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國中數學4 2 3尺規作圖

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Academic year: 2021

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(1)

A B P C D A B C D A B A B

2−3 尺規作圖

本節課程學習重點: ◎能認識尺規作圖的意義。 ◎能利用尺規作線段、角、圓弧、圓周、扇形、三角形的複製。 ◎能利用尺規作圖平分一已知線段、作中垂線、作角平分線、作過線上一點的垂直線、作過線外一點的 垂直線。 ◎了解垂直、垂足、中垂線的意義。 一、尺規作圖: 直尺和圓規是畫圖的主要工具,如果在畫圖時,只使用直尺和圓規,直尺只用來畫直線,而不利用 上面的刻度,這樣的作圖就稱為尺規作圖。 【觀念釐清】尺規作圖時,必須將作圖的所有步驟顯示出來,也就是說要保留所有的作圖痕跡,必要時 再加上文字說明。 ◎尺規作圖︰作等線段 如右圖,已知一線段 AB,畫出一線段 CD,使 ¯ CD = ¯ AB 。 【作法】(1)畫一直線 L,並在直線上取一點 C。 C L (2)以 C 點為圓心, ¯ AB 為半徑畫弧,交直線 L 於 D 點,則 ¯ CD 即為所求。 B A D L C 練習1:如右圖,已知 ¯ AB 、 ¯ CD , AB > CD 。利用尺規作圖畫出 EF 、 EG ,使¯ EF= ¯ AB + ¯ CD , EG = AB - CD 。 練習2:如右圖,已知一點 P 及 AB 。 (1)在 AB 上找出 E 點,使得 AE = AP 。 (2)在 AB 上找出 F 點,使得 PB = PF 。 練習3:如右圖,已知 AB 、 CD , AB > CD 。利用尺規作圖 畫出 MN ,使得 MN =2 AB - CD 。

(2)

A B ◎尺規作圖︰作等角 如右圖,已知∠A,畫出一角使它等於∠A。 【作法】(1)畫一直線 L,並在直線上取一點 S。 S L (2)以 A 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交∠A 的兩邊於 B、C 兩點。 (3)以 S 點為圓心, ¯ AB 長為半徑畫弧,交直線 L 於 T 點。 (4)以 T 點為圓心, ¯ BC 長為半徑畫弧,交(3)中的弧於 R 點。 (5)連接 R、S 兩點,則∠RST 即為所求。 B A C S T L R S T L R S T L ○1 ○2 ○3 練習4:如右圖,已知∠B,利用尺規作圖,畫出一角使它等於∠B。 練習5:如右圖,已知∠1 與∠2,畫出一角使它等於∠1+∠2。 練習6:如右圖,已知∠C,畫出一角使它等於 2∠C。 練習7:如右圖,已知∠1 與∠2,∠1>∠2,畫出一角等於∠1-∠2。 1 2 C 1 2

(3)

二、垂直平分線與角平分線作圖: ◎尺規作圖︰垂直平分線 如右圖,已知 ¯ EF ,求作 ¯ EF 的垂直平分線。 【作法】(1)分別以 E、F 為圓心,大於 1 2 EF 的長度為半徑畫弧,設兩弧相交於 G、H 兩點。 ¯ (2)連接 G、H,則直線 GH 即為所求。 E F G ○1 ○1 ○2 O H E F G O H 【說明】連接 ¯ EG 、¯ EH 、¯ FG 、¯ FH ,可知¯ EG =¯ EH =¯ FG =¯ FH ,所以四邊形 EHFG 是菱形, ¯ EF 和¯ GH 為菱形 EHFG 的兩條對角線,因此直線 GH 是¯ EF 的垂直平分線。 【觀念釐清】(1)在垂直平分線的作法中,以大於 12 EF 的長度畫弧時,這兩個弧才會有交點。 ¯ (2)因為 O 為¯ EF 中點,所以「線段中點」與「線段垂直平分線」作圖的方法是相同的。 練習8:已知一線段 AB,利用尺規作圖,在¯ AB 上找一點 C,使得¯ BC = 14 AB 。 ¯ A B ◎尺規作圖︰角平分線作圖 如下圖,已知∠P,畫出∠P 的角平分線。 P 【作法】(1)以 P 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交∠P 的兩邊於 A、B 兩點。 (2)分別以 A、B 為圓心,大於 1 2 AB 的長度為半徑畫弧,設兩弧相交於 P' 點。 ¯ (3)連接 P、P',直線 PP' 即為所求。 P P′ A B ○1 ○2 ○2 ○3 P P′ A B

