離散型熱帶曲線因子秩之計算 - 政大學術集成

全文

(1)國立政治大學應. 用. 數. 學. 研. 究. 所. 碩士論文離散型熱帶曲線因子秩之計算 Calculating Rank of Discrete Divisors on Tropical Curves. 研究生：張穎泓指導教授：蔡炎龍博士. 中華民國102年6月.

(2) 離散型熱帶曲線因子秩之計算 Calculating Rank of Discrete Divisors on Tropical Curves. 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. 研究生：張穎泓. 聓聴聵聤聥聮聴耺聙聩聮聧耭聨聵聮聧聃聨聡聮聧. 指導教授：蔡炎龍博士. n. al. er. io. sit. y. Nat. 聁聤聶聩聳聯聲耺聄聲耮聙聥聮耭聬聵聮聧联聳聡聩聁联聨聥聳聩聳聓聵聢聭聩聴聴聥聤聴聯聄聥聰聡聲聴聭聥聮聴聯聦聍聡聴聨聥聭聡聴聩聣聡聬聓聣聩聥聮聣聥聳聍聡聳聴聥聲聯聦聓聣聩聥聮聣聥聊聵聮聥耲耰耱耳. Ch. engchi U. 中華民國耱耰耲年耶月. v i n.

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(5) 離散型熱帶曲線因子秩之計算學生：張穎泓. 指導教授：蔡炎龍博士國立政治大學應用數學研究所要. 摘. 本篇論文主要是在討論熱帶曲線上，離散型的因子應具備有哪些性質，而在討論. 政治大. 熱帶曲線上因子的性質時，我們會發現到致的計算，在低次熱帶曲線上，或是因子本身的係數總和高時，並不是太困難。但再高次的熱帶曲線上，致的計算. 立. 就成線的極其繁雜，因此我們想要藉由在熱帶曲線上離散型的聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定. ‧ 國. 學. 理聛耱聝來幫助我們計算。. 最後我們可以得到的結論是，若耀是一平滑的熱帶曲線，則耀上因子的致，. io. sit. y. Nat. n. al. er. 計算。. ‧. 將會受到耀的虧格耨聧聥聮聵聳耩所限制，大幅的簡化了我們在離散型熱帶曲線因子致的. Ch. engchi U. 聩聶. v i n.

(6) 聃聡聬聣聵聬聡聴聩聮聧聒聡聮聫聯聦聄聩聳聣聲聥聴聥聄聩聶聩聳聯聲聳聯聮联聲聯聰聩聣聡聬聃聵聲聶聥聳聓聴聵聤聥聮聴耺聙聩聮聧耭聨聵聮聧聃聨聡聮聧. 聁聤聶聩聳聯聲耺聄聲耮聙聥聮耭聬聵聮聧联聳聡聩. 聓聵聢聭聩聴聴聥聤聴聯聄聥聰聡聲聴聭聥聮聴聯聦聍聡聴聨聥聭聡聴聩聣聡聬聓聣聩聥聮聣聥聳聎聡聴聩聯聮聡聬聃聨聥聮聧聃聨聩聕聮聩聶聥聲聳聩聴聹聁聂聓联聒聁聃联. 政治大. 联聨聩聳聰聡聰聥聲聭聡聩聮聬聹聤聩聳聣聵聳聳聥聤聴聨聥聰聲聯聰聥聲聴聹聤聩聳聣聲聥聴聥聶聥聲聳聩聯聮聤聩聶聩聳聯聲聯聮聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥耬聡聮聤聩聮聴聨聥聤聩聳聣聵聳聳聩聯聮聯聦聴聨聥聰聲聯聰聥聲聴聹聯聦聡聤聩聶聩聳聯聲聯聦聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥耮職聥職聩聬聬而聮聤. 立. 聴聨聡聴聴聨聥聲聡聮聫聯聦聴聨聥聣聡聬聣聵聬聡聴聩聯聮耬聡聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥聩聮聴聨聥聬聯職聤聥聧聲聥聥耬聯聲聨聩聧聨聤聥聧聲聥聥. ‧ 國. 學. 聯聦聤聩聶聩聳聯聲耬聮聯聴聴聯聯聤聩耎聣聵聬聴耮聂聵聴聡聧聡聩聮聨聩聧聨聥聲聤聥聧聲聥聥聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥耬聣聡聬聣聵聬聡聴聥聤聯聮聡聣聯聮聳聩聳聴聥聮聴聬聩聮聥聯聦聥聸聴聲聥聭聥聬聹聣聯聭聰聬聩聣聡聴聥聤耮聓聯職聥職聡聮聴聴聯聵聳聥聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨聴聨聥聯聲聥聭聛耱聝聯聦聤聩聳聣聲聥聴聥聶聥聲聳聩聯聮聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥聴聯聨聥聬聰聵聳聣聡聬聣聵聬聡聴聥耮. ‧. 聆聩聮聡聬聬聹耬職聥聣聡聮聧聥聴聴聨聥聣聯聮聣聬聵聳聩聯聮聴聨聡聴耬聩聦耀聢聥聡聳聭聯聯聴聨聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥耬聴聨聥聮. io. n. al. er. 聣聡聬聣聵聬聡聴聩聮聧職聥聲聡聮聫聯聦聤聩聳聣聲聥聴聥聤聩聶聩聳聯聲聳聯聮聴聲聯聰聩聣聡聬聣聵聲聶聥聳耮. sit. y. Nat. 聴聨聥聲聡聮聫聯聦聤聩聶聩聳聯聲聩聮耀耬職聩聬聬聢聥聤聯聭聩聮聡聴聥聯聦耀聧聥聮聵聳耮聓聯聤聲聡聭聡聴聩聣聡聬聬聹聳聩聭聰聬聩而聥聳. Ch. engchi U. 聶. v i n.

(7) 誌. 謝. 想當年高中畢業來到政大，一轉眼已過了七年，開心的從大學畢業，從軍中退伍，如今又要拿一張碩班的畢業證書，一切看起來是如此的自然，但我深知這背後有著眾人對我的支援與照顧，才能讓我這七年過的如此輕鬆愉快。感謝我的父母，讓我衣食無缺的在北部求學，不必為了金錢壓力而四處奔走，每天通電話也只關心我的身體健康，不對我的課業成績施予壓力，我想這是. 政治大. 我這七年來生活安穩的一大主因。. 立. 感謝我的指導教授蔡炎龍老師，願意接收並指導我這種對學術研究毫無興趣. 學. ‧ 國. 的懶散學生，這幾年來，跟老師學到很多咖啡應有的正確觀念，以及程式繪圖的技巧，最重要的是觀察老師對待所有學生，無論是在教學或生活上，都想給予最好的那份用心和耐心，實在是讓我受益良多。. ‧. 感謝國立政治大學應用數學系陳榮譽教授天進老師，感謝您這幾年來對我的照顧，從大學部到現在，雖然您不是我的指導教授，但對我的關心卻不亞於自己. y. Nat. sit. 的研究生，雖嫌我吃素麻煩，但還是常常帶著我去吃飯，雖厭惡學生在課堂中睡. io. er. 覺，但仍不厭其煩的讓我一睡再睡的，睡了整整四年，感謝老師，讓我的研究生活過的如此的趣味與充實。. al. n. v i 感謝余屹正老師，在這段時間對於我所做的指導，雖然沒修過老師的課，但 n Ch U engchi 每次看老師對於學術的嚴謹態度，就覺得實在了不起，平時也常常到研究室來關心研究生們，有如此亦師亦友的老師，真的是很幸運。感謝我的口試委員張宜武老師，雖然每次修您的課都沒有好好認真上課，但這些年來的下午茶點心八卦時光，也讓我們這些學生感到樂趣無窮，希望畢業之後有機會可以常常回到學校來找老師們喝茶聊天。感謝我的好學長威德師兄，從大一開始就受到你的不少幫助，指導我怎麼讀數學，當兵玩了一年回來讀研究所，你也幫了我許多，給了我很多很好的建議，一起當高微助教的時光，也是因為有你檔在前面，讓我避開了不少腥風血雨，我想要不是因為有你，我可能連大學都無法順利畢業，更別說是這張碩班的畢業證書了。. 聶聩.

(8) 感謝我的好兄弟博班大學長澤佑，感謝你跟我一樣過了快二十五年的單身生活，跟你再一起鬼混，讓我覺得我的世界似乎不是如此的悲哀，也感謝你不管是在學術上或是咖啡上，始終對於龜毛的我不離不棄，雖然嘴上常常唾棄我，但總給我最有力的支援。感謝將太學長、盈穎學姊，在我需要幫助的時候，都不厭其煩的幫助我，還要接受我的各種嘴砲，真是讓我深感抱歉，我想你們再一起也七年了，快點一不小心結婚吧，不然七年之癢這實在也太可怕。. 政治大. 感謝我的同居人彥文學長，雖然你走得很突然，讓大家措手不及，但我們在一起玩樂的那段趣味時光，實在是很令我懷念，上帝已幫你開了一扇幸福的窗，. 立. 想必你在另一個世界會過得很爽，有空記得回來看老闆啦！. ‧ 國. 兵注意安全，活著最重要，有空也記得回來看老闆啦！. 學. 感謝芭樂哥政瑋，雖然跟你在一起玩的時間不多，但還是覺得你很有趣，當. 苦了。. ‧. 感謝系辦的助教們，容忍我在行政上的各種拖延，對你們沒大沒小，你們辛. y. Nat. sit. 感謝研究室的大家，容忍我對於研究室的嚴重汙染，相信我畢業後，會還給. n. al. er. io. 大家一個清淨的環境。. v i n. 感謝系上的各位阿宅同胞，浪費掉了我人生最精華的七年沉迷於電玩，聽起. Ch. engchi U. 來實在很悲哀，但我過得很快樂，也讓我在這無聊的數學深淵中，依然喜愛著應用數學系。. 感謝我的哥哥，在台北的這七年，一直照顧我，接受我的各種擺爛偷懶，幫我打理許多的生活起居，讓我在台北也不會孤單寂寞覺得冷，祝你在祖國工作一切安好。最後在一次的感謝所有曾經在我成長路上幫助過我的人，因為你們，我才能開開心心的結束我的求學生涯，邁向生命的另一個開端，感謝大家。. 聶聩聩.

