = 555 × 36= 15 × 8 = 24 × 25 = 555 × 72= 2.電算器教學活動 研究者根據受訪學生在數字常識方面所缺乏的能力，與參考相關研究文獻資料 ， 而設計相關的電算器教學活動，設計的精神主要在於利用電算器可以快速計算的特 性，讓學生去觀察一系列的題目，進而從中發現其關聯性，與利用這個關聯性來解 題；電算器的使用可以減少學生計算的時間，同時在學生有疑惑時也可以快速驗證 ， 因 此 可 以 將 更 多 的 專 注 力 放 在 思 考 上 ， 使 學 生 更 容 易 去 發 現 這 些 題 目 的 樣 式 （patterns）。 其教學活動如下所示： 教學目標：能分解組合數字、使用參考點、發展多樣且彈性的策略 做法：研究者首先讓學生自由使用電算器去解題，之後再要求他們觀察這些題目之 間的關聯性，並且能夠利用已知的答案去解題，亦即是運用參考點去解題。
◎利用電算器找出下列乘積 問題 答案 15 ×4 30 ×4 75 ×8 30 ×8 45×16 15 ×12 75 ×16 150 ×24 120 ×16 4 ×36 (1) 你有注意到這些問題的答案有什麼規則性嗎？ (2) 你可以看出 30×4 與 150×24 之間有何關聯性嗎？ (3) 當你知道 30 ×4 的答案，你還需要用電算器去算 120 ×16 的答案嗎？ 上述之訪談工具與教學活動工具，皆經三位數學教育專家與二位十年以上教學 資歷之小學教師審閱，並一致認同工具之內容符合受訪者之學習範圍，故本研究工 具具備專家效度與內容效度。
四、 資料蒐集與分析
在資料的蒐集上，本研究主要以錄音的方式蒐集學生在教學前訪談、教學活動中 的聲音資料，同時輔以教學前訪談和教學中學生的文字資料，最後還包括研究者的 心得筆記，作為互相交互比對之用。 對於資料的處理方式，在聲音資料部分，研究者先將錄音帶的資料全部轉成逐 字稿，並進行編碼工作，用阿拉伯數字依時間的先後順序加以編列，例如： 001 師：……… 002 生：……… 之後再進行原案分析（protocol analysis），剔除多餘的對話，將訪談內容整理併置，呈現完整的架構。
肆、
研究結果與分析
本文的研究結果呈現，可分為三個部分，分別是教學前訪談、教學活動與教學後 訪談，其分析如下： 教學前訪談 目的：實施這個前測問題的目的，是在探究個案發現數字關聯性的能力，在解 題過程中個案可能會運用到使用參考點、瞭解運算與數字間的關係、發展 多樣且彈性的策略等數字常識能力。 結果：前測結果顯示個案缺乏使用參考點、瞭解運算與數字間的關係、發展多樣 且彈性的策略之數字常識能力。 下列原案1 至原案 3 記載了前測活動進行，在這個過程中，個案都是以逐題計 算的方法去解決每一個前測問題，並沒有注意到題目間的關聯性，顯見個案缺乏數 字常識能力中使用參考點、瞭解運算與數字間的關係、發展多樣且彈性的策略。一、 對於數字簡單的問題，個案逐題的用心算算出，並沒有注意
題目的關聯性
原案1 070 師：好，那你看這邊。先看第一題就好。告訴我你的做法與想法。 （題目（1）： 15 ×2 = 15 × 4 = 15 × 8 = ） 071 生：這 30 啊！(指題目 1 的第 1 小題) 072 師：那這一題（指題目 1 的第 2 小題）？ 073 生：60！ 074 師：這一題（指題目 1 的第 3 小題）？ 075 生：嗯…120。 078 師：那…你怎麼算的？ 079 生：就先這樣算啊！5，8，40 啊！ 080 師：然後呢？081 生：然後 8，1，8… 個案在解題時，因題目數據 較簡易，該生皆直接以心算算出，而心算的方法是 將紙筆計算規則在心中思考，而求出答案，該生並未注意15×4 只需將 15×2 的答案 乘以2 即可，可見該生在這類計算問題時，並不會注意題目之間的關聯性。
二、對於數字複雜的問題，個案逐題的用紙筆計算，並沒有注意題
目的關聯性
