等速圓周運動

一、等速圓周運動 二、速度與角速度的關係 三、向心等加速與向心力 四、等速率圓周運動的總整理 五、曲線運動的曲率半徑 六、等速圓周運動的應用Ⅰ：錐動擺 七、等速圓周運動的應用Ⅱ：行車的轉彎 1 範例 1 範例 2 範例 3 範例 4 範例 5 範例 6 範例 7

一、等速圓周運動

若物體作圓周運動時， 速率保持不變，就是所謂的 等速圓周運動（ uniform circular motion ）。此處的 「等速」其實是指「等速 率」，因此也常稱為等速率 圓周運動。

1. 意義

3

2. 週期

質點轉動一圈所經歷的時間 （通常以 T 表示，單位為秒） 。

3. 頻率

質點在每秒內所旋轉 的圈數（通常以 f 表示 ，單位為 1/ 秒 或 Hz ）。

4. 角位移

或簡稱角移，為右圖 中由　 A 點到 B 點所轉 的角度，單位為弳或弧度 （ radian ，縮寫為 rad ），其量值定義為所張 的圓弧長 S 除以半徑 R 。        ＿＿＿＿ 繞完整一圈的角位移 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ S R 2 2 (rad) 360 R R  _   

5

5. 角速度

描述轉動的快慢，為單 位時間對圓心所轉動的角度 （通常以表示）。在等速圓 周運動中，質點在一個週期 內，掃過一整個圓周，對應 到 2 的角位移：    ＿＿＿＿＿＿＿，單位為＿＿＿＿＿＿＿ 2 2 f t T   _  _{ }  弧度 /_(rad/s)秒 ※ 因為角速度可表示為 ₌₂ f ，即角速度正比於頻率 f ，故角速度有時也稱為角頻率 (angular frequence) 。

其他常用的單位及換算

1. 轉 / 分  rev/min (revolution per minute)  rpm (round per minute)

2. 轉 / 秒  rps (round per second)  cps (circle per second)

1cps  1rps  1rev/s  60rev/min  60rpm  2 rad/s 360/s

※ 嚴格來說， cps 、 rpm 、 rps ……、 等應該是頻率 f 的單位，但頻率愈高，角速度愈快，因此常常混

7

二、速度與角速度的關係

1. 作等速圓周運動的質點之速率 v  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2. 作等速圓周運動的質點，速度大小保持不變，但速 度方向則隨時間而不斷改變（速度方向為其切向方 向），故為等速率但變速度運動。 2 R T   1 2 v v      ＿ ＿ ＿v S t   2 R T     R

三、向心等加速與向心力

如右圖 (a) 所示，設作等速圓 周運動的質點由 A 點移至 B 點 時，對圓心所轉過的角度為 θ ， 經歷的時間為 t 。今將 　平移至 A 點，可得速度變化量　　　　　 ，其中　　　　　，所以　、　、 構成一等腰三角形，且　、　 夾角為 θ ，如右圖 (b) 所示。 2 1 v v v      1 2 v  v  v 1 v 2 v v  1 v v2  2 v 

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1. 向心加速度的方向

證 (b) 2 180 180 2               在右圖中，三角形內角和 2 1 0 90 v v v          當，則 ，即 和 ，   2 1 0 lim c c t v a v a v v t        而和 同方向，故 和 。       2 1 c v v a 但和 在切線方向，故 在法線方向，指向圓心。  

①加速度方向恆指向圓心，稱為向心加速度，亦 稱為法向加速度或法線加速度。 ② 向心加速度只能改變速度的方向，不能改變速 度的大小。 ③ 如右圖 (c) 所示，向心加速 度的方向恆沿半徑指向圓心 ，隨時間而改變方向，故等 速圓周運動為變加速度運動

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2. 向心加速度的大小：

證 c

a



v 0 t v S v         當，將右圖的情形放大來看應如下圖 所示，可看出 弦長弧長 0 0 lim lim c _{t t} v v a v t t  _            