(9) 目. 錄. 書名頁耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聩. 論文口試委員審定書耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聩聩. 授權書耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聩聩聩. 中文摘要耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聩聶. 英文摘要耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聶. 立. 政治大. 誌謝耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聶聩. 學. ‧ 國. 目錄耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮聶聩聩聩圖目錄耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. ‧. 第一章、緒論耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. Nat. 耱耲. sit. y. 第二章、熱帶幾何耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 聩聸. n. al. er. io. 第三章、古典定理耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耱. v i n. 第四章、圖形中的因子耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耷. Ch. engchi U. 第五章、熱帶幾何上的因子耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耵. 聶聩聩聩.

(10) 目. 圖. 錄. 耲耮耱. 聃耽{z ∈ 耨C∗ 耩2 |e−5 z1 耫 e−4 z2 耽耱} 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耲. 耲耮耲. Ct 耽 {z ∈ C2 |t−5 z1 耫 t−4 z2 耽耱} 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耳. 耲耮耳. Ct 耽 {z ∈ K 2 |t−5 z1 耫 t−4 z2 耽耱} 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耵. 耲耮耴. 折線軌跡投影耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耶. 耲耮耵. 透由對偶圖形所生成的平面熱帶曲線耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耸. 耲耮耶. 一次熱帶曲線及其對偶圖形耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮. 耹. 耲耮耷. 二次熱帶曲線及其對偶圖形耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耰. 耳耮耱. 相同熱帶曲線聯集耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耱. 耳耮耲. 三次平面熱帶曲線耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耴. 耳耮耳. 兩平滑平面曲線交集耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耵. 耳耮耴. 相同熱帶曲線交集耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耵. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. v i n. 耴耮耱. V 耨G耩耽 {v1 , v2 , v3 }, E耨G耩耽 {e1 , e2 , e3 } 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耷. 耴耮耲. 聇上的因子耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耸. 耴耮耳. 函數f 生成的因子耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耱耹. 耴耮耴. 路徑圖形 G 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耰. 耵耮耱. 二次熱帶曲線耀耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耲耸. 耵耮耲. 耨f0 耩耽耱耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耰耨v3 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耰. 耵耮耳. 耨f1 耩耽 −耱耨v0 耩耫耲耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耰. 耵耮耴. 耨f2 耩耽耰耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩 − 耱耨v3 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耰聩聸.

(11) 耵耮耵. 耨f3 耩耽耰耨v0 耩耫耰耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耱耨v3 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耰. 耵耮耶. 原本的因子 D 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耱. 耵耮耷. 以 v0 為中心作耫耲次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耲. 耵耮耸. 以 v1 為中心作耫耱次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耲. 耵耮耹. 以 v2 為中心作耭耱次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耲. 耵耮耱耰以 v3 為中心作耰次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耲. 政治大. 耵耮耱耱聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移完成後的因子 E 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耳. 立. 耵耮耱耲一次熱帶曲線因子 D 耽耳耨v0 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耴. ‧ 國. 學. 耵耮耱耳二次熱帶曲線因子 D 耽耲耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耴耵耮耱耴三次熱帶曲線因子 D 耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耶. ‧. 耵耮耱耵聤聥聧耨E耩耽耰耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耶. y. Nat. io. sit. 耵耮耱耶聤聥聧耨E0 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耷. v i n. n. al. er. 耵耮耱耷聤聥聧耨E1 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耸. Ch. 耵耮耱耸聤聥聧耨E2 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耸. U i e h n c g 耵耮耱耹聤聥聧耨E 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮 3. 耳耹. 耵耮耲耰聤聥聧耨E4 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耳耹耵耮耲耱聤聥聧耨E5 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴耰耵耮耲耲聤聥聧耨E6 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴耰耵耮耲耳聤聥聧耨E7 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴耱耵耮耲耴聤聥聧耨E8 耩耽耱耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耮耴耱. 聸.

(12) 第一章. 緒論. 熱帶幾何是近幾年來熱門的研究議題，在熱帶幾何中我們可以觀察到，在抽像空間當中所無法觀察到的性質，而熱帶曲線與古典的代數幾何所討論的代數曲線，是否有著同樣的性質，或是在哪些條件之下，可以滿足這些性質，也是在學術上值得研究的部分。本篇論文在一開始將會將熱帶曲線的建構過程做一個較為詳細的說明，介紹. 政治大. 及分析一些在熱帶曲線上所具備的性質及定理。也會探討在高次熱帶曲線中虧格，受到了哪些條件的影響聛耷聝，進而在我們討論熱帶曲線上的因子性質時，可以. 立. 提供更多的討論空間。. ‧ 國. 學. 在討論熱帶曲線上因子的定義與性質時，我們將引用聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定理來進行計算。. ‧. 聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定理在耲耰耰耷年由聂聡聫聥聲耭聎聯聲聩聮聥聛耲聝發表了在組合領域圖形上. Nat. y. 的定理。. n. al. er. io. 定理。. sit. 在耲耰耰耸年聂聡聫聥聲耭聎聯聲聩聮聥聛耱聝又證明了，在熱帶曲線上離散行的聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨. v i n. 而聇聡聴聨聭聡聮聮耭聋聥聲聢聥聲聛耶聝應用聂聡聫聥聲耭聎聯聲聩聮聥的方法證明了，在熱帶曲線上連. Ch. 續行的聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定理。. engchi U. 在這之後，聍聩聫聨聡聬聫聩聮和聚聨聡聲聫聯聶聛耸聝運用了不同的方式，透由代數以及組合，也證明了在熱帶曲線上連續行的聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定理。本篇文章中，我們所討論的將會是這代曲線上離散形式的因子，並透由熱帶曲線本身的性質，來討論虧格，以及熱帶因子致的計算，與其虧隔個數之關聯性。. 耱.

(13) 第二章. 熱帶幾何. 在這個章節當中，我們將介紹熱帶幾何的建構過程。對於一個複數平面上的曲線 C，令 C∗ 耽 C ∪ {∞}，我們將他限制在一個平面上的開集合耨C∗ 耩2 上，並透過一個函數，將之對應到實數平面上。我們將此函數定為职聯聧耺耨C∗ 耩2 → R2. 政治大. z 耽耨z1 , z2 耩 7→ 耨x1 , x2 耩耺耽耨聬聯聧 |z1 |, 聬聯聧 |z2 |耩. 立. 而所對應出來的圖形 A 耽职聯聧耨C ∩ 耨C∗ 耩2 耩我們將它稱作阿米巴例 2.1.. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. v i n. 圖耲耮耱耺聃耽{z ∈ 耨C∗ 耩2 |e−5 z1 耫 e−4 z2 耽耱} 在上述的例子當中，曲線 C 恰巧存在一個點耨耰, e4 耩，使得 z1 軸的座標示耰。考慮聬聯聧耰 → −∞ 所以在耨耰, e4 耩這點的函數值在圖形中會趨近於負無窮大，而同樣的耨e5 , 耰耩這一點也會將函數值對應到負無窮大。再來看耨z, e − e5 z耩這點也都會被曲線 C 所包含住，故當 |z| → ∞ 時，函數值也將對應到無窮大。接下來我們觀查另外一個函數职聯聧耺耨C∗ 耩2 → R2 z 耽耨z1 , z2 耩 7→ 耨x1 , x2 耩耺耽耨− 聬聯聧t |z1 |, − 聬聯聧t |z2 |耩聬聯聧 |z1 | 聬聯聧 |z2 | 耽耨− ,− 耩聬聯聧 t 聬聯聧 t 耲.

(14) 當 t ∈ R 很小時，圖形耀耽职聯聧t 耨C ∩ 耨C∗ 耩2 耩跟聃所生成的阿米巴圖形 A 是很相似的，但當 t 趨近於零時，A 的寬度也會趨近於零，此時我們稱圖形耀為 C 所生成的熱帶曲線. 政治大. 立. ‧ 國. 學. 圖耲耮耲耺 Ct 耽 {z ∈ C2 |t−5 z1 耫 t−4 z2 耽耱}. ‧. 上圖中的曲線的表示法不一定是唯一的，所以我們不只考慮曲線 C 耽 {z ∈. y. Nat. 耨C∗ 耩2 |e−5 z1 耫e−4 z2 耽耱}，還要考慮，曲線 Ct 耽 {z ∈ C2 |t−5 z1 耫t−4 z2 耽耱} 在 t ∈ R. sit. 很小的時候。這個曲線必定通過耨耰, t−4 耩和耨t−5 , 耰耩耬∀t，因此讓耀耽职聯聧t 耨Ct ∩ 耨C∗ 耩2 耩. er. io. 分別在 z2 耽耴和 z1 耽耵會有水平跟垂直的觸手，所以如果將 t 趨近到零，我們稱這圖形為 Ct 所生成的熱帶曲線. v i n. n. al. 定義 2.2. 當一個形式級數. C ha t , a ∈ C 滿足以下條件時 engchi U. P. q∈Q. q. q. q. 耨聩耩集合 {q ∈ Q|aq 6耽耰} 有下界. 耨聩聩耩集合 {q ∈ Q|aq 6耽耰} 是一個有限集我們稱它為聐聵聩聳聥聵聸級數，或分式冪級數。而將這些級數收集起來可以構成一個體的代數結構 K。 ∀a ∈ K 我們可以將 a 表示為 a 耽. P. q∈Q. aq tq ，我們可以定義聶聡聬a. 聶聡聬a 耽聩聮聦{q ∈ Q|aq 6耽耰} 耽聭聩聮{q ∈ Q|aq 6耽耰}. ∀a 耽. P. q∈Q. aq tq ∈ K，當 t 夠小時，a 會近似於指數最小的那一項，耨聩耮聥耮a ≈ 耳.

