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第 3 章 电阻电路的一般分析方法

本章重点 z 电路的图、树、树支、连支、单连支回路、独立回路的概念。 z 掌握网孔电流法、回路电流法、节点电压法等分析方法，求解较复杂 电路。 z 含有受控源及无伴电源电路的分析计算。 本章难点 z 根据电路的图、树，用回路电流法列写方程。 z 支路电流法、网孔电流法、回路电流法在电路含有无伴电流源及无伴受 控电流源的分析。 z 支路电流法、节点电压法在电路含有无伴电压源及无伴受控电压源的分析。 本章学习复杂电阻电路的分析计算。电阻电路的分析是以电路中电压或电流为 未知量，根据元件的VCR 关系（VCR 定律）和基尔霍夫电压定律（KVL 定律）、 基尔霍夫电流定律（KCL 定律）为理论依据，建立方程组，求解未知量，从而得到 电路中未知电压或电流，并求电路中元件的功率。方法有：支路电流法、网孔电流 法、回路电流法、节点电压法等分析方法，其中后三种方法较简便，要重点掌握。

3.1 电路的图

本节介绍一些图论的初步知识。图论是数学领域中的一个重要分支，其在电 路中的应用称为网络图论。在电路分析中，以图论为数学工具选择电路的独立变 量，列出电路的独立方程进而求解。网络图论用于结构较复杂的电路分析，也为 利用计算机设计、计算、分析大规模电路奠定了基础。 3.1.1 图的概念 在数学图论知识中，图是由点和边构成的。应用于电路上，对于任何一个电 路，其电路图是由节点和支路构成的，如果不考虑元件本身的性质，只考虑元件 之间的连接关系，而用线段和点表示，就组成了电路的“图”。将电路中每一元件 或一些元件的某种简单组合（串、并联）用一条线段（长、短、曲、直均可）来 代替，这条线段称为支路。每一条支路的端点称为节点，节点允许是孤立的。由 支路和点构成的集合，或者说由线段和点组成的图形，称为该电路的拓扑图，简

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 称图。通过电路的结构及其连接性质对电路进行分析和研究称为网络图论。 电路的图中支路和节点与电路图中的支路和节点是有区别的。“图”中的支路 是一个抽象线段，各支路端点为节点，它可以是两条及以上支路的交汇点，也可 以是一个孤立的节点，任何一条支路必须终止在节点上，若支路移去，允许有孤 立节点存在；反之移去一个节点，必将与该节点连接的全部支路同时移去，无节 点则无支路。电路图中的支路由具体元件和导线连接而成，是一个实体，节点是 两条或两条以上支路的交汇点，支路连于两节点之间，无支路则无节点。电路的 图相同，但电路图未必相同，因为每个支路上元件的性质不同。 若图中的支路按电流（或电压）正方向标示在线段上，这样的图称为有向图， 即赋予支路方向的图称为有向图，未赋予支路方向的图称为无向图。 图的画法如下：①激励源可作为一个支路处理，用一根线段（弧线或曲线） 表示；②激励源与电阻串联（或并联）组成一个复合支路，可用一根线段表示； ③受控源同独立源处理；④一个或若干个无源元件串（并）联构成一条支路；⑤ 支路用1，2，3……表示，节点用①，②，③……表示。如图 3.1 所示，其中（a） 为电路图，（b）、（c）、（d）为电路的图，（d）为有向图。 （a） （b） （c） （d） 图3.1 电路的图

58 电路简明教程 3.1.2 KCL 和 KVL 方程的独立方程个数 由KCL 定律和 KVL 定律列写方程时，与支路的元件性质无关。本节讨论如 何利用电路的图列出KCL 和 KVL 方程，并讨论方程的独立性。 （1）KCL 方程的独立性讨论 图3.2 所示为一个电路的图，由 KCL 定律列出①、②、③、④等节点的 KCL 方程如下： 图3.2 KCL 方程的独立方程数讨论 KCL 方程的独立方程数 1 2 4 2 3 5 1 3 6 4 5 6 0 0 0 0 i i i i i i i i i i i i + + = ⎧ ⎪− + + = ⎪ ⎨− − + = ⎪ ⎪− − − = ⎩ 将上述4 个方程相加，等号两边均为零，说明 4 个方程并非都是独立方程， 而将其中任何3 个方程相加，必得第 4 个 KCL 方程，说明其中有三个方程是独立 的，有一个是非独立的。 对于图3.2，每个支路均连于两个节点之间，从一个节点流出为正，流入另一 节点为负，4 个 KCL 方程列出后，每个支路电流均出现两次，一次为正，一次为 负。所以将4 个方程相加为零。任意前三个节点的 KCL 方程中（如节点①、②、 ④），除与第四个节点（如节点③）相连的电流只出现一次以外，其余电流均出现 两次，一次为正，一次为负，将前三个方程相加，出现过一正一负的电流均相互 抵消，只留下与第四个节点相连的支路电流，那么它即为第四个节点的电流方程， 故它是非独立的，前三个方程是独立的。 推广到 n 个节点的电路，n−1个KCL 方程是独立的，第 n 个方程为非独立的， 对应独立KCL 方程的节点称为独立节点，所以 n 个节点电路有n−1个是独立节点，

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 可列写n−1个独立的KCL 方程。注意这n−1个节点是任意选择的，独立与非独立 都是相对而言的。 列写KCL 独立方程的方法：①画出电路的有向图 G；②选择n−1个独立节点； ③列写n−1个KCL 方程。 （2）关于 KVL 方程的独立性讨论 对应独立的KVL 方程的回路称为独立回路，它与支路的方向无关，故可由无 向图来描述。为讨论独立性，将给出路径、连通图G、回路、树、树支、单连支、 单连支回路等概念。 如图3.3 所示电路。对于图 3.3（a），从图 G 的某一点出发，沿着一个或一些 支路移动，到达另一节点或回到原出发点，这样一条或多条支路构成了一条路径。 （a） （b） （c） （d） 图3.3 KVL 方程的独立方程数讨论 如果对于图G 来说，任意两个节点之间至少有一条路径就称图 G 为连通图。 从图 G 的某一节点出发，沿着一些支路和节点移动，最后又回到原出发点，形成 闭合路径，该路径称为回路，回路中除起点和终点重合外，其他节点不出现重复，

