4−3 特殊四邊形的性質
本節課程學習重點： ◎能理解長方形、正方形、梯形、等腰梯形、菱形、筝形的定義。 ◎能利用尺規作圖畫出特殊四邊形。 ◎能理解梯形的意義與性質。 ◎能理解梯形中線(梯形兩腰中點連線段)的性質。 ◎能知道梯形的面積公式。 ◎能從幾何圖形的判別性質，判斷圖形的包含關係。 一、長方形、菱形、箏形與正方形的性質： ◎長方形(矩形)： 長方形是四個內角都是直角的四邊形。 因為長方形的兩雙對角分別相等，因此長方形也是平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質。 ◎長方形的兩對角線相等且互相平分。 【說明】如右圖，長方形 ABCD 中，對角線AC與 BD 相交於 O 點， ∵對邊相等，∴ AD ＝BC， 在△ADC 和△BCD 中， ∵∠ADC＝∠BCD＝90°， AD ＝BC，CD＝CD， ∴△ADC ≅ △BCD(SAS 全等性質)，得AC＝ BD ，因此長方形的兩對角線相等。 ∵長方形也是平行四邊形，∴兩對角線會互相平分(OA＝OC，OB＝OD)。 練習1：如右圖，長方形 ABCD 中，已知BC＝12cm，∠ABD＝30°， 求AC長與△ABC 的面積。 練習2：如右圖，四邊形 ABCD 為長方形， AB ＝8cm，BC＝6cm， 求△AOB 的周長與面積。 ◎長方形的判別性質：兩對角線相等且互相平分。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中，AC＝ BD ， 且 O 為AC、 BD 的中點， (1)∵AC＝ BD ，且 O 為AC、 BD 的中點， ∴OA＝OB＝OC＝OD， 因此△AOD 和△COD 都是等腰三角形，得∠1＝∠2，∠3＝∠4。 (2)在△ADC 中，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，故 2∠2＋2∠3＝180°， 得∠2＋∠3＝90°，也就是說∠ADC＝90°，同理∠DCB、∠CBA、∠BAD 也是 90°。 ∵四個內角都是直角，∴四邊形 ABCD 是長方形。 也就是說：兩對角線相等且互相平分的四邊形是長方形。 B A C D O B O A C D 30° 12 B A C D O 6 8 O B A D C 2 1 3 4練習3：如右圖，L1、L2相交於 P 點。作一個長方形，使四個頂點 分別落在 L1與 L2上，且 P 點剛好是兩對角線交點。 【觀念釐清】長方形的兩對角線相等，但是兩對角線相等的四邊形不一定是長方形。 ◎菱形： 菱形是四個邊都相等的四邊形。 因為菱形的兩雙對邊分別相等，因此菱形也是平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質。 ◎菱形的兩對角線互相垂直平分，且平分四個內角。 【說明】如右圖，菱形 ABCD 中，對角線AC與 BD 相交於 O 點， ∵菱形具有平行四邊形兩對角線互相平分的性質，∴OB＝OD。 在△AOB 和△AOD 中，OB＝OD， AB ＝ AD ，OA＝OA， ∴△AOB ≅ △AOD(SSS 全等性質)，得∠1＝∠2，∠3＝∠4。 ∵∠1＋∠2＝180°，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝90°，可知AC⊥ BD 。 ∵∠3＝∠4，∴AC平分∠BAD，同理AC平分∠BCD， 且 BD 平分∠ADC 與∠ABC，因此菱形的兩對角線平分四個內角。 所以菱形的兩對角線互相垂直平分。 ◎一個四邊形兩對角線互相垂直時，它的面積等於兩對角線乘積除以 2。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中，AC⊥ BD ， 則四邊形 ABCD 面積＝△ABC＋△ACD＝ 12 AC×OB＋ 12 AC×OD ＝ 12 AC×(OB＋OD)＝ 12 AC× BD ， 所以兩對角線互相垂直的四邊形，其面積等於兩對角線乘積除以 2。 