二次函數

單 元 名 稱 二次函數 教 材 來 源 翰林100年版 第一冊2-1簡單多項式函數及其圖形 教 學 時 間 50分鐘 學習本單元的 預備知識 1. 函數的觀念（包含多項式函數） 2. 平面坐標系的觀念 3. 平方的觀念 學 生 分 析 1. 學生程度：中等。 2. 學習態度：部分同學上課態度積極，上課專心，但較安靜； 有些同學上課容易分心。 3. 班級氣氛：同學感情融洽，部分同學反應良好，與老師互 動佳。 單元教學目標 1. 讓學生能透過描點畫出二次多項式函數圖形。 2. 能歸納出二次函數 2 , 0 yax a 圖形的性質，如：開口方 向、開口大小等。 3. 觀察並瞭解 ( )、 ( ) 與 間圖形平移的關係。 活動時間分配 一、 複習函數、多項式函數的觀念 5mins 二、 二次函數 15mins 三、 學生動手做 20mins 四、 二次函數 2 yax b的鉛直平移 8mins 五、 總結 2mins 教學前的準備： 1. GSP製作 2. 學習單

教 師 活 動 一、複習函數、多項式函數的觀念 請同學舉出幾個生活中與函數觀念相符的例子，進一步帶出函數的 定義：在一個x與y的關係式中，對於每一個x值都只有一個y與之對 應，那麼這種關係就說y是x的函數。其中稱x為自變數，稱y為應變數。 而所謂的多項式函數即型如 1 1 1 0 ( ) _n n _n n y f x a x a _x   a x a 。若 0 n a  則可稱y f x( )為n次多項式函數，簡稱為n次函數。詢問同學在多 項式函數中，x可以帶入什麼樣的數字？可帶入整數、分數、無理數等 任意數值，當給定x時，即可得到其對應的y f x( )，若我們將此對數字 寫成序對

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x y, ，便可將之視為座標平面上的一點，將其描繪在座標平 面上，所呈現的圖形稱為n次多項式函數的圖形。因此我們可以利用描 點作圖來找出其所對應的圖形。 而前一堂課已經討論過常數函數y f x

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c與一次函數

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, 0 y f x ax b a  的圖形，【口頭詢問此兩函數所代表的圖形為 何？】，接著繼續討論二次函數。 二、二次函數 二次函數

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2 , 0 y f x ax bx c a  其圖形為何？ 首先，先討論一個簡單的二次函數 2 yx ，而對於它的圖形，我們 使用描點作圖找出【將圖畫在黑板】：首先我們先找出圖形上的一些點 來， Q1：只劃出兩點即連線？ x y ... ... -3 -2 -1 0 1 2 3 9 4 1 0 9 1 4 ... ... (1,1) O (2,4) (3,9) y x

待以上討論結束後，再多畫出一些點來【以GSP呈現或人工畫圖】， 以描出正確的圖形。說明二次函數圖形之對稱性質和極值的觀念。 三、學生動手做【利用GSP呈現圖形】 請同學在學習單上畫出

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2 2 y f x  x 的圖形，待圖形繪製完成後， 詢問同學其與 2 yx 之相同與相異處﹝如：開口大小和方向；相同x值 時，兩函數對應y值的差異﹞。 根據相同的想法由 2 yx 去推測出

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1 2 2 y f x  x 的圖形，並觀察這三 個圖形的開口方向及開口大小。 請學生繼續繪製 2 2 1 2 , 2 , 2 y x y  x y  x 的圖形先觀察圖形的對稱 性及極值，並比較開口方向及大小，最後統整結論：二次函數 2 yax 的 圖形可依a的正負分為開口向上或向下；由a 的大小判斷開口大小。 四、二次函數 2 yax b的鉛直平移 先利用繪製函數 2 2 yx  的圖形，讓學生發覺其與yx2的關係，給 定x時，其對應的y皆相差2，將yx2圖形上移兩單位可得yx22的圖 形。同理， 2 2 1 y  x  也可利用y 2x2往下平移一單位即可。 五、總結 口頭敘述今天講解的重點，詢問同學對於今天的教學是否有不了解 的地方；指派回家作業。

x y y=x2

學 習 單

主題：二次函數的圖形

1.請使用不同顏色的色筆在座標系中 2.請使用不同顏色的色筆在座標系中 畫出下列兩個二次函數的圖形： 畫出下列三個二次函數的圖形：  2 2 y x  1 2 2 y x y x2 y 2x2  1 2 2 y  x 畫了這麼多圖形，妳是否稍微了解函數 2 , 0 yax a 的圖形性質呢？根據剛剛畫 圖的經驗，我們知道 2 , 0 yax a 的函數圖形為通過原點

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0, 0 、以 為對稱軸 的 。而依照 a 的不同我們可以區分圖形的不同，其分類如下：  a 的正負可以區分圖形 ： 若a0，開口向上，圖形有最低點。 若a0，開口向下，圖形有最高點。  a 的大小可以區分 ：若 a 越大，則開口越 ；若 a 越小，則開口 越 。 x y

x y y=x2 藉由剛才的討論，相信聰明的妳已經能夠掌握函數 2 , 0 yax a 的圖形。接下來， 我們進一步了解類似於 2 , 0 yax a 的圖形吧！請妳在下列兩方格圖中各畫出指定的 兩個圖形，並仔細觀察每個圖形的性質和圖形間的相對關係唷！ 3.請畫出： 2 2 yx  yx23 4.請畫出： 2 2 1 y  x  y 2x22 x y y=-2x2  的圖形性質： 將 的圖形 移 單位得到 的圖形。 以 為對稱軸。 圖形有最 點，其點座標為 。 即函數 ， 當 ， 為最小值。  的圖形性質： 將 的圖形 移 單位得到 的圖形 以 為對稱軸 圖形有最 點，其點座標為 。 即函數 ， 當 ， 為最小值。  的圖形性質： 將 的圖形 移 單位得到 的圖形。 以 為對稱軸。 圖形有最 點，其點座標為 。 即函數 ， 當 ， 為最大值。  的圖形性質： 將 的圖形 移 單位得到 的圖形 以 為對稱軸 圖形有最 點，其點座標為 。 即函數 ， 當 ， 為最大值。