60 电路简明教程 如图 3.3（a）中支路（2，3，1），（1，4，6），（1，3，5，4），（2，3，6，4）等 构成回路。n 个节点（n=4）总共有 2n_{（16）个不同的回路，但独立回路数远少于} 总回路数。为确定一组独立回路，引入“树”的概念。 树T 包含连通图 G 中的全部节点和部分支路，但不包含回路，而树 T 本身是 连通的。对于图3.3（a）的连通图，图 3.3（b）、（c）、（d）画出了几种树，一个连 通图中共有树的种类2n_{个。一个树T 包含的支路称为这个树的树支，连通图 G 中} 不属于这个树T 的支路称为连支。由一个连支和树 T 中的若干树支构成一个回路， 称为单连支回路，又称基本回路，每个单连支回路仅含一个连支，且这一连支不 会出现在其他单连支回路中，故单连支回路是独立回路，由 l 个连支分别与树 T 构 成 l 个单连支回路。由全部连支和这个树 T 形成的基本回路构成单连支回路组，故 基本回路数等于连支数，等于独立回路数。 可以证明，连支数 l =独立回路数=基本回路数=KVL 独立方程的个数。因为每 个单连支回路中都包含一条也仅包含一条连支，是其他连支回路所没有的，故每 出现一个新的基本回路，就出现一个新的连支电流，该连支电流就是独立的，因 而由每个基本回路所建立的关于该连支电流的KVL 方程也是独立的。 可以证明，树支数=独立节点数n−1=KCL 独立方程的个数。这是因为，对于 n 个节点的电路，除了第一个树支连于两节点之间，以后每增加一个节点均出现一 个新的树支，且仅出现一个树支，因为凡接有支路（树支）的节点之间不能再有 支路连接，否则构成回路，违背树的定义，增至第 n 个节点时，树支数为n−1个， 由于每增加一个新节点就出现一个新树支，因而该节点的KCL 方程又出现了一个 新的支路电流，是其他KCL 方程中没有出现过的电流，故该节点是独立节点，对 应的KCL 方程也是独立的，如图 3.4 所示。 图3.4 KCL 独立方程个数 由上分析可知，一个具有 n 个节点、b 条支路的电路，其连通图 G 的树支数 为n−1个，等于KCL 独立方程的个数。图 G 的连支数为 l 个，等于 KVL 独立方 程的个数，故独立回路数l= − −b (n 1)。 电路图有平面图和立体图之分。若一个电路画在平面上，各条支路不会出现 交叉但不相连的情况，这样的图称为平面图。平面电路任一不包含支路的闭合回 路称为网孔，如图 3.3（a）所示共有 3 个网孔。网孔必定是回路，但回路不一定 是网孔。

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 可以证明：网孔数=独立回路数 l = KVL 独立方程的个数。 列写KVL 独立方程的方法：①画出电路的图 G；②任意选一种树 T；③确定 单连支回路组 l；④由单连支回路组列写 KVL 方程。 例如图3.5，图（a）是某电路的图，图（b）实线部分是所选择的树 T（1，4， 5），则 2，3，6 为连支，l = 3，图（c）、（d）、（e）分别为各单连支回路，共 3 个， 由此列写出3 个独立 KVL 方程。 （a） （b） （c） （d） （e） 图3.5 独立的 KVL 方程 1 3 5 1 2 4 5 4 5 6 0 0 0 u u u u u u u u u u + + = ⎧ ⎪ − + + = ⎨ ⎪− − + = ⎩

3.2 支路电流法

支路电流法以支路电流为未知量，通过元件VCR 关系用支路电流表示支路电

62 电路简明教程 压，列写 n-1 个 KCL 独立电流方程及 l = b-(n-1)个 KVL 独立电压方程，然后联立 求解。b 个支路电流共列 b 个方程，支路电流数与独立方程个数相等，故可求解各 支路电流。支路电流法又称1b 法。 已知元件参数及电源，求解各支路电流。以图 3.6（a）所示电路为例说明支 路电流法。 （a） （b） 图3.6 支路电流法 步骤如下：（1）确定各支路电流I1~I6，参考方向如图所示。 （2）确定独立 KCL 方程个数。 独立节点数(n-1) = 4-1 = 3 个 确定独立KVL 方程个数。 独立回路数为 l = b- ( n-1) = 3 个 （3）选择独立节点①、②、③，由 KCL 定律∑ = ，列写(n-1)个 KCL 方I 0 程如下： 1 2 4 0 I I I − + + = ① 4 5 6 0 I I I − + + = ② 1 3 5 0 I + −I I = ③ （4）由 KVL 定律∑IR= ∑US，选取回路绕行方向，列写 l 个 KVL 方程如下：

