高一下第二次期中考數學題庫(40)

(1)

單元 5

1. （　　）三角形ABC_{是一個邊長為}3_{的正三角形，如圖所示。若在每一邊的兩個三等分點中，各} 選取一點連成三角形，則下列哪些選項是正確的？ (A)依此方法可能連成的三角形一共有8_{個　(B)這些可能連成的三角形中，恰有}2_個是銳角三角形　(C)這些可能連成的三角形中，恰有3_{個是直角三角形　(D)這些可能連成} 的三角形中，恰有3_{個是鈍角三角形　(E)這些可能連成的三角形中，恰有}1_{個是正三角} 形　解答　AB　解析　三角形共有 2 2 2 1 1 1 8 C C C  _個，其中直角三角形有2 3 6  _{個，如圖(i)；} 銳角（正）三角形有2_{個，如圖(ii)。} 　　 2. （　　）選出正確的選項。　(A) 37 37 30 7 C C _(B) 99 99 100 50 49 49 C C C _(C) 50 49 49 25 25 24 C C C _(D) 99 99 100 101 2 3 4 4 C C C C _(E) 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 5 C C C C C C C 解答　ACDE　解析　利用性質： n n k n k C C _ _及 1 1 1 n n n k k k C C  C     _{，得　(A)因為}_{30 7 37}_{ } _，所以 37 37 30 7 C C (B)C5099C4999C10050 C49100 (C)因為 49 49 50 25 24 25 C C C _，所以 50 49 49 25 25 24 C C C (D)C299C399 C4100 C1003 C4100C1014 (E)因為 10 11 0 0 C C _{，所以左式等於} 11 11 12 13 14 15 12 12 13 14 15 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 C C C C C C C C C C C 13 13 14 15 2 3 4 5 C C C C     14 14 15 3 4 5 C C C    15 15 4 5 C C   16 5 C 

(2)

3. （　　）將



_x2__y



12 展開集項後，請選出正確的選項。　(A)_x24的係數小於_{x y}10 7的係數　(B) 12 6 x y _{的係數小於}_{x y}10 7 的係數　(C)_{x y}14 5 的係數小於_{x y}10 7 的係數　(D)_{x y}8 8 的係數小於 10 7 x y _的係數解答　AD　解析　展開式中，每一項皆形如C12r

 

x2 12ryr C x12 24 2r ryr  _  _，且 12 12 12 12 0 1 2 6 C C C _C 。　(A) 24 x 的係數 12 0 C _小於_{x y}10 7 的係數 12 12 7 5 C C (B)x y12 6的係數 12 6 C _大於_{x y}10 7 的係數 12 12 7 5 C C (C)x y14 5的係數 12 5 C _等於_{x y}10 7 的係數 12 12 7 5 C C (D)x y8 8_的係數 12 12 8 4 C C _小於_{x y}10 7 的係數 12 12 7 5 C C 4. （　　）將10_{本不同的書分裝入數個相同的袋子，選出正確的選項。　(A)若依本數}4_，3_，2_， 1分裝入四袋，則有C C C C104 63 32 11種分法　(B)若依本數2，2，2，2，2分裝入五袋，則有 10 8 6 4 2 2 2 2 2 2 5! C C C C C 種分法　(C)若依本數₄，₂，₂，₂分裝入四袋，則有 10 6 4 2 4 2 2 2 3! C C C C 種分法　(D)若依本數₃，₃，₂，₂分裝入四袋，則有 103 73 42 22 2!2! C C C C 種分法　解答　ABCD　解析　(A)從 10 本中選 4 本，選法有 10 4 C _{種；從其餘的 6 本選 3 本，選法有} 6 3 C _{種；再從其餘的 3} 本選 2 本，選法有 3 2 C _{種；剩下的 1 本，選法有} 1 1 C _{種。利用乘法原理，裝入袋子的方法} 共有C104 C63C32C11種　(B)先假設袋子上依序作 A～E 的記號，則由(A)知有 10 8 6 4 2 2 2 2 2 2 C C C C C _{種分法，但事實上袋子是相同的，因此每}_5!_種只能算₁_{種，故分配} 方法共有 10 8 6 4 2 2 2 2 2 2 5! C C C C C 種　(C)仿照(B)的作法，分配方法共有 10 6 4 2 4 2 2 2 3! C C C C 種 (D)仿照(B)的作法，分配方法共有 10 7 4 2 3 3 2 2 2!2! C C C C 種　 5. 有一個兩列三行的表格如圖。在六個空格中分別填入數字1_、2_、3_、4_、5_、6_{（不得重複），} 則1_、2_{這兩個數字在同一行或同一列的方法有____________種。} 解答　432　解析　分二類： (i)1，2在同一行：從3_行中任選1行排入1，2，有C31 2! 6種方法；　其餘4_{個數字再排入剩下的}4_{個空格中，有}4! 24 _種方法，　故方法有6 24 144  _（種）。 (ii)1_，2_{在同一列：}

(3)

　從2列中任選1列，再選出兩個空格排入1，2，有C12C23 2! 12種方法；　其餘4_{個數字再排入剩下的}4_{個空格中，有}4! 24 _種方法，　故方法有12 24 288  _（種）。　故方法總共有144 288 432  _（種）。 6. 求



_3a2__b



5 展開式中_{a b}4 3的係數。解答　90 解析　展開式中的每一項皆形如 5

 

₃ 2 5 r

 

r r C a  b _。當r3時，得_{a b}4 3項為

 

2 3 5 2 4 3 4 3 3 3 10 9 90 C  a  b   a  b   a b _。故_{a b}4 3 的係數為90_。 7. 電腦可以將二張不同的人臉合成為一張新面孔。電視節目「最強大腦」選了 60 位藝人的臉，任意將每二位不同的臉都用電腦合成並印出一張新面孔。問：總共印出幾張合成的新面孔？解答　1770 張　解析　依題意，得合成的新面孔總共有 60 2 1770 C  _（張）。 8. 求下列各數： (1)C62。 (2)C74。 (3) 10 4 10 4 P C 。解答　(1)15　(2)35　(3)24　解析　(1) 6 2 6! 15 2!4! C   _。 (2) 74 7! 35 4!3! C   _。 (3)因為 10 10 4 4 4! P C  ，所以 10 4 10 4 4! 24 P C   。　 9. 求滿足不等式200C1nCn2   Cnn300的正整數n。解答　8　解析　因為 0 1 2 2 n n n n n n C C C  _ C  _{，所以原式可改寫為} 0 200 2_ n__Cn_300 ⇒200 2_ n_{ }1 300_，即 201 2_ n_301_。又因為 7 2 128_， 8 2 256_， 9 2 512_，所以n8_。

(4)

(5)