原案2 084 師：那你告訴我第 2 題的做法與想法。 （ 題目（2）：24 × 5 = 24 ×15 = 24 × 25 = ） 085 生：(紙筆直式計算中)。（如圖 4-1） 086 師：(指 24×5 的答案)120 喔？ 087 生：(點頭，並繼續紙筆計算第 2.3 小題) 088 師：(指 24×15、24×25 的答案)360？600？ 089 生：(點頭) 圖4-1 原案 2 中的紙筆計算 個案在解第二題時，如同第一題，並未注意各個題目間數據的關聯性，仍然是 逐題的計算出答案，不一樣的是個案皆是用紙筆計算來解題，這應該是數據變的複 雜，用心算較不易的緣故。原案3 090 師：那我們再看這一題(指題目 3)。 （題目（3）：555×12= 555×36= 555×72= ） 091 生：(紙筆計算中)（如圖 4-2） 092 師：好，太複雜了，不要算了！然後就是，像你這種題目嘛，你都是像這樣 (指紙筆計算)算嗎？ 093 生：對…對。 094 師：然後…這些題目，你有沒有其他的想法和算法？ 095 生：要不然就是一個一個慢慢加，可是那個太…太慢了。 圖4-2 原案 3 中的紙筆計算 個案又要採用相同的方法，逐一將答案以紙筆計算算出，研究者在確認其解法 後，因該題計算複雜便告訴學生停止作答，並進一步詢問個案對這類型的題目除了 逐題紙筆計算外，有無其他的想法或解法，個案僅回答用累加的方法，並未注意題 目之間的關聯性，思考從它們的規則性來解題。 本題希望學生能夠從問題中找出它們之間的關聯性，例如24×5 與 24×15 間的關 聯性，期望學生能夠發現15 是 5 的 3 倍，進而使用 24×5 的答案乘以 3 倍得到 24×15 的答案，而不須直接用紙筆求24×15 之答案，然而個案再回答上述問題時，皆是逐 題計算答案，並沒有注意題目的關聯性，因此研究者認為個案顯然的缺乏 使用參考 點、瞭解運算與數字間的關係、發展多樣且彈性的策略等數字常識能力。 由於個案缺乏上述之能力，研究者乃依據相關之教學活動設計，進行教學活動。
教學活動 目的：實施這個教學活動的目的，主要在針對個案在前測所缺乏 使用參考點、 發展多樣且彈性的策略、發展多樣且彈性的策略的數字常識能力進行教 學，而本活動進行過程中亦可培養學生能分解組合數字之數字常識能力。 結果：研究結果發現個案在本教學活動中，具備能分解組合數字、使用參考點、 瞭解運算與數字間的關係等數字常識能力。
一、個案使用電算器將所有的題目計算出，並未注意題目的關聯性
原案4 291 師：ㄟ…你算一下這個答案好不好？你可以用電算器去算。 （題目：利用電算器找出下列乘積） 問題 答案 15 ×4 30 ×4 75 ×8 30 ×8 45×16 15 ×12 75 ×16 150 ×24 120 ×16 4 ×36 292 生：喔耶！ 293 師：也可以用心算、紙筆計算。 296 生：（用電算器按 15×4）60！要寫在哪裡？ 297 師：這裡（格子內）。 298 生：這裡喔。 299 生：（用電算器繼續按 30×4） 300 師：你為什麼不用心算？301 生：這樣比較快，心算頭腦打結。 教學活動開始時，研究者先讓學生自由的選擇計算方法，包括心算、紙筆計算或 使用電算器。研究者發現個案選擇用電算器來解題，但一開始的題目數據並不複雜， 依個案的能力應可用心算快速算出，研究者於是詢問學生為何不用心算，個案回答 「這樣比較快，心算頭腦打結」，由此可見個案對於計算感到麻煩，即使用心算個案 亦認為不方便。 原案5 302 生：（用電算器按 75×8）600！ （將所有題目用電算器按完） 303 師：全部都按喔？ 304 生：對啊！ 個案將全部的題目，用電算器按完，並沒有注意到這些題目之間的關聯性，而 這個表現與研究者在前測時的觀察可以相呼應，個案皆逐一的將答案計算出，並沒 有去注意題目間的關聯性。
二、經研究者的引導，個案發現題目與答案間的關聯性。