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 （本电路选取网孔为独立回路，且绕行方向均设为顺时针方向） 1 1 4 4 5 5 S1 S4 I R +I R +I R =u −u ④ 2 2 4 4 6 6 S2 S4 I R −I R −I R =u +u ⑤ 3 3 5 5 6 6 S3 I R I R I R u − − + = − ⑥ 联立①~⑥求出支路电流I1~I6。 如果以支路电压为未知数，通过VCR 关系以支路电压表示支路电流，列写(n-1) 个KCL 方程及 l = b - (n-1)个 KVL 方程，然后联立求解 b 个方程组的方法称为支 路电压法（又称1b 法）。 电压源若没有串联电阻，该电压源称为无伴电压源；电流源若没有并联电阻， 该电流源称为无伴电流源。若电路中含有无伴电流源，在列写KVL 方程时，设该 电流源电压为未知量，增加一个新未知量，则要增加一个新方程，即建立该支路 电流等于电流源的关系式，未知量变为b+1 个，方程也为 b+1 个，仍然可以求解。 支路电流法简单，但求解方程组较麻烦，当电路复杂支路数多时，需采用其他简 便方法。 例 3-1 电路如图 3.7 所示，R₁=R₂= Ω10 ，R₃= Ω4 ，R₄=R₅= Ω8 ，R₆= Ω2 ， 3 20V S u = ，u_S6=40V。用支路电流法求解电流I₅。 图3.7 例 3-1 的图 解：各支路电流参考方向如图3.7 所示。 支路 b = 6，独立节点 n-1=3 个，独立回路l=6-3=3 个。 需列写3 个 KCL 方程及 3 个 KVL 方程。 选取独立节点①、②、③，如图3.8 所示，由 KCL 定律： 1 2 6 0 I + −I I = _① 2 3 4 0 I I I − − + = _② 4 5 6 0 I I I − + + = _③ 选取网孔1、2、3 绕行方向，由 KVL 定律： 1 1 2 2 3 3 S3 I R −I R +I R =u _④

64 电路简明教程 I R3 3+I R4 4+I R5 5=uS3 ⑤ 2 2 4 4 6 6 S6 I R +I R +I R =u _⑥ 联立方程①～⑥，代入数据求解I₅= −0.96A。

3.3 网孔电流法

网孔电流法以网孔电流为未知数，由KVL 定律列写 l = b-(n-1)个关于网孔电流 的独立方程，然后联立求解网孔电流，并由此求出各支路电流的方法。比支路电流 法少n-1 个方程，从而简化分析计算。适用于平面电路节点多、网孔少的情况。 3.3.1 网孔电流的概念 已知电路元件及参数，求解各支路电流或电压，电路如图 3.8（a）所示，如 果用支路电流法求解，回路选顺时针绕向。 （a） （b） （c） 图3.8 网孔电流法 由KCL 定律对节点①： 1 2 3 0 I I I − + + = （3-1）

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 由KVL 定律对回路 1： 1 1 2 2 S1 S2 I R +I R =u −u （3-2） 对回路2： 2 2 3 3 S2 S3 I R I R u u − + = − （3-3） 由（3-1）得：I2= −I1 I3，代入（3-2）、（3-3）得： 1 1 1 3 2 1 2 1 3 2 3 3 2 3 ( ) ( ) S S S S I R I I R u u I I R I R u u + − = − ⎫ ⎬ − − + = − _⎭ 整理： 1 1 2 2 3 1 2 1 2 2 3 3 2 3 ( ) ( ) S S S S I R R R I u u I R R R I u u + − = − ⎫ ⎬ − + + = − _⎭ （3-4） （3-4）式可以这样考虑，假设网孔 1 流过电流Im₁=I₁，网孔 2 流过电流 2 3 m I =I ，则支路1 流过电流Im1，支路3 流过电流Im2，支路2 流过电流为Im1−Im2， 式（3-4）由式（3-1）代入（3-2）、（3-3）得到，故（3-4）中 KCL 定律自行满足。 3.3.2 网孔电流方程独立性讨论 从图论的观点分析，如图3.8 所示。由上面分析可知：①设连通图如图 3.8（b） 所示，选2 为树支，则 1、3 为连支，连支流过的电流即为网孔电流，而树支流过 的电流为网孔电流的代数和，因而在列写 l 个 KVL 方程时 KCL 方程已自行满足； ②网孔是独立的，是单连支回路，故网孔电流方程也为独立方程，网孔数=独立回 路数l，故可由网孔电流方程求解电路。 各支路电流为：非公共支路电流即为网孔电流（该支路设为连支电流），公共 支路电流是相邻网孔电流在该支路上的代数和（该支路设为树支电流），所有支路 电流均可由网孔电流求出。 3.3.3 网孔电流方程的一般形式 令I₁=I_m1，I₃ =I_m2，将I_m1、I_m2代入式（3-4）可写为： 1 2 1 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 3 ( ) ( ) m m S S m m S S R R I R I u u R I R R I u u + − = − ⎧ ⎨− + + = − ⎩ （3-5） 从式（3-5）可以看出，在列写 l 个 KVL 方程时，KCL 方程已自行满足。联 立求解I_m1、I_m2，然后求出I₁、I₂、I₃。 称R₁₁=R₁+R₂为网孔 1 的自电阻，R12= −R2为网孔 2 对网孔 1 的互电阻， 21 2 R = −R 为网孔1 对网孔 2 的互电阻，R₂₂ =R₂+R₃为网孔2 的自电阻，式（3-5） 可写为： 11 1 12 2 11 21 1 22 2 22 m m S m m S R I R I u R I R I u + = ∑ ⎧ ⎨ _{+ = ∑} ⎩