10. 將6_{人分配住進}A_，B_，C_{三間房間，}A_房住3_人，B_房住2_人，C_房住1_{人共有多少種分配方案？} 解答　60 種　解析　利用組合的方法先從6_人選出3_人住A房，有C63種選法；剩下的3人選出2人住B房，有C32種選法；剩下1人住C房，有 1 1 C _{種選法。利用乘法原理，得選法共有} 6 3 1 3 2 1 20 3 1 60 C C C     （種）。（另解）利用排列的方法如下所示，先將6_{人的位置固定，再將}3_個A_、2_個B_及1_個C_{在底下任意排一列，使得} 人與房間上下對應：甲乙丙丁戊己 A C A B A B 對到A_的人住A_房，對到B_的人住B_房，對到C_的人住C_{房。因此，每一種排列方法，} 就是一種分配方案。利用有相同物的排列公式，方案共有 6! 60 3!2! （種）。　 11. 寫出



3x y



4_{的展開式。} 解答　₈₁_x4_₁₀₈_{x y}3 _₅₄_{x y}2 2_₁₂_xy3__y4 解析　將3x_{看成一項，}

 

y _{看成一項，利用二項式定理，得}





4

   

4 3x y _ 3x  y _ 　　　　 4

 

4 4

   

3 1 4

   

2 2 0 3 1 3 2 3 C x C x y C x y      4

   

1 3 4

 

4 3 3 4 C x y C y     　　　　81x4108x y3 54x y2 212xy3y4_。 12.求 5 3 2 1 2x x  _      展開式中的常數項。解答　40 解析　展開式中的每一項皆形如

 

5 5 3 2 1 2 r r r C x x        

 

5 5 15 3 2 1 2 r r r r r C x x        5 ₂5 r

_{ }

₁ r 15 5r r C  x       ，當15 5 r0，即r3時，得常數項為C53 25 3

 

1 3 10 4

 

1 40           _。 13. 從 7 人中選 3 人掃地，另選 2 人拖地，共有幾種選法？解答　210 種　解析　先從 7 人中選出 3 人掃地，有 7 3 C _種選法；剩下的 4 人選出 2 人拖地，有 4 2 C _種選法。利用乘法原理，選法共有 7 4 3 2 210 C C  _種。

(6)

(7)

14. 求滿足不等式2000C1nCn2C3n  Cnn3000的正整數n。解答　11　解析　因為 0 1 2 3 2 n n n n n n n C C C C  _ C  _，所以 ₁n n₂ ₃n n 2n ₀n 2n 1 n C C C  _ C  C   _。因此，原式可改寫為2000 2_ n_{ }1 3000 ⇒2001 2_ n_3001 。又因為₂10_₁₀₂₄ ，₂11_₂₀₄₈ ，₂12 _₄₀₉₆ ，所以n11_。 15. 因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至週日選擇兩天停止供水。若要求停水的兩天不相連，則自來水公司共有多少種選擇方式？解答　15_種解析　選相連的兩天停水有一二，二三，，六日共6_{種選法，因此，所求為}



任選兩天停水

 

 選相連的兩天停水



7 2 6 21 6 15 C      _（種）。 16. 有6_男4_女共10_{名學生擔任本週值日生，若導師規定在本週}5_{個上課日中，每天兩名值日生，且} 至少須有1_{名男生，則本週安排值日生的方式共有多少種？} 解答　43200_種解析　由題意得，五天中有一天為二男，四天為一男一女。因此，先選一天安排二男，有 5 6 1 2 75 C C  _種方法；再將剩餘四男排入另四天，有 4 4 4! 24 C   _種方法；最後再將四女排入上述四天中，有 4 4 4! 24 C   _種方法。故安排值日生的方式共有75 24 24 43200   _（種）。 17.從一列有10_{節車廂的電車中，選出}3_{節車廂為自由座。} (1)共有多少種選法？ (2)若第一節車廂或最後一節車廂至少有一節車廂為自由座，則共有多少種選法？解答　(1)120 種　(2)64 種　解析　(1) 選法共有C103120（種）。　 (2)分二類： (i)頭尾2節恰1節自由座：選法有C C12 82 2 28 56 （種）。 (ii)頭尾2節都是自由座：選法有C22C18  1 8 8（種）。根據加法原理，得選法共有56 8 64  _（種）。 18. 總經理要求宣傳部的 11 名員工，至少派出 2 人到電影街宣傳新產品，共有多少種選派方案？解答　2036 種　解析　因為派出的人數可為 2, 3, 4,…或 11，所以選派方案共有





11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 2 3 4 11 0 1 2 11 0 1 C C C  _ C  C C C  _ C C C _₂11_{ }_{1 11 2036}_ （種）。　

(8)

19. 某高中免試就學區有 8 所高中，三兄弟恰好就讀其中 2 所高中。問：就讀的情形共有多少種？解答　168 種　解析　分三步驟：先將三兄弟分 2 人 1 人兩組，分法有 3 1 2 1 3 C C  _種。再將 2 人組選 1 所高中，選法有 8 1 8 C  _種。最後將 1 人組選另 1 所高中，選法有 7 1 7 C  _種。利用乘法原理，就讀的情形共有3 8 7 168   _種。 20. 將 8 位同學依下列情形分組，方法各有多少種？ (1)平分成兩組。 (2)分成三組，其中兩組各有 3 人，另一組有 2 人。解答　(1)35 種　(2)280 種　解析　(1) 因為兩組的人數相等（都是 4 人），所以方法共有 48 44 ₃₅ 2! C C  _種。 (2)因為三組中有兩組的人數相等，所以方法共有 38 35 22 ₂₈₀ 2! C C C  _種。

(9)

單元

₆

1. （　　）同時丟一枚硬幣及一粒骰子，觀察硬幣的正反面及骰子的點數之出現情形，設樣本空間為S_，A_{表示硬幣出現正面的事件，}B_{表示骰子出現偶數點的事件，}C_{表示骰子出現質} 數點的事件。選出正確的選項。　(A)n S

 

12_(B)n A

 

6_(C)n B

 

6_(D)n C

 

6 (E)n A B







n A C







　解答　ABCDE　解析　假設



正,1



_{代表硬幣出現正面，骰子出現}₁_{點的情形。} (A)因為硬幣有正反面2_{種情形，骰子點數有}6_種情形，　所以n S

 

  2 6 12 (B)因為事件A_{中，硬幣只有正面}1_{種情形，骰子點數有}6_種情形，　所以n A

 

  1 6 6 (C)因為事件B_{中，硬幣只有正反面}2_{種情形，骰子點數有}2_，4_，6_共3_種情形，　所以n B

 

  2 3 6 (D)因為事件C_{中，硬幣只有正反面}2_{種情形，骰子點數有}2_，3_，5_共3_種情形，　所以n C

 