(15) a聶聡聬a t聶聡聬a 耩，所以剛剛的函數聬聯聧t 若將a帶入，我們可以得到聬聯聧t |a| ≈ 聬聯聧t |a聶聡聬a t聶聡聬a | 耽聶聡聬a 耫聬聯聧t |a聶聡聬a | ≈ 聶聡聬a 因此當聴夠小時，我們都可以利用這種近似方式，故职聯聧t 在t趨近於零時，可以轉換為另一個函數聖聡聬耺耨K ∗ 耩2 → R2 耨z1 , z2 耩 7→ 耨x1 , x2 耩耺耽耨− 聬聯聧t |z1 |, − 聬聯聧t |z2 |耩耽耨耭聶聡聬z1 , 耭聶聡聬z2 耩. 政治大. 現在我們可以利用這函數來定義一個熱帶平面曲線. 立. 定理 2.3. 當 C 是 K ∗ 上的平面代數曲線時，聖聡聬耨C ∪ 耨K ∗ 耩2 耩是 R2 上的平面代數曲線。. ‧ 國. 學. 以曲線 C 耽 {z ∈ K 2 |t5 z1 耫 t4 z2 耽耱} 為例，若耨z1 , z2 耩 ∈ C ∪ 耨K ∗ 耩2 ，則聖聡聬耨z1 , z2 耩可以分成下列三種狀況進行討論. ‧. 耱耮若聶聡聬z1 > −耵則聶聡聬z2 耽聶聡聬耨t−4 − tz1 耩耽 −耴所以當 x1 < 耵時x2 的值皆. Nat. sit. y. 是耴，在圖形中構成一條由耨耵, 耴耩向左延伸的水平射線. er. io. 耲耮耮若聶聡聬z2 > −耴則聶聡聬z1 耽聶聡聬耨t−5 − tz2 耩耽 −耵所以當 x2 < 耴時x1 的值皆是耵，在圖形中構成一條由耨耵, 耴耩向下延伸的垂直射線. v i n. n. al. Ch. U i e h n c g 耫耴，所以當 x > 耵且x > 耴時 x. 耳耮耮若聶聡聬z1 ≤ −耵, 聶聡聬z2 ≤ −耴則 t5 z1 耫 t4 z2 耽耱可推導出聶聡聬耨t5 z1 耩耽 4. 聶聡聬耨t z2 耩耬聩耮聥耮聶聡聬z1 耫耵耽聶聡聬z2. 1. 2. 2. 耽 x1 − 耱，在. 在圖形中構成一條由耨耵, 耴耩向耨耱, 耱耩延伸的斜率為耱的射線耰我們會發現用聖聡聬所定義出的函數，與职聯聧t 所定義出的函數圖形是相同的現在我們透由下面的多項式令出一個平面代數曲線 C ⊂ K 2 X. C 耽 {耨z1 , z2 耩 ∈ K 2 |f 耨z1 , z2 耩耺耽. aij z1 i z2 j 耽耰, aij ∈ K}. i,j∈N∪{0}. ∀i, j ∈ N ∪ {耰} 非零的 aij 只存在有限個，f 耨z1 , z2 耩中每一項拿出來進行計算可導出聶聡聬耨aij z1 i z2 j 耩耽聶聡聬aij 耫 i聶聡聬z1 耫 j聶聡聬z2 耴.

(16) 立. 政治大. 圖耲耮耳耺 Ct 耽 {z ∈ K 2 |t−5 z1 耫 t−4 z2 耽耱}. ‧ 國. P. i,j∈N∪{0}. aij z1 i z2 j 耽耰成立，則. 學. 現在若曲線 C 上的任一點耨z1 , z2 耩要使得. 將耨z1 , z2 耩帶入後，所有係數不為零的最小項次至少都會有耲個以上，否則的話彼此之間就沒有辦法相互消去為零。而我們又知道 {耨x1 , x2 耩耽聖聡聬耨z1 , z2 耩耽. ‧. 耨−聶聡聬z1 , 聶聡聬z2 耩|耨z1 , z2 耩 ∈ C} 是我們想要的一條熱帶曲線，故我們另一個從 R2 打到R 的函數. y. Nat. er. io. sit. g耨x1 , x2 耩耺耽聭聡聸{ix1 耫 jx2 − 聶聡聬aij |耨i, j耩 ∈ N2 , 職聩聴聨 aij 6耽耰} 這如果可以取得最大值至少耲次，那他將決定出我們要的 C 所生成的熱帶曲線，. n. al. v i n. 而凸函數g耨x1 , x2 耩所構成的三圍圖形中，不可微的部分會構成摺線軌跡，將他投. Ch. engchi U. 影到 R2 後，則構成了 C 所生成的熱帶曲線。. 定理 2.4. 若函數 val 耺 K ∗ → R 是映成函數，則熱帶曲線耀 ⊂ R會與凸函數 g 所構成的摺線軌跡投影吻合。以下舉例說明，我們將之前的曲線 C 耽 {z ∈ 耨C∗ 耩2 |e−5 z1 耫 e−4 z2 耽耱} ⊂ K 2 繼續拿出來做討論，根據之前的推演，曲線C所對應到的凸函數 g耨x1 , x2 耩耽聭聡聸{x1 − 耵, x2 − 耴, 耰}。圖耳中所呈現的就是函數 g 所生成的折線軌跡投影，與曲線 C 所生成的熱帶曲線耀吻合的狀態。根據以上的建構過程，我們可以定義兩種運算，分別是熱帶幾何的加法，以及熱帶幾何的乘法，而這兩種運算將升成一種代數結構定義 2.5. 令 T 耺耽 R ∪ {−∞}，我們定義加法 ⊕ 耺 T × T → T 和乘法

(17) 耺 T × T → T 耵.

(18) 立. ‧ 國. 學圖耲耮耴耺折線軌跡投影. al. y er. io. x

(19) y 耺耽 x 耫 y. sit. Nat. x ⊕ y 耺耽聭聡聸{x, y}. ‧. 為. 政治大. v i n. n. 這裡所定義的運算 ⊕ 即為熱帶幾何的加法，而運算

(20) 即為熱帶幾何的乘法。. Ch. engchi U. 而 ∀a ∈ T, a ⊕ 耨−∞耩耽 a, ∀x ∈ T, x

(21) 耰耽 x，所以 T 有加法單位元素 −∞，以及乘法單位元素耰. 定義 2.6. 若一個代數結構耨R, 耫, ·耩符合以下的條件，那麼我們稱他為一個半群耨聳聥聭聩聲聩聮聧耩耨聩耩耨R, 耫耩是一個交換半群，並且有單位元素耰耨聩聩耩耨R, ·耩是一個半群，並且有單位元素耱耨聩聩聩耩乘法運算對加法運算有分配律耨聩聶耩 S 中的任何元素對耰做成法運算皆為耰根據以上對於半群的定義以及先前所建立的一些性質可以得到耶.

(22) 結論 2.7. 耨T.⊕,

(23) 耩耽耨R ∪ {−∞}, 聭聡聸, 耫耩是一個半群定義 2.8. 對於所有的 an ∈ T, n ∈ N, k ∈ Z 定義熱帶幾何的指數 a

(24) k 1 耺耽 a1 × k 定義熱帶幾何的除法 a1 a2 耺耽 a1 − a2 定義連加. 立. ‧ 國. i=1. n K. ai 耺耽 a1 耫 ... 耫 an. 學. 定義連乘. 政治大. n M ai 耺耽聭聡聸{a1 , ..., an }. i=1. ‧. i,j. n. al. er. io. sit. y. Nat. g耨x1 , x2 耩耺耽聭聡聸{ix1 耫 jx2 − 聶聡聬aij |耨i, j耩 ∈ N2 , 職聩聴聨 aij 6耽耰} M

(25) j 耽耨−聶聡聬 aij 耩

(26) x

(27) i 1

(28) x2 , i, j ∈ N, 職聩聴聨 aij 6耽耰. v i n. 從此處可得知，我們可將原本的多項式函數 f 耨z1 , z2 耩轉換為熱帶幾何的多項. Ch. engchi U. 式 g耨x1 , x2 耩，例如t5 z1 耫 t4 z2 耽耱經過轉換後可得到. 耨−耵耩

(29) x1 ⊕ 耨−耴耩

(30) x2 ⊕ 耰耽聭聡聸{x1 − 耵, x2 − 耴, 耰} 若推展為一般式的狀態 f 耨z耩耽 f 耨z1 , ..., zn 耩耽. p P. ai z1i1 ...znin 轉換為熱帶幾何的形式. i=1. g耨x耩耽 g耨x1 , ..., xn 耩耽聭聡聸 {i1 x1 耫 ... 耫 in xn − 聶聡聬ai } 1≤i≤p. 耽. p M. 1 耨−聶聡聬ai 耩

(31) x

(32) i

(33) ...

(34) xn

(35) in 1. i=1. xj 耽 −聶聡聬zj , ij ∈ N, 聦聯聲聡聬聬耱 ≤ j ≤ n, 耱 ≤ i ≤ p 結論 2.9. 熱帶幾何的多項式所生成的摺角投影，將會是在 R2 上的平面熱帶曲線。. 耷.

(36) 接下來我們介紹另外一種做法，當我們將熱帶幾何多項是寫成 g耨x1 , x2 耩耺耽. M. (i).

(37) a1. x1. (i).

(38) a2.

(39) x2. i (i). (i). 耽聭聡聸{a1 x1 耫 a2 x2 |i 耽耱, ..., n} (i). (i). 令 a(i) 耽耨a1 , a2 耩 ∈ N2 ，老為這些 a(i) 所連結起來的在R2 上的凸集合，此時從老中任意取一點對老的邊做垂線，生成曲線耀，我們稱此老為此曲線耀的對偶圖形. 政治大. 例 2.10.. 立. ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. al. v i n. n. 圖耲耮耵耺透由對偶圖形所生成的平面熱帶曲線. Ch. engchi U. 圖形中，由 V 點所生出的四條向量，我們可以經由四邊形的各邊的線 (i). (i). 段端點所計算出來，我們令 a(i) 耽耨a1 , a2 耩, a(1) 耽 a(n+1) 則四條向量依序為 n P (i) (i+1) (i+1) (i) v (i) 耺耽耨a2 − a2 , a1 − a1 耩，很容易的可以觀察到 v (i) 耽耰，而我們希望每 i=1. 一條向量都可以是由最小的整數比構成，故令 v (i) 耽 w(i) ·u(i) , w(i) ∈ N, 耱 ≤ i ≤ n，我們將此分解分出來的最大整數w(i) 就稱為此向量的權重。定義 2.11. 若次方為 d 的平面熱帶曲線是一個有權重的圖形耀，則滿足以下條件耨聩耩耀所擁有的線段，斜率皆為有理數耨聩聩耩耀對於耨−耱, 耰耩, 耨耰, −耱耩, 耨耱, 耱耩這三個方向各有 d 條單點線段耨若權重為 n 則算 n 條耩耨聩聩聩耩耀中的所有點 v 對於其擁有的邊向量和保持平衡耸.