66 电路简明教程 网孔电流方程的一般形式为： 11 1 12 2 1 11 21 1 22 2 2 22 1 1 2 2 m m m mm S m m m mm S m m m m mm mm S mm R I R I R I u R I R I R I u R I R I R I u + + + = ⎧ ⎪ _{+ + + =} ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ _{+ + + =} ⎩ L L LL L （3-6） 共m 个网孔电流方程。 式（3-6）可表述为： 本网孔电流×自电阻+相邻网孔电流×互电阻=本网孔中所有电源电压的代数和。 其中：当两个网孔电流在互电阻中流过的方向相同时，互电阻为正；反之为 负。电源电压与绕行方向相反为正；相同为负。 自电阻均为正值，网孔电流方向即为电压绕行方向，所以自电阻均为正；互 电阻是正还是负，要看相邻网孔电流在互电阻上流向与本网孔电流是否相同，若 相同，则为正，因电压顺网孔电流方向为正；反之为负。若选网孔电流均为顺时 针（或逆时针），则所有互电阻均为负值。 3.3.4 网孔法步骤 （1）确定各支路电流参考方向。设网孔电流方向，网孔数共为l= − −b (n 1)个。 （2）列写网孔电流方程。 （3）解方程求出网孔电流。 （4）由网孔电流求出各支路电流。 非公共支路（单连支）电流=网孔电流，公共支路（树支）电流为各网孔电流 的代数和。其中与该支路电流方向一致的网孔电流取“+”，反之取“−”。 注意：①当电路中存在电流源与电阻的并联组合时，可以先将其等效变换为 电压源与电阻的串联组合，然后再按上述方法写方程；②若电阻与电流源串联， 该电流源为无伴电流源，处理方法见后；③平面电路一般选网孔为独立回路，无 需再通过确定树来选择独立回路，可以简化分析；④以后列写回路电流方程时， 无需再做上面推导，可按一般形式直接列写。 特别地，无伴电流源及无伴受控电流源，其端电压为未知量，列写方程时增 加一个未知量，就需要建立一个新方程，即建立电流源所在支路电流与网孔电流 的关系式，使方程数等于未知量个数，从而才能求解方程。电路中若不含无伴电 流源及受控源，则网孔电流方程组的系数行列式是一个对称矩阵，由此可以检验 方程是否正确。 例 3-2 电路如图 3.9 所示，R1=R2= Ω，10 R3= Ω4 ，R4=R5= Ω8 ，R6= Ω2 ， 3 20V 6 40V S S u = ，u = ，用网孔法求解电流I₅。 解：选网孔电流为I_m1、I_m2、I_m3，方向如图3.9 所示。 由网孔电流法列方程如下：

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 1 2 3 1 2 2 3 3 3 2 1 2 4 6 2 4 3 6 3 1 4 2 3 4 5 3 3 ( ) ( ) ( ) m m m S m m m S m m m S R R R I R I R I u R I R R R I R I u R I R I R R R I u + + − − = ⎧ ⎪− + + + − = ⎨ ⎪− − + + + = − ⎩ 代入数据，解得：I_m3 =0.96A 则I₅= −Im₃= −0.96A 图3.9 例 3-2 的图

3.4 回路电流法

回路电流法是以回路电流为未知数，列写一组l= − −b (n 1)个独立的 KVL 方 程，然后求解电路的方法。适用于平面或非平面电路，比支路电流法少列 n-1 个 KCL 方程。 3.4.1 回路电流的概念 上节网孔电流法假设网孔流过电流列写关于网孔电流的KVL 方程，由于网孔 是独立回路，所以网孔电流是独立变量，列写的网孔电流方程也是独立的，从而 可以求解网孔电流。本节假设每个回路中流过电流，为使方程是独立方程，所选 回路为单连支回路，假设该回路中流过的电流为回路电流，则连支电流即为回路 电流。 3.4.2 关于回路电流方程独立性的讨论 由于单连支回路是独立回路，每个连支电流也是独立变量，不受其他回路电 流即单连支回路电流制约，由连支回路组列写的关于连支电流即回路电流的 KVL 方程组也是独立方程组。 由图论知，对于 n 个节点 b 条支路的电路其连支数 l =独立回路数=b− −(n 1) 个，连支流过回路电流，树支电流是流过该树支的所有回路电流即单连支电流的 代数和，可由连支电流求出，故体现了KCL 定律的制约关系，是非独立电流，共

68 电路简明教程 有 n-1 个。由此所有支路电流可由 l 个回路电流表示，列回路电流方程时，因可以 用回路电流表示树支电流，已满足KCL 方程，故只需列l个KVL 方程即可。 3.4.3 回路电流方程的一般形式 电路如图3.10（a）所示，3.10（b）为该电路的图，选 2、3、4 为树支，1、5、 6 为连支，il₁、il2、il3为连支电流，如图3.10（c）、（d）、（e）、（f）所示。 （a） （b） （c） （d） （e） （f） 图3.10 回路电流法 则 连 支 电 流 I₁=I_l1 ， I₅=I_l3 ， I₆=I_l2 ， 树 支 电 流 I₂= − +I_l1 I_l2 ， 3 l1 l2 l3 I = − +I I −I ，I₄= −I_l2+I_l3。树选择的不同，则树支数和连支数也各不相同， 而计算结果树支电流和连支电流也不一定相同，但各支路电流是一样的。 由KVL 定律，对于回路 1、回路 2、回路 3 列写方程如下： 1 2 3 1 2 3 2 3 3 3 2 3 1 2 3 4 6 2 3 4 3 6 3 3 1 3 4 2 3 4 5 3 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) l l l S l l l S S l l l S R R R I R R I R I u R R I R R R R I R R I u u R I R R I R R R I u + + − + + = ⎧ ⎪− + + + + + − + = − ⎨ ⎪ _{− + + + + =} ⎩ （3-7） 求解I_l1、I_l2、I_l3，即可求出I₁~I₆支路电流。