  2 3 6 (E)因為事件A B _{中，硬幣只有正面}1_{種情形，骰子點數有}2_，4_，6_共3_種情形，　所以n A B







  1 3 3_。　根據取捨原理，n A B







   6 6 3 9_。　因為事件A C _{中，硬幣只有正面}1_種情形，　骰子點數有2，3，5共3種情形，所以n A C







  1 3 3。　根據取捨原理，n A C







   6 6 3 9_。　因此，n A B







n A C







2. （　　）桌面上有13_{張相同的卡牌，但各卡牌分別標示有不同的號碼}1_，2_，__，13_{。小花從中} 任意取一張卡牌，若M_{表示取出的號碼是}4_{的倍數之事件，}N_{表示號碼小於}6_的事件，選出正確的選項。　(A)M 與N為互斥事件　(B)發生事件M或N為



1,2,3,4,5



　(C)事件 N的餘事件為



6,7,8,9,10,11,12,13



　(D)事件M ，N同時發生為

 

4 　(E)事件N發生但事件M不發生為



1,2,3,4,5



　解答　CD　解析　事件M 



4,8,12



_，事件N



1,2,3,4,5



(A)因為M N

 

4  _，所以_M_，_N_{不為互斥事件　(B)發生事件}_M _或_N_為



1,2,3,4,5,8,12



M N (C)事件N的餘事件為N 



6,7,8,9,10,11,12,13



(D)事件M，N同時發生為M N

 

4

(10)

(E)事件N發生但事件M不發生為N M 



1,2,3,5



3. 同時丟兩枚均勻硬幣，觀察其出現正面或反面的情形，求下列各事件的機率： (1)兩枚硬幣恰出現一正面與一反面。 (2)兩枚硬幣都出現同一面。解答　(1)1₂ (2)1₂ 解析　在「每一枚均勻硬幣出現正面或反面的機會均等」的原則下，將兩硬幣做記號來加以區別，樣本空間S 正正正反反正反反





,

 

, ,

 

, ,

 

, ,





_，n S

 

4_。 (1)出現一正面一反面的事件A 正反反正





,

 

, ,





_，n A

 

2_，其機率P A

 

 2₄ 1₂_。 (2)兩硬幣出現同一面的事件B 正正反反





,

 

, ,





_，n B

 

2_，其機率P B

 

 2₄ 1₂ _。 4. 丟一枚硬幣二次，觀察每次出現的是正面或反面。設A_{表示恰好出現一次正面的事件，}B_表示出現兩次正面的事件。 (1)寫出A_{不發生的事件。} (2)事件A_與B_{是否為互斥事件？} (3)事件A_與A_{是否為互斥事件？} 解答　(1)





正正反反,

 

, ,





(2)是　(3)是　解析　以



x y,



_{代表依次丟出的結果，其樣本空間}



 





, , , , , , ,



S 正正正反反正反反 _，恰好出現一次正面的事件A 正反反正





,

 

, ,





_，出現兩次正面的事件B 正正





,





_。 (1)A不發生的事件A    正正反反S A





,

 

, ,





。　 (2)因為A B  ，所以A與B為互斥事件。　 (3)由(1)，因為AA ，所以A與A為互斥事件。　

(11)

5. 擲一粒骰子一次，觀察所出現的點數。求下列各事件的機率： (1)出現質數點。 (2)出現的點數小於3_。解答　(1)1₂ (2)1 3 解析　擲一粒骰子一次，樣本空間S 



1,2,3,4,5,6



_，n S

 

6_。 (1)設A表示出現質數點的事件，則A



2,3,5



，n A

 

3，故P A

 

n A_{n S}

 

_{ }

= =_{6 2}3 1。　 (2)設B表示出現的點數小於3的事件，則B

 

1, 2 ，n B

 

2，故P B

 

 n B_{n S}

 

_{ }

 2₆ 1₃。　 6. 設_A、_B、_C為某樣本空間中的三個事件，且P A

 

P B

 

P C

 

₄1_，









1 6 P A B P B C  _，





0 P A C  _。求_A_、_B_、_C_{三個事件中至少發生一個事件的機率。} 解答　₁₂5 解析　A_、B_、C_{三個事件中至少發生一個事件的機率為}





 

















P A B C  P A P B P C P A B P B C P A C P A B C  　　　　　　 1 1 1 1 1 0 0 4 4 4 6 6        5 12  _。 7. 擲一粒公正的骰子（每個面出現的機會均等），觀察所出現的點數，求下列各事件的機率： (1)擲出的點數是偶數點。 (2)擲出的點數大於4_點。解答　(1)1₂ (2)1 3 解析　擲一粒公正骰子的試驗中，樣本空間S



1,2,3,4,5,6



_，n S

 

6_。 (1)因為擲出的點數是偶數點的事件A



2,4,6



_，n A

 

3_，所以此事件發生的機率P A

 

n A

 

_{ }

3₆ 1₂ n S    _。

(12)

(2)因為擲出的點數大於4點的事件B

 

5,6 ，n B

 

2，所以此事件發生的機率P B

 

n B_{n S}

 

_{ }

 2 1₆ ₃。　 8. 設_A，_B為樣本空間的兩個事件，且P A

 

1₃_，





1 4 P A B  _，





3 4 P A B  _。求 (1)P B

 

。(2) P A



B



_。解答　(1)2₃ (2)₁₂5 解析　(1) 因為P A B

_



_

P A

_{ }

P B

_{ }

P A B

_



_

，所以₄3 1 ₃ P B

 

1₄，解得P B

 

2₃_。 (2)P A



B



P B

 

P A B







  2 1_{3 4 12}5 _。 9. 從數字1_到50_{中隨機任選一數，求下列各事件的機率：} (1)選到的數字是3_的倍數。 (2)選到的數字是質數。解答　(1)₂₅8 (2)₁₀3 解析　從數字1到50_{中任選一數，}n S

 

50_。 (1)因為選到3的倍數之事件A



3,6,9, 48_



_，n A

 

16_，所以此事件發生的機率P A

 

n A

 

_{ }

16₅₀ ₂₅8 n S    _。 (2)因為選到質數的事件



2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47



B _，n B

 

15_，所以此事件發生的機率P B

 

n B

 

_{ }

15_{50 10}3 n S    _。 10. 連續丟一枚硬幣3_次。 (1)觀察每次出現的是正面或反面，寫出其樣本空間與樣本點的個數。 (2)觀察出現正面的次數，寫出其樣本空間與樣本點的個數。解答　(1)樣本空間 正正正正正反正反正





, ,

 

, , ,

 

, , ,



,



反正正正反反反正反, ,

 

, , ,

 

, , ,



,



反反正反反反, ,

 

, , ,





_{，8　(2)樣本空間}



0,1, 2,3



_，4 解析　(1) 考慮正反面出現的次序，其樣本空間



 





, , , , , , , , , S 正正正正正反正反正



反正正正反反反正反, ,

 

, , ,

 

, , ,



,

(13)



反反正反反反, ,

 

, , ,





_，其中序對裡面的位置，代表依次出現的結果。例如



正正反, ,



_{代表第一次出現正面、第} 二次出現正面、第三次出現反面的結果。又樣本點的個數n S

 

