《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（基础）

【学习目标】

1.了解锐角三角函数的概念，能够正确应用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习， 体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角 A 确定： (1)sinA= ，这个比叫做∠A 的正弦. 　　 (2)cosA= ，这个比叫做∠A 的余弦. 　　(3)tanA= ，这个比叫做∠A 的正切.

其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

　　(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 　 　　但不能写成 sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成 sin∠BAC，而不能写出 sinBAC.

　　(3)sin2_{A表示(sinA)}2_{，而不能写成 sinA}2_. 　　(4)三角函数有时还可以表示成 等. 2.锐角三角函数的定义

　　锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数.

要点诠释：

　　1. 函数值的取值范围

对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠A 的函数.同样， cosA、tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是 0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是 0＜sinA＜1，0＜cosA＜

1，tanA＞0.

　　2．锐角三角函数之间的关系：

　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB；

　　同角三角函数关系：sin2_A＋cos2_A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解 30°、60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重，是 几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即 ； 　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 要点诠释： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边． 因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 要点三、解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几 何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问 题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　(1)坡度： ； 坡角: . 　　　　　 　　(2)方位角：

　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　 要点诠释： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如 c，a) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如 c，∠A) ∠B=90°－∠A，

， 　　 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 　　　　 　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际 问题抽象为数学问题． 　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 3．锐角三角函数的应用 　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁. 　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单： 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1．（2016•广东）如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（4，3），那么 cosα 的值是（　　）

A． B． C． D． 【思路点拨】利用勾股定理列式求出 OA，再根据锐角的余弦等于邻边比斜边列式即可． 【答案】D． 【解析】 解：由勾股定理得 OA= =5， 所以 cosα= ． 故选 D． 【总结升华】本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，勾股定理，熟记概念并准确识图求出 OA的长度是解题的关键． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 1-例 2】

【变式】已知，如图，D 是

_

_ABC

中 BC 边的中点，

_

_BAD

_

₉₀

_

，

tan

B



2

₃

，求

_{sin DAC}

_

． A B _D C 【答案】 过 D 作 DE∥AB 交 AC 于 E，则∠ADE=∠BAD=90°， 由

tan

B



2

₃

，得

AD

_AB



2

₃

,

设 AD=2k,AB =3k, ∵D是

_

_ABC

中 BC 边的中点，∴DE =

3

₂

k

,

在 Rt△ADE 中，

AE



5

₂

k

,

3

3

2

sin

.

5

5

2

k

DE

DAC

AE

_k









类型二、 特殊角三角函数值的计算 2．先化简，再求代数式 2

3

1

1

2

2

x

x

x





_



_



_



_





的值，其中

x



4sin 45

°°



2cos 60

． 【答案与解析】 原式



_x

x

_



1

_{2 (}



_x

_

x

₁₎₍



_x

2

_

₁₎



_x

1

_

₁

． 而

4sin 45

2cos 60

4

2

2

1

2 2 1

2

2

x



°°



 

  



． ∴ 原式＝

1

2

4

2 2



． 【点评】 先进行分式化简，再由

sin 45

2

,cos 60

1

2

2





°°

得 x 的值，最后代值求出结果． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】

【变式】计算：tan2_30°＋cos2_30°－sin2_45°tan45° 【答案】原式=

(

3

) +(

2

3

)

2

(

2

)

2

1

3

2



2



=

1 3 1

+

3 4 2



=

7

12

类型三、 解直角三角形

个（ ）．

①DE＝3 cm；② BE＝1 cm；③菱形的面积为 15 cm2_{；④ BD＝}

_{2 10}

_cm． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

【答案】C；

【解析】由菱形的周长为 20 cm 知菱形边长是 5 cm．

在 Rt△ADE 中，∵ AD＝5 cm，sin A＝

3

₅

，∴ DE＝AD·sinA＝

5

 

3

₅

3

(cm)．

∴

_AE

_

_AD

2

_

_DE

2

_

₄

_(cm)． ∴ BE＝AB－AE＝5－4＝1(cm)． 菱形的面积为 AB·DE＝5×3＝15(cm2_)． 在 Rt△DEB 中，

_BD

_

_DE

2

_

_BE

2

_

₃

2

_{ }

₁

2

₁₀

_(cm) ． 综上所述①②③正确．故选 C． 【点评】此题是菱形的性质、三角函数的定义及勾股定理综合运用. 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合

4．如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，以 AB 为直径的⊙O 经过点 D，E 是⊙O 上一点， 且∠AED＝45°．