原案6 305 師：像你在算這種題目都用電算器，其實還有別的方法，你先看我打勾的這 四個（15×4；30×4；30×8；15×12），你看它們有什麼關聯性？你看 一下它們的題目跟答案。 306 生：喔…後面都是 0！ 307 師：還有呢？ 308 生：ㄟ…（思考了 2 分鐘） 309 師：先看這兩個就好了啦（15×4；30×4）！你看這兩個有什麼關聯性？ 310 生：喔…我知道！這個（30）是這個（15）的 2 倍！ 311 師：那答案有什麼關聯性？ 312 生：這個（指 30×4 的答案 120）是這個（指 15×4 的答案 60）的 2 倍！ 313 師：對啊，那再看這個（30×4）跟這個（30×8）有什麼關聯性？ 314 生：這個嘛…這個（8）是這個（4）的 2 倍！ 315 師：答案呢？316 生：這個（指 30×8 的答案 240）是這個（指 30×4 的答案 120）的 2 倍！ 317 師：對啊，那你再看第 1 個（15×4）跟…第 6 個（15×12）？ 318 生：這個（12）是這個（4）的 3 倍！ 319 師：答案呢？ 320 生：這個（指 15×12 的答案 180）是這個（指 15×4 的答案 60）的 3 倍！ 321 師：所以，你看你在算的時候，你需要每一個都去算它嗎？ 322 生：不需要！ 323 師：那你看這一題（75×16）答案是多少（研究者將先前個案算出的答案擦 去） 324 生：ㄟ… 325 師：先告訴我是幾倍嘛？ 326 生：這個（75×16）是這個（75×8）的 2 倍！ 327 師：那所以你覺得答案應該是多少？ 328 生：2 倍！ 329 師：2 倍是多少啊？ 330 生：就是 1200（指 75×16 的答案）啊！ 331 師：對啊！ 332 生：（寫上 1200 的答案） 因為個案仍然無法看出題目間的關聯性，研究者便開始介入教學，首先引導學 生觀察15×4；30×4；30×8；15×12 這四者答案和題目的關聯性（對話 305），但是 研究者發現個案無法瞭解這四個式子間的關係（對話306、307、308），研究者於是 縮小題目的範圍，只要求學生只要注意15×4；30×4 即可（對話 309），而個案此時 便 可 以 正 確 的 回 答 這 兩 者 題 目 與 答 案 的 關 係 ， 經 研 究 者 多 次 的 佈 題 （ 對 話 313、317、323），學生均可正確回答。至此研究者認為僅有一個數字間的倍數關係， 個案可以成功的發現題目與答案的關聯性，例如發現75×16 與 75×8 之間的關係。研 究者為進一步確認個案具此能力，乃繼續追問。 原案7 333 師：所以…所以你再看，假設我如果把這些（除了 15×4 與 30×4 以外的答案）都遮起 來好不好？只給你這兩題（15×4；30×4）的答案，你可不可以把全部的答案寫 出來嗎？
334 生：…（思考 3 分鐘） 335 師：這些我不是上次告訴過你嗎？不要一拿到題目就開始算，你先看一下它們有什麼 關聯性。 336 生：嗯…（思考 1 分鐘） 337 師：你可以挑啊，你不一定要照順序做，你可以先挑你覺得比較簡單的！ 338 生：…（思考 3 分鐘） 在此研究者認為學生已經能夠自己找到一些題目的關聯性，於是只留下15×4 與 30×4 的答案，要求學生去計算其它問題的答案（對話 333），顯然學生遇到了挫折， 個案不知要如何下筆，持續思考且沉默了很久（對話334、336、338），這個原因可 能是研究者給了第一題與第二題的答案，第三題是75×8，即是個案一開始就要面對 的問題，但研究者在原案6 中只觀察出個案可以以一個數字間的倍數關係，去判斷 答案與題目的關聯性，若以15×4、30×4 的答案要找 75×8 的答案皆要用到 2 個數字間 的倍數關係才可，換言之，個案不會計算75×8 是 15×4 的幾倍。研究者在下面原案 8、9 中將對這項推測做驗證。 原案8 339 師：好…那我問你喔，這一題（75×8）？如果我只告訴你這題（15×4）的答 案，我要你算這一題勒？你看的出來嗎？ 340 生：這個（75）是這個（15）的幾倍？ 341 師：幾倍啊？ 342 生：嗯…1…15…2…30…3…60…5 倍！ 343 師：對啊！ 344 生：啊這個（8）是這（4）個的 2 倍！ 345 師：所以總共是幾倍？ 346 生：不會！ 347 師：除一下嘛！ 348 生：（按電算器 75×8 記下答案 600，再按 15×4 記下答案 60）10 倍！ 349 師：所以…75（指 75×8 中的 75）是 15（指 15×4 中的 15）的 5 倍，8（指 75×8 中的 8）是 4（指 15×4 中的 4）的 2 倍，所以總共是幾倍？ 350 生：…（沉默 1 分鐘）