(40) 假定熱帶曲線耀是由熱帶多項式 g 的摺線投影生成 (i). (i). g耨x1 , x2 耩耽聭聡聸{a1 x1 耫 a2 x2 耫 b(i) |, i 耽耱, ..., n} 若 g 是一個 d 次的熱帶多項式，則所有的正整數點 a(i) 將會在三角形老d 中，老d 耺耽 {耨a1 , a2 耩|a1 ≥ 耰, a2 ≥ 耰, a1 耫 a2 ≤ d} 例 2.12. 我們繼續來觀察. 政治大. g耨x1 , x2 耩耽耨−耴耩

(41) x1 ⊕ 耨−耳耩

(42) x2 ⊕ 耰. 耽耨−耴耩

(43) x11

(44) x02 ⊕ 耨−耳耩

(45) x01

(46) x12 ⊕ x01

(47) x02

(48) 耰. 立. 從中可觀察出 a(1) 耽耨耱, 耰耩, a(2) 耽耨耰, 耱耩, a(3) 耽耨耰, 耰耩故可畫出以下圖形. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. v i n. 圖耲耮耶耺一次熱帶曲線及其對偶圖形. 從圖中可得知，此圖形形狀與之前所畫出的圖形也是吻合的定理 2.13. 若老d 再進行分割之後的每個子分割，都呈現面積為耱/耲的三角形，則我們說此老d 所生成的熱帶曲線，為一個平滑曲線例 2.14. 在 d 耽耲的狀況下，要符合平滑曲線的分割，一共只有四種型式，而他們所生成的熱帶曲線分別為下. 耹.

(49) 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. v i n. 圖耲耮耷耺二次熱帶曲線及其對偶圖形. 耱耰.

(50) 第三章. 古典定理. 在這個章節當中我們將介紹一些，在古典幾何中的重要定理，轉換到熱帶幾何中是否依然成立，若不完全吻合，加入哪些條件後將可以成立在古典幾何中若有兩個次方分別為 d1 , d2 的多項式 f1 , f2 ∈ K聛z1 , z2 聝，則等式耨f1 · f2 耩耨z耩耽耰次方則為 d1 耫 d2 且所生成的平面曲線，將會是 f1 耨z耩耽耰和 2 耨z耩. 耽耰這兩個等式所生成曲線的聯集。. 政治大. 在熱帶幾何中若 g1 , g2 是次方為 d1 , d2 的熱帶多項式，可以很容易的觀察到. 立. g1

(51) g2 耽 g1 耫 g2 的摺線投影，即是 g1 和 g2 摺線投影的聯集，而此兩次方為 d1 , d2 的平面熱帶曲線聯集而成的圖形，則為次方為 d1 耫 d2 的平面熱帶曲線。. ‧ 國. 學. 而在此可以特別注意到的部分是，若由代數的角度進行觀察，這的確可以看作是兩個平面熱帶曲線的聯集，但由於熱帶曲線中具備有權重的因素，因此從幾. ‧. 何的角度觀察是必須要將權重額外的加進去，另一方面入由幾何的角度觀察一個較高次方的圖形，可視為兩個較低次方的圖形所聯集而成，但並非所有在幾何中. y. Nat. n. al. er. io. 例 3.1.. sit. 可分割的圖形，在代數的熱代方程式中，也可分成兩個低次方程式的乘積。. v i n. 令 g1 耨x1 , x2 耩耽 g2 耨x1 , x2 耩耽 x1 ⊕ x2 ⊕ 耰因為這兩個圖形相同，因此聯集就是. Ch. 原來的圖形所有的權重都乘耲. engchi U. 圖耳耮耱耺相同熱帶曲線聯集. 耱耱.

(52) 若將這兩方程式相乘

(53) 2 g1 耨x1 , x2 耩

(54) g2 耨x1 , x2 耩耽 x

(55) 2 1 ⊕ x2 ⊕ 耰 ⊕ 耨x1

(56) x2 耩 ⊕ x1 ⊕ x2. 耽聭聡聸{耲x1 , 耲x2 , 耰, x1 耫 x2 , x1 , x2 } 這個方程式所生成的熱帶曲線與前面的圖形是一樣的耨權重依然是耲耩，而此圖形與

(57) 2 聭聡聸{耲x1 , 耲x2 , 耰} 耽 x

(58) 2 1 ⊕ x2 ⊕ 耰

(59) 2 所生成的熱帶曲線也相同，但熱帶多項式 x

(60) 2 1 ⊕ x2 ⊕ 耰卻無法寫成兩個一次熱帶. 政治大. 多項式的乘積。. 立. 從上述的例子當中我們可以了解到，一個在幾何圖形上可分解的熱帶曲線，. ‧ 國. 學. 其原始的熱帶多項式是不一定能被分解的。. 接下來我們將討論熱帶曲線的虧格耨聧聥聮聵聳耩，特別要提出來說明的是，這裡所用的虧格耨聧聥聮聵聳耩是代數幾何中的虧格，與圖論中的聧聥聮聵聳是不同的，而在圖論中. ‧. 我們是用面耨聦聡聣聥耩來表示他。. sit. y. Nat. 在複數平面上，若 C 是一個 d 次的平滑複數平面曲線，我們知道這曲線的虧格耨聧聥聮聵聳耩，可經由聤聥聧聲聥聥耭聧聥聮聵聳聦聯聲聭聵聬聡耨聩耮聥耮g 耽耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲耩計算出來，而此. io. v i n. n. al. er. 曲線 C 若不是平滑曲線，則他聧聥聮聵聳的個數則不會超過耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲接下來我們將討論在熱帶幾何中聤聥聧聲聥聥耭聧聥聮聵聳聦聯聲聭聵聬聡是否成立定義 3.2. 若耀 ⊂ R. 2. Ch. U i e h n c g 是一個平面熱帶曲線，則我們令此曲線上的虧格為曲線上的. 迴圈個數耨聩耮聥耮g 耽聤聩聭H1 耨耀, R耩耩定義 3.3. 我們令 V 為耀的點所構成的集合，E 為耀的線段耨不算射線耩所構成的集合，而對於任意的點 v ∈ V 我們定聶聡聬v 為此點連接的邊的個數耨包括線段與射線耩若耀為 d 次的熱帶曲線，我們可以很容易的觀察出耀有耳d 條射線，和 |E| 條線段，而一條射線連接一個點，一條線段連接兩個頂點，故可推導出以下等式。耳d 耫耲|E| 耽. X v∈V. 耱耲. 聶聡聬v.

(61) 利用尤拉公式，即可計算出耀的虧格 g 耽耱耫 |E| − |V |，將前式帶入可得到耳耱X 聶聡聬v − d − |V | g 耽耱耫耲 v∈V 耲 X耱耱耱X 耳耱耽耱耫聶聡聬v − d − 耲耫 d2 − d2 耲 v∈V 耲耲耲耲 v∈V ! 耱耱 2 X耱耽耨d − 耱耩耨d − 耲耩 − d − 耨聶聡聬v − 耲耩耲耲耲 v∈V | {z } (∗). 從上面的等式中，可以看見若耨∗ 耽耰耩則 g 耽耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲的等式就會成立，. 政治大. 因此我們將對耨∗耩的部分進行討論再上一個章節當中，我們有討論到 d 次的熱帶多項式可以用老d 的圖形進行生成，在老中，每個 v ∈ V 都對應一個多邊. 立. 形，此多邊形的邊數即為聶聡聬v，故此多邊形的面積 A耨v耩至少有 21 耨聶聡聬v − 耲耩，. sit. Nat. y. ‧. ‧ 國. 學. 故A耨v耩 − 12 耨聶聡聬v − 耲耩 ≥ 耰, ∀v ∈ V ，而老d的面積即為 12 d2 ，因此耱 2 X耱 d − 耨聶聡聬v − 耲耩耨∗耩耽耲耲 v∈V X耱 X A耨v耩 − 耨聶聡聬v − 耲耩耽耲 v∈V v∈V X 耱 A耨v耩 − 耨聶聡聬v − 耲耩 ≥ 耰耽耲 v∈V. er. io. 從上述的等式中可以發現，要使 g 耽耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲成立的條件為，所有的頂點 v ∈ V 所對應的多邊形面積必須恰巧等於 12 耨聶聡聬v − 耲耩。而若曲線耀為平滑曲線，. n. al. 則並定符合這個條件。. Ch. engchi U. v i n. 結論 3.4. d 次平面熱帶曲線耀的虧格至多為耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲個，若此曲線為平滑的熱帶曲線，則虧格必為耨d − 耱耩耨d − 耲耩/耲個，滿足聤聥聧聲聥聥耭聧聥聮聵聳聦聯聲聭聵聬聡。例 3.5. 在複數平面曲線中，令 C1 和 C2 為兩個不相同，且分別為d1 次即 d2 次的平滑複數平面曲線，聂聥聺聯聵聴耧聳定理告訴我們，此兩曲線的交集 C1 ∩ C2 所產生的交點個數至多為 d1 · d2 個。現在我們也將觀察再熱帶幾何中，兩熱帶曲線圖形在聯及之後所產生交點的性質令耀1 和耀2 為兩個不相同，且分別為 d1 次即 d2 次的平滑熱帶平面曲線，連聯集後的耀1 ∪ 耀2 ，依然是一個平面熱帶曲線，而在本章最初所提及的性質中，我耱耳.

(62) 圖耳耮耲耺三次平面熱帶曲線. 學. ‧ 國. 立. 政治大. 老d1 +d2 ，我們把耀1 ∪ 耀2 中的點分兩種狀況來討論。. Nat. y. ‧. 們可以了解，耀1 ∪ 耀2 為一個 d1 耫 d2 次的平面熱帶曲線，因此將對應到對偶圖形. sit. 耨耱耩若 v(3) ∈ 耀1 ∪ 耀2 連接的邊數為耳，則存在一個δ > 耰，使得在聂耨v3 , δ耩圓. er. io. 盤中的區域圖形，與原本在耀1 或耀2 的區域圖形會相同，故在對偶圖形老d1 +d2 中，所對應的三角形，也與原本在老d1 或老d2 中的三角形相同。. al. n. v i n 耨耲耩若 v ∈ 耀 ∪ 耀連接的邊數為耴，我們可以了解，這是由兩條線段聯集之 Ch U e 耀 g∩ 耀c，因此在對偶圖形 hi 後所產生出的交點，也就是說 v 耴耩 ∈n 老中，所對 (4). 1. 2. 1. (. 2. d1 +d2. 應的多邊形，即為平行四邊形。例 3.6. 我們可以從例子中觀察到所有 P ∈ 耀1 ∪ 耀2 所對應的平行四邊形的和即為耱耱耱聡聲聥聡耨老d1 +d2 耩 − 聡聲聥聡老d1 − 聡聲聥聡老d2 耽耨d1 耫 d2 耩2 − d21 − d22 耽 d1 d2 耲耲耲從此等式中得知，若我們令 P ∈ 耀1 ∩ 耀2 所對應到的平行四邊形面積 aP ，即為 P P 的交集權重 wP ，則交點個數即為 w P 耽 d1 d2 。 p∈Γ1 ∩Γ2. 透由上一章節所介紹的對偶圖形的建構過程，以及平行四邊形面積的求法，我們可以很容易的產生出下面的定理耱耴.