8_。 (2)考慮出現正面的次數，其樣本空間S



0,1,2,3



_。又樣本點的個數n S

 

4_。 11. 一袋中裝有編號為1_，2_，3_{號大小都相同的球各一顆，從袋中取球二次，每次取一球且取出後均} 再放回袋中，求兩次皆取到相同號碼球的機率。解答　1₃ 解析　取球二次，樣本空間

        

    



1,1 , 1,2 , 1,3 , 2,1 , 2,2 , 2,3 , 3,1 , S

   

3,2 , 3,3



_，n S

 

9_。因為兩次皆取到相同號碼球的事件A



  

1,1 , 2,2 , 3,3

  



_，n A

 

3_，所以P A

 

 3 1₉ ₃_。 12. 同時擲三粒公正骰子，觀察所出現的點數，則三粒中至少有兩粒骰子點數相同的機率為何？解答　₉4 解析　將三粒骰子視為不同。因為每一粒骰子各有6_種點數，所以樣本空間S的樣本點的個數n S

 

  6 6 6_。設A_{表示三粒骰子中至少有兩粒點數相同的事件，則其補集}A_{表示三粒骰子出現的點} 數皆不同的事件。此時n A

_{ }

  6 5 4且P A

 

 6 5 4_{6 6 6}_{ }  5₉。故

 

1

 

1 5 4 9 9 P A  P A    _。 13. 已知人按出生的日期可以查得所屬的星座，且星座共有12_{種，假設每種星座出現的機會均等，求} 任3_{人中至少有}2_{人屬於相同星座的機率。} 解答　17₇₂ 解析　每人所屬的星座有12_{種，因此樣本空間}S_有12 12 12  _種情形。設A_表示3_{人中至少有}2_{人所屬的星座相同的事件，則}A_表示3_{人所屬的星座皆不同的} 事件。此時n A

_{ }

12 11 10  且P A

 

 _{12 12 12}12 11 10_ _ 55₇₂。故

 

1

 

1 55 17 72 72 P A  P A    _。

(14)

14. 同時擲三粒相同的骰子，觀察所出現的點數，求恰有一粒骰子出現 6 點的機率。解答　25₇₂ 解析　每粒骰子出現各點數的機會相等，樣本空間 S 共有 3 6 216_個元素。因為恰有一粒骰子出現 6 點的事件有 3 2 1 5 C  種情形，所以機率為 3 2 1 3 5 25 6 72 C  _ 。　 15. 辯論社有實力相當的4_位男生2_{位女生，老師隨機從此}6_人中指派3_{人參加校際辯論賽。此}3_人中有男生也有女生的機率是多少？解答　₅4 解析　從6_{名學生中，隨機指派}3_{人，若其中指派的}3_人為2_男1_{女的事件為}A_； 1男2女的事件為B，則

 

4 2 2 1 6 3 3 5 C C P A C    _，

 

14 22 6 3 1 5 C C P B C    _，因為事件A_與事件B_{為互斥事件，所以}3_{人中有男生也有女生的機率}





 

3 1 4 5 5 5 P A B P A P B    _。 16. 已知數學研究社共有 20 位同學參加，其中高一、高二、高三分別有 5 人、11 人、4 人參加。今從該社團中任選兩人解題，求此兩人是不同年級學生的機率。解答　119₁₉₀ 解析　因為從社團中任選兩人，所以樣本空間 S 的樣本點個數n S

 

C220190。 設 A 表示選出的兩人是不同年級的事件， 則其補集A_{表示此兩人是同年級的事件。} 此時n A

 

 C25C211C2410 55 6 71   。故

 

1

 

1 71 119 190 190 P A  P A    _。 17. 袋中有 5 顆白球和 n 顆黑球。今從袋中同時取出兩球，已知此兩球同為白球的機率是₂₁2 ，求 n 的 值。解答　10　解析　因為從n5顆球同時取出兩球，所以樣本空間 S 的樣本點個數

 

2 5 n n S C  _。又因為取出的兩球同為白球的機率是₂₁2 ，所以

(15)

5 2 5 2 2 21 n C C  



 





 



2 10 2 4 5 210 9 190 0 4 5 21 2 n n n n n n            



n 19

 

n 10



0 n 10       _或_₁₉_{（負不合），} 故袋中有 10 顆黑球。　

(16)

18. 同時丟5_{枚均勻硬幣，觀察出現正面或反面的情形。求擲出}3_正面與2_{反面的機率。} 解答　₁₆5 解析　將5_{枚硬幣視為不同，因為每一枚硬幣皆有正、反}2_種情形，所以5_{枚硬幣共有}₂5_₃₂ 種情形，即樣本空間的樣本點有32_個。出現₃正面₂反面的情形即

_

正正正反反, , , ,

_

的排列數，共有_3!2!5! =10種。故所求機率為10= 5 32 16 。　 19. 袋中有₆顆白球和_n顆黑球。今從袋中一次取兩顆球，已知此兩球為同色球的機率為4₇，求正整數n。解答　n2_{或 15} 解析　依題意，得 6 2 2 6 2 4 7 n n C C C    ，即







 



1 6 5 4 2 2 6 5 7 2 n n n n       ，整理得_n2_₁₇_n__{30 0}_ ，解得n15_或n2_。 20. 袋中有6_{顆紅球與若干顆白球，今從袋中一次取出}2_{顆球。已知此二球為}1_紅球與1_{白球的機率為} 8 15，求袋中白球的顆數。解答　4 顆　解析　設白球有_x顆，依題意知，



1 1



8 15 P 紅球白球  ⇒ 61 1 6 2 8 15 x x C C C   _ _⇒

_

₆6

_{ }

₅

_

₁₅8 2 x x x  _⇒ 2 2x 23x60 0 ⇒x4或 15 2 （不合），故袋中的白球有4_顆。

(17)

單元 7

1. （　　）箱中有三顆紅球與三顆白球。一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球。如果抽出的兩球顏色不同，則得獎金100_{元；如果兩球顏色相同，則無獎金。請問此遊戲獎金的期望} 值為何﹖　(A)20_元　(B)30_元　(C)40_元　(D)50_元　(E)60_元解答　E　解析　期望值 3 3 1 1 6 2 100 C C 60 E C     _（元） 2. 一顆特別的骰子，其六個面中有兩面為2_{點、兩面為}4_{點、其餘兩面為}5_{點。假設投擲這顆骰子} 每面出現的機率都相等。擲這顆骰子兩次，所得點數和的數學期望值為__________。（化為最簡分數）解答　22₃ 解析　擲此特別骰子兩次，點數和如下圖： 2 4 5 2 4 6 7 4 6 8 9 5 7 9 10 因此，所得點數與其對應的機率如下： 4 6 7 8 9 10 1 2 2 1 2 1 9 9 9 9 9 9 點數和機率故所得點數和的期望值 4 1 6 2 7 2 8 1 9 2 10 1 9 9 9 9 9 9 E            22 3  _。 3. 摸彩箱裝有若干編號為1_，2_，__，10_{的彩球，其中各種編號的彩球數目可能不同。今從中隨機} 摸取一球，依據所取球的號數給予若干報酬。現有甲、乙兩案：甲案為當摸得彩球的號數為k_{時，其所獲報酬同為}k_，乙案為當摸得彩球的號數為k_{時，其所獲報酬為}11 k _（k1_，2_，__，10_）。已知依甲案每摸取一球的期望值為₁₄67，則依乙案每摸取一球的期望值為____________（化成最簡分數）。解答　87₁₄ 解析　設pk為抽到k號球的機率。則