351 師：你剛不是算出來了（指對話 348）？ 352 生：喔…10 倍！ 353 師：10 倍怎麼來的？ 354 生：ㄟ…75 乘以 8 再除以幾？ 355 師：再來一次喔。 356 生：好。 357 師：75 是 15 的 5 倍嘛，8 是 4 的 2 倍，總共是幾倍？ 358 生：10 倍。 359 師：那怎麼來的？ 360 生：這個來的（指按電算器得知）。 361 師：那跟…跟它們之間有什麼關係（5 倍和 2 倍）？想一下。 362 生：ㄟ…親密關係！ 原案8 中，個案對個別數字的倍數關係並無困難（對話 341-344），但個案不知 道兩者合起來應該是幾倍，研究者讓學生以電算器去計算(75×8)÷(15×4)，希望個案 可以看出10 倍是由 5 倍乘以 2 倍而來的，然而個案並無法說出這樣的結果（對話 360、362），研究者於是在原案 9 作更多的引導。 原案9 363 師：它這不是 5 倍嗎（指 75×8 中的”75”除以 15×4 中的”15”）？這不是 2 倍嗎（指75×8 中的”8”除以 15×4 中的”4”）？結果是 10 倍。 364 生：喔… 365 師：5 倍乘以 2 倍不是剛好是 10 倍嗎？所以…所以你就知道，這種相乘的題 目啊，你就剛好把它乘起來，就是答案總共就是幾倍。 366 生：喔…知道！ 367 師：所以你現在知道這一題（75×8）答案是多少？ 368 生：好像是 600 的樣子耶！ 在原案8、9 中驗證了研究者在先前原案 7 的假設，個案無法從 15×4＝60 去推 75×8 的答案，而經由研究者的引導後，個案才可以正確回答出 75×8 的答案。然而針 對2 個數字間的倍數關係，個案是否確實了解它們之間的關聯性，仍待進一步的證 實，原案10 的分析將回答這個問題。
三、個案可以成功利用參考點與題目的關聯性來解題。
原案10 375 師：對啊！再算這一題 45 乘以 16。 376 生：要找哪一個啊？(意指：找哪一個當參考點) 377 師：自己找啊，找算起來簡單的。 378 生：嗯（思考 2 分鐘）…啊…這個 15 的（指找 15×4=60 當參考點）。12 倍 （指45×16 是 15×4 的 12 倍）…所以是 720（按電算器 60×12）…耶… 我寫對了（寫出45×16 的答案）！ 379 師：你要自己去找規則啊，找你認為最簡單的！ 380 生：（找 30×4 與 150×24）3 幾 15？3，5，15，那就是 5 倍。8 幾 24…3！ 5，3，15，這個（指 30×4）的 15 倍啊，我好聰明！240 乘以 15（按電 算器240×15），3600。 381 師：繼續啊。 382 生：（找 120×16 與 30×8，並分別心算 120 是 30 的 4 倍，16 是 8 的 2 倍）好 了，算好了，4，2，8…8…8，240 乘以 8 等於（按電算器 240×8）？ 1920！ 研究者在原案10 中並沒有太多的介入，因為個案經研究者在原案 9 的引導後， 已經可以自行找到參考點和計算數字間的倍數關係，從對話378、380 與 382 中，研 究者認為已經有足夠的證據顯出對於兩個數字間的倍數關係，個案可以發現它們的 題目與答案的關聯性，同時個案也可以自在的從題目中挑選適合的題目當參考點。 綜合個案在本教學活動的表現，發現個案已能夠以參考點去找未知答案，同時 可以看出這些乘法題目間的關聯性，包含答案與題目的倍數關係，因此研究者認為 個案在本教學活動中，具備能分解組合數字、使用參考點、瞭解運算與數字間的關係 等數字常識能力，而電算器在本活動中計算便利，幫助學生能夠很快去專注在找樣 式（patterns），不被太多繁雜的計算所困擾，同時對於學生的疑惑，研究者可以透 過電算器快速的澄清，並且研究者在引導學生思考時，電算器也發揮了功用，讓學 生很快的從計算答案中看到研究者想讓個案思考的內容。 教學後訪談 目的：實施後測的目的，在於確認個案在教學後的學習成效，以瞭解個案是否 具備能分解組合數字、使用參考點、瞭解運算與數字間的關係等數字常識