(63) 立. 政治大. ‧ 國. 學. 圖耳耮耳耺兩平滑平面曲線交集. 定理 3.7. 若P ∈ 耀1 ∩ 耀2 是由權重分別為 w1 , w2 的兩條整係數向量u1 , u2 所交集. ‧. 而成，則 P 的權重 wP 耽 w1 · w2 |聤聥聴耨u1 , u2 耩|。. y. Nat. 此時我們化思考到另一個問題是，若兩熱帶曲線相同時，或著局部相同時，. io. sit. 應該如何的取交點個數. (t). n. al. (a). er. 如同下面的例圖，若耀1 耽耀2 時，我們令一個很小的 t ∈ R2 ，使得耀2 耽. v i n. {x耫t|x ∈ 耀2 }，則耀1 與耀2 將產生出交點 P1 , P2 , P3 , P4 ，此時再將 |t| 收斂到耰，則. Ch. engchi U. |Pi − Vi | ≥ 耰, ∀i 耽耱, 耲, 耳, 耴將會遞減，且有下界。故 Pi 皆收斂至 Qi , ∀i 耽耱, 耲, 耳, 耴. 圖耳耮耴耺相同熱帶曲線交集定理 3.8. 若兩熱帶曲線耀1 , 耀2 相同，或局部相同，則我們取該圖形的頂點，或耱耵.

(64) 局部頂點，作為耀1 ∩ 耀2 的交點。結論 3.9. 若耀1 , 耀2 是平滑的平面熱帶曲線，並採用權重加成計算交點各數，則聂聥聺聯聵聴定理將會成立。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 耱耶. v i n.

(65) 第四章. 圖形中的因子. 這個章節當中我們將介紹一些有關圖形因子的定義首先介紹一些圖形的相關符號定義 4.1. 若圖 G 是一個沒有無窮遠線條的圖形，則我們定 V 耨G耩為這個 G 中所有頂點耨聶聥聲聴聥聸耩所構成的集合，而 E耨G耩為這個 G 中所有線段耨聥聤聧聥耩所構成的集. 政治大. 合。. 立. 在圖形中的每個頂點，都連結著少許的線段，因此我們想計算線段個個數，並將同一個頂點的所連接的線段收集起來，構成一個集合。. ‧ 國. 學. 定義 4.2. 若 v ∈ V 耨G耩，則我們把 v 所連接的線段個數，記作聶聡聬耨v耩，而所有連接 v 點之線段所構成的集合，記作 Ev 耨G耩。. e2. n. er. io. e3. sit. Nat. v1. G. a lv. y. ‧. 例 4.3.. Ch. 2. v3. engchi U e1. v i n. 圖耴耮耱耺 V 耨G耩耽 {v1 , v2 , v3 }, E耨G耩耽 {e1 , e2 , e3 } 從圖耴耮耱中我們可以很簡易的計算出. 聶聡聬耨v1 耩耽耲耬聶聡聬耨v2 耩耽耲耬聶聡聬耨v3 耩耽耲 Ev1 耨G耩耽 {e2 , e3 }, Ev2 耨G耩耽 {e1 , e3 }, Ev3 耨G耩耽 {e1 , e2 } 在進行因子的定義前，我們先對可定義因子的圖形 G 作一些條件的限制耨聩耩 G 不可包含單點迴圈耨聬聯聯聰耩耨聩聩耩 G 不可包含重復線段耨聭聵聬聴聩聰聬聥聥聤聧聥聳耩耨聩聩聩耩 G 必須要是連通耨聣聯聮聮聥聣聴聥聤耩圖形耱耷.

(66) 我們令 G 是一個滿除上述條件的任意的圖形若可以找到一個函數 D耨x耩耺 V 耨G耩 → Z，可以將 G 中的所有頂點對應到一些整數，則我們可以定義一個 G 上的因子耨聤聩聶聩聳聥聲耩。定義 4.4. 若D是G上的一個因子，則 D耽. X. D耨p耩耨p耩, D耨p耩 ∈ Z而. p∈S⊆G. 而聄聩聶耨G耩則是將所有 G 上的因子收集起來所構成的集合。從定義中可以看出，若. 立. D耽. 政治大 X. D耨v耩耨v耩, D耨v耩 ∈ Z. v∈V (G). ‧ 國. 學. 則 D 是 G 上的一個因子。. 在G的因子中，我們同樣的可以去定義次數耨聤聥聧聲聥聥耩以進行分類，而因子 D. P. D耨v耩耨v耩 ∈ 聄聩聶耨G耩，則 D 的次數記作. Nat. 定義 4.5. 若令 D 耽. ‧. 中的每個頂點的係數加總，即為 D 的次數耨聤聥聧聲聥聥耩。. X. sit. 聤聥聧D 耽. D耨v耩. v∈V (G). n. al. er. io. 例 4.6.. y. v∈V (G). Ch G. e nvg c h i U. 耱. 耭耱. 1. v i n. 耲. v2. v3. 圖耴耮耲耺聇上的因子如圖我們可以令 D 耽耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩耫耨−耱耩耨v3 耩，則聤聥聧耨D耩耽耱耫耲耫耨−耱耩耽耲。在 G 的因子中，如果有因子 D 的每個頂點個數都是非負的整數，則我們把這種因子 D 也稱作非負的因子。耱耸.

(67) 定義 4.7. 令 D 耽. P. D耨v耩耨v耩 ∈ 聄聩聶耨G耩，若 D ≥ 耰，則D耨v耩 ≥ 耰耬對於所有. v∈V (G). 的v ∈ V 耨G耩。接下來我們介紹一類透由函數 f 所轉換的因子若 f 是一個從 V 耨G耩打到 Z 的函數，我們將所有這類的 f 收集起來所構成的集合定為 M耨G耩耽聨聯聭耨V 耨G耩, Z耩，則我們可以定一個從 M耨G耩打到聄聩聶耨G耩的轉換耨职聡聰聬聩聣聩聡聮聏聰聥聲聡聴聯聲耩老，將 f 轉換為耀上的因子老耨f 耩。. 政治大. 定義 4.8. 若 f 耺 V 耨G耩 → Z，則我們定. 立. X. 耨f 耨v耩 − f 耨x耩耩, v ∈ V 耨G耩. e=vx∈Ev (G). 老耨f 耩耺耽耨f 耩耽. X. 學. 例 4.9.. 老v 耨f 耩耨v耩 ∈ 聄聩聶耨G耩. v∈V (G). ‧. ‧ 國. 老v 耨f 耩耽. v1. G. n. v3. 2. Ch. U i e h n c g 圖耴耮耳耺函數f 生成的因子. er. io. sit. y. Nat. a lv. v i n. 若f 耨v1 耩耽耳, f 耨v2 耩耽 −耲, f 耨v3 耩耽耱，則老v1 耨f 耩耽耨耳耫耲耩耫耨耳 − 耱耩耽耷老v2 耨f 耩耽耨−耲 − 耳耩耫耨−耲 − 耱耩耽 −耸老v3 耨f 耩耽耨耱耫耲耩耫耨耱 − 耳耩耽耱老耨f 耩耽耨f 耩耽耷耨v1 耩 − 耸耨v2 耩耫耱耨v3 耩 ∈ 聄聩聶耨G耩我們可以透由耨f 耩這種特殊的因子來定義出，在聄聩聶耨聇耩中的因子之間的等價關係。. 耱耹.

(68) G v0. v1. v2. 耮耮耮耮耮耮. vn−1. vn. 圖耴耮耴耺路徑圖形 G 定義 4.10. 對於所有 D, E ∈聄聩聶耨G耩若這兩個因子等價耨D ∼ E耩，則一定存在一個函數 f ，使得 D − E 耽耨f 耩。. 政治大. 例 4.11. 若 D 耽耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩耫耨−耱耩耨v3 耩耬 E 耽 −耶耨v1 耩耫耱耰耨v2 耩耫耨−耲耩耨v3 耩，則 D − E 耽耷耨v1 耩 − 耸耨v2 耩耫耱耨v3 耩，故存在一個 f 耨v1 耩耽耳, f 耨v2 耩耽 −耲, f 耨v3 耩耽耱的函. 立. 數 f ，使得 D − E 耽耨f 耩。. ‧ 國. 學. 我們可以很容易個觀察出若 G 上的兩個因子 D E等價，則此兩因子的係數何必定相同耨聩耮聥耮聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩耩，在下一章也會有更詳細的證明。而在此我們要. ‧. 提出疑問的是若 G 上的兩個因子係數和相同，那此兩因子是否必定等價？或是在甚麼樣的情況下必定等價。. Nat. sit. y. 在許多例子的計算過程中，我們發現到，若圖形 G 的虧格等於耰時，若 G 上的兩個因子係數和相同，那此兩因子必定等價，而虧格若大於零，則必存在係數. io. n. al. er. 和相同但不等價的兩個因子。. Ch. 以下我們將一步步推導出此定理. engchi U. v i n. 引理 4.12. 若 G 為一同構於路徑耨聰聡聴聨耩的圖形。D耬 E 為 G 上的因子，且聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩耽耰。則 D 與 E 必等價。證明耺若 |V 耨G耩| 耽 n 則圖形如同圖耴耮耴一般，我們假設 D耽. n X. D耨vi 耩耨vi 耩. i=0. 而因為聤聥聧耨D耩耽耰，所以 n X. D耨vi 耩耽耰. i=0. 令一個頂點係數皆為零的因子 O耽. n X i=0. 耲耰. 耰耨vi 耩.

