8-三角函數

(1)

8- 三角函數

【83-1】武林高手上官琴魔，幸獲至寶「斷腸一弦琴」。如下圖實線部分，琴身為一圓弧，琴 弦AB長為 1.6 尺。今欲增其威力，需加一長為 1.2 尺的平行琴弦，乃在 P 及 Q 點鑽 孔，加裝琴弦PQ。若知圓心在 O 點，半徑為 1 尺，敢問少（女）俠，AOP 大小若 干？(A)13 < AOP  14 (B)14 < AOP  15 (C)15 < AOP  16

(D) 16 < AOP  17 (E)17 < AOP  18

【解答】(D) 【詳解】 ∵ OA 1，OP 1，AC 2 1 AB 0.8，PD 2 1 PQ 0.6 sin AOC  1 8 . 0 _ 0.8 ∴ AOC  5310 sin POD  1 6 . 0 _ 0.6 ∴ POD  3650

AOP AOC POD  5310 3650 1620 ∴ 16 < AOP  17，應選(D) 【83-2】若且 sin  cos  5 1 ，則 cos  。【解答】 5 4 【詳解】 ∵ 2 3π <  < 2  ∴ sin  < 0，cos  > 0 ∵ sin  cos  5 1 …… 平方，1  2 sin  cos  25 1 ∴ 2 sin  cos  25 24  (sin  cos  )2 1  2 sin  cos 

25 49 ∴ sin  cos  5 7 （正不合） ∴ sin  cos  5 7 …… 得 2 cos  5 8 ∴ cos 5 4

(2)

【84-1】一汽艇在湖上沿直線前進，有人用儀器在岸上先測得汽艇在正前方偏左 50，距離為 200 公尺。一分鐘後，於原地再測，知汽艇駛到正前方偏右 70，距離為 300 公尺。那 麼此汽艇在這一分鐘內行駛了公尺。 【解答】100 19 【詳解】如上圖所示，利用餘弦定理，得 AB 20023002 2200300cos120  100 2 1 3 2 2 9 4      100 19 【86】已知圓內接四邊形的各邊長為AB 1，BC 2，CD 3，DA 4，則對角線BD的長度 為。 【解答】 5 77 【詳解】令 BCD    BAD  2 BD  22 32 2  2  3  cos  13  12 cos  …… 2 BD  12 42 2  1  4  cos ( )  17  8 cos  ……   2    3  5BD2 77  BD 5 77 【87-1】如下圖，A、B 兩點分別位於一河口的兩岸邊。某人在通往 A 點的筆直公路上，距離 A 點 50 公尺的點與距離 A 點 200 公尺的 D 點，分別測得 ACB  60，ADB  30， 則 A 與 B 的距離為公尺。 【解答】50 7 【詳解】 CBD CDB  30  CBCD 150 在△ABC 中，由餘弦定理知 502 1502 2  50  150  cos 60 17500  AB 50 7 `

D

(3)

【87-2】在下圖中，ABC 是邊長為 8 的正三角形撞球檯，線段 BP  2 。今由 P 點將一粒球以 平行 BA 方向射出，最後又回到 P 點。球所走的路徑，如圖箭號所示。則此路徑的長 度為。 【解答】24 【詳解】 PQ//AB ∴ BPR CPQ  60 ∴ BRBPPB 2 ，AQPR 為平行四邊形 ∴ PQAR 8  2 ABPQ  2 2 (8  2 )  2 2 8  3 2 ∴ 正△ABC 周長  3 (8  3 2 )  24  9 2 另三小正△周長和  3 (3 2 )  9 2 ∴ 路徑 (24  9 2 )  9 2  24

【88-1】設△ABC 的三頂點 A，B，C 所對邊的邊長分別為 a，b，c，AH為高，則AH 之長為 (A) b．sin B (B) c．sin C (C) b．sin C (D) c．sin B (E) a．sin A

【解答】(C)(D) 【詳解】

(4)