能力。 結果：訪談結果發現，2 個月後個案仍具備能分解組合數字、使用參考點、瞭解 運算與數字間的關係等數字常識能力。
一、對於數字簡單的問題，個案利用參考點與題目間的關聯性來解
題。
原案11 500 師：好，你做這一題。 (題目(1)： 15×2= 15× 4= 15×8= ) 501 生：(迅速的寫下答案 30；60；120) 502 師：好，告訴我你是怎麼做的？ 503 生：就是15 乘以 2 是 30，然後 4 是 2 的兩倍(指題目 15×4 與 15×2)，那 個……. 所以30×2，答案是 60。然後下一個(指 15×8)也是一樣，是它的兩倍 (指題目 15×4 與 15×8)，所以 60 加 60 就是 120。 在原案11 中，個案很成功的利用之前所學會的使用參考點和瞭解運算與數字間 的關係來解題，能夠先判斷各題目之間的關聯性，才給予解題，而不是如原案1 前 測中單獨的處理每一個問題。下列原案12 是研究者要求個案繼續解題目(2)的對話內 容，起先研究者認為依據個案在原案11 的表現，應可輕易發現其關聯性而解題，但 結果並不盡然，個案發生了一點小問題，其原案內容分析如下。二、個案欲利用題目關聯性解題時，使用了不合適的參考點
原案12 504 師：好，那你做這題。 (題目：(2)：24×5= 24×15= 24×25= ) 505 生：嗯…(心算寫下 24×5 的答案 120)。120 乘以 3 是多少？507 生：(寫下 360 的答案，並開始思考題目 24×25)。嗯…乘以 3(指將 24×15 當參考點乘以3)，好像不對…再來呢？ 508 師：你自己想一下。 509 生：嗯…嗯…(思考 1 分鐘)。[個案正嘗試用 24×15 當參考點，以找出 24×25 的答案，但似乎遇上了困難；因此 25 不是 15 的整數倍。] 510 師：你是不是找 24×15 當你的參考點，但發現並不好用？ 511 生：對。 512 師：那你該怎麼辦？ 513 生：啊…對喔，5 倍！(找到 24×5 當參考點，並心算寫下 600。) 個案在處理24×5 與 24×15 之題目時並無問題，可輕易找出倍數關係求其答案， 然而個案在面對24×25 時直覺想用 24×15 當參考點（對話 507）卻遇到了困難，因 而停頓而不知所措（對話509），於是研究者便適當引導個案再想想看，並運用所 給之條件解題，個案遂發現亦可以用24×5 當參考點。雖然個案在解 24×25 時遇上困 難，並不會企圖尋求以算則方式去計算答案，顯示個案已瞭解題目之關聯性，所以 個案專注在找出它們的樣式（patterns），而不是只想求出答案而已，這表示個已經 具備數字常識能力，只是還不能非常流暢的使用，流暢的找到最合適的參考點。 下列原案13 是個案在解題目(3)與研究者的對話過程，該題目只是數據變大，找 參考點並不困難，個案已經可以成功的利用數字常識能力解題。
三、個案成功的利用參考點與題目間的關聯性，解決數字較大的問
題。
原案13 514 師：ok，你做下一題吧！ (題目(3)： 555×12= 555×36= 555×72= ) 515 生：嗯…(顯出困擾的樣子)。[個案以電算器求出 555x12 的答案。] 516 師：好，答案是?。 517 生：6660。(開始做第 2 題 555×36)嗯…3 倍喔，6660 乘以 3 是多少？ 518 師：想想看！。519 生：〔個案使用電算器，求 6660x3，得到 19980。〕 19980。 520 師：很好!繼續。 521 生：(寫下 19980 的答案，並開始思考題目 555×72)，12 乘以幾會等於 72？ 等於6；所以 555x72 就等於 6660x6 [個案正使用電算器求 6660x6] 39960。 522 師：還有沒有別的方法? 523 生：嗯! 36x2 等於 72. 所以 555x72 就是 555x36x2。 答案是 此原案中個案對數字較大計算感到困擾，因此研究者鼓勵個案使用電算器計算。 因而個案可以成功的利用第1 小題求出第 2 題，但是個案在解 555x72 時，並不是先 考慮較方便之555x36 當參考點，而是找 555x12。經過研究者追問後，個案亦可以找 出555x36 亦可以當作參考點，以求出 555x72 之答案。 綜合觀之，個案的確具備了數字常識能力中的能分解組合數字、使用參考點，但 是他的計算能力並不是很流暢，利用電算器正可以幫助他解決大數字計算的問題。
