《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解
【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题； 5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是 学习数学的一种重要途径. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a ，x a 等；另一种 是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或a
b
c
c
)． 不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或a
b
c
c
)．要点二、一元一次不等式 1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0 或 ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定 边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少” “不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、 “不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解 集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集 的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等 式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 1.用适当的符号语言表达下列关系.。 （1）a 与 5 的和是正数. （2）b 与-5 的差不是正数. （3）x 的 2 倍大于 x. （4）2x 与 1 的和小于零. （5）a 的 2 倍与 4 的差不少于 5. 【答案与解析】 解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0； （3）2x>x；
（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些 常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… 举一反三： 【变式】用适当的符号语言表达下列关系： （1）y 的
1
2
与 3 的差是负数.（2）x 的1
2
与 3 的差大于 2.（3）b 的1
2
与 c 的和不大于 9. 【答案】（1）1
3 0
2
y
； （2）1
3 2
2
x
；（3）1
9
2
b c
。 2.用适当的符号填空：（1）如果 a<b，那么 a-3__b-3； 7a__7b；-2a__-2b. （2）如果 a<b，那么 a-b__0；a+5b__6b；
1
__
1
2
2
a
b
b
. 【思路点拨】不等式的基本性质 1,2,3． 【答案】（1）＜； ＜；＞．（2）＜；＜；＜． 【解析】 （1）在不等式 a<b 两边同减去 3，得 a-3＜b-3； 在不等式 a<b 两边同乘以 7，得 7a＜7b； 在不等式 a<b 两边同乘以﹣2，得-2a＞-2b． （2）在不等式 a<b 两边同减去 b，合并得 a-b＜0； 在 a<b 两边同加上 5b，合并得 a+5b＜6b； 在 a<b 两边同减去1
2
b
，合并得1
1
2
2
a
b
b
． 【总结升华】刚开始在面对不等式的基本变形时，要不断强化在变形上所运用的具体性质 同时也要逐步积累一些运用性质变形后的化简结果，这样学习到的不等式的基本性质才能 落在实处． 举一反三： 【变式 1】用适当的符号填空： （1）7a+6__7a-6；（2）若 ac＞bc，且 c＜0，则 a b． 【答案】（1）>；（2）＜． 【变式 2】判断 （1）如果a b
，那么ac
2
bc
2； （2）如果ac
2
bc
2，那么a b
. 【答案】（1）×；（2）√． 类型二、一元一次不等式 3. 解不等式3(
1)
1
5
8
2
x
x
x
【思路点拨】不等式中含有分母，应先根据不等式的基本性质 2 去掉分母，再作其他变形． 去分母时，不要忘记给分子加括号．【答案与解析】 解：去分母，得 8x+3(x+1)＞8-4(x-5)， 去括号，得 8x+3x+3＞8-4x+20， 移项，得 8x+3x+4x＞8+20-3， 合并同类项，得 15x＞25， 系数化为 1．得
5
3
x
． ∴不等式的解集为5
3
x
． 【总结升华】解一元一次不等式与解一元一次方程的步骤异同见下表：ax＝b ax＞b ax＜b
解：当 a≠0 时，
x
b
a
； 当 a＝0，b≠0 时，无解； 当 a＝0，b＝0 时，x 为任意 有理数． 解：当 a＞0 时，x
b
a
； 当 a＜0 时，x
b
a
； 当 a＝0，b≥0 时，无解； 当 a＝0，b＜0 时，x 为任意 有理数． 解：当 a＞0 时，x
b
a
； 当 a＜０时，x
b
a
； 当 a＝0，b≤0 时，无解； 当 a＝0，b＞0 时，x 为任意 有理数． 举一反三： 【变式】(湖南益阳)解不等式5
1
1
3
x
x
