3-1-1三角-銳角的正弦餘弦及正切

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(1)(99 課綱) 第三冊第一章三角 1-1 銳角的正弦﹑餘弦及正切【目標】能利用相似三角形對應邊的比例關係確定直角三角形中，一銳角的正弦﹑餘弦及正切，並能操作 30, 45, 60, 15, 75 的三角值及一般三角值的推算。再者熟練正餘弦的平方關係，以奠定學習三角與三角函數的基礎。【定義】 1. 銳角三角函數：設  是一個銳角，則以  為一個內角的直角三角形中，令斜邊長為 r ，  的鄰邊長為 x ，  的對邊長為 y ，如圖：. 當  給定時，這樣的直角三角形有很多，可大可小。但由於  相等，直角也相等，由 AA 相似定理知，任何兩個這樣的三角形都相似，故三邊長 x, y, r 中，兩兩的比值都由  決定。我們定義： (1) 角  的對邊長 y 比斜邊長 r 的比值稱為  的正弦(sine)， y 對邊記為 sin  ，即 sin  (正弦  )。 r 斜邊 (2) 角  的鄰邊長 x 比斜邊長 r 的比值稱為  的餘弦(cosine)， x 鄰邊記為 cos ，即 cos  (餘弦  )。 r 斜邊 (3) 角  的對邊長 y 比鄰邊長 x 的比值稱為  的正切(tangent)，對邊 y 記為 tan  ，即 tan   (正切  )。 x 鄰邊 (4) 角  的鄰邊長 x 比對邊長 y 的比值稱為  的餘切(cotangent)，鄰邊 x 記為 cot ，即 cot  (餘切  )。 y 對邊 (5) 角  的斜邊長比鄰邊長 x 的比值稱為  的正割(secant)，斜邊 r 記為 sec ，即 sec  (正割  )。 x 鄰邊 (6) 角  的斜邊長比對邊長 y 的比值稱為  的餘割(cosecant)，斜邊 r 記為 csc ，即 csc  (餘割  )。 y 對邊註：通常我們將 (sin )2 簡記為 sin2  。同樣地， (cos  ) 2 及 (tan  ) 2 也分別簡記為 2 2 2 cos2  及 tan 2  。注意符號不要誤用，如 sin x  sin x  (sin x) 。. 1.

(2) 【問題】 1. 三角形的三個邊長，可以產生幾種比值? 2. 六個銳角三角函數的定義與邊長的比值是否有關？ 3. 六個銳角三角函數的定義與所取直角三角形大小是否有關？ 4. 若已知一個銳角三角函數值，可以求得其餘的五個銳角三角函數值？ 5. 已知直角三角形的兩股長分別為 5 與 12 ，試求其餘五個三角函數值。 3 6. 已知 sin  ，試求其餘五個三角函數值。 5   30  的正弦﹑餘弦及正切。 7. 求銳角解答：設直角三角形 ABC 的斜邊 AB  r ， 30 的鄰邊 BC  x ， 30 的對邊 AC  y ，. 1 2. 讀圖可知 BD  CD  AD  AC ，故 r  2 y ，即 y  r ， 1 2. 再由畢氏定理可得 x  r 2  y 2  r 2  ( r )2 . 3 2 3 r  r。 4 2. 於是， 1 1 3 r r r y 1 3 y 2 1 x 3  ， tan 30   2  。 sin 30    ， cos30   2  x 3 r r 2 r r 2 3 3 r 2. 8. 求 sin15, cos15 。解答：作直角三角形 ABC ，其中 C  90 ， B  15 ，再作 BAD  15 ，且 D 點在 BC 上，則 ADC  30 。. 令 AC  1 ，則 DC  3 ， BD  AD  2 。 2. 由畢氏定理得 AB  12  (2  3)2  8  4 3 。於是， AB  8  4 3  8  2 12  ( 6  2) 2  6  2 。 sin 15 . AC AB. . 1 6 2. . 6 2 BC 2 3 6 2 。 cos 15  。   4 4 AB 6 2. 2.