(69) 我們先證明存在一個函數f 耺 V 耨G耩 → Z使得 O − D 耽耨f 耩令 f 耨v0 耩耽耰 f 耨v1 耩耽 D耨v0 耩 f 耨v2 耩耽耲D耨v0 耩耫 D耨v1 耩耮耮耮 f 耨vn−1 耩耽耨n − 耱耩D耨v0 耩耫耨n − 耲耩D耨v1 耩耫 ... 耫耲D耨vn−3 耩耫 D耨vn−2 耩 f 耨vn 耩耽 nD耨v0 耩耫耨n − 耱耩D耨v1 耩耫 ... 耫耲D耨vn−2 耩耫 D耨vn−1 耩. 立. 學. ‧ 國. 因此經過老轉換後. 政治大. 老v0 耨f 耩耽耨f 耨v0 耩 − f 耨v1 耩耩耽 −D耨v0 耩. 老v1 耨f 耩耽耨f 耨v1 耩 − f 耨v0 耩耩耫耨f 耨v1 耩 − f 耨v2 耩耩耽 −D耨v1 耩. Nat. y. ‧. 老v2 耨f 耩耽耨f 耨v2 耩 − f 耨v1 耩耩耫耨f 耨v2 耩 − f 耨v3 耩耩耽 −D耨v2 耩耮耮耮. sit. 老vn−1 耨f 耩耽耨f 耨vn−1 耩 − f 耨vn−2 耩耩耫耨f 耨vn−1 耩 − f 耨vn 耩耩耽 −D耨vn−1 耩. n. al. er. io. 老vn 耨f 耩耽耨f 耨vn 耩 − f 耨vn−1 耩耩耽 D耨v0 耩耫 D耨v1 耩耫 D耨v2 耩耫 ... 耫 D耨vn−1 耩又因為. Pn. i=0 D耨vi 耩耽耰. Ch. engchi U. v i n. 所以老vn 耨f 耩耽耨f 耨vn 耩 − f 耨vn−1 耩耩耽 D耨v0 耩耫 D耨v1 耩耫 D耨v2 耩耫 ... 耫 D耨vn−1 耩耽 −D耨vn 耩因此我們得到耨f 耩耽. n X. −D耨vi 耩耨vi 耩. i=0. 故 D 耫耨f 耩耽. n X. D耨vi 耩耨vi 耩耫. i=0. n X. −D耨vi 耩耨vi 耩耽. i=0. n X. 耰耨vi 耩耽 O. i=0. 所以存在函數f 耺 V 耨G耩 → Z使得 O − D 耽耨f 耩同理若聤聥聧耨E耩耽耰，則也會存在 f 0 ∈ M耨G耩，使得 O − E 耽耨f 0 耩所以 D 等價於 O 等價於 E 故在聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩耽耰的狀況下 D 與 E 必等價。耲耱.

(70) 引理 4.13. 若 G 為一同構於路徑耨聰聡聴聨耩的圖形。D耬 E 為 G 上的因子，且聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩。則 D 與 E 必等價。證明一耺如圖耴耮耴，我們假設A0 耽耱耨v0 耩耫耰耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫 ... 耫耰耨vn 耩，B 耽耰耨v0 耩耫耰耨v1 耩耫 ... 耫耰耨vn−1 耩耫耱耨vn 耩令f ∈ M耨G耩,對於所有的耱 ≤ i ≤ n耬 f 耨vi 耩耽 i 經過計算. 政治大. 老v0 耨f 耩耽耨耰 − 耱耩耽 −耱. 立. 老v1 耨f 耩耽耨耱 − 耰耩耫耨耱 − 耲耩耽耰. ‧ 國. 學. 老v2 耨f 耩耽耨耲 − 耱耩耫耨耲 − 耳耩耽耰耮耮耮. 老vn−1 耨f 耩耽耨耨n − 耱耩 − 耨n − 耲耩耩耫耨耨n − 耱耩 − n耩耽耰. y. Nat. 我們得到. ‧. 老vn 耨f 耩耽耨n − 耨n − 耱耩耩耽耱. sit. 耨f 耩耽耨−耱耩耨v0 耩耫耰耨v1 耩耫耰耨v2 耩... 耫耰耨vn−1 耩耫耱耨vn 耩. v i n. n. al. er. io. 因此存在一個函數 f ∈ M耨G耩使得 B − A0 耽耨f 耩，故 B 與 A0 等價。若我們令. CXh耰耨v 耩耫耱耨v 耩, ∀耰 ≤ kU≤ n engchi. Ak 耽. i. k. i6=k. 我們依然可以用相同的方式讓 Ak 與 B 同構。而 G 上的任意因子 D，若聤聥聧耨D耩耽t ∈ Z，我們即可依照係數的值，將 D 拆成t 個不盡相同的 Ak 相加，因此 D 則等價於t ∗ B。所以如果D耬 E 為 G 上的因子，且聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩耽t，則D 等價於 t ∗ B 等價於 E，故 D 與 E 必等價。證明二耺若D耬 E 為 G 上的兩個因子，且聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩耽t，則聤聥聧耨D − E耩耽耰，根據引理耴耮耱耲我們可以得到，存在一個f ∈ M耨G耩使得耨D − E耩 − O 耽耨f 耩耽 D − E，故 D 與 E 必等價。耲耲.

(71) 定理 4.14. 若 G 是一個虧格為耰的圖形，D耬 E 為 G 上的因子，且聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩。則 D 與 E 必等價。因為G的虧格是耰，所以沒有循環耨聣聹聣聬聥耩在圖形中，因此我們可以將 G 看成一個樹狀圖耨聴聲聥聥耩，若將 G 視為樹狀圖，我們即可將他視為數條單向的路徑，再藉由耴耮耱耳得證。例 4.15. 若 G 如圖耴耮耱為虧格等於耱的圖形，我們令D 耽 D耨v1 耩耨v1 耩耫 D耨v2 耩耨v2 耩耫. 政治大. D耨v3 耩耨v3 耩，則必存在 E 耽耨D耨v1 耩耫耱耩耨v1 耩耫耨D耨v2 耩 − 耱耩耨v2 耩耫 D耨v3 耩耨v3 耩使得. 立. E − D 耽耱耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩，若存在 f ∈ M耨G耩使得 f 耽耱耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩，則我們可以得到以下的方程式. ‧ 國. 學. 耲f 耨v1 耩 − f 耨v2 耩 − f 耨v3 耩耽耱耲f 耨v2 耩 − f 耨v1 耩 − f 耨v3 耩耽 −耱. ‧. 耲f 耨v3 耩 − f 耨v1 耩 − f 耨v2 耩耽耰而在計算之後發現耳f 耨v1 耩 − 耳f 耨v2 耩耽耲，但f 耨v1 耩耬 f 耨v2 耩皆為整數，故此等式矛盾，因此不存在滿足條件的 f 所以 D 與 E 不等價。. sit. y. Nat. al. v i n. n. 係來定一個與 D 有關係的線性系統耨聬聩聮聥聡聲聳聹聳聴聥聭耩|D|。. Ch. engchi U. er. io. 在有了等價關係的定義之後，對於所有 G 上的因子 D 我們可以利用等價關. 定義 4.16. 對於所有 G 上的因子 D 我們可以定一個集合. |D| 耽 {E ∈ 聄聩聶耨G耩|E ≥ 耰, E ∼ D} 例 4.17. 若 D 耽耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩耫耨−耱耩耨v3 耩，我們令 f 耨v1 耩耽 a, f 耨v2 耩耽 b, f 耨v3 耩耽 c, a, b, c ∈ Z，則耨f 耩耽耨耲a − b − c耰耨v1 耩耫耨耲b − a − c耩耨v2 耩耫耨耲c − a − b耩耨v3 耩，故 |D| 耽 {耨耲a − b − c 耫耱耩耨v1 耩耫耨耲b − a − c 耫耲耩耨v2 耩耫耨耲c − a − b − 耱耩耨v3 耩|a, b, c ∈ Z} 對於 G 上的因子 D，有了線性系統|D|之後，我們想給定與 D 相關的數值，來觀察此因子 D 能夠創建出來的空間大小。定義 4.18. 一個 G 上的因子 D，若 |D| 是空集合，則我們定聲聡聮聫耨D耩耽 −耱，若 |D| 不是空集合耬則聲聡聮聫耨D耩耽聭聩聮{聤聥聧耨E耩 − 耱|E ≥ 耰, |D − E| 耽 φ, E ∈ 聄聩聶耨G耩}。. 耲耳.

(72) 例 4.19. 若 D 耽耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩耫耨−耱耩耨v3 耩，則 E 耽耰耨v1 耩耫耲耨v2 耩耫耰耨v3 耩時，|D−E| 耽 |耱耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耨−耱耩耨v3 耩| 耽 φ，而考慮 E1 耽耱耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耰耨v3 耩, E2 耽耰耨v1 耩耫耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩, E3 耽耰耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耱耨v3 耩這三種聤聥聧耨E1 耩耽聤聥聧耨E2 耩耽聤聥聧耨E3 耩耽耱的狀況，皆無法讓 |D − Ei |, i 耽耱, 耲, 耳成為空集合，故聲聡聮聫耨D耩耽耲耭耱耽耱。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi U. 耲耴. v i n.

(73) 第五章. 熱帶幾何上的因子. 在上個章節中，我們介紹了一些有關因子的定義，而在這個章節當中，我們將討論在熱帶幾何圖型上的因子會有哪些性質。在前幾個章節中我們知道熱帶曲線中的線包括了線段，和射線兩種，而在這個章節當中，我們將移除射線的部分，只取頂點與線段進行討論，而我們稱移除射線後的圖形為耀。而此章節所使用的熱帶曲線，皆為移除射線的圖形耀。. 政治大. 例 5.1. 這是原來我們所熟知的，一次熱帶曲線圖形。. 學. ‧ 國. 立. v0. ‧ y. v0. n. al. er. io. sit. Nat. 若將射線的部分移除，耀只剩一個點。. Ch. 例 5.2. 這是原本的二次熱帶曲線. engchi U. v0. v1. v2. 移除射線後的耀. 耲耵. v3. v i n.

(74) v0. v1. v2. v3. 從上述的兩個例子都中可以觀察到，若我們將射線從原本的熱帶曲線中移除，則耀即可滿足前一章節定義線段及頂點的條件，因此我們也可以對耀線段與. 政治大. 頂點的集合進行定義。. 立. 定義 5.3. 若圖耀是一個移除所有射線的熱帶曲線圖形，我們定 V 耨耀耩為這個耀中所有頂點所構成的集合，而 E耨耀耩為這個耀中所有線段所構成的集合. ‧ 國. 學. 在熱帶曲線耀上，我們可以使用前一章節得方式來定義出他的因子。. Nat. D耨x耩耨x耩, D耨x耩 ∈ Z. y. X. D耽. ‧. 定義 5.4. 若 D 是熱帶曲線耀上的一個因子，. sit. x∈V (Γ). io. al. n. 例 5.5.. er. ，而聄聩聶耨耀耩則是將所有耀上的因子收集起來所構成的集合。. 耀. Cv h 耲 engchi U 0. v i n. v1 耭耱 v2. v3. 耳. 耱. 如圖所示我們可以定D 耽耲耨v0 耩耫耨−耱耩耨v1 耩耫耳耨v2 耩耫耱耨v3 耩是耀上的一個因子。所有非空的的熱帶曲線耀上，我們都可以根據頂點係數的改變，創造出無限多個因子，然而每個熱帶曲線耀上必定存在一種特別的因子，此因子是透由頂點耲耶.