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 设 R₁₁=R₁+R₂+R₃ ， R₁₂=R₂₁= −(R₂+R₃) ， R₁₃ =R₃₁ =R₃， R₂₂=R₂+R₃ 4 6 R R + + ，R₂₃=R₃₂= −(R₃+R₄)，R₃₃=R₃+R₄+R₅，其中R₁₁、R₂₂、R₃₃称为自 电阻，其余为互电阻，如R₂₁= −(R₂+R₃)，是相邻回路1 的电流流过回路 2 的互 电阻R₂+R₃时产生的电压，与回路2 电流方向即 KVL 方程的绕行方向相反，故 为“-”号。 自电阻均为正的，互电阻的正或负要看相邻回路电流在公共支路的电阻上产 生的电压，是否与本回路电流方向一致，若一致则为“+”，反之为“-”。说明回 路电流方向代表了KVL 方程的绕行方向。 从上式（3-7）可以看出 KCL 定律在其内自行满足。对回路 2 有： 2( l1 l2) 3( l2 l3 l1) 4( l2 l3) 6 l2 S6 S3 R − +I I +R I −I −I +R I −I +R I =u −u 用支路电流法列写方程为： 2 2 3 3 4 4 6 6 S6 S3 R I +R I +R I +R I =u −u 与支路电流法比较，在列写回路 2 的 KVL 方程时，用到了 KCL 定律。 2 l1 l2 I = − +I I ，I₃= − +I_l1 I_l2−I_l3，I₄=I_l2−I_l3，故 KCL 方程在其中自行满足， 比支路电流法少列n－1 个 KCL 方程。 回路电流方程的一般形式为： 11 1 12 2 1 11 21 1 22 2 2 22 1 1 2 2 l l l ll S l l l ll S l l l l ll ll S ll R I R I R I u R I R I R I u R I R I R I u + + + = ⎧ ⎪ _{+ + + =} ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ _{+ + + =} ⎩ L L L L （3-8） 其中R₁₁， ，R_{22 L}R_ll为自电阻，分别为各回路所有电阻之和，R₁₂， ，R₁₃ LR_{l l( 1)}− 为互电阻，是该回路与相邻回路的公共支路上所有电阻之和，us₁₁,us₂₂,Lusll为回 路1，2，… l 中所有电压源的代数和，其中与回路电流方向相同的电压源电压取 “－”，反之取“+”。 式（3-8）表述为： 本回路自电阻×本回路电流+互电阻×相邻回路电流=本回路上所有电压源的代 数和。 注意：①若电路中有电流源和电阻的并联组合，可经过等效变换为电压源和 电阻的串联组合；②若电阻与电流源串联，该电流源为无伴电流源，处理方法见 后；③以后列写回路电流方程时，无需再做上面推导，可按一般形式直接列写； ④电路中若不含受控源及无伴电流源，则回路电流方程组的系数行列式是一个对 称矩阵，由此可以检验方程是否正确。 回路电流法步骤： （1）确定各支路电流方向，作电路的有向图。 （2）选择一种树，确定连支、树支及单连支回路组，标示回路电流方向（即 连支电流方向）。

70 电路简明教程 （3）列写l= − −b (n 1)个回路电流方程。 （4）解方程，求出 l 个回路电流。 （5）求各支路电流。连支所在的支路电流等于该连支回路电流；树支所在的 支路电流等于流过该树支的所有回路电流代数和，其中与树支方向一致者，回路 电流取“+”，反之取“－”。 特别地，对于无伴电流源因其不能转换为电压源的形式处理，可设其端电压 作为一个变量列入方程，并增加一个方程，建立无伴电流源所在支路与回路电流 的关系式。也可采用简便方法：选无伴电流源所在支路为一连支，尽量避免列写 该连支所在回路的回路电流方程。对于无伴受控电流源，建立 CCCS 的控制量电 流（或 VCCS 的控制量电压）与回路电流的关系式。对于受控电压源用回路电流 表示受控源电压，将其作为电源列于KVL 方程右边，经整理后将回路电流写于方 程左边。 对于平面电路尽量选取网孔作为回路。要注意的是列写回路电流方程，尽管 未知量是电流，但方程是以电压为量纲的。 例 3-3 电路如图 3.11（a）所示，IS =5A，为无伴电流源，试用回路电流法 列出电路的方程。 （a） （b） 图3.11 例 3-3 的图 解：各支路电流如图所示。 选4、5、2 为树支，则 1、3、6 为连支，各回路电流方向如图 3.12（b）所示。 由回路电流法： 对回路1 10Il1−10Il2=50 10− IX （1） 对回路2 −10Il₁+(10 20 10)+ + Il₂−20Il₃= −30 （2） 2 l X I =I （3） 3 5 l I = （4） 联立（1）（2）（3）（4）求解I 、l₁ I 、l2 I 。l3 各 支 路 电 流I₁=I_l1，I₂=I_l1−I_l2，I₃=I_l2，I₄=I_l1−I_l3， I₅=I_l2−I_l3，

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 6 l3 5A I =I = 。 上面分析中，把元件电流源I_S =5A所在支路选为一个连支，避开列写连支6 所在回路 3 的回路电流方程，而受控电压源10I 用回路电流表示，其作为电压源X 列于等式右边。 另一解法：也可设5A 无伴电流源的电压为u ，如图0 3.11（a）所示，树支和 连支选择与上面相同。 列写方程如下： 1 2 1 2 3 2 3 0 2 3 10 10 50 10 10 (10 20 10) 20 30 20 20 10 5 l l X l l l l l X l X l I I I I I I I I u I I I I − = − ⎧ ⎪− + + + − = − ⎪⎪_{− + = − +} ⎨ ⎪ ₌ ⎪ ⎪ = ⎩

3.5 节点电压法

节点电压法是以节点电压为未知量，列写n− 个独立节点的 KCL 方程，然后1 求解电路的方法。适用于平面及非平面电路节点少、回路多的情况，比支路电流 法少列 l 个方程。 3.5.1 节点电压的概念 我们知道电压与电位参考点的选取无关。每一支路连于两个节点之间，而支 路电压即两节点电位之差，若选其中某一节点电位为参考电位，设为零电位，则 另一节点到该点的电位即为节点电位，该节点电位也即支路电压大小。故节点电 位也称为节点电压。所谓节点电压是指独立节点与参考点的电位之差。所有支路 电压均可通过KVL 方程建立与节点电位的关系，用节点电压表示，进而可表示 所有支路电流。节点用①，②，③……等表示，节点电压用u 、n1 u 、n2 u 、n3 un4…… 等表示。 电路如图3.12 所示，设节点④为参考节点，un4 = ，则节点①，②，③为独0 立节点，则有： 1 n1 n4 n1 u =u −u =u ，u₂=u_n2−u_n4=u_n2，u₃=u_n3−u_n4=u_n3 由KVL 方程： u4+u2− = u1 0 u4= −u1 u2=un1−un2 2 3 5 0 u u u − + + = u₅=u₂−u₃=u_n2−u_n3 1 3 6 0 u u u − + + = u₆= −u₁ u₃=u_n1−u_n3 由上可知，各支路电压u₁~u 均可由节点电压表示，在此过程中，₆ KVL 定律 自行满足，所有支路电压由节点电压表示。列写 n-1 个 KCL 方程时均用节点电压 表示，无需再列写KVL 方程，因此比支路电流法少列 l =b-(n-1）个方程。