伍、
研究結論
本研究報告只是一份個案研究，因此本研究只是在描述該個案的學習表現，對 於研究結果並無意作一般性的推論。綜觀本研究的過程，主要是由三個元素所組成， 分別是受訪者、教學者與電算器教學活動，我們可以把教學活動當成本研究的橫軸， 而受訪者與教學者的行為皆交錯在此橫軸上。依據本研究的目的，主要在觀察和了解 學生的表現，因此本研究的結論主要將放在學生的表現身上。 1.在未教學前，個案依賴傳統紙筆計算為唯一的解題方法。 在尚未接受教學前，個案面對計算問題皆很自然的採用紙筆計算方法去解題， 當研究者嘗試詢問個案是否有其它的想法時，個案並無法提出紙筆以外的計算方法 ， 沒有注意題目彼此間的關係，或使用參考點等更便利的方法解題。這也許是個案所接 受的教育將紙筆計算視為唯一的解題方法。 2.在教學後，個案開始嘗試用彈性的方法去解題。 研究者在教學後，要求受訪學生去解類似的問題，發現學生可以很快的學會用 參考點去解題，同時也開始注意各個題目數據的關聯性，由此可知要求他用不同的 19980x2=39960純專注在紙筆計算的方法上，然而我們並非否定紙筆計算的功用，很多時候它的確 是一項便利的工具，但是假使我們在解計算問題時能夠有更多靈活且方便的方法， 為何不鼓勵學生去學習呢？培養學生有多元的思考能力，並且判斷最合宜的解題方 法，是一件有意義且重要的事。 3.個案使用電算器學習，可以幫助他快速驗證與思考問題，同時也讓教學者更容易教 學。 在這個教學過程中，因為有些數據較為複雜，個案可以很容易的驗證答案與自 己的想法是否相符合，並且五年級學生已經接受了足夠的乘法計算訓練，本教學活 動主要在培養數字常識能力，並非乘法計算能力，所以學生不用在教學的過程一再 反覆的作乘法運算；當該個案的想法發生錯誤時，教學者可以要求學生按電算器， 製造認知上的衝突，讓學生有機會再思考他的想法，使教學變的較為便利，例如在 本研究中，個案對於數字的倍數關係判斷錯誤，研究者不告訴他錯在何處，只要求 他按電算器算題目的答案，個案馬上就發現自己的答案與電算器顯示的不符，於是 便自我檢視剛剛思考的過程，因而自己發現錯誤，進而改正錯誤。 當然本研究中亦存在著教學者與教學活動此兩種元素，我們將針對這兩者作一 簡單的結論與心得。 1 教師在電算器教學活動中是一個重要的引導者，必須善用電算器與注意使用電算 器教學的缺失。 如果教師在教學活動中完全放任電算器的使用的話，學生可能會過度的使用電 算器，完全不去思考問題，這便產生了反效果，教師必須成為一個領航者，要求學 生將重心放在問題上，剔除不必要的電算器使用，例如在本研究中，如果研究者只 是一昧的讓學生使用電算器，而不要求學生去注意題目的關聯性，同時也沒有讓學 生將電算器用在驗證疑惑上，也許學生反而會認為只要算出答案就好，其它的問題 並不重要，而失去了學習的意義。 2 適合用電算器教學的題目，其實就在我們的週遭。 也許我們就會認為一個好的電算器教學活動，必須天衣無縫的適合電算器的使 用，然而從本研究的結果可知，只要使用電算器可以達到我們的教學目的，又可以 讓教學更便利的話，那麼為什麼不用呢？本研究的電算器教學活動並不龐大與特別 ， 然而個案卻有不錯的學習效果，由此可見也許只是例行性的問題，稍作設計與變化 就可以用電算器來幫助學生學習。
從本個案研究可以感覺電算器並不會離我們的數學教育太遠，只要合適的使用 ， 是可以幫助學生的學習與教師的教學的。然而本研究並無意作出這樣的通論，只是單 純想呈現一個不一樣的教具（電算器），是如何在一位學生身上進行，希望能夠讓 處於數學教育圈的我們有機會更深入思考電算器與數學教學的關係，進而提升我們 的教學品質。