【說明】連接 P'A 和 P'B ,可知 PA = PB 、 P'A = P'B ,所以四邊形 APBP' 是箏形, PP' 為箏形 APBP' 的對角線,因此 PP' 是∠APB 的角平分線。

(4)

練習9:已知∠ABC=90°,利用尺規作圖,以 B 為頂點、 BC 為一邊,畫出一個∠1,使得∠1=45°。 A B C ◎尺規作圖︰過線上一點作垂線 如右圖,已知直線 L 及其上一點 P,求作過 P 點且垂直於 L 的直線。 【作法】(1)以 P 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交直線 L 於 A、B 兩點。 (2)分別以 A、B 為圓心,大於 1 2 AB 的長度為半徑畫弧,設兩弧相交於 C 點。 ¯ (3)連接 C、P,則直線 CP 即為所求。 C A B P L ○1 ○2 ○2 ○3 C A P B L 【說明】連接 ¯ AC 和 ¯ BC ,可知 ¯ AC = ¯ BC ,所以△ABC 是等腰三角形,又 P 為 ¯ AB 中點,因此直線 CP 為等腰△ABC 的對稱軸,得到∠APC=∠BPC=90°,所以直線 CP 會垂直 L。 【觀念釐清】因為將一個平角(即 180°)作角平分線,可得兩角均為 90°,所以直線 CP 會垂直 L。 練習10:如下圖,△ABC 中,¯ AB <¯ AC 且 M 為¯ BC 上的任意一點。利用尺規作圖,過 M 點作一直線 與¯ BC 垂直。 A B C M ◎尺規作圖︰過線外一點作垂線 如右圖,已知 P 是直線 L 外一點,求作過 P 點且垂直於 L 的直線。 【作法】(1)以 P 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交直線 L 於 A、B 兩點。 (2)分別以 A、B 為圓心,¯ PA 為半徑畫弧,設兩弧相交於 Q 點。 (3)連接 P、Q,則直線 PQ 即為所求。 P Q A B L ○1 ○2 ○2 ○3 P Q A B L 【說明】連接 PA 、 PB 、 QA 、 QB ,可知 PA = PB 、 QA = QB ,所以四邊形 AQBP 是 箏形, PQ 和 AB 為箏形的兩條對角線,因此 PQ 會垂直 AB ,即直線 PQ 會垂直 L。 L P P L

(5)

練習11:如下圖,已知△ABC,利用尺規作圖,求作 AC 邊上的高 BH 。 A B C 自我評量 1. 右圖為一線段,其長為 l,依下列步驟完成圖形。 (1)作一線段 BC,使其長等於 l。 (2)以 B 點為圓心,l 為半徑,在 BC 上方畫弧。 (3)以 C 點為圓心,l 為半徑,在 BC 上方畫弧。 (4)設步驟⑵與步驟⑶所畫的弧交於 A 點。 (5)連接 AB 、 AC 。 2. 承上題,△ABC 是正三角形嗎?為什麼? 3. 如下圖,已知 AB ,求作一圓使其直徑為 AB 。 A B 4. 如下圖,已知∠B=120°,求作∠CBQ=30°。 A C B 5. 如下圖,已知△ABC,利用尺規作圖,求作 AB 邊上的高 CH 。 A B C l

(6)

A B 6. 曉明正在練習垂直平分線作圖: (1)作 AB 的中垂線 L1,並與 AB 相交於 C 點; (2)作 AC 的中垂線 L2,並與 AC 相交於 D 點; (3)作 CD 的中垂線 L3,並與 CD 相交於 E 點;則 AE : AB = 。 7. 下圖是依照下列步驟,用尺規作圖畫出來的圖形。 (1)任意畫一個∠A。 (2)以 A 點為圓心,適當長為半徑畫弧,交∠A 兩邊於 B、C 兩點。 (3)分別以 B、C 為圓心,大於 12 BC 的長度為半徑畫弧,設兩弧相交於 P 點。 ¯ (4)連接直線 AP。 A B C P (1) (2) (2) (3) (4) (3)

試問下列敘述何者正確? (A)¯ AB=¯ AC (B)¯ PB=¯ PC (C)∠BAP=∠CAP。

習作

1. (1)作一長度等於 AB + BC - AC 的線段。

(2)檢驗 BD 、 BE 、 BF 中,哪一線段的長度等於 AB + BC - AC ?