72 电路简明教程 （a） （b） 图3.12 节点电压法 3.5.2 n− 1 个节点电压方程独立性讨论 前面已分析对于 b 条支路 n 个节点的电路，n-1 个 KCL 方程是独立的，由 n-1 个节点电压根据 VCR 关系表示各支路电流，所列 KCL 方程也是独立的，而 l =b-(n-1)个支路电压是非独立的，可由 n-1 个节点电压（支路电压）求得，而独 立节点数恰好是 n-1 个，故可用独立的节点电压（电位）作为独立变量表示 b-(n-1) 个支路电压。 3.5.3 节点电压方程的一般形式 用n− 个 KCL 方程求解电流，通过元件 VCR 关系式（有源支路欧姆定律或1 无源支路欧姆定律），用节点电压表示各支路电流，然后代入n− 个 KCL 方程中，1 则n− 个 KCL 方程就成为关于节点电压的方程。 1 由VCR 关系可用节点电压表示各支路电流。 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 2 4 4 4 4 5 2 3 5 5 5 6 6 3 1 6 6 6 6 n n S n n n n n S n n S U I R U U U I R R U I R U U U I R R U U U I R R U U U U U I R R = − = = = − = = − = = + − + = = （3-9） 由KCL 定律，对节点①、节点②、节点③列写方程如下：

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 1 4 6 2 4 5 3 5 6 0 0 0 I I I I I I I I I + − = ⎧ ⎪ − + = ⎨ ⎪ − + = ⎩ （3-10） 将式（3-9）代入式（3-10）中，得： 1 1 2 3 1 6 1 4 6 2 2 1 2 2 3 2 4 5 3 2 3 3 1 6 3 5 6 0 0 0 n n n n n S n S n n n n n n n n n S U U U U U U R R R U U U U U U R R R U U U U U U R R R ⎧ − − + + − = ⎪ ⎪ ⎪ _{− − −} ⎪ _{− + =} ⎨ ⎪ ⎪ _{− − +} − + = ⎪ ⎪⎩ （3-11） 整理得： 6 1 2 3 1 4 6 4 6 6 2 1 2 3 2 4 5 4 5 2 6 1 2 3 3 5 6 6 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S n n n S n n n S n n n U U U U R R R R R R U U U U R R R R R R U U U U R R R R R R ⎧⎛ _{+ +} ⎞ _{− − =} ⎪⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ _{⎛ ⎞} ⎪_{− + + + − =} ⎨ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎪ ⎪ _{⎛ ⎞} ⎪− − +_⎜ + + _⎟ = − ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ （3-12） 写成电导形式： 1 4 6 1 4 2 6 3 6 6 4 1 2 4 5 2 5 3 2 2 6 1 5 2 3 5 6 3 6 6 ( ) ( ) ( ) n n n S n n n S n n n S G G G U G U G U G U G U G G G U G U G U G U G U G G G U G U + + − − = ⎧ ⎪− + + + − = ⎨ ⎪− − + + + = − ⎩ （3-13） 令 G₁₁=G₁+G₄+G₆ G₁₂ = −G₄=G₂₁ G₁₃= −G₆=G₃₁ G22 =G2+G4+G5 G23 = −G5=G32 G33 =G3+G5+G6 其中G₁₁、G₂₂、G₃₃称为自电导，等于连于本节点上所有电阻倒数之和；其余 为互电导，是本节点与相邻节点的公共支路上电阻倒数之和。自电导都是正的， 因为本节点对参考点为正电位，连于本节点所有支路电流均向外流出，互电导均 是负的，因为相邻节点对本节点的电位差使该支路电流流向本节点。 节点电压方程的一般形式为： 11 1 12 2 1( 1) ( 1) 11 ( 1) 1 ( 2)2 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n S n n n n n n n n S n n G U G U G U I G U G U G U I − − − − − − − − − + + + = ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ _{+ + + =} ⎩ L LL L （3-14） 共列写n− 个节点电压方程。 1 式（3-14）表述为： 本节点电压×自电导+相邻节点电压×互电导=汇于本节点所有电流源的代数和 其中指向本节点的电流源为“+”，反之为“－”。有伴电压源电压方向背离本

74 电路简明教程 节点者为“+”，反之为“－”。 注意：①若电路中有电压源和电阻的串联组合，可经过等效变换为电流源与 电阻的并联组合；②若电阻与电压源并联，该电压源为无伴电压源，处理方法见 后；③以后列写节点电压方程时，无需再推导，可按一般形式直接写出。④尽管 节点电压是未知量，节点电压方程中方程式各量纲为电流；⑤电路中不含受控源 和无伴电压源，则上述方程的系数行列式为对称矩阵。 弥尔曼定律：对于两个节点多个回路的电路（如图3.13 所示）。 图3.13 弥尔曼定律 用节点电压法写出方程： 0 a A b B c C N N a b c G U G U G U U G G G G ′ + + = + + + （3-15） 式（3-15）称为弥尔曼定律。 其中 ₀ 0 1 1 1 1 a b c a b c G G G G R R R R = ， = ， = ， = 。 节点电压法的步骤： （1）确定各支路电流的参考方向。 （2）选取参考节点和(n− 个独立节点，并标号①，②……。 1) （3）列写n− 个节点电压方程。 1 （4）解方程求出节点电压。 （5）求各支路电压。 最后可由KCL 定律验证结果的正确性。 参考节点的选取是任意的，余下的n− 个节点则是独立节点，独立与非独立1 是相对而言的，一般选公共支路交叉多的节点作为参考点，可简化分析。 特别地，无伴电压源因电压源支路没有串联电阻，不能转换为电流源并联形 式，因此对于无伴电压源及无伴受控电压源的处理，可增设一个新的未知电流变 量，同时增加一个新方程，建立节点电压与无伴（受控）电压源的关系。使方程 数与未知量个数相同，才能解出方程。也可采用简便方法，对于无伴电压源及无 伴受控电压源，尽量避免列写其所连节点的节点电压方程，并增加一个新方程， 建立节点电压与无伴电压源的关系，或建立节点电压与无伴受控电压源电压的关