(1)试判断 CD 与⊙O 的关系，并说明理由．

(2)若⊙O 的半径为 3 cm，，AE＝5 cm．求∠ADE 的正弦值．

【思路点拨】

(1)连接 OD，可证 OD⊥CD，所以 CD 与⊙O 相切；

(2)连接 BE，则∠ADE＝∠ABE，所以 sin∠ADE＝sin∠ABE＝

AE

_AB

．

(1)CD与⊙O 相切． 理由：如图所示，连接 OD， 则∠AOD＝2∠AED＝2×45°＝90°． ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ AB∥DC， ∴ ∠CDO＝∠AOD＝90°， ∴ OD⊥CD，∴CD 与⊙O 相切． (2)如图所示，连接 BE，则∠ADE＝∠ABE． ∵AB是⊙O 的直径， ∴∠AEB＝90°，AB＝2×3＝6(cm)． 在 Rt△ABE 中，

sin



ABE



AE

_AB



5

₆

．

∴sin∠ADE＝sin∠ABE



AE

_AB



5

₆

． 【点评】证明某直线是圆的切线，一般要连接过切点的半径，然后证明该半径与已知直线垂直．第 (2)题 通过作辅助线 BE，将问题巧妙转化为 Rt△ABE 的边角关系．在圆的有关证明中若有直径，一般 要利用“直径所对的圆周角等于 90°”这一性质构造直角三角形． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 6-例 8】 【变式】如图，C、D 是半圆 O 上两点，

5

11

CD

AB



，求

cos CEB



和

tan CEB



．

A B C D E O 【答案】如图，连结 BC，则∠ACB=90°，易证△ECD∽△EBA， ∴

CE CD

5

=

=

EB AB 11

，cos∠CEB=

5

.

11

CE

₌

EB

tan∠CEB=

4 6

.

5

BC

₌

CE

类型五、三角函数与实际问题 5．如图所示，一艘轮船位于灯塔 P 的北偏东 60°方向，与灯塔 P 的距离为 80 海里的 A 处，它沿正

距离(结果保留根号)． 【思路点拨】 由题意知△ABP 中∠A＝60°，∠B＝45°，∠APB＝75°联想到两个三角板拼成的三角形．因此很自然 作 PC⊥AB 交 AB 于 C． 【答案与解析】 过点 P 作 PC⊥AB 垂足为 C，则∠APC＝30°，∠BPC＝45°，AP＝80， 在 Rt△APC 中，

cos



APC



PC

_PA

．

∴PC＝PA·cos∠APC＝

40 3

， 在 Rt△PCB 中，

cos



BPC



PC

_PB

， ∴

40 3

40 6

cos

cos 45

PC

PB

BPC









°

∴当轮船位于灯塔 P 南偏东 45°方向时，轮船与灯塔 P 的距离是

40 6

海里． 【点评】注意由两个三角板拼的一个非直角三角形的求解问题，过 75°(或 105°)角的顶点向对边作垂线 是解决问题的关键． 举一反三： 【变式】（2015•南通）如图，一海伦位于灯塔 P 的西南方向，距离灯塔 40 海里的 A 处，它沿正东方向 航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 60°方向上的 B 处，求航程 AB 的值（结果保留根号）． 【答案与解析】 解：过 P 作 PC AB⊥ 于点 C，

在 Rt ACP△ 中，PA=40 海里，∠APC=45°，sin APC=∠ ，cos APC=∠ ， AC=AP•sin45°=40 ∴ × =40（海里），PC=AP•cos45°=40 × =40（海里）， 在 Rt BCP△ 中，∠BPC=60°，tan BPC=∠ ， BC=PC•tan60°=40 ∴ （海里）， 则 AB=AC+BC=（40+40 ）海里． 6．（2015•安徽模拟）如图，某滑板爱好者训练时的斜坡示意图，出于安全因素考虑，决定将训练 的斜坡的倾角由 45°降为 30°，已知原斜坡坡面 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上． （1）改善后斜坡坡面 AD 比原斜坡坡面 AB 会加长多少米？（精确到 0.01） （2）若斜坡的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，已知原斜坡 AB 的前方有 6 米长的空地，进行这样 的改造是否可行？说明理由． （参考数据： ） 【答案与解析】 解：（1）在 Rt ABC△ 中， BC=AC=AB•sin45°= （m）， 在 Rt ADC△ 中 AD= =5 （m）， CD= = （m），

（2）这样改造能行． CD BC≈2.59

∵ ﹣ （m），而 6 3﹣ ＞2.59， ∴这样改造能行．