【觀念釐清】菱形的兩條對角線會互相垂直，所以菱形的面積等於兩對角線乘積除以 2。 練習4：菱形 ABCD 中，已知AC＝16 公分、 BD ＝20 公分，求菱形 ABCD 的面積與周長。 ◎菱形的判別性質：兩對角線互相垂直平分。 【說明】如右圖，四邊形 ABCD 中，OA＝OC，OB＝OD，且AC⊥ BD ， ∵直線 AC 是 BD 的中垂線，∴ AB ＝ AD 、CB＝CD。 同樣的，直線 BD 是AC的中垂線，∴ BA ＝BC、 DA ＝DC。 由上可知 AB ＝BC＝CD＝ DA 。 ∵四邊等長，∴四邊形 ABCD 是菱形。 也就是說，兩對角線互相垂直平分的四邊形是菱形。 B A C D O 2 1 4 3 B A C D O P L1 L2 O B A D C 2 1
O B A D C 練習5：如右圖，L1垂直 L2於 Q 點。作一個菱形，使四個頂點 分別落在 L1與 L2上，且 Q 點剛好是兩對角線的交點。 【觀念釐清】菱形的兩對角線互相垂直，但兩對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形。 ◎箏形： 箏形是兩雙鄰邊分別等長的四邊形。 ◎箏形的一條對角線會垂直平分另一條對角線，而且會平分兩個內角。 【說明】如右圖，箏形 ABCD 中， AB ＝BC， AD ＝CD，AC與 BD 交於 O 點。 在△ABD 和△CBD 中， ∵ AB ＝BC， AD ＝CD， BD ＝ BD ，∴△ABD ≅ △CBD(SSS 全等性質)， 因此∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴ BD 為∠ADC 與∠ABC 的角平分線。 又等腰△ADC 中， BD 為頂角∠ADC 的角平分線， 因此 BD 垂直平分 AC 。 練習6：如右圖，ABCD 為箏形，其中 AB ＝ AD ，CB＝CD。 若∠1＝40°，∠2＝30°，則∠3、∠4 的度數分別為多少？ 【觀念釐清】箏形面積等於兩對角線乘積除以 2。 ◎正方形： 正方形的四個邊等長，所以正方形是菱形，它的兩對角線互相垂直平分； 因為正方形四個內角都是直角，所以正方形也是長方形，它的兩對角線平分且等長。 【觀念釐清】正方形的兩對角線相等且互相垂直平分。 練習7：如右圖，O 為正方形 ABCD 對角線的交點，且 BD ＝6， 則正方形 ABCD 的周長與面積分別為多少？ B A C D O 3 4 1 2 1 3 4 2 A C B D Q L2 L1
練習8：如右圖，ABCD 為正方形，且 A、C 兩點坐標分別為 (5 , 3)、(1 , 3)，則 B、D 兩點坐標分別為多少？ 【觀念釐清】特殊四邊形的對角線性質： (1)長方形：兩條對角線相等且互相平分。 (2)菱形：兩條對角線互相垂直平分，且平分四個內角。 (3)箏形：其中一條對角線垂直平分另一條對角線，且平分兩個內角。 (4)正方形：兩條對角線相等且互相垂直平分。 二、梯形的性質： 一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形稱為梯形，如下圖。 此時平行的兩邊分別稱為上底與下底，不平行的兩邊稱為腰，而 腰與下底形成的夾角稱為底角。 【觀念釐清】如果梯形的兩腰相等，就稱此梯形為等腰梯形。 ◎梯形中線(梯形兩腰中點連線段)的性質：梯形中線會平行上底和下底，且長度等於兩底和的一半。 【說明】如下圖，梯形 ABCD 中，M、N 分別為兩腰 AD 、BC的中點。 PN // AD 且與 AB 相交於 P 點。沿著PN剪開，將梯形 ABCD 分成兩部分，並將△BPN 往上 翻轉，使BN與CN 重合。根據操作結果，可知： C D M N B B A P P 轉180°
⇒