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 系式。对于无伴受控电流源则要建立节点电压与受控电流源电流的关系式。 例 3-4 用节点电压法求图 3.14 电路中的电流I 、2 I 。 3 图3.14 例 3-4 的图 解：电路如图3.14 所示。选节点③为参考节点，①、②为独立节点，设U 、n₁ 2 n U 为节点电压。 由节点电压法，写出节点电压方程如下： 1 2 1 2 1 1 1 ₃ 3 2 3 1 1 1 ₁ 3 3 2 n n n n U U U U ⎧⎛ ₊ ⎞ _{− =} ⎜ ⎟ ⎪⎪⎝ ⎠ ⎨ ⎛ ⎞ ⎪− +_⎜ + _⎟ = − ⎪ _{⎝ ⎠} ⎩ 整理得 1 2 1 2 5 2 18 5 5 6 n n n n U U U U − = ⎧ ⎨− + = − ⎩ 解方程得 1 2 1 2 3 78 6 24 V V A 21 21 3 21 n n n n U U U = U = I = − = 2 2 6 ₄ 4 ₂₁ 39_A 2 2 21 n U I − − = = = − 经验证满足①、②节点KCL 定律。 例 3-5 用节点电压法列写图 3.15 所示电路的方程。 解：电路如图3.15 所示。设Un₄=0，选①、②、③为独立节点。 由节点电压法，列写②、③节点方程如下： 1 2 3 2 3 2 1 1 1 1 1 1 ₀ 24 24 32 8 8 1 1 _{0.15 0.5} 8 8 20 n n n n n X X n n U U U U U U U U U ⎧_{− +}⎛ _{+ +} ⎞ _{− =} ⎜ ⎟ ⎪ _{⎝ ⎠} ⎪ ⎪− + = − ⎨ ⎪ = ⎪ ⎪ ₌ ⎩ 电压源20V 为无伴电压源，避开列写节点①的 KVL 方程。

76 电路简明教程 图3.15 例 3-5 的图 方法二：设20V 电压源流过电流为I₀，列写①，②，③节点方程。 1 2 0 1 2 3 2 3 2 1 1 1 _0.15 24 24 1 1 1 1 1 ₀ 24 24 32 8 8 1 1 0.15 0.5 8 8 20 n n n n n n n X X n n U U I U U U U U U U U U ⎧ _{− = −} ⎪ ⎪ ⎛ ⎞ ⎪− +_⎜ + + _⎟ − = ⎪ _{⎝ ⎠} ⎪ ⎨− + = − ⎪ ⎪ ⎪ ₌ ⎪ ⎪ ₌ ⎩ 例 3-6 用节点电压法求图 3.16 所示电路的电压比值 0 1 u u 。 图3.16 例 3-6 的图 解：用节点电压法。设Un₃= ，对节点①列写节点电压方程。 0

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 1 01 0 1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 u u u u R R R R R R − ⎛ _{+ +} ⎞ _{− − =} ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ （1） 由运放器的性质：i+ =i− = 0 u+ =u− 对运放器 A1还有：u+ =u−=0 式（1）可写为： 1 01 0 2 3 1 1 1 u u u R R R − − = （2） 对运放器 A2有： 01 4 4 0 4 5 R R u u u u u R R + ₌ − _{= = =} + （3） 将式（3）代入（2），整理得： 0 2 3 4 5 1 1 2 4 3 4 2 5 ( ) ( ) u R R R R u R R R R R R R + = − + + 方法二：此题还可以用前面（1.7 节）所学的方法求解。 根据运放器的性质：i+ =i− = 0 u+ =u− 对运放器 A1还有：u+ =u− = 0 （1） 由KCL 定律对节点①列写方程： 1 01 0 1 2 3 u u u u u u R R R − − − _{− −} − _{= +} （2） 对运放器A2有： 01 4 4 0 4 5 R R u u u u u R R + ₌ − _{= = =} + （3） 将式（1）、（3）代入（2），整理得： 0 2 3 4 5 1 1 2 4 3 4 2 5 ( ) ( ) u R R R R u R R R R R R R + = − + +

章节回顾

本章讨论线性时不变电阻电路的分析计算方法，在列方程求解电路时，知道 如何列方程和列几个KCL 方程及 KVL 方程合适。 1．本章学习有关图的知识。为了求解电路中的电流和电压等未知量，在列写 电路方程时，应用图的概念选择独立变量，确定列写独立的 KCL 方程及 KVL 方 程的个数。若不考虑元件本身的特性，只考虑电路的连接关系即拓扑关系，用一 些线段和点组成的图形称为图，它反映了电路的结构及连接性质，应用拓扑约束 特性即KVL 定律、KCL 定律，建立方程组，从而求解未知量，要掌握支路、节点、 图与电路中的支路、节点、电路图的区别，掌握有向图、连通图、回路、树、树 支、连支、单连支回路、网孔、平面电路的概念。