(3) 9. 試求單位圓的內接正三角形的周長與面積？解答： 180 周長為 3  (2 sin )  6 sin 60  3 3 ， 3 3 3 1 180 180 面積為 3  [  (2 sin 。 )  (cos )]  3sin 60 cos 60  4 2 3 3 10. 試求單位圓的外切正三角形的周長與面積？解答： 180 周長為 3  (2 tan )  6 tan 60  6 3 ， 3 1 180 面積為 3  [  (2 tan )  1]  3 tan 60  3 3 。 2 3 11. 試求單位圓的內接正 n 邊形的周長與面積？解答： 180 周長為 n  (2 sin )， n 1 180 180 180 180 面積為 n  [  (2 sin 。 )  (cos )]  n  sin  cos 2 n n n n 12. 試求單位圓的外切正 n 邊形的周長與面積？解答： 180 周長為 n  (2 tan )， n 1 180 180 面積為 n  [  (2 tan 。 )  1]  n  tan 2 n n. 3. 1. 1. 1. 180 n. 180 n. 1.

(4) 13. 試利用幾何作圖的方法求出下列幾個特別角的三角函數值：角度  30 45 三角函數. sin. 1 2. cos. 3 2 1. tan . 60. 1. 3 2. 2 1. 1 2. 2. 1. 3. cot. 3. 1. sec. 2 3. 2. csc. 2. 2. 求 30,60 的三角函數值：. 3 1 3. 2 2 3. 求 45 的三角函數值：. 45. 30. 14. 試利用幾何作圖的方法求出下列幾個非特別角的三角函數值：角度  15 75 三角函數. 22.5. sin . 6 2 4. 6 2 4. 2 2 2. cos. 6 2 4. 6 2 4. 2 2 2. tan  cot. 2 3. 2 3. 2 1. 2 3. 2 3. 2 1. sec. 6 2. 6 2. csc. 6 2. 6 2. 求 15 的三角函數值：(由  求.  之法) 2. 2 2 2 2 2 2. 求 22.5 的三角函數值：(由  求. (1)方法一. (1)方法一. 30. 15. 45. 22.5. (2)方法二. (2)方法二 22.5. 15 15. 22.5. 4.  之法) 2.

(5) 15. 試利用幾何作圖的方法求出下列幾個非特別角的三角函數值：角度 18 72 36 三角函數. 54. sin. 5 1 4. 10  2 5 4. 10  2 5 4. 5 1 4. cos. 10  2 5 4 5 1. 5 1 4. 5 1 4. 10  2 5. 10  2 5. 10  2 5 4 5 1. 10  2 5. 5 1. 5 1. 10  2 5. 10  2 5. 5 1. 5 1. 10  2 5. 5 1 4. 10  2 5. 10  2 5. 5 1. 5 1. 5 1 4. tan . cot sec csc. 10  2 5 5 1. 4. 4. 10  2 5. 10  2 5. 求 18,72,36,54 的三角函數值： A. 18 18. x. F. 1. x. E. 36. 18. 18. B. 72. D. C. 註：取等腰直角 ABC ， B  C  72 ，設 AB  1, BC  x ，. ABC 平分線交 AC 於 F 點， FBC 平分線交 AC 於 E 點， 1 x 則 BF  AF  x, EF  EC  ， 2 1 x x 由 ACD 可得 sin18  ，由 ABE 可得 cos 36  。 2 2 16. 對於其它的角度，應該如何用作圖法求出其三角函數值？. 5. 10  2 5 5 1.

(6) 【性質】三角函數的關係： 1. 餘角關係： sin(90   )  cos ， cos(90   )  sin ； tan(90   )  cot ， cot(90   )  tan  ； sec(90   )  csc ， csc(90   )  sec 。證明：當兩個銳角  與  滿足     90 ，即  與  互為餘角時，  與  就是同一個直角三角形中的兩銳角。此時，  的對邊是  的鄰邊，而  的鄰邊是  的對邊，如圖所示。因此， sin   cos ， cos   sin  。由於   90   ，故 sin (90   )  cos  ， cos (90   )  sin  。上述關係式恆成立，稱為餘角關係。 2. 平方關係： sin2   cos2   1， 1  tan 2   sec2  ， 1  cot 2   csc2  。輔助圖形： E. F B. D. 1.  O. AC. 觀察上圖中分別  的斜邊、鄰邊、對邊為 1 的 OAB, OCD, OEF 如下：. B 1 O.  cos. sec. sin. A. D. E. tan . 1. cot.  O. C. 1. . F. csc. O. 假設以  為一內角的直角三角形，斜邊長為 r ,  的鄰邊長為 x ，對邊長為 y ，由畢氏定理， x 2  y 2  r 2 。 y r. x r. 故 (sin  )2  (cos  ) 2  ( ) 2  ( ) 2 . x2  y 2 r 2  2 1 。 r2 r. 通常我們將 (sin  ) 2 簡記為 sin 2  。同樣地， (cos  ) 2 及 (tan  ) 2 也分別簡記為 cos2  及 tan2  。於是有 sin2   cos2   1 ，上述 sin  與 cos  的關係式對任意銳角  恆成立，稱為平方關係。 6.