C D M N Q B A P (1)∵∠DCB＋∠QCB＝∠DCB＋∠B＝180°，∴D、C、Q 在同一直線上。 ∵∠CNQ＋∠CNP＝∠BNP＋∠CNP＝180°，∴P、N、Q 在同一直線上。 (2)∵PN＝ QN ，∴N 是 PQ 的中點。 (3)∵ DQ // AP ，又 PQ // AD ，∴四邊形 DAPQ 為平行四邊形。 ∵ DM // QN 且 DM ＝ 12 AD ＝ 12 PQ ＝ QN ，∴四邊形 DMNQ 為平行四邊形。 (4)由(3)可得 DQ ＝MN＝ AP 且 DQ // MN // AP 。 (5)∵2MN＝ AP ＋ DQ ＝( AB － PB )＋(DC＋ CQ )， 又 PB ＝ CQ ，所以 2MN＝ AB ＋DC，∴MN＝ 12 ( AB ＋DC)。 由上可知，梯形兩腰中點的連線段會平行上底和下底，且長度等於兩底和的一半。 上底 底角 底角 腰 腰 下底 梯形中線 B O A x y D C 1 1A B C E F D 10 5 A C D B 9 7 練習9：如右圖，梯形 ABCD 中， AD // BC，E、F、G 將 AB 四等分， H、I、J 將DC四等分。若 AD ＝10cm，BC＝30cm， 則 EH 、 FI 、GJ的長度分別為多少？ 【觀念釐清】梯形的面積＝梯形中線長 × 高。 【說明】已知梯形面積＝上底＋下底2 × 高，且梯形中線長＝上底＋下底2 。 練習10：如右圖，梯形 ABCD 中， AB // CD， EF 為梯形兩腰中點的 連線段。若 AB ＝5cm， EF ＝10cm，梯形的高為 8cm，則CD 及梯形 ABCD 的面積分別為多少？ 練習11：有一梯形兩腰中點的連線段長為 10 公分，高為 5 公分，求此梯形面積。 ◎等腰梯形的性質：(1)等腰梯形的兩底角相等。 (2)等腰梯形的兩對角線相等。 【說明】(1)如右圖，等腰梯形 ABCD 中， AD // BC， AB ＝CD。 先從 A、D 兩點分別作底邊的高，假設垂足為 E、F。 由於平行線的距離處處相等，∴ AE ＝ DF 。 在△ABE 和△DCF 中， ∵ AB ＝CD、 AE ＝ DF 、∠AEB＝∠DFC＝90°， ∴△ABE ≅ △DCF(RHS 全等性質)，得∠B＝∠C，且 BE ＝CF。 (2)如右圖，在△ABC 和△DCB 中， ∵ AB ＝CD(已知)， ∠ABC＝∠DCB(底角相等)， BC＝BC(共用邊)， ∴△ABC ≅ △DCB(SAS 全等性質)，得AC＝ BD 。 練習12：如右圖，等腰梯形 ABCD 中，上底為 7cm， 下底為 9cm，高為 6cm，則這個等腰梯形的 對角線長度為多少？ 10 30 A E F G C H I J D B A A C C C D D B B B A E F C D B
A B C D 5 15 45° 練習13：如右圖，等腰梯形 ABCD 中， AD // BC， AB ＝CD。 如果 AD ＝5cm，BC＝15cm，∠B＝45°，則對角線AC 的長度為多少？ 【觀念釐清】特殊四邊形的包含關係：(1)菱形是箏形。 (2)正方形是菱形，也是長方形。 (3)長方形、菱形、正方形都是平行四邊形。 特殊四邊形的性質： 平行四邊形 長方形 菱形 箏形 正方形 等腰梯形 對邊平行 √ √ √ √ 對邊相等 √ √ √ √ 邊 四邊相等 √ √ 對角相等 √ √ √ √ 角 四角相等 √ √ 互相平分 √ √ √ √ 互相垂直 √ √ √ 對角線 相等 √ √ √ 自我評量 1. 如右圖，長方形 ABCD 中， AB ＝6cm，BC＝10cm， 則兩對角線的和為多少？ 2. 如右圖， BD 為菱形 ABCD 的一條對角線，E、F 兩點把 BD 三等分， 則四邊形 AECF 是菱形嗎？ 3. 有一個梯形兩腰中點的連線段與高等長，且面積等於 49cm2，則此梯形兩底之和為多少？ 10 6 A D B C A C B D E F