78 电路简明教程 电路中支路和节点与电路的图中的树支与连支关系： b 条支路中，树支数(n-1)个，从而确定独立 KCL 方程的个数；连支 l 个，确 定独立KVL 方程个数。 支路数 b = 树支数(n-1)+连支数 l 树支数=节点数 n-1 连支数 l =独立回路数=网孔数=b-(n-1) 2．支路电流法和支路电压法是分析电路的基本方法，设电路中支路数 b 为未 知量个数，根据 n-1 个 KCL 方程组及 l =b-(n-1)个方程组联立求解电路，是本章 最简单的方法，但当电路含多个支路时电路方程个数较多，求解过程较麻烦，因 而不是最简便的方法。 3．网孔法需要列写 l =b-(n-1)个网孔电流方程，比支路电流法少列(n-1)个方 程，此方法在列方程时KCL 定律自行满足，因所有支路电流均可用网孔电流表示， 适用于回路少、节点多的情况。网孔法适用于平面电路，采用网孔法求解电路时 无需作电路的图，直接用网孔法列m 个网孔电流方程，解方程后再用网孔电流求 解各支路电流。 4．回路电流法适用于非平面或平面等任一种电路。需要列写 l =b-(n-1)个回 路电流方程，比支路电流法少列 n-1 个方程，此方法在列回路电流方程时 KCL 定 律自行满足。因所有支路电流均可以用回路电流表示。回路法在分析平面电路及 非平面电路时，要作出电路的图，确定树、树支，由若干个树支和一个连支构成 单连支回路，从而确定单连支回路组，由此列写 l 个方程求解电路，要注意无伴电 流源、无伴受控电流源及受控电压源的处理方法。 5．节点电压法需列写 n-1 个节点电压方程，比支路电流法少列 l =b-(n-1)个 方程，因在用节点电压表示所有支路电流时KVL 定律自行满足。适用于节点少、 回路多的情况，采用节点电压法时无需作电路的图，解出节点电压后再求出各支 路电压及电流。 6．无伴电源及无伴受控源的处理方法： 用支路电流法、网孔法及回路法分析电路时，以KVL 定律为基础列写，当电 路中含有无伴电流源及无伴受控电流源时，因不能等效变换为电压源和电阻的串 联形式，需增设一个新的未知量电压表示其两端电压，同时增加一个新的方程， 即建立该电流源电流与网孔电流或回路电流未知量的关系式；或者设该支路为一 连支，避免列写该连支回路方程，同时添加一个新的方程，建立无伴受控电流源 或无伴电流源与未知量网孔电流（回路电流）的关系式。 支路电流法、节点电压法以KCL 方程为基础列写，当电路中含有无伴电压源 及无伴受控电压源时，因不能等效变换为电流源和电阻的并联形式，需增设一个 新的未知量电流表示通过其电源的电流，同时增加一个新的方程，即建立该电流 与节点电压的关系式；或者避免列写该电源所连节点的节点电压方程，并添加一 个新方程，即建立无伴电压源或无伴受控电压源与未知量节点电压的关系。

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法

习题

3-1 题 3-1 图示电路标示了电流（电压）的参考方向，画出该电路的图，并 求出支路数 b、节点数 n 和基本回路数 l ，指出 KCL、KVL 独立方程数为多少？ 题3-1 图 3-2 对题 3-2 图示电路画出 4 个不同的树，树支数分别为多少？ 题3-2 图 3-3 对题 3-3 图示的非平面图，设（1）选择支路（1，2，3，4）为树；（2） 选择（5，6，7，8）为树，问独立回路各为多少？求其（独立）基本回路组。 题3-3 图

80 电路简明教程 3-4 题 3-4 图示电路中，已知R1= Ω ，2 R2= Ω ，4 R3=20Ω ，US1=10V， 2 20V S U = ，求电流i ，并计算3 R 的电压和其吸收的功率。 3 题3-4 图 3-5 题 3-5 图示电路为晶体管放大器等效电路，各电阻及β 均为已知，求电 流放大倍数 2 1 i i A i ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠和电压放大倍数 2 1 u u A u ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠。 题3-5 图 3-6 用支路电流法求题 3-6 图示电路中的电流i 。 x 题3-6 图 3-7 用网孔法求题 3-4 电路。 3-8 用网孔法列写题 3-8 图示电路中网孔电流方程。 3-9 已 知 题 3-9 图 示 电 路 中 ，R1=R2=R3=R4=R5= Ω ，1 uS =20V ， 1 10A S I = ，IS2=5A，用网孔法求流过R 的电流3 I 。 3

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 题3-8 图 题3-9 图 3-10 用网孔法列写题 3-10 图示电路的网孔电流方程。 题3-10 图 3-11 用网孔法求题 3-11 图示电路电阻R 上的电流L I 。 L 题3-11 图 3-12 已知uS =5V，R1=R2=R4=R5= Ω ，1 R3= Ω ，2 μ 2= 。用网孔法求 题3-12 图示电路中u 。 1 3-13 用回路电流法求题 3-11。 3-14 用回路电流法求解题 3-14 图电路中的电流I 与电压₁ u 。 0 3-15 题 3-15 图示电路，其中g=0.1s，用网孔法求流过8Ω电阻的电流。

82 电路简明教程 题3-12 图 题3-14 图 题3-15 图 3-16 用回路电流法求解题 3-16 图示电路中电压u0和电流i0。 3-17 用回路电流法求题 3-17 图示电路中电压u0。 题3-16 图 题3-17 图

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 3-18 用回路法求题 3-18 图示电路（a）中uX及（b）中 I。 （a） （b） 题3-18 图 3-19 列出题 3-19 图示电路（a）、（b）的节点电压方程。 （a） （b） 题3-19 图 3-20 用节点电压法求题 3-16。 3-21 用节点电压法求题 3-18。 3-22 求题 3-22 图示（a）、（b）电路中电流 I。

84 电路简明教程 （a） （b） 题3-22 图 3-23 求题 3-23 图示电路中的电压u0。 题3-23 图 3-24 题 3-24 图示电路中，若 1 8 X i = i，求电阻RX的值。 题3-24 图

第 3 章 电阻电 路 的一般分析方 法 3-25 用节点法求题 3-25 图示电路中的电压 u。 题3-25 图 3-26 求题 3-26 图示电路u0与u1、u2、u3的关系。 题3-26 图 3-27 求题 3-27 图示电路u0与uS1、uS2的关系。 题3-27 图