(7) 3.. 4.. 5.. 倒數關係： 1 1 1 ， cos  ， tan   。 sin  csc sec cot 商數關係： sin cos ， cot  。 tan   cos sin 輔助記憶公式圖形：. sin tan . cos 1. sec. cot. csc. 註：上述各種關係可用三角函數的基本定義證明。. 7.

(8) 【意義】銳角三角函數的幾何意義： 1.. 如圖： ABC 為直角三角形，且 AD  1， AD  BC , DE  AC , DF  AB ，可得 DE  sin , DF  cos , CD  tan  , BD  cot , AC  sec , AB  csc ，且 sin  tan   sec , cos  cot  csc 。 A F 1 B. 2.. E.  D. C. 如圖：單位圓的一部份中，設 O 為圓心， OAB 為直角三角形且 BOA   ，. B, C, E 在圓上， BA  OA, DC  OC , EF  OE ，可得 AB  sin , OA  cos , CD  tan  , EF  cot , OD  sec , OF  csc ，且 sin  tan   sec , cos  cot  csc 。 E. F B. D. 1.  O. AC. 【定義】 1. 三角函數：銳角  可以在大於 0 到小於 90 之間變化，  是一個變數，而 sin  的值由  決定。因此， sin  是  的函數，稱為正弦函數。又 cos  及 tan  也都是  的函數，分別稱為餘弦函數及正切函數，這些函數都稱為三角函數。. 8.

(9) 【性質】 1. 變化範圍：如圖，是圓心在 B ，半徑為 r 的四分之一圓，動點 A 在圓弧上， ABC 是直角三角形，C 是直角。設 ABC   , BC  x, AC  y 。當  增大時， r 不變， y 遞增， x 遞減， y x y 遞增， cos   遞減，而 tan   遞增。 r x r 換言之，銳角  愈大時， sin  及 tan  愈大，而 cos  愈小。此外， sin  , cos  , tan  之值的變化範圍如下：. 故 sin  . 2.. 3.. 0  sin  1 ， 0  cos  1， tan   0 。大小關係：討論當角度由 0 增加到 90 時，六個銳角三角函數值的變化情形。 (1) 當 0    90 時，sin  , tan  , sec  為遞增函數，且 sin  tan   sec ； cos , cot , c s c 為遞減函數，且 cos  cot  csc 。 (2) 當 0    45 時， sin  cos ；當 45    90 時， sin  cos 。取值範圍：角度取值範圍 0  90 三角函數 (0,1) ↗ sin  (0,1) ↘ cos (0, ) ↗ tan  (0, ) ↘ cot (1, ) ↗ sec (1, ) ↘ csc. 9.

(10) 【方法】三角恆等式的證明原則： 1. 由繁化簡。 2. 化成同角度處理。 3. 盡量化成 sin , cos 表示。 4. 適當利用各種三角函數的關係。 5. 左右兩式可以直接相減為零或是相除為 1 或交叉相乘相等。【公式】在證明三角恆等式時常用的公式： 1. sin 2   cos2   1。 2. (sin  cos ) 2  1 2 sin cos 。 3. sin3   cos3   (sin  cos )(sin 2   sin  cos  cos2  )  (sin  cos )(1  sin cos ) 。 4. sin 4   cos4   (sin 2   cos2  ) 2  2 sin 2  cos2   1 2 sin 2  cos2  。 5. sin6   cos6   (sin 2   cos2  ) 3  3 sin 2  cos2  (sin 2   cos2  )  1 3sin 2  cos2  。 1 sin cos 6. tan   cot  。   cos sin sin cos 【問題】 1. 如何由 sin  cos 之值求出 sin  cos 或 sin  cos 之值？(注意正負) 2. 如何由 sin  cos 或 sin  cos 之值求出 sin  cos 之值？ 3. 如何由 tan   cot 之值求出 sin  cos 之值？註： sin  cos , sin  cos , sin  cos , tan   cot 等式子，常常給定一個求其餘三個，進而可求 sin , cos 之值。. 10.

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