2. 已知 AB ,利用尺規作圖在 AB 上找一點 C,使得 AC : CB =1:7。

3. 已知∠ABC,利用尺規作圖在∠ABC 內作∠ABD= 4 ∠ABC。 1

A B C D E F B C A

(7)

4. 已知線段長 a 及∠A,利用尺規作圖依序完成下列各步驟,畫出一個直角三角形,使其一角為∠A, 斜邊長為 a。 A a 作法:(1)任取一點 B,並作∠B=∠A。 (2)在∠B 其中一邊取一點 D,使得 BD =a。 (3)通過 D 點,作一條直線與∠B 另一邊垂直,垂足為 C,則△BCD 即為所求。 5. 請利用尺規作圖,畫出一個 135°的角。 6. (1)已知線段長 a,利用尺規作圖依序完成下列各步驟: ①畫互相垂直的兩直線 L、M,設垂足為 O 點。 ②在 L 上取一點 P,使 OP =2a。 ③在 M 上取一點 Q,使 OQ =3a。 ④連接 PQ 。 (2)承上題, PQ 為多少?(以 a 表示) 類題補充 1. 已知 ¯ AB ,欲在 A、B 之間找一點 C,使得 ¯ AC : ¯ CB =3:13,至少要利用幾次中垂線作圖? 2. 下列何角不能用尺規作圖的方法三等分? (A) 45° (B) 90° (C) 108° (D) 150°。 3. ∠PQR=160°,用尺規作圖在∠PQR 內找一點 K,使得∠KQR=60°,則至少需利用角平分線作圖 幾次? (A) 6 次 (B) 5 次 (C) 4 次 (D) 3 次。 4. 已知 ¯ AB =8 公分,欲在 ¯ AB 上取一點 C 使 ¯ AC =5 公分,如果用尺規作圖,至少需用線段中點作圖 幾次? (A) 3 次 (B) 4 次 (C) 5 次 (D) 6 次。

(8)

5. 若 A、B、C 三點不在同一直線上,O 為 ¯ AB 、 ¯ AC 之垂直平分線的交點,且 ¯ OA =7 公分, 則 ¯ OB + ¯ OC =? 6. 如下圖,等腰梯形 ABCD 中 ¯ AD =6, ¯ AB = ¯ CD =7, ¯ BC =13,且 ¯ CD 之中垂線 L 交 ¯ BC 於 P 點, 連接 ¯ PD 。則四邊形 ABPD 的周長=? A D B P C L 7. 觀察下面的圖形,直接在空格中填入甲、乙、丙或丁。 甲:過線外一點作垂線的尺規作圖。 乙:角平分線的尺規作圖。 丙:過線上一點作垂線的尺規作圖。 丁:中垂線的尺規作圖。 A D B C A B P L M D A B C A B Q P L (1) (2) (3) (4) 8. 如右圖,矩形 ABCD 中,分別以 A、C 為圓心, ¯ AB 、 ¯ CD 為半徑畫弧, 使兩弧相交於 P、Q 兩點,連接 P、Q 並延長,使 ¯ PQ 分別交 ¯ AD 、 ¯ BC 於 E、F 兩點,若 ¯ AB =9, ¯ BC =12,則△CDE 周長為 。 9. 如下圖,在△ABC 上利用尺規作圖作了兩條直線。首先,過 B 點作直線 L,交 ¯ AC 於 D,然後 過 D 點作直線 M,交 ¯ AB 於 E。若∠B=50°,請根據尺規作圖的痕跡判斷∠BDE= 度。 A D L B C E M Q P A E D F B C

(9)