(75) 所連接的邊數來定義的，對於每個熱帶曲線耀此因子存在且唯一，我們稱這種因子為 G 上的典型因子耨聣聡聮聯聮聩聣聡聬聤聩聶聩聳聯聲耩。定義 5.6. 我們定義一個耀的典型因子耨聣聡聮聯聮聩聣聡聬聤聩聶聩聳聯聲耩， KΓ 耽 K 耽. X. 耨聶聡聬耨v耩 − 耲耩 · 耨v耩 ∈ 聄聩聶耨耀耩. v∈V (Γ). 由於典型因子的頂點係數是由所連結的邊所決定，因此我們可以透過代數幾何中的尤拉公式，得到以下定理。. 政治大. 定理 5.7. 若 K 是耀的典型因子，g 是耀的虧格，則聤聥聧耨K耩耽耲g − 耲。. 立. 聤聥聧耨K耩耽. X. 學. ‧ 國. 證明耺根據定義，. 耨聶聡聬耨v耩 − 耲耩. v∈V (Γ). X. X. 聶聡聬耨v耩 −. ‧. 耽. v∈V (Γ). 耲. v∈V (Γ). 耽耲|E耨耀耩| − 耲|V 耨耀耩|. Nat. io. sit. y. 耨根據尤拉公式；g 耽 |E耨耀耩| − |V 耨耀耩| − 耱耩耽耲g − 耲. n. al. er. 在熱帶曲線耀上，若f 是一個從 V 耨耀耩打到 Z 的函數，我們可以用同樣的方式定義由函數 f 所轉換的因子。. Ch. engchi U. v i n. 定義 5.8. 若 f ∈ µ耨耀耩耬 f 耺 V 耨耀耩 → Z，則我們定老v 耨f 耩耽. X. 耨f 耨v耩 − f 耨x耩耩, v ∈ V 耨耀耩. e=vx∈Ev (Γ). 老耨f 耩耺耽耨f 耩耽. X. 老v 耨f 耩耨v耩 ∈ 聄聩聶耨耀耩. v∈V (Γ). 也就是說每一個頂點的函數值與所連結的其餘頂點的函數值差加總後，即為該頂點的係數。故用此方式可將函數 f 轉換為耀上的因子老耨f 耩。例 5.9. 若耀如圖耵耮耱所示，f ∈ µ耨耀耩，而f 耨v0 耩耽耲, f 耨v1 耩耽耱, f 耨v2 耩耽 −耱, f 耨v3 耩耽耰，我們可以計算出老耨f 耩耲耷.

(76) v0. 耀. v1. v2. v3. 圖耵耮耱耺二次熱帶曲線耀. 政治大. 立. v0 的係數老v0 耨f 耩耽耨耲 − 耱耩耽耱. v1 的係數老v1 耨f 耩耽耨耱 − 耲耩耫耨耱 − 耨−耱耩耩耽 −耱耫耲耽耱. ‧ 國. 學. v2 的係數老v2 耨f 耩耽耨−耱 − 耱耩耫耨−耱 − 耰耩耽 −耲 − 耱耽 −耳. v3 的係數老v3 耨f 耩耽耨耰 − 耨−耱耩耩耽耱. ‧. 因此. y. Nat. 耽耱v0 耫耱v1 − 耳v2 耫耱v3 ∈ 聄聩聶耨耀耩. n. al. er. io. sit. 老耨f 耩耺耽耨f 耩耽老v0 耨v0 耩耫老v1 耨v1 耩耫老v2 耨v2 耩耫老v3 耨v3 耩. v i n. 從剛剛例子的計算過程中可以發現到，每一個頂點的係數，都是由彼此頂點函數. Ch. engchi U. 值的差所構成，因此我們導證出下述定理。. 定理 5.10. 對於所有的f 耺 V 耨耀耩 → Z，聤聥聧耨老耨f 耩耩耽耰我們可以透由定義來進行證明證明耺聤聥聧耨老耨f 耩耩耽. X. 老v 耨f 耩. v∈V (Γ). 耽. X. X. 耨f 耨v耩 − f 耨x耩耩. v∈V (Γ) e=vx∈Ev (Γ). 耽. X. 聶聡聬耨v耩f 耨v耩 − 聶聡聬耨v耩f 耨v耩. v∈V (Γ). 耽. X. 耰耽耰. v∈V (Γ). 耲耸.

(77) 在前一個章節我們定義過，若存在一個從 V 耨耀耩打到 Z的函數，使得某兩個因子 D, E ∈聄聩聶耨耀耩之間的差 D − E 等於耨f 耩，則我們說聄和聅這兩個因子之間滿足等價關係。因此若因子 D 跟因子 E 等價，我們可以得知這兩個因子的係數和是相同的結論 5.11. 若耀上的兩個因子D, E 等價耨聩耮聥耮 D E耩，則聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩。證明耺若因子 D 跟因子 E 等價，根據定義，存在一個函數f 耺 V 耨耀耩 → Z，使得. 立. D − E 耽耨f 耩. 聤聥聧耨D − E耩耽聤聥聧耨耨f 耩耩. 學. ‧ 國. 故. 政治大. 從定理耵耮耱耰可以發現到說. ‧. 聤聥聧耨D − E耩耽聤聥聧耨耨f 耩耩耽耰. Nat. n. al. C h聤聥聧耨D耩耽聤聥聧耨E耩 U engchi. sit er. io. 因此. 聤聥聧耨D耩 − 聤聥聧耨E耩耽耰. y. 而兩因子的係數和式線性的因此可以線性拆開. v i n. 我們想要了解一些有關耨f 耩的特性因此在同樣的二次熱帶曲線下耨圖耵耮耱耩分別取四個函數 f0 , f1 , f2 , f3 來做觀察，我們令 0 f0 耨v耩耽 {1,v=v 0,v6=v0 1 f1 耨v耩耽 {1,v=v 0,v6=v1 2 f2 耨v耩耽 {1,v=v 0,v6=v2 3 f3 耨v耩耽 {1,v=v 0,v6=v3. 則可以得到下面四個因子及其對應圖形. 耲耹.

(78) 耀. v0. 耨f0 耩. 耱. v1 耭耱 v2. v3. 耰. 耰. 圖耵耮耲耺耨f0 耩耽耱耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耰耨v3 耩耀. v1. 耨f1 耩. 耲 v2. v3. 耭耱. 耰. 學. 耨f2 耩. 耰. sit. io. v1 耭耱. n. al. v0. er. Nat. 耀. y. 圖耵耮耳耺耨f1 耩耽 −耱耨v0 耩耫耲耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩. Ch. v2. v3. e n g c耲 h i 耭耱U. v i n. 圖耵耮耴耺耨f2 耩耽耰耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耲耨v2 耩 − 耱耨v3 耩耀. v0. 耰. v1. 耰. ‧. ‧ 國. 立. 政治大. v0 耭耱. 耨f3 耩. v2. v3. 耭耱. 耱. 圖耵耮耵耺耨f3 耩耽耰耨v0 耩耫耰耨v1 耩 − 耱耨v2 耩耫耱耨v3 耩耳耰.

(79) 耀. v0. 耱. D. v1 耭耱 v2. v3. 耰. 耱. 圖耵耮耶耺原本的因子 D. 政治大. 從上面的四個圖形中，我們可以觀察到，當 i 分別等於耰耬耱耬耲耬耳時，耨fi 耩的圖形就像是以頂點耨vi 耩為中心，從周遭相鄰的頂點，搬移耱的係數，集中到耨vi 耩上，. 立. 我們將這種搬移方式稱作聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移。. ‧ 國. 學. 而我們又知道對於 M耨耀, Z耩中的所有函數 f 耺 V 耨耀耩 → Z，都可以由 f0 , f1 , f2 , f3 線性組合出來，故所有的 f ∈ M耨耀, Z耩，都可以對耀的頂點係數. ‧. 進行聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移。. 而更進一步的，我們知道說在聄聩聶耨耀耩中，等價的兩個因子 D, E 必定存在一. Nat. sit. y. 個 f ∈ M耨耀, Z耩使得 D − E 耽耨f 耩，因此我們也了解，若在耀上的因子 D 跟因子 E 是等價，則 D 可經過聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移後得到 E，另一方面，若在耀上若有一. io. n. al. er. 個因子 D 經過了聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移後得到的因子 E，則D 跟 E 必定等價。. 例 5.12.. Ch. engchi U. v i n. 我們一樣以二次曲線耀耨圖耵耮耱耩為例，若耀上的因子 D 耽耱耨v0 耩耨−耱耩耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耱耨v3 耩，因子 E 耽耲耨v0 耩耫耰耨v1 耩 − 耳耨v2 耩耫耲耨v3 耩，在例子耵耮耹中，我們知道函數f ∈ M耨耀, Z耩，每個頂點的函數值為f 耨v0 耩耽耲, f 耨v1 耩耽耱, f 耨v2 耩耽 −耱, f 耨v3 耩耽耰時，耨f 耩耽耱耨v0 耩耫耱耨v1 耩 − 耳耨v2 耩耫耱耨v3 耩而 E − D 耽耱耨v0 耩耫耱耨v1 耩 − 耳耨v2 耩耫耱耨v3 耩因此因子聄跟因子聅是等價因子。我們可以從以下的圖形來觀察他的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移過程由例子中我們可以更清楚的了解到，利用聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移，可以方便的創造出眾多的等價因子，因此我們想要試著將任意在耀上的因子 D 經過聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧耳耱.

(80) 耀. v0. D0. 耳. v1 耭耳 v2. v3. 耰. 耱. 圖耵耮耷耺以 v0 為中心作耫耲次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耀. 立. 政治大. v0. D1. 耲. v2. v3. 耭耱. 耱. 學 ‧. ‧ 國. v1 耭耱. n. 耲. v1. 耰. Ch. D2. sit. io. al. v0. er. Nat. 耀. y. 圖耵耮耸耺以 v1 為中心作耫耱次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移. v2. v3. e n g c耭耳 h i 耲U. v i n. 圖耵耮耹耺以 v2 為中心作耭耱次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耀. v0. 耲. v1. 耰. D3. v2. v3. 耭耳. 耲. 圖耵耮耱耰耺以 v3 為中心作耰次的聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移耳耲.