 

1 2 10 67 1 2 10 14 E 甲  p  p   p  _，

(18)

　E

  

甲  11 1 



p1



11 2 



p2 



11 10



p10 　　　  11

_

p₁p₂ _ p₁₀

_

 



1 p1 2 p2  10p10



67 87 11 14 14    _。 4. 同時丟三枚均勻的硬幣。已知出現 3 個正面可得 30 元；出現 2 個正面可得 20 元；出現 1 個正面可得 10 元。求丟一次所得金額的期望值為多少？解答　15 元　解析　丟一次所得的金額共有「30 元、20 元、10 元」三種結果，其對應的機率如下：正面數 3 2 1 金額 30 20 10 機率 1₈ 3₈ 3₈ 根據期望值的定義，得期望值 30 1 20 3 10 3 120 15 8 8 8 8 E        _（元）。 5. 擲一粒公正骰子。已知擲出1_，2_點可得20_元；擲出3_，4_或5_點可得30_元；擲出6_點可得50_元，求擲骰子一次所得金額的期望值。解答　30 元　解析　擲骰子一次所得的金額共有「20_元，30_元，50_{元」三種結果，其對應的機率如下：} 金額 20 30 50 機率 2₆ 3₆ 1₆ 根據期望值的定義，得期望值 20 2 30 3 50 1 180 30 6 6 6 6 E        _（元）。 6. 袋子裡有3_{顆大小相同的球，其中}2_顆球標示10_元；1_顆球標示50_{元。從袋中任取}2_{顆球，即可得} 到兩顆球所標示金額的總和，求取球一次所得金額的期望值。解答　140₃ 元　解析　從袋中任取2_{顆球，所得的金額共有「}20_元，60_{元」兩種結果，} 其對應的機率如下： 2 2 1 2 1 1 3 3 2 2 20 60 1 2 3 3 C C C C C    金額機率根據期望值的定義，得期望值 20 1 60 2 140 3 3 3 E     _（元）。

(19)

7. 箱中裝有100_元、200_元、300_元、400_{元的紅包袋各一個。今從箱中任抽取}1_{個紅包袋，已知每個} 紅包袋被抽中的機會都相等，求所取得紅包金額的期望值。解答　250 元　解析　因為每一個紅包袋被取到的機率均為1₄，所以所得到金額的期望值為 1 1 1 1 100 200 300 400 250 4 4 4 4         _（元）。 8. 袋中有大小形狀都相同的紅色代幣4_{枚、綠色代幣}9_{枚與藍色代幣若干枚。每一枚紅色、綠色、} 藍色代幣分別可兌換50_元、20_元與10_{元。現從袋中取出一枚代幣，已知取出代幣所兌換金額的} 期望值為20_{元，問：藍色代幣有多少枚？} 解答　12 枚　解析　設藍色代幣有n枚，兌換金額與其對應的機率如下﹕ 金額 50 20 10 機率 _n_4₁₃ _n_9₁₃ _n_n₁₃ 因為期望值為₂₀元，所以50 4 20 9 10 20 13 13 13 n n n n          ⇒200 180 10  n20



n13



，解得n12（枚）。　 9. 有一抽獎遊戲，參加者自箱中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得紅色或紫色球者可得獎金，抽得紅色球者可得獎金5000_{元，抽得紫色球者可得獎金}2000_{元。箱中已置有}2_{顆紅色球及}5_顆紫色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，若主辦單位希望參加者所得獎金的期望值為800_元，則主辦單位應於箱內再置入其他顏色的球幾顆？解答　18_顆解析　設再加入其他顏色球x_顆。獎金期望值為5000 2 2000 5 800 7 7 x x       ，整理得8x56 200 _，解得x18_。故再加入其他顏色球18_顆。 10. 根據統計資料得知：一位25_{歲的人在一年內存活的機率為}0.999_{。保險公司針對}25_{歲的人推出以} 下一年期的人壽保險：「投保人若在投保後一年內死亡，則可獲理賠金100_{萬元；否則不予理} 賠。」已知此一年期保險的保費為1200_{元，求保險公司對於每份保單的利潤期望值。} 解答　200 元　解析　25_{歲的人一年內若平安度過，保險公司賺}1200_{元，否則要賠}



1000000 1200



_{元，利潤期} 望值為

(20)





1200 0.999  1000000 1200 0.001





1200 0.999 0.001 1000000 0.001      __{1200 1000 200}_ _ _（元）。 11. 袋中有編號1_，2_，3_號卡片各2_張。 (1)自袋中任取出1_{張卡片，求取出卡片數字的期望值。} (2)自袋中同時取出2_{張卡片，求取出卡片數字乘積的期望值。} 解答　(1)₂ (2)58₁₅ 解析　(1) 數字的期望值 1 2 2 2 3 2 2 6 6 6 E       _。 (2)同時取出2_張，2_{張數字相乘可能的值如下：} 1 2 3 1 1 2 3 2 2 4 6 3 3 6 9 期望值 2 2 2 2 1 1 1 1 6 6 6 2 2 2 1 1 2 C C 3 C C E C C C         12 12 6 6 6 2 2 2 1 1 4 6 C C 9 C C C        　　　　_{15 15 15 15 15 15 15}1  8 12 4 24 9 58_。 12. 袋中10_{張大小相同的卡片，分別標示數字}1_，2_，3_，__，10_{。從袋中任取出}1_{張卡片，求所取出} 卡片標示數字的正因數個數之期望值。解答　₁₀27 解析　取得的數字與正因數個數列表如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 2 3 2 4 2 4 3 4 數字正因數個數所得的正因數個數與其所對應的機率如下： 1 2 3 4 1 4 2 3 10 10 10 10 正因數個數機率期望值 1 1 2 4 3 2 4 3 27 10 10 10 10 10 E         _。 13. 投擲一粒不公正的骰子。設擲出k_{點，即可得到與點數相同金額。已知擲骰子一次所得的金額}k 與其對應的機率如下：金額 1 2 3 4 5 6 機率 x y y _x y y 又知所得金額的期望值為3_元，求x_，y_的值。解答　x1₃_， 1 12 y

(21)