參考文獻
支毅君（1996）：我國國小學生估算概念之研究。台東師院學報，第七期，1-51。 吳美容（2000）：計算器活動促進六年級學童數學概念發展之個案研究-以小數概念 為例。國立嘉義大學國民教育所碩士論文。 徐俊仁、楊德清(2000)：從數字常識的觀點探討九年一貫數學學習領域「數與計算」的 能力指標，科學教育研究與發展季刊，21，56-67。 教育部（2000）：數學學習領域，國民中小學九年一貫課程綱要。 許清楊、楊德清、李茂能（2001）：國小高年級學童數字常識評定量表編製之研究， 科學教育學刊，9（4），351-374。 黃瑞琴（1999）：質的教育研究方法。台北：心理。 楊德清（2000）：國小六年級學生回答數字常識問題所使用之方法，科學教育學刊， 8（4），379-394。Beaton, Mullis, Martin, Gonzalez, Kelly & Smith(1997). Mathematics achievement in the
middle school years, IEA’s third international mathematics and science study,
Chestnut Hill, MA: Boston College, Center for the Study of Testing, Evaluation and Educational Policy.
Clark, M.(1996). So who’s cheating whom? The Times Educational Supplement, 4159, p. 7.
Demana(1999). Bridging the Gap from Arithmetic to Algebra Using the TI-73. 2000
Teachers Teaching with Technology College Short Course Program at the Ohio State University.
Dunham & Dick(1994). Research on graphing calculators. Mathematics Teacher, 87, 440-445.
of Connecticut, 1988). Dissertation Abstracts International, 49, 2104A.
Goldenberg, E. P.(1991). A mathematical conversation with fourth graders. Arithmetic
Teacher, 38(8), 38-43.
Heid, M.K.(1997). The technologiocal revolution and the reform of school mathematics.
American Journal of Education , 106, 5-61.
Hembree, R., ＆ Dessart, D.J.(1986). Effects of hand-hand calculators in precollage mathematics education: A meta-analysis. Journal for Research in Mathematics
Education, 17, 83-99.
Hembree, R.,＆ Dessart, D.J.(1992). Research on calculators in mathematics education. In J. T. Teey(Ed.), Calculators in Mathematics Education: 1992 Yearbook of the
National Council of Teachers of Mathematics(pp.22-31). Reston, VA: NCTM.