，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：去分母得 5x-1-3x＞3， 移项、合并同类项，得 2x＞4， 系数化为 1，得 x＞2， 解集在数轴上的表示如图所示． 4.（2015•北海）某市居民用电的电价实行阶梯收费，收费标准如下表： 一户居民每月用电量 x（单位：度） 电费价格（单位：元/ 度） 0＜x≤200 a 200＜x≤400 b x＞400 0.92 （1）已知李叔家四月份用电 286 度，缴纳电费 178.76 元；五月份用电 316 度，缴纳电 费 198.56 元，请你根据以上数据，求出表格中 a，b 的值． （2）六月份是用电高峰期，李叔计划六月份电费支出不超过 300 元，那么李叔家六月份 最多可用电多少度？ 【思路点拨】（1）根据题意即可得到方程组，然后解此方程组即可求得答案； （2）根据题意列不等式，解不等式． 【答案与解析】解：（1）根据题意得： ， 解得： ． （2）设李叔家六月份最多可用电 x 度， 根据题意得：200×0.61+200×0.66+0.92（x 400﹣ ）≤300， 解得：x≤450． 答：李叔家六月份最多可用电 450 度． 【总结升华】考查了一元一次方程组与一元一次不等式的应用．注意根据题意得到等量关 系是关键． 类型三、一元一次不等式组 5. 解不等式组：
②
①
1
3
2
1
5
)3
(3
x
x
x
x
，并求出正整数解。 【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分。 【答案与解析】 解：由不等式①得x
≤2， 由不等式②得x
4
， ∴由①②得
4
2
x
x
，即x 2∴
原不等式组的解集是x 2，正整数解为 1,2． 【总结升华】求不等式(组)的特殊解的一般步骤是先求出不等式(组)的解集，再从中找出 符合要求的特殊解． 举一反三： 【变式】（2015•上海）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】 解：∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤2， ∴不等式组的解集为﹣3＜x≤2， 在数轴上表示不等式组的解集为： ． 类型四、综合应用 6.若关于 x,y 的方程组
3
2
2
3
x y
k
y x
的解满足1
1
x
y
，求 k 的整数值. 【思路点拨】从概念出发，解出方程组（用 k 表示 x、y），然后解不等式组. 【答案与解析】 解：解方程组3
2
2
3
x y
k
x
y
4
3
,
7
2
9
.
7
k
x
k
y
得
∵1
1
x
y
，4
3
1,
7
2
9
1.
7
k
k
即
解得：1
5
2
k
, ∴整数 k 的值为 0，1，2. 【总结升华】方程组的未知数是 x、y，k 在方程组里看成常数.通过求解方程组可以用 k 表 示 x、y.方程组的解满足不等式，那么可以将 x、y 用含 k 的式子替换，得到关于 k 的不等 式组，可以求出 k 的取值范围，进而可以求出 k 的整数值. 举一反三： 【变式】m 为何值时，关于 x 的方程：6
1
5
1
6
3
2
x
m
m
x
的解大于 1？ 【答案】 解：由6
1
5
1
6
3
2
x
m
m
x
，得3
1
5
m
x
， ∴3
1
1
5
m
，解得m
2
． ∴当m
2
时，关于 x 的方程：6
1
5
1
6
3
2
x
m
m
x
的解大于 1. 7.某学校组织八年级学生参加社会实践活动，若单独租用 35 座客车若干辆，则刚好 坐满；若单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位． （1）求该校八年级学生参加社会实践活动的人数； （2）已知 35 座客车的租金为每辆 320 元，55 座客车的租金为每辆 400 元．根据租车资金不超过 1500 元的预算，学校决定同时租用这两种客车共 4 辆（可以坐不满）．请 你计算本次社会实践活动所需车辆的租金． 【思路点拨】（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆．根据单独租用 35 座客车若干辆，则刚 好坐满和单独租用 55 座客车，则可以少租一辆，且余 45 个空座位，分别表示出总人数， 从而列方程求解；（2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（4-y）辆．根据不等关系： ①两种车坐的总人数不小于 175 人；②租车资金不超过 1500 元．列不等式组分析求解． 【答案与解析】 解：（1）设单独租用 35 座客车需 x 辆，由题意得： 35x55(x 1) 45, 解得：x .5 ∴ 35x35 5 175 （人）. 答：该校八年级参加社会实践活动的人数为 175 人． （2）设租 35 座客车 y 辆，则租 55 座客车（ 4 y ）辆，由题意得： 35 55(4 ) 175 320 400(4 ) 1500 y y y y ≥ ≤ ， 解这个不等式组，得11 21 4≤≤y 4． ∵ y取正整数，∴ y = 2. ∴4－ y = 4－2 = 2（辆）. ∴320×2＋400×2 = 1440（元）. 所以本次社会实践活动所需车辆的租金为 1440 元． 【总结升华】本题考查了一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用，解决问题的关 键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