解析　依題意，列得 1 2 3 4 5 6 3 x y y x y y x y y x y y                ，即 2 4 1 5 16 3 x y x y        ，解得x1₃_， 1 12 y _。 14. 有3_{顆不同的球，任意放入}3_{個不同的箱子，每箱可以放入的球數不限，求空箱子個數的期望值。} 解答　8₉個　解析　空箱個數與其對應的機率如下：





3 3 ₃ 1 ₂ 3 3 3 0 1 2 2 2 3! 2 6 1 1 = = 3 9 3 9 3 9 C   _C _  空箱個數機率故空箱個數的期望值 0 2 1 6 2 1 8 9 9 9 9 E       _（個）。 15. 有一種遊戲，每次輸贏規則如下：先從1_，2_，3_，4_，5_，6_{中選定一個號碼}n_{，再擲三粒骰子，若三粒骰子的點數都是}n_，則可贏 3_{元；恰有兩粒骰子的點數是}n_，則可贏2_{元；恰有一粒骰子的點數是}n_，則可贏1_{元；而沒有點} 數為n_，則輸1_元。求玩此遊戲一次所得金額的期望值。解答　₂₁₆17 元　解析　擲三粒骰子，所得的金額有「3 元，2 元，1 元，− 1 元」四種，其對應的機率如下： 3 3 2 3 2 1 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 5 15 5 75 5 125 6 216 6 216 6 216 6 216 n n n n C C        擲出點數三個兩個一個沒有所得金額機率所得金額的期望值

 

1 15 75 125 3 2 1 1 216 216 216 216 E         17 216   （元）。　

(22)

單元 8

1. （　　）根據一百多年來的氣象紀錄，美國費城年雨量平均值為41.0_{英吋，標準差為}6.1_英吋。今欲將此項統計資料的單位由英制換為公制，請問該城市一百多年來年雨量的標準差最接近下列的哪一個選項﹖（註：1_英吋等於25.4_{毫米。）　(A)}0.240_毫米　(B)1.61_毫米　(C)6.10_毫米　(D) 155_毫米　(E)1041_毫米解答　D　解析　6.1_英吋6.1 25.4 _毫米154.94_毫米155_毫米 2. （　　）下列各組數據，何者的標準差最大？　(A)5, 5, 5, 5, 5　(B)1, 3, 5, 7, 9　(C)3, 4, 5, 6, 7　解答　B　解析　(A)數據全都相同，其標準差為 0　(B)與(C)的平均數都是 5，但(B)的分散程度較大，故 (B)的標準差最大　 3. （　　）附圖為臺灣某年 SARS 疫情病例累計趨勢統計圖（3 月 31 日到 5 月 31 日）﹕ 從 4 月 22 日到 5 月 14 日共 23 天的每日平均新增病例數，最接近下列哪一個值﹖　(A)11_(B)14 (C)17_(D)20_(E)23 解答　C　解析　由表中資料看出，4_月22_日與5_月14_{日累計病例數約為}100_與500_{（略少），共增加約} 400人。因此每日平均增加病例數為400 17 23 

(23)

4. （　　）某班有學生40_{人，某次考試數學科平均成績}55_{分，標準差為}12_{分。今將最高分與最低} 分去掉，重新計算其他38_{人的成績，平均得}_{分及標準差} _{分，選出正確的選項。　(A)}_必大於55_；_必小於12_(B)_必小於55_； _必大於12_(C)_必小於55_；_必小於12_(D)_無法確定大於或小於55_；_必小於12_(E)_{無法確定大於或小於或等於}55_； _{也無法確定大於或小於} 或等於12 解答　E　解析　將最高分與最低分去掉，平均數與標準差仍無法判定。例如：40_人中43_分的有20_人，67_分的有20_{人，則平均數為}55_{分，標準差為}12_分，去掉最高與最低分，平均數仍為55_{分，標準差仍為}12_分 5. （　　）已知n_{筆數據資料}x1，x2，，xn的算術平均數為10，標準差為3，中位數為12，眾數為8_。若yi  3xi4，則對新資料yi而言，選出正確的選項：　(A)算術平均數為34　(B)標準差為9_{(C)中位數為}32_(D)眾數為28 解答　BC　解析　因為新資料y_i 3x_i4_，所以y_i_{的　(A)算術平均數}_y  3_x   4

 

3 10 4  26 (B)標準差y  3x   3 3 9 (C)新資料的中位數為

 

    3 12 4 32 (D)新資料的眾數為

 

    3 8 4 20 6. （　　）流感期間，為了建立指標顯示疫情已控制，以便向國人宣示可以過正常生活，有位公共衛生專家建議的指標是：「連續7_{天，每天新增的可能病例都不超過（小於或等於）}5_人」。根據連續7_{天的新增病例計算，下列各選項，哪些必定符合此指標？　(A)平均數}3_(B)標準差 1  _(C)平均數3_且標準差2_(D)平均數3_且全距2_(E)眾數1_且全距4 解答　DE　解析　(A)若連續7_{天的新增病例數為}1_，1_，1_，1_，2_，2_，6_{，平均數為}2 3 _{，但不符合指標} (B)若連續7_{天的新增病例數為}6_，6_，6_，6_，6_，6_，6_{，標準差為}0 1 _{，但不符合指} 標　(C)若連續7_{天的新增病例數為}2_，2_，2_，3_，3_，3_，6_{，平均數為}3 3 _，標準差為 12 2 7  。但不符合指標　(D)因為平均數3，且全距2，所以新增病例數最大不會超過5_{，符合指標　(E)因為眾數為}1_{，所以新增病例數最小值}1_{。又因為全距}4_，所以新增病例數最大值 4 _最小值5_{，符合指標}

(24)

7. （　　）某次測驗試題共有25_題，每題4_{分。今老師改完考卷後得全班平均成績}44_{分，標準差}8 分。若將計分方式改為每題答對可得5_{分，且一律加}6_{分。關於調整前後的分數，選出正確的選} 項。　(A)眾數不變　(B)算術平均數變成61_{分　(C)中位數變大　(D)標準差仍是}8_分解答　BC　解析　設原分數與調整後的分數分別為_x_i與y_i，則yi ₄5xi6。調整之後_y_i的眾數及中位數會變為原來的5₄倍，再加₆，因此會變大。調整之後的算術平均數 5 44 6 61 4 y      _（分），標準差 5 8 10 4 y     _（分） 8. （　　）定義一組資料的第一十分位數_w₁為「至少有（含）₁₀1 的資料不大於_w₁，且至少有（含）₁₀9 的資料不小於_w₁」，選出正確的選項。　(A)任一組資料都恰有一個第一十分位數　(B) 若將原資料每個數據分別乘以5_{，則原資料的第一十分位數乘以}5_{也會是新資料的第一十分位數} (C)若將原資料每個數據分別加5_{，則原資料的第一十分位數加}5_{也是此新資料的第一十分位數} (D)若有A_，B_{兩組資料其第一十分位數分別為}wA，wB，則wAwB也是此兩組資料合併成一組後的第一十分位數　(E)任一組資料的第一十分位數必小於該組資料之算術平均數　解答　BC　解析　(A)╳：若資料相同，則不唯一　(B)○：因為不影響數據的大小關係，所以原資料的第一十分位數乘以 5 也會是新資料的第一十分位數　(C)○：因為不影響數據的大小關係，所以原資料的第一十分位數加上 5 也會是新資料的第一十分位數　(D)╳：例如 :1A ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2， 2 ，wA1.5； : 2B ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ，wA2.5， A 與 B 合併成一組為1 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 2 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ， 3 ，其第一十分位數為 2 。但wAwB  不為其第一十分位數　(E)╳：若資料全都相同，則該組資料之第一4 十分位數與算術平均數就相等　

