矩形（提高）巩固练习

(1)

矩形（提高）巩固练习

【巩固练习】一.选择题 1.下列关于矩形的说法中正确的是( ) A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．矩形的对角线互相垂直且平分 D．矩形的对角线相等且互相平分 2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为 1

cm

和 3

cm

两部分，则它的面积为（） A.3

cm

2 B. 4

cm

2 C. 12

cm

2 D. 4

cm

2或 12

cm

2

3.（2016 春•青浦区期末）已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，延长 BA 到点 E，使 AE=AB，联结 ED， EC，AC，添加一个条件，能使四边形 ACDE 成为矩形的是（）

A．AC=CD B．AB=AD C．AD=AE D．BC=CE

4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM、FM 为折痕,折叠后的 C 点落在 B′M 或 B′M 的延长线上, 那么∠EMF 的度数是( )

A.85° B.90° C.95° D.100°

5．如图，四边形 ABCD 中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD 于点 E，且四边形 ABCD 的面积为 8，则 BE＝( ) A.2 B.3 C.

2

D.

2

3

6. 矩形的面积为120

cm

2，周长为46

cm

，则它的对角线长为（） A.15

cm

B.16

cm

C.17

cm

D.18

cm

二.填空题 7．如图，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，AD＝2AB，若沿过点 D 的折痕 DE 将 A 角翻折，使点 A 落在 BC 上的

(2)

8．如图，矩形 ABCD 中，AB＝2，BC＝3，对角线 AC 的垂直平分线分别交 AD，BC 于点 E、F，连结 CE，则 CE 的长______．

9. 如图所示，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 O，∠AOD＝120°，AB＝4

cm

，则矩形对角线 AC 长为 ________

cm

．

10.（2016·黄冈）如图，在矩形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 CD、BC 上，DC=3DE=

3a

，将矩形沿直线 EF 折叠，使点 C 恰好落在 AD 边上的点 P 处，则 FP=_______.

11.（2015•南漳县模拟）矩形 ABCD 的∠A 的平分线 AE 分 BC 成两部分的比为 1：3，若矩形 ABCD 的面积为

36，则其周长为．

12.如图所示，将矩形 ABCD 沿 AE 向上折叠，使点 B 落在 DC 边上的 F 处，若△AFD 的周长为 9，△ECF 的周长为 3，则矩形 ABCD 的周长为___________.

三.解答题

13．（2015•铁力市二模）如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，PE⊥BC 于点 E；PF⊥CD 于点 F，连接 EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2

+PD2

=2PA2

，正确的有几个？

(3)

14.已知：如图，四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，BE⊥AC 于 E，DF⊥AC 于 F，点 O 既是 AC 的中点，又是 EF 的中点．

（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若 OA＝

1

2

BD，则四边形 ABCD 是什么特殊四边形？说明理由．

15.已知：如图，在矩形 ABCD 中，E、F 分别是边 BC、AB 上的点，且 EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE 平分∠BAD．

(4)

【答案与解析】一.选择题 1.【答案】D； 2.【答案】D；【解析】矩形的短边可能是 1，也可能是 3，所以面积为 4×1 或 4×3. 3.【答案】D；【解析】添加一个条件 BC=CE.

理由：∵四边形 ABCD 为平行四边形，∴AB∥CD 且 AB=CD， ∵AE=AB，∴AE∥CD 且 AE=CD，∴四边形 DEAC 为平行四边形， ∵BC=EC，AE=AB，∴∠EAC=90°，∴平行四边形 ACDE 是矩形. 4.【答案】B；【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝

2

1

∠BMC′＋

2

1

∠CMC′＝

2

1

×180°＝90°. 5．【答案】C；【解析】过点 C 做 BE 垂线，垂足为 F，易证△BAE≌△CBF，所以 BF＝AE，BE＝CF，所以总面积＝AE×BE ＋CF×EF＝ AE×BE＋BE×（BE－AE）＝

BE 

2

8

，

BE 

2 2

. 6.【答案】C；【解析】设边长为

a b

、

，则

a b

 

23,

ab



120,

解得

a b

2



2



289

，所以对角线为

289 17



. 二.填空题 7．【答案】60°；

【解析】AD＝A1D＝2CD，所以∠CA1D＝30°，∠EA1B＝60°.

8.【答案】

13

6

；【解析】设 AE＝CE＝

x

，DE＝

3 x



，

x

2

 



3 x



2



2

2，

13

6 x 

. 9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC＝2AO＝2AB＝8

cm

． 10.【答案】

2 3a

；【解析】作 FM⊥AD 于 M，如图所示：

(5)

则 MF=DC=

3a

，由题意可得：CE=

2a

，由折叠可得：PE=CE=

2a

=2DE，∠EPF=∠C=90°， ∴∠DPE=30°，∴∠MPF=60°，∠MFP=30°，∴FP=

3 2 2 3

3 a

_{ }

_a

_. 11.【答案】30 或 10 ；【解析】∵AE 平分∠DAB， ∴∠DAE=∠EAB， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AD=BC，DC=AB，AD∥BC， ∴∠DEA=∠BEA， ∴∠EAB=∠BEA， ∴AB=BE， ①设 BE=x，CE=3x，则 AD=4x，AB=x， ∵矩形 ABCD 的面积为 36， ∴x•4x=36，解得：x=3（舍负），即 AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30； ②设 BE=3x，CE=x，则 AD=4x，AB=3x， ∵矩形 ABCD 的面积为 36， ∴3x•4x=36，解得：x= _（舍负），即 AD=BC=4x=4 ，AB=CD=x= ， ∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4 + ）=10 ；故答案为：30 或 10 ． 12.【答案】12；【解析】设 BE＝EF＝

x

，CE＝

b

，CF＝

a

，DF＝

y

，则

x b y y a

    

9,

x a b

  

3

，解得

y 

3

，矩形 ABCD 的周长＝

2 

y a x b

  



  

2 3 3 12







. 三.解答题 13.【解析】解：①正确，连接 PC，可得 PC=EF，PC=PA，∴AP=EF；

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②正确；延长 AP，交 EF 于点 N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得 AP⊥EF； ③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP； ④错误，PD= PF= CE； ⑤正确，PB2 +PD2 =2PA2 ．所以正确的有 4 个：①②③⑤. 14.【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC， ∴∠BEO＝∠DFO＝90°， ∵点 O 是 EF 的中点， ∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE， ∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）解：四边形 ABCD 是矩形．理由如下： ∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD，又∵OA＝OC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵OA＝

1

2

BD，OA＝

1

2

AC， ∴BD＝AC， ∴



ABCD 是矩形． 15.【解析】证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°． ∵EF⊥ED， ∴∠BEF＋∠CED＝90°． ∴∠BFE＝∠CED．又∵EF＝ED， ∴△EBF≌△DCE． ∴BE＝CD． ∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°． ∴∠EAD＝45°． ∴∠BAE＝∠EAD．