加強練習 1. 已知∠A,欲將∠A 平分成四等分,共要作幾次角平分線? 2. 下列敘述何者正確? (A) 在同一平面上,過已知線外一點,必可做出無限多條垂直線 (B) 任意一個角皆有兩條以上的角平分線 (C) 在同一平面上,任意一直線只能找到一條相互垂直的直線 (D) 一任意線段恰有一個中點 3. 右圖是利用尺規作∠A 平分線的完成圖,則下列敘述何者錯誤? (A) ¯ AD = ¯ AE (B) ¯ DF = ¯ EF (C) ¯ AD ⊥ ¯ DF (D) ¯ EF >12 DE 。 ¯ 4. 想在△ABC 中找到一點 P,使 P 點到 ¯ BC 的兩端距離相等,且 P 到∠B 的 兩邊距離相等,則下列尺規作圖的痕跡何者正確? (A) A B C (B) A B C (C) A B C (D) A B C 5. ¯ AB =3,今分別以 A、B 兩點為圓心,以 2、6 為半徑各畫一個圓,則此兩圓關係為何? (A)必有兩個交點 (B)必有一交點 (C)不相交 (D)無法判斷。 6. 已知 ¯ CD =14 公分,欲作 ¯ CD 的中垂線,分別以 C、D 為圓心,r 公分的長為半徑畫弧,設兩弧相交 於相異兩點,則下列何者是可能的 r 值? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。 7. 以尺規作圖作 ¯ AB 的中垂線,以下是作圖步驟: (甲) 以 B 為圓心,取同樣長度為半徑畫弧,使兩弧交於 P、Q 兩點。 (乙) 作↔ PQ ,即為所求之 ¯ AB 的中垂線。 (丙) 以 A 為圓心,大於 ¯ AB 一半長為半徑畫弧。 寫出正確的作圖步驟順序為: 。 8. 已知 ¯ AB ,分別以 A、B 為圓心,大於 12 AB 的不同半徑畫弧,兩弧交於 C、D 兩點,連接 ¯¯ CD 即為所求。依據以上做法,判斷是作下列哪一條直線? (A)中垂線 (B)垂直線 (C)水平線 (D)角平分線。 9. 已知∠A=76°,以尺規作圖可以得到下列哪一個角度? (A) 39° (B) 57° (C) 104° (D) 244°。 10. 若想將一線段均分為 32 等分,則需要作多少次中垂線作圖? (A) 2 (B) 5 (C) 31 (D) 32。 11. 若 P 點到直線 L 最短距離 6,當我們要過 P 作 L 的垂線時,以 P 為圓心畫弧,則下列哪一個半徑 最適合? (A) 3 (B) 72 (C) 5 (D) 7。 12. 一線段長為 11 公分,若要作此線段的中垂線,可利用此線段的兩端點為圓心,r 公分為半徑畫弧; 若 r 為整數,則 r 的最小值為多少? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8。 13. 已知△ABC,小明欲利用尺規作圖的方法找到一點 P,使得 P 到 B、C 兩點等距離,且 P 到 ¯ AB 、 ¯ BC 兩邊也等距離,則下列四種尺規作圖: (1)作∠A 的角平分線 (2)作∠B 的角平分線 (3)作 ¯ AB 的中垂線 (4)作 ¯ BC 的中垂線 試問小明要選哪兩種作圖,才能正確地找到 P 點? (A)(1)(4) (B)(2)(4) (C)(1)(3) (D) (2)(3)。

14. 如右圖,△ABC 為任意三角形,曉華想在 ¯ BC 上找到一點 M,使得△ABM 的面積和△ACM 的面積

相等,則用下列哪一個選項中的作圖方法可以找到這樣的 M 點? (A)作 ¯ AM ⊥ ¯ BC ,交 ¯ BC 於 M 點 (B)以 B 為圓心, ¯ BA 為半徑畫弧,交 ¯ BC 於 M 點 (C)作∠BAC 的角平分線,交 ¯ BC 於 M 點 (D)作 ¯ BC 的中垂線,交 ¯ BC 於 M 點 A D E F B C A B C

(10)

Ans:1. 3 次;2.(D);3.(C);4.(A);5.(C);6.(D);7.丙甲乙;8.(B);9.(B);10.(C);11.(D);12.(B); 13.(B);14.(D)。

參考文獻

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