3. 向心加速度的連鎖公式：

證 2 2 2 2 2 2 4 4 c v a v R R R Rf T    _      (1) v R v R       (2) c c a v v a R v R a      _{  }    _{ }     ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿   ‚ v v R  R  2 v R  2 R  2 2 R T          2 2 4 R T   _{ 4 Rf} 2 2

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4. 向心力的連鎖公式：

c c F  ma _{ mv}



_{ mR}



2 mv2 R  m 4 R2₂ T



 _{ 4 Rf m}



2 2

一個質量為 3 公斤的物體，作半徑為 2 公尺 、週期為 2 秒的等速圓周運動，則： 1 1 1) Hz 2 ( f T   頻率 ； 2 2 2 / ( ) 2 T        角速度 弧度 秒； (3)切向速度大小v R   2  公尺 秒；/ 2 2 ₂ 2 (4)_{向心加速度大小}a_c  R   _{公尺 秒 ；}/

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範例1

1

等速圓周運動 如圖所示，水平桌面上有一小孔 O ，一條細繩穿過此孔，兩端分 別與質量 m 、 M 的兩物體連 接，其中 m 在桌面上作等速圓 周運動，而 M 則靜止懸掛。忽 略所有阻力與細繩質量，則 m 作圓周運動的向心加速度大小為 ＿＿，角速度大小為＿＿，速率 ＿＿＿，週期為＿＿＿。

17 1. 物體 m 作圓周運動所 需的向心力由繩子的張 力提供。 2. 因為物體 M 靜止，故張力大小即為物體 M 的重量，因此實際上是由 M 的重量提供向心力 。

解 M g m Mg mr Mgr m 2 mr Mg 

19 範例2

2

等速圓周運動與張力 如圖所示，甲、乙兩物體的質 量分別為 m 及 2m ，以相同 長度 r 的繩 A 及繩 B 連 結；兩物體均繞著轉軸 O ， 以等角速度  在水平面上旋 轉，若繩 A 與繩 B 的張力 分別為 F_A 及 F_B ，則 F_A= ＿＿ ＿， F_B= ＿＿＿。　

如圖所示，甲所需的向心力由＿＿＿＿＿提供，乙 所需的向心力由＿＿＿提供。 A B F  F B F

21 解 (1)對乙而言：FB  m R乙 乙2 2 (2)對甲而言：F_A  F_B  m R_{甲 甲} 2 A B F mr F    2 2 2m 2r  4mr     2 2 m r  mr     2 ₄ 2 ₅ 2 mr mr mr   

範例3

3

地球的向心加速度 考慮地球自轉的因素下，設在赤道處物體的向心加 速度大小為 a₀ ，在北緯 60 度處物體的向心加速度大 小為 a₆₀ ，則 60 0 a a  。

23 1. 北緯 60 度如圖所示。 2. 若地球半徑為 R ，則北 緯 60 度處圓周運動的半 徑 r = ＿＿＿＿＿＿ 解 cos 60 R  2 2 4 c r a r T    60 0 cos60 a R a R    cos60 1 2   

範例4

4

地球自轉造成的視重

設地球為正球體，半徑為 R ，且自轉週期為 T ，地球表面重力加速度為 g 。質量為 m 的小 英，在赤道上的視重為＿＿＿＿。

25 1. 視重的大小＝正向力 N 的大 小 2. 如圖所示＿＿＿＿＿＿＿ 解 c mg N  ma c N  mg ma 2 2 4 R mg m T



  2 2 4 R m g T



   _  _  

五、曲線運動的曲率半徑

1. 如下圖，當物體作曲線運動時，在一段極短時間  t 內，其運動可視為圓周運動的一小部分，此 圓的半徑稱為曲率半徑_{（如圖中的 r 、 R ）} 。

27 2. 運動物體的加速度可用　　　　 來表示_{a a} _{ T  a} _N 2 N v a R        _  方向：指向曲率中心，且 和速度垂直，可以 改變速度方向。 大小： 。 T a ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ N a ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿  ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿

變速率圓周運動的加速度與曲線運動類似， 除可改變方向的法向加速度外，同時也有可改變 速率的切向加速度。

29 範例5

5

曲率半徑 0 2 2 0 0 2 2 0 0 ( cos ) (A) (B) ( cos ) sin 2 (C) (D) 79 v g v v g g v v g     以 之初速，沿仰角之方向拋出一球，設球飛行時之重力 加速度為定值，則球在路徑最高點之運動情況，相當於一 個圓周運動，而該圓之半徑為　 　 　 　 　 　 　 。答：＿＿＿【 夜大】 g

0 cos v g a



    _  速度：僅剩水平速度 如圖，最高點時 加速度： ，即向心加速度

31 解 2 c v R a R  設該圓的半徑為，由 2 0 ( cos )v g R    _R ( cos )v0 2 g   

六、等速圓周運動的應用Ⅰ：錐動擺

右圖的裝置稱為圓錐擺 或錐動擺。若擺長為 ℓ、擺 錘質量為 m ，當擺錘在水 平面上作等速圓周運動時， 細線與懸掛點的中垂線保持 一固定的角度 θ ，此時圓心 與懸掛點的距離為 h 。

sin





33 2. 設細線的張力為 F_T ，分析 擺錘的受力圖如右圖所示： (1) 鉛直方向：＿＿＿＿＿＿ 　擺線的張力 F_{T= ＿＿＿＿} ＿ cos T F   mg sec mg  (2) 水平方向：向心力 F_c= ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿ sin T F   mg sec sin tan mg   (3) 擺錘的向心加速度 a_c= ＿＿＿＿＿＿c tan F g m  

(4) 由連鎖公式： 2 2 2 2 4 tan c v R a R g R T        tan g R  2 tan R g   tan sin g     cos g    tan gR   gsin tan  sin 2 tan g      2 cos g    

35 ※ 週期亦可利用 T = 2_ 2 cos g     cos 2 g     cos g    

範例6

6

錐動擺 長 50 公分之輕繩，上端固定於天花板 ，下端懸掛質量為 9 公斤的小球，使物 體沿水平作等速圓周運動，如圖所示， 其中 θ ＝ 53 度， g ＝ 10 公尺 / 秒 2 。 則： (1) 圓周運動的半徑為＿＿＿公尺； (2) 繩子的張力為＿＿＿牛頓； (3) 圓周運動的週期為＿＿＿秒； (4) 圓周運動的角速度為＿＿＿弧度 / 秒； (5) 小球的速率為＿＿＿公尺 / 秒； (6) 小球的加速度大小為＿＿＿公尺 / 秒 。

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錐動擺的各物理量都不用背誦，畫出如圖所示的受 力圖，運用圓周運動的基本觀念即可輕易解題。

解 4 0.5 0.4(m) 5    (2)如圖所示，F_T cos53  mg 2 2 4 (3) F_T sin53 ma_c m R T     (1)R  _sin 53 5 9 10 150(m) 3     sec53 T F mg    2 4 4 0.4 150 9        T 3 (s)

39 2 10 3 (rad/s) 3 3 5     (5)v  R 2 (6)a_c  R 2 (4) T    10 3 4 3 0.4 (m/s) 3 3    2 2 10 3 40 0.4 (m/s ) 3 3     _{ }   

範例7

7

錐動擺的應用 有一質量為 m 之小珠，串於 Y 形桿上，如圖所示。該 Y 形桿 繞鉛直軸旋轉，使小珠維持於一 固定長度 h 處。若小珠與 Y 形 桿間無摩擦，則 Y 形桿旋轉的 角速率  為＿＿＿＿＿。【 91 指考】

41 1. 因小珠維持一固定的高度，故小珠作角速率為  的等速圓周運動。 2. 分析小珠的受力圖如 圖所示，可看出與錐 動擺的情形類似，只 不過張力變成正向力 而已。

解 N 設桿對小珠的正向力為 cos sin c N F N mg       _  2 cot sin c F mg  m r r h     _，又  2 _{sin cot} m h  mg     cot sin g h      cos₂ sin g h    1 cos sin g h   