B A F E D C G 2 1 A(4 , 3) 1 1 B C y x O 4. 四邊形 ABCD 中，兩條對角線AC與 BD 相交於 O 點。從下面三個條件(A)、(B)、(C)中，挑出最少 的條件，使四邊形 ABCD 分別成為菱形、長方形、正方形與平行四邊形。 (A)AC⊥ BD (B)AC＝ BD (C)AO＝CO，BO＝DO (1)菱形： 。(2)長方形： 。(3)正方形： 。(4)平行四邊形： 。 習作 1. 如右圖，長方形ABCD中，對角線AC、 BD 相交於O點。 如果OA＝5cm，求AC＋ BD 的值。 2. 如右圖，□ ABCD中， AD ＞ AB ，如果四內角的角平分線相交 於P、Q、R、S四點，則□PQRS四個內角各為多少度？ 3. 如右圖，坐標平面上，四邊形OABC為菱形，其中O為原點， A點坐標(4 , 3)，B點在第一象限、C點在x軸上。 (1)菱形OABC的邊長為多少？ (2)B點的坐標為多少？ 4. 如右圖，菱形ABCD中，對角線 AC 與 BD 交於O點。 若 BC ＝25， AC ＝14，則 BD 長為多少？ 5. 如右圖，四邊形ABCD與四邊形AEFG均為正方形， 若∠1＝40°，則∠2＝？ A B D O C A S Q P R D B C D C O B A
A D C B 6. 下列六種四邊形中：(A)正方形 (B)長方形 (C)菱形 (D)平行四邊形 (E)等腰梯形 (F)箏形 (1)滿足「兩雙對邊相等」的四邊形有哪些？ 。 (2)滿足「兩組對角相等」的四邊形有哪些？ 。 (3)滿足「兩條對角線等長」的四邊形有哪些？ 。 (4)滿足「對角線互相垂直」的四邊形有哪些？ 。 7. 如右圖，梯形ABCD中，E、F、G將 AB 四等分， H、I、J 將CD四等分。若 AD // BC， AD ＝3，BC＝15， 則梯形AFID面積：梯形EGJH面積：梯形FBCI面積為多少？ 8. 如右圖，等腰梯形ABCD中， AD // BC。 已知 AB ＝CD＝15 公分， AD ＝6 公分，BC＝24 公分。 兩高 AP 、 DQ 分別與BC相交於P、Q兩點，則 (1) BP 的長為多少？ (2) AP 的長為多少？ (3)梯形ABCD的面積為多少？ 9. 如右圖，箏形ABCD中， AB ＝ AD ，BC＝CD，若∠A＝120°， ∠ABC＝90°， BD ＝8，則箏形ABCD的面積為多少？ 10. 如右圖，四邊形ABCD為等腰梯形， AB //CD，AC⊥BC， 若 AB ＝25，BC＝15，則此梯形兩腰中點的連線段長為何？ A D B P Q C A E F G H I J D B 3 15 C B A D C
類題補充
1. 如下圖，四邊形 ABCD 與四邊形 BEFG 為全等的菱形，若∠E＝130°，∠1＝88°，則∠2＝？ A C G E B D 2 F 1 2. 如右圖，四邊形 ABCD 為等腰梯形， AB //CD，AC ⊥ BC， 若 AB ＝20，BC＝12，則AC＝ ，梯形的高＝ 。 3. 如下圖，梯形 ABCD 中，¯ AB // ¯ CD ，且¯ AB ＝5¯ CD ，P 點為¯ CD 上任一點，設梯形 ABCD 的面積 為72 平方單位，則△PAB 的面積為 平方單位。 DPC B A 4. 有一等腰梯形中線長 12cm，一腰為 15cm，則周長為 cm。 5. 如下圖，梯形 ABCD 中，¯ AD // ¯ BC 且¯ AD ＝¯ BE ，¯ DE 為∠ADC 的角平分線，∠C＝58°， 則∠A＝ 度。 A D B E C 6. 下圖是一個七巧板，由 5 塊等腰直角三角形以及一塊平行四邊形與一塊正方形所拼成，若小正方形 的面積為16 平方公分，那麼圖中平行四邊形的面積為多少平方公分？ D C A B
7. 下圖為一等腰梯形，¯ AD ＝20，¯ AB ＝15，¯ BC ＝36，則此梯形的面積為何？ A D B C 8. 如右圖，梯形 ABCD 中，E、F 為¯ AB 、¯ CD 的中點，G、H 為¯ AE 、 ¯ DF 的中點，¯ AD ＝6，¯ BC ＝15，則¯ GH ＝？ 9. 如下圖，梯形 ABCD 中，¯ AB //¯ CD ，△ADC 與△PBC 的面積分別為 30 與 10， 則△PDC 的面積為 。 C D A P B 10. 如下圖，鳶形 ABCD 中，¯ BO ＝¯ DO ＝12，¯ AO ＝5，¯ CO ＝16，則此鳶形的面積為 。 B D A C O 11. 如右圖，梯形 ABCD 中，¯ AB // ¯ CD ，E、F 分別為 ¯ AD 、¯ BC 中點， ¯ AF 、¯ EF 、¯ CE 將梯形 ABCD 分割成甲、乙、丙、丁四個三角形區域。 已知甲區面積：乙區面積＝5：7，則丁區面積：梯形 ABCD 面積的 比值為何？ 12. 如右圖，梯形 ABCD 中， ¯ AD ＝3、¯ BC ＝4，若在¯ BC 上找一點 E， 使 ¯ AE 將梯形面積兩等分，則 ¯ BE ＝ 。 H G D E C B F A A D E F B C 甲 丙 乙 丁 A D B C