(25)

9. 求下列各組數據算術平均數、變異數與標準差。 (1)61_，63_，65_，67_，69_。 (2)1_，2_，2_，5_。解答　(1)65_，8_，2 2 (2)5₂，9₄，3₂ 解析　(1) 這五個數據的算術平均數 61 63 65 67 69 65 5       _，變異數： 2 1



_{61 65}

 

2 _{63 65}



2 5     

_

_{ }

2

_

2 65 65 67 65     



69 65



2



8，標準差：  8 2 2 。　 (2)這四個數據的算術平均數1 2 2 5  ₄ 5₂_，又四數的平方和為₁2_₂2_₂2_₅2_₃₄ ，故變異數： 2 2 34 5 9 4 2 4    _{ }    ，標準差：  9₄ ₂3_。 10. 美聲歌唱比賽海選要連續通過三關才能進入最後決賽。已知第一、二、三關的通過率分別為36%_、 24%_與2%_{，求這三關的平均通過率。} 解答　12% 解析　設這三關的平均通過率為x_。因為_x3_

_

_{36% 24% 2%}

_{ }

_

3 36 24 2 12 = = 100 100 100 100     _ _   ，所以 12 12% 100 x  _。 11. 求以下四個數據的標準差。 5, 8, 9, 12。解答　5₂

(26)

解析　這四個數據的算術平均數5 8 9 12 17  ₄  ₂ ，又四數的平方和為₅2_₈2_₉2_₁₂2_₃₁₄ ，故標準差 2 314 17 5 4 2 2   _ _    。　 12. 求數據1_，2_，3_，4_，7_{的算術平均數與標準差。} 解答　算術平均數17₅ _，標準差 106 5  解析　這五個數據的算術平均數 1



1 2 3 4 7



17 5 5       _。又此五數的平方和為₁2_₂2_₃2_₄2_₇2_₇₉ ，因此，標準差 2 79 17 106 106 5 5 25 5   _ _     。　 13. 已知十位同學的體重（公斤）如下：55, 56, 59, 59, 59, 60, 60, 63, 68, 71，求 (1)眾數。 (2)中位數。 (3)算術平均數。解答　(1)59 公斤　(2)59.5 公斤　(3)61 公斤　解析　(1) 眾數為 59 公斤。　 (2)中位數為59 60 59.5 2  _ （公斤）。　 (3)算術平均數為 1



55 56 59 59 59 60 60 63 68 71



61 10           （公斤）。　 14. 求下列各數據的算術平均數、變異數與標準差。 (1)1_，3_，6_，10_，10_，12_。 (2)51_，52_，53_，54_，55_。解答　(1)算術平均數：7，變異數：16，標準差：4　(2)算術平均數：53，變異數：2，標準差： 2

(27)

解析　(1) 算術平均數： 1



1 3 6 10 10 12



7 6        _。變異數： 2 1



_{1 7}

 

2 _{3 7}

 

2 _{6 7}

 

2 _{10 7}



2 6         

_

_{ }

2

_

2



10 7 12 7     _₁₆_。標準差：  16 4 。　 (2)算術平均數： 1



51 52 53 54 55



53 5       _。變異數： 2 1



_{51 53}

 

2 _{52 53}

 

2 _{53 53}



2 5       

_

_{ }

2

_

2



54 53 55 53     2  。標準差：  2_。 15. 已知10_{個學生的數學成績的算術平均數為}62_{分，標準差為}10_{分。但因甲生違背考場規則，其成} 績80_分須由10_{個成績中剔除，求成績更改後，}9_{個成績的算術平均數與標準差。} 解答　算術平均數= 60，標準差8 10₃ 解析　設甲生之外的9位學生之成績為x1，x2，，x9。由原算術平均數可得



1 2 9



1 80 62 10  x x   x  _⇒x1x2  x9540，因此，成績更改後，算術平均數為



1 2 9



1 1 540 60 9 x x   x  9  _（分）。由原標準差可得



2 2 2 2



2 1 2 9 1 80 62 10 10 x x x   _⇒x12x22  x9233040，因此，成績更改後，標準差為

(28)

單元 9

1. （　　）兩變量x_與y_{的數據如下表：} x ₁ ₂ ₃ ₄ y _₂ _₄ _₆ _₈ 則x_與y_{的相關係數為　(A)}₀_(B)_0.8_(C)₁_(D)__0.8_(E)_₁ 解答　E　解析　因為x_與y_{的散布圖皆落在直線}y 2x_上，所以_x_與y_{的相關係數為}_₁ 2. （　　）兩組資料 A 與 B 的散布圖與相關係數如圖所示。 x y 0 A r=-0.7 x y 0 B r=-0.9 x y 0 C 下列哪一個選項最可能是資料 C 散布圖的相關係數？　(A)−1.1　(B)−0.8　(C)−0.4　(D)0.2　 (E)0.4　解答　C　解析　因為資料 C 為負相關，且其散布圖較資料 A 的散布圖分散，所以 C 的相關係數大於0.7 3. （　　）關於散布圖的敘述，選出正確的選項。　(A)若各數據點全落在一直線上，表示兩變量呈現完全正相關或完全負相關　(B)若以



 x, y



當作原點，各數據點多半集中在第一、三象限，表示兩變量呈現正相關　(C)若各數據點散布上、下、左、右均成對稱，表示兩變量為零相關　 (D)若各數據點散布在一平行x軸的直線上，表示兩變量呈現完全正相關　(E)散布圖上各數據點的迴歸直線，其斜率恰等於相關係數　解答　C　解析　(A)錯誤：若為鉛直線或水平線，則為零相關　(B)錯誤：反例： x ₁ ₂ _₁ _₂ ₁₀ _₁₀ y ₂ ₁ _₂ _₁ _₁₀ ₁₀ 0 x y    _{，第一、三象限的數據點比第二、四象限的數據點多，但是兩變量呈現負相} 關　(C)正確　(D)錯誤：若平行x軸，表示兩變量為零相關　(E)錯誤：當兩變量的標準差相等時方有此性質　