Higgins(1990). Calculus and common sense. Arithmetic Teacher, 37(7), 4-5. Howden, H.(1989). Teaching Number sense. Arithmetic Teacher, 36, 6-11.
Huinker, D. M.(1992). Research on Calculators in Mathematics Education. In J. T. Fey & C. R. Hirsch(Eds.), Decimals and calculators make sense!(pp. 56-64).
Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
Irwin, K. C. (1997). Using context to enhance students’ understanding of decimal fractions. (University of Auckland, 1997). Dissertation Abstracts International, 58, 1629A.
Keller, B., & Russell, C. (1997). Effects of the TI-92 on calculus students solving symbolic problems. International Journal of Computer Algebra in Mathematics Education, 4, 77-97.
Manly, M.(1997). Calculators in the ABE/GED classroom: Gift or curse? Adult Learning,
9, 16-17.
McClendon, M. A. (1992). The development of a graphics calculator study guide for calculus students. (University of Oregon, 1991). Dissertation Abstracts International,
52, 2450A.
McIntosh, A., Reys, B. J., & Reys, R. E.(1992). A proposed framework for examining basic number sense. For the Learning of Mathematics, 12(3), 2-8.
Standards for School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
National Council of Teachers of Mathematics(2000). The Principles and Standards for
School Mathematics. Reston, VA: NCTM.
Payne, L. K. （ 1996 ） . The Effect of mathematical subject matter knowledge on mathematical beliefs and opinions of calculator use in elementary school. （University of Northern Colorado, 1996）. Dissertation Abstracts International, 57, 1581A.
Reys, Barbara & Reys, Robert(1987). Calculators in the Classroom: How Can We Make It Happen? Arithmetic Teacher, 34, 12-14.
Runde, D. C. (1997). The effect of using the TI-92 on basic college algebra students’
ability to solve word problems. Research Report(143), Manatee Community College,
Florida.(ERIC Document Reproduction Service No. ED 409 046)
Siskind, T. G. (1995). The effect of calculator use on mathematics achievement for rural high school students. Rural Educator, 16 (2), 1-4.
Simonsen, L. M., & Dick, T. P. (1997). Teacher’s perceptions of the impact of graphing calculators in the mathematics classroom. Journal of computers in Mathematics and
Science Teaching, 16, 239-268.
Smith, B. A. (1997). A meta-analysis of outcomes from the use of calculators in mathematics education.(Texas A ＆ M University,1996). Dissertation Abstracts
International, 58,787A.
Sowder, J.(1992a). Estimation and number sense, in D. A. Grouws (Ed.), Handbook of
research on mathematics teaching and learning(pp. 371-389). New York: Macmillan.
Sowder, J.(1992b). Making sense of numbers in school mathematics. In G. Leinhardt, R. & R. Hattrup(Eds.), Analysis of Arithmetic for Mathematics Teaching(pp. 1-51). Hillsdale, NJ: Erlbaum.
Stevenson, H. W., Chen, C. & Lee, S. Y.(1993). Mathematical achievement of Chinese, Japanese & American children: Ten years later. Science, 259, 53-58.
Stigler, J. W., Lee, S. Y. & Stevenson, H. W.(1991). Mathematical knowledge of
Japanese, Chinese, and American elementary school children, Reston, VA: NCTM.
Wheatley, G. H. & Shumway, R.(1990). Calculators and Constructivism. Arithmetic
Teacher, October 1990, 22-23.
Wheatley, G. H. & Shumway, R.(1992). The potential for calculators to transform elementary school mathematics. In J. T. Fey & C. R. Hirsch(Eds.), Calculators in
Mathematics Education(pp. 1-8). Reston, Virginia: National Council of Teachers of
Mathematics.
Wilkins, C. W. (1995). The effect of the graphing calculator on student achievement in factoring quadratic equations (Mississippi State University, 1995). Dissertation
Abstracts International, 56, 2159A.
Zand, H., ＆ Crowe, W.D. （ 1997 ） . Novices entering Mathematics 2:The graphic calculator and distance learners. Computers in Education,29,25-32.