加強練習 1. 下列四邊形中，何者兩條對角線不一定等長？ (A)正方形 (B)長方形 (C)等腰梯形 (D)平行四邊形。 2. 如右圖，菱形 ABCD 中，OA＝4，OB＝6，則菱形 ABCD 的面積＝ 。 3. 如右圖，等腰梯形 ABCD 中， AD // BC。已知 AB ＝CD＝10cm， AD ＝4cm，BC＝14cm。兩高 AP 、 DQ 分別與BC相交於 P、Q 兩點。試問： (1)此梯形兩腰中點的連線段長為多少？ (2) BP 的長為多少？ (3) AP 的長為多少？ (4)梯形 ABCD 的面積為多少？ 4. 下列敘述何者是錯誤的？ (A) 若一個四邊形有一組對角相等，則它一定是箏形 (B) 若一個矩形的對角線互相垂直，則它一定是正方形 (C) 一個矩形如果也是菱形，則它是正方形 (D) 若一個平行四邊形有一組鄰邊相等，則它一定是菱形 5. 右圖是一張梯形紙片 ABCD，¯ AD // ¯ BC ，下列三種剪裁方式中，何者可以得到面積為梯形面積一半 的紙片？ 甲：¯ AE ＝¯ BE ；¯ DF ＝¯ CF 乙：¯ AE ＝¯ DE ；¯ BF ＝¯ CF 丙：¯ DE ＝¯ CE (A)甲 (B)甲、乙 (C)乙、丙 (D)甲、乙、丙。 6. 下列敘述何者正確？ (A)等腰梯形四邊的中點連線所圍成的區域必為菱形 (B)箏形四邊的中點連線所圍成的區域必為菱形 (C)菱形四邊的中點連線所圍成的區域必為菱形 (D)平行四邊形四邊的中點連線所圍成的區域必為菱形 7. 梯形上底與下底的比為 2：5，且上、下底差 12cm，則此梯形的中線長為 cm。 8. 菱形 ABCD 中，一條對角線¯ AC ＝8 公分，面積為 56 平方公分，則另一對角線¯ BD 及此菱形的周長 分別為多少？ 9. 如右圖，¯ AD // ¯ BC ，¯ AB ＝¯ CD ，已知¯ AD ＝8，¯ BC ＝24，且梯形的高¯ AH 為 12， 則對角線¯ BD 的長為多少？ 10. 下列敘述何者正確？ (A)若四邊形對角線互相垂直平分，則此四邊形為正方形 (B)若四邊形兩組對邊分別相等，則此四邊形為矩形 (C)若四邊形對角線相等，則此四邊形為矩形 (D)若四邊形是菱形，則對角線互相垂直平分 11. 如右圖，平行四邊形 ABCD 中，若四個內角的角平分線交於 E、F、G、H 四點，則四邊形 EFGH 為下列哪一種圖形？ (A)菱形 (B)正方形 (C)長方形 (D)平行四邊形。 12. 承上題，若¯ AB ＝8，¯ BC ＝6，且∠BAD＝120°，則四邊形 EFGH 的面積為何？ (A) 3 (B) 2 3 (C) 3 3 (D) 4 3 。 13. 如右圖，梯形 ABCD 中， ¯ AD // ¯ BC ，E、F 分別為¯ AB 、 ¯ CD 的中點， ¯ GF 將梯形 ABCD 的面積兩等分。若 ¯ AD ＝16，¯ BC ＝40， 則△EFG 的面積：梯形 ABCD 的面積＝？ A C B O D A D B P Q C D A AE D A D E C 甲 乙 丙 B B C B C E F F A D B H C A D B C H E G F A D F E G
Ans：1.(D)；2. 48；3.(1) 9 cm，(2) 5 cm，(3) 5 3cm，(4) 45 3cm2；4.(A)；5.(C)；6.(A)；7. 14； 8. 14 公分，4 65 公分；9. 20；10.(D)；11.(C)；12.(A)；13. 3：28。.