(29)

4. （　　）某飲料店根據過去的銷售紀錄，當每日最高氣溫在22 C _到39 C _{時，該日飲料的銷售量} 與當天的最高氣溫之相關係數為0.99_{，部分紀錄如下表：} 最高氣溫C 25 27 29 31 33 35 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464 已知某日最高氣溫為38 C _{，依據上述的資訊推測，試問該日飲料的銷售量應接近下列哪} 個選項？　(A)490_杯　(B)520_杯　(C)542_杯　(D)616_杯解答　C　解析　若以最高氣溫當橫軸，銷售量當縱軸，作散布圖時，因為相關係數為0.99_{，所以散布圖} 的所有點會相當靠近一條斜率為正的直線L_{。觀察紀錄表中銷售量的變化：} 最高氣溫C ₂₅ ₂₇ ₂₉ ₃₁ ₃₃ ₃₅ 銷售量（杯） 205 257 303 356 408 464 52  46 53 52 56 得知：最高氣溫每增加2 C _{，銷售量約增加}52_杯。因此，直線_L的斜率約為52 26 2  。令_{38 C}_ 時的銷售量為_x杯。由直線斜率的定義，得 464 26 38 35 x _  ，解得x542 5. （　　）下列5_{個散布圖中，}x_與y_{的相關係數由左至右依序分別為}r₁_，r₂_，r₃_，r₄_，r₅_，選出正確的選項。圖1 圖2 圖3 圖4 圖5 (A)r4最小　(B)r5最大　(C)r4 r5　(D)r2r5　(E)r3r5　解答　ADE　解析　圖 1、圖 3 均為正相關；圖 2、圖 5 為零相關；圖 4 為負相關， ∴r3   r1 r2 r5 r4

(30)

6. （　　）關於下列的敘述，選出正確的選項。　(A)相關係數r_{的變動範圍在}1_與1_{之間　(B)當} 兩變量x_與y_{的相關係數愈大時，代表}x_與y_{的相關程度愈強　(C)迴歸直線}y mx k  _中的斜率m 的變動範圍在1_與1_{之間　(D)由兩變量}x_與y_{的數據所求得的迴歸直線之斜率}_m_{與相關係數}_r_正負號相同　(E)若兩變量x_與y_{的數據皆滿足}y ax b  _，則_x_與y_{的相關係數}_r_₁ 解答　AD　解析　(A)正確　(B)錯誤：例如相關係數1_{，表完全負相關　(C)錯誤：因為迴歸直線}y mx k  中的斜率_m與相關係數 r的關係為 y x m r     _，所以 m的變動範圍未必在1與1之間　(D) 正確　(E)錯誤：r_可能為1_、1_或0 7. （　　）某校高一共有500_{位學生，數學科與英文科的第一次段考成績分別以}x_，y_{表示，且每} 位學生的成績用0_至100_{評分。已知這兩科成績的相關係數為}0.03_{，選出正確的選項。　(A)}x_與 y_{的相關情形可以用散布圖表示　(B)這兩科成績適合用直線}y ax b  _表示_x_與y_{的相關情形（}_a_， b_為常數，a0_）　(C)x5_與y5_{的相關係數仍為}_0.03_(D)_5x_與5y_{的相關係數仍為}_0.03_(E)若 x x x x      _， y y y y      _，其中 x  ，y分別為x，y的平均數，_x，y分別為x，y的標準差，則 x_與y_{的相關係數仍為}0.03 解答　ACDE　解析　(A)○　(B)╳：相關係數太低，∴不適合　(C)○：rx5,y5 rx y,  0.03 (D)○：r5 ,5x y rx y,  0.03 (E)○　 8. 有甲乙…等6_{位學生，他們的期末考試數學成績與該學期數學課缺課數，對應資料如下表。} 學生甲乙丙丁戊己成績x（分） 90 80 70 100 80 60 缺課數y（堂） 2 3 3 1 1 5 繪出此數據的散布圖。解答　見解析　解析　以x為橫軸，y為縱軸，數據的散布圖如圖。

(31)

9. 附圖是10筆數據



x y1, 1



，



x y2, 2



，_，



x y10, 10



的散布圖。判斷兩變量x與y是正相關、負相關或零相關。解答　負相關　解析　觀察散布圖，可知兩變量是負相關。　 10. 有5_{位學生的數學與英文競試成績，如下表。} 學生代號 A B C D E 數學成績x（分） 2 3 4 5 6 英文成績y（分） 2 3 3 5 4 繪出此數據的散布圖。解答　見解析　解析　以x_為橫軸，y_{為縱軸，數據的散布圖如圖。} 11. 設兩變量x_與y_{的數據如下表。} x ₃ ₄ ₅ ₆ y ₄ ₆ a ₆ 已知_y對_x的迴歸直線為y2₅x16₅ _，求 a的值。解答　4　解析　兩變量x與y的平均數分別為 3 4 5 6 9 4 2 x       _， 4 6 6 16 4 4 y a a        _。因為迴歸直線必過點



 x, y



，所以將x 9₂、 16 4 y a    _代入 2 16 5 5 y x _得 16 2 9 16 4 5 2 5 a    _，解得 4 a 。　

(32)

12. 兩變量x_與y_{的數據如下表，求}y_對_x_{的迴歸直線方程式。} x ₂ ₁ ₄ ₅ ₃ y ₁ ₃ ₇ ₆ ₃ 解答　y6₅x2₅ 解析　兩變量_x與y的平均數分別為 2 1 4 5 3 3 5 x        _， 1 3 7 6 3 4 5 y        _。依公式需要整理如下表。 x x yy





2 x x



xx





yy



1  3 ₁ ₃ 2  1 ₄ ₂ 1 3 1 3 2 2 4 4 0 1 0 0 總和 S_xx 10 Sxy 12 代入迴歸直線方程式 y xy



x



xx S y x S      _，得 ₄ 12

_

₃

_

10 y  x _，即 6 2 5 5 y x _。 13. 某電腦公司欲推出一種新筆記型電腦，在上市前先進行市場調查，若以不同的單價x（單位：萬元）售出，可估得市場的需求量為y（單位：萬台），其對應數據如下表。 x ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ y ₄ ₅ ₃ ₁ ₂ (1)求x_與y_{的相關係數。} (2)求y對x的迴歸直線方程式。 (3)利用迴歸直線預測：當上市後單價定為3.5_{萬元時，預估市場的需求量為多少萬台？} 解答　(1)− 0.8　(2)y 4₅x31₅ (3)3.4萬台　解析　兩變量_x與y的平均數分別為 2 3 4 5 6 4 5 x        _， 4 5 3 1 2 3 5 y        _。依公式需要整理如下表。 x x yy





2 x x





2 y y



xx





yy



2  ₁ ₄ ₁ 2 1  ₂ ₁ ₄ 2 0 0 0 0 0 1 2 1 4 2 2 1 4 1 2