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七、等速圓周運動的應用Ⅱ：行車的轉彎

1. 水平粗糙路面

如右圖所示，人騎機車 以速率 v 沿曲率半徑為 R 之彎路行駛，若系統（人＋ 機車）的質量為 m ，車胎 與路面之靜摩擦係數為 μ_s ， 車身需與鉛直方向夾 θ 角：

(1) 分析系統的力圖如下圖 (a) 所示，再將力平移 如下圖 (b) 所示。由圖可看出，車輛轉彎所需 的向心力來自車胎與路面間的靜摩擦力。

45 (2) 如右圖 (b) 可得＿＿＿＿＿ ＿ ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿ 　行車速率 v = ＿＿＿＿＿＿ tan fs mg   tan gR  c F mg  v2 gR  2 mv R mg 

(3) 因靜摩擦力不是定值，因此以不同的速率轉彎 時，靜摩擦力的大小亦不同。當靜摩擦力已達最 大靜摩擦力時，即為安全轉彎的最大速率。 　 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ＿ 　 最大安全速率為＿＿＿＿ 2 c s v F m f R   sgR  max s s s f  N  mg     v _sgR

47 　當人車以最大安全速 率轉彎時，系統所受 地面之作用力為 N' = ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。 2 2 s N  f 2 2 (mg)  (_smg) (4) 如右圖所示，系統所受地面之作用 力 N' 為正向力 N 與摩擦力 f_s 的合 力。 　 N' = 。 2 1 _s mg   

2. 光滑傾斜路面

在山路或高速公 路的轉彎路段，為使 汽車能安全順利的轉 彎，其路面常設計成 內側低、外側高之斜 面。設某彎道的曲率 半徑為 R ，路面的傾 斜角為 θ ，質量 m 的汽車正在此彎道以 v 的速 率行駛，如右圖所示。在忽略路面摩擦力的情況下

49 (1) 分析汽車的受力圖如右圖 所示，可知汽車重量 mg 和路面對汽車之正向力 N 的合力，提供汽車轉彎所 需的向心力。

(2) _  水平方向：＿＿＿＿＿＿＿ 鉛直方向：＿＿＿＿＿＿＿    ‚ sin _c N   F cos N   mg c F N  _      _  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 由得 ＿＿＿＿＿ 由得  ‚ ‚ tan mg  sec cos mg mg   

51 (3) F_c  ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 由向心力 mv2 mg tan R   tan __________ v          ＿＿＿＿＿＿＿ 2 v gR tan gR 

3. 粗糙傾斜路面（僅供參考）

(1) 實際上的道路當然不會是光滑的，因此在計算 傾斜路面的問題時，摩擦力是必須考慮的。但 這樣一來計算就複雜多了，因此以下討論僅供 有興趣的同學參考。 (2) 設質量為 m 的汽車，在一彎道上行駛，彎道的 曲率半徑為 R ，路面外高內低，傾角為 θ 。設 汽車轉彎時不發生側滑的速率極限為 v ，此時 路面和輪胎間的摩擦力為最大靜摩擦力 f_smax=μ_sN 。

53

 當車速太快，車子欲上滑時，畫車子的受力圖如 下圖 (a) ，再將之分析如下圖 (b)

2 cos sin sin cos s s c N N mg mv N N F R                 鉛直方向： 水平方向：    ‚

55 2 cos sin sin cos s s c N N mg mv N N F R                   ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿ ＿  ‚ 2 _{sin cos} cos sin s s mv N N mgR N N           得 ‚  tan 1 tan s s v   gR         _   

 當車速太慢，車子欲下滑時，畫車子的受力圖如 下圖 (c) ，再將之分析如下圖 (d)

57 2 cos sin sin cos s s c N N mg mv N N F R                 鉛直方向： 水平方向：   ƒ „

2 _{sin cos} cos sin s s mv N N mgR N N           得 „ ƒ 2 cos sin sin cos s s c N N mg mv N N F R                 鉛直方向： 水平方向：   ƒ „ tan 1 tan s s v   gR         _   

59  由的分析可知，汽車在此彎道上可安全行駛 的速率範圍為： tan tan 1 tan 1 tan s s s s gR v gR                  _   _     