(81) 耀. v0. 耲. v1. 耰. E. v2. v3. 耭耳. 耲. 圖耵耮耱耱耺聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移完成後的因子 E. 政治大. 搬移後，是否能夠將所有頂點的係數都轉變為非負整數的因子 E。. 立. 而在在熱帶曲線耀上的因子 D 我們仍然可以用同樣的方式的定一個與 D 有. 學. ‧ 國. 關係的線性系統耨聬聩聮聥聡聲聳聹聳聴聥聭耩|D|。定義 5.13. 對於所有耀上的因子D我們定義集合 |D| 耽 {E ∈ 聄聩聶耨耀耩|E ≥ 耰, E ∼ D}. ‧. 根據 |D| 的定義我們也了解到，若 |D| 不是空集合，則我們是可以將耀上的. Nat. sit. y. 因子 D 經過聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移後，創造出以頂點係數皆為非負整數的因子 E。. er. io. 而我們想了解耀上的因子 D，所產生的搬移空間究竟有多大，並將他量化，. al. 因此我們定義 D 的聲聡聮聫。. n. v i n Ch 定義 5.14. 一個耀上的因子 D，若|D|是空集合，則我們定聲聡聮聫耨D耩耽 −耱，若|D|不 U i e n g− 耱|E c h≥ 耰, |D − E| 耽 φ, E ∈ 聄聩聶耨耀耩} 是空集合耬則聲聡聮聫耨D耩耽r耨D耩耽聭聩聮{聤聥聧耨E耩根據定義，進行簡單的推導以及判斷，我們可以得到以下兩個有關聲聡聮聫的性質。性質耵耮耱耵. 若D ∈ 聄聩聶耨耀耩，則r耨D耩耽聭聡聸{聤聥聧耨E耩|E ≥ 耰, |D − E| 耽 6 φ, E ∈ 聄聩聶耨耀耩} 性質耵耮耱耶. 若D ∈ 聄聩聶耨耀耩，r耨D耩 ≤ 聤聥聧耨D耩以下計算幾種在不同的熱帶曲線下因子的聲聡聮聫例 5.17. 在耀為一次熱帶曲線時。令 D 耽耳耨v0 耩很顯而易見的，我們令 E 耽耳耨v0 耩時，|D − E| 耽 |耰耨v0 耩| 耽 {耰耨v0 耩}，而E 耽耴耨v0 耩時，|D − E| 耽 |耨−耱耩耨v0 耩| 耽 φ，故聲聡聮聫耨D耩耽耴耭耱耽耳。耳耳.

(82) 耀 v0. 耳. D. 圖耵耮耱耲耺一次熱帶曲線因子 D 耽耳耨v0 耩耀. v0. 耲. D. 政治大. v1 耭耱. 立. v2. v3. 耱. 耰. ‧ 國. 學. 圖耵耮耱耳耺二次熱帶曲線因子 D 耽耲耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩. ‧. 例 5.18. 在耀為二次熱帶曲線時。令 D 耽耲耨v0 耩 − 耱耨v1 耩耫耱耨v2 耩耫耰耨v3 耩. y. Nat. 根據性質耵耮耱耶，我們可以知道聲聡聮聫耨聄耩≤聤聥聧耨D耩耽耲，因此我們從聤聥聧耽耲的因. sit. 子先開始討論。. al. er. io. 從引理耴耮耱耳和定理耴耮耱耴得知所有耀上聤聥聧耽耲的因子 E 都與 D 等價，所以 |E−D| 耽. n. {耰耨v0 耩耫耰耨v1 耩耫耰耨v2 耩耫耰耨v3 耩} 耽 6 φ 因此r耨D耩耽聭聡聸{聤聥聧耨E耩|E ≥ 耰, |D − E| 耽 6 φ, E ∈ 聄聩聶耨耀耩} 耽耲. Ch. U i e h n c g 例 5.19. 接下來我們討論次數比較高的三次熱帶曲線這是原本的三次熱帶曲線. 耳耴. v i n.

(83) v6. v4. v2. v1. 立 v0. v7. v5. v8. v3. 政治大. ‧ 國. 學. 去掉射線之後的耀. ‧. v6. v7. n. er. io. al. sit. y. Nat. v4. v2. Ch v1. v5. e nvg c h i U. v i n v8. 3. v0. 我們隨意的另一個 D 如圖耵耮耱耴，我們可以計算出聤聥聧耨D耩耽耱，因此我們討論 E ∈聄聩聶耨耀耩，E ≥ 耰，聤聥聧耨E耩耽耰和聤聥聧耨E耩耽耱的兩種情況。首先討論聤聥聧耨E耩耽耰的狀況若聤聥聧耨E耩耽耰則僅有如圖耵耮耱耵一種可能，且耨D − E耩耽 D很明顯的可經過聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移後，將所有的係數變成非負整數，故|D − E| 耽 6 φ 接下來討論聤聥聧耨E耩耽耱的狀況若聤聥聧耨E耩耽耱，則有會有耹個因子滿足此條件，耳耵.

(84) v6 耭耱耀. v4. v7 耱. v2. v5 耰. v1. 立. v8 耱. D. 耭耱. 政治大 v3. 耱. v0. 耰. 耰. 耰. ‧ 國. 學圖耵耮耱耴耺三次熱帶曲線因子 D. ‧ er. io. sit. y. Nat. n. al. v6 耰. C耀 h. v i耰 U e nv g耰 c h 7. 4. v2. v5 耰. v1. E. v8 耰. v3 耰. 耰. v0 耰. 圖耵耮耱耵耺聤聥聧耨E耩耽耰. 耳耶. v i n 耰.

(85) v6 耭耱 E0. v4. v7 耱. v2. 耰 v5. 耰 v1. D. v8 耱. 耭耱. v3 耱. 耰. 政治大. v0 耭耱. 立. ‧ 國. 學. 圖耵耮耱耶耺聤聥聧耨E0 耩耽耱. 也是就是其中一個頂點係數是耱，其餘係數皆為耰，我們將這種個因子依序記作 E0. ‧. 至 E8 ，而 D − E0 至 D − E8 的九個圖形分別為圖耵耮耱耶至耵耮耲耴，從圖中我們可以發現，經過聃聨聩聰耭聆聩聲聩聮聧搬移後僅有圖耵耮耱耶及圖耵耮耱耷可以轉換為圖耵耮耱耵，而圖耵耮耱耸，. y. Nat. 圖耵耮耱耹，圖耵耮耲耰，圖耵耮耲耱，圖耵耮耲耲，圖耵耮耲耳，圖耵耮耲耴，皆無法轉換成圖耵耮耱耵，故我們. io. sit. 了解，當E 耽 E2 至E8 時，|D − E| 耽 φ，因此r耨D耩耽耱 − 耱耽耰。. n. al. er. 從例子當中可以發現，經過了一連串激烈的計算，一般對於熱帶曲線耀上的. v i n. 因子 D 而言 r耨D耩的計算，是有著些許的麻煩，而困難程度也會隨著聤聥聧耨D耩的. Ch. engchi U. 值增加而遞增，因此我們希望可以尋找一些規律，或著是可以找到一個範圍，來增加 r耨D耩再計算上的容易度。. 為了增加在計算聲聡聮聫耨聄耩上的方便性與速度，我們果斷的引用聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨定理來進行討論定理 5.20. 耨联聲聯聰聩聣聡聬聒聩聥聭聡聮聮耭聒聯聣聨联聨聥聯聲聥聭耩若 D 是一個熱帶曲線耀上的因子，且耀的虧格為 g，則 r耨D耩 − r耨K − D耩耽聤聥聧耨D耩耫耱 − g 有了這個定理後我們可以拿剛剛的例子耵耮耱耷、例子耵耮耱耸和例子耵耮耱耹來驗證看看在例子耵耮耱耷中，D 耽耳耨v0 耩而 K 耽耨耰 − 耲耩耨v0 耩耽耨−耲耩耨v0 耩，故 K − D 耽耨−耵耩耨v0 耩耰，顯而易見的 |K − D| 耽 φ ，我們得到 r耨K − D耩耽 −耱，帶入聒聩聥聭聡聮聮耭耳耷.

(86) v6 耭耱耀. v4. v7 耱. v2. v5 E1. 耰 v1. 立. v8 耱. 耭耱. 政治大 v3. 耰. v0. 耰. 耰. 耰. ‧ 國. 學圖耵耮耱耷耺聤聥聧耨E1 耩耽耱. ‧ er. io. sit. y. Nat. n. al. v6 耭耱. C耀 h. v i耰 U e nv g耱 c h 4. 7. v2. v5 E2. 耭耱 v1. v8 耱. v3 耱. 耰. v0 耰. 圖耵耮耱耸耺聤聥聧耨E2 耩耽耱. 耳耸. v i n 耭耱.

(87) v6 耭耱耀. v4. v7 耱. v2. v5 E3. 耰 v1. 立. v8 耱. 耭耱. 政治大 v3. 耱. v0. 耰. 耭耱. 耰. ‧ 國. 學圖耵耮耱耹耺聤聥聧耨E3 耩耽耱. ‧ er. io. sit. y. Nat. n. al. v6 耭耱. C耀 h. v i耰 U e nv g耰 c h 4. 7. v2. v5 E4. 耰 v1. v8 耱. v3 耱. 耰. v0 耰. 圖耵耮耲耰耺聤聥聧耨E4 耩耽耱. 耳耹. v i n 耭耱.

(88) v6 耭耱耀. v4. v7 耱. v2. v5 E5. 耰 v1. 立. v8 耰. 耭耱. 政治大 v3. 耱. v0. 耰. 耰. 耰. ‧ 國. 學圖耵耮耲耱耺聤聥聧耨E5 耩耽耱. ‧ er. io. sit. y. Nat. n. al. v6 耭耲. C耀 h. v i耰 U e nv g耱 c h 4. 7. v2. v5 E6. 耰 v1. v8 耱. v3 耱. 耰. v0 耰. 圖耵耮耲耲耺聤聥聧耨E6 耩耽耱. 耴耰. v i n 耭耱.

(89) v6 耭耱耀. v4. v7 耱. v2. v5 E7. 耰 v1. 立. v8 耱. 耭耱. 政治大 v3. 耱. v0. 耭耱. 耰. 耰. ‧ 國. 學圖耵耮耲耳耺聤聥聧耨E7 耩耽耱. ‧ er. io. sit. y. Nat. n. al. v6 耭耱. C耀 h. v i耰 U e nv g耱 c h 4. 7. v2. v5 E8. 耰 v1. v8 耱. v3 耱. 耰. v0 耰. 圖耵耮耲耴耺聤聥聧耨E8 耩耽耱. 耴耱. v i n 耭耲.