【88-2】在△ABC 中，已知C  60， AC 3000 公尺，BC 2000 公尺，則 A 為 度。（度以下四捨五入）（參考資料： 31.732， 7 2.646， 21 4.583） 【解答】41 【詳解】由餘弦定理得 2 AB  (3000) 2 (2000)2 2 (3000) (2000) cos60 7000000 ∴ AB 1000 7 由正弦定理得 A sin 2000_ C sin 7 1000  sin A  7 21 7 583 . 4 0.6547 sin 41（查表）∴  A 41 【88-3】一個正三角形的面積為 36，今截去三個角（如下圖），使成為正六邊形，此正六邊形 的面積為。【解答】24 【詳解】將對角線連起來，則可得 9 個全等之小正三角形 ∴ 正六邊形面積  36  9 6_ 24 【89-1】有一等腰三角形底邊為 10，頂角 72。下列何者可以表示腰長？

(A) 5．sin 36 (B) 5．tan 36 (C) 5． (D) 5． (E) 5．

【解答】(E) 【詳解】如上圖 A  70，作A 的平分線交 BC 於 D 因等腰三角形的頂角平分線必垂直平分底邊 ∴ BD 5，BAD  36 ∴ ABBD 5

(5)

【89-2】氣象局測出在 20 小時期間，颱風中心的位置由恆春東南方 400 公里直線移動到恆春 南 15西的 200 公里處，試求颱風移動的平均速度。（整數以下，四捨五入） 答：公里／時。 【解答】17 【詳解】如圖， AOB  60， OA 400，OB 200 利用餘弦定理可求得AB 2 AB  4002 2002 2．400．200．cos 60  2002 (4  1  2)  2002．3 ∴ AB 200 3 200．1.732  346.4，346.4  2  17.32，取 17 【90】在坐標平面的 x 軸上有 A(2，0)，B(  4，0)兩觀測站，同時觀察在 x 軸上方的一目標 C 點，測得BAC 及ABC 之值後，通知在 D( 2 5 ， 8)的砲臺；此兩個角的正切值 分別為 9 8 及 3 8 。那麼砲臺 D 至目標 C 的距離為。 【解答】13 【詳解】 ∵ tanBAC  9 8 ，tanABC  3 8 ∴ \ _____ AC 可設為 a(  9，8)，a  0， \ _____ BC 可設為 b(3，8)，b  0  _____DC\  \ _____ DA \ _____ AC  ( 2 1  9a，8  8a) 又 \ _____ DC \ _____ DB \ _____ BC  ( 2 13  3b，8  8b)              b a b a 8 8 8 8 3 2 13 9 2 1  a  b  2 1 ∴ \ _____ DC (  5，12) ∴ DC 52 122  13

(6)

【91-1】兩條公路 k 及 m，如果筆直延伸將交會於 C 處成 60夾角，如圖所示。為銜接此二 公路，規劃在兩公路各距 C 處 450 公尺的 A，B 兩點間開拓成圓弧型公路，使 k，m 分別在 A，B 與此圓弧相切，則此圓弧長  公尺。（公尺以下四捨五入， 31.732， 3.142） 【解答】544 【詳解】 ∵ AC 450 公尺 ∴ OA 450 tan30 150 3公尺 AOB  120 ∴ 弧長  150 3． 3 2 _ 544.19 公尺

【91-2】在△ABC 中，下列哪些選項的條件有可能成立？(1) sinA  sinB  sinC 

2 3 (2) sinA，sinB，sinC 均小於 2 1 (3) sinA，sinB，sinC 均大於 2 3 (4) sinA  sinB  sinC 

2 1 (5) sinA  sinB  2 1 ，sinC  2 3 【解答】(1)(2)(5) 【詳解】                           120 60 2 3 sin 120 60 2 3 sin 120 60 2 3 sin        或或                           150 30 2 1 sin 150 30 2 1 sin 150 30 2 1 sin        或或

(1)A  B  C  60  sinA  sinB  sinC 

2 3 (2)A  10，B  10，C  160  sinA，sinB，sinC 均小於 2 1 (3)sinA，sinB，sinC 均大於 2 3 A，B，C 均大於 60  此為不可能

(4)sinA  sinB  sinC 

2 1_ A B  30，C  150 ∴ A B C  210，不合理 (5)sinA  sinB  2 1 ，sinC  2 3  A B  30，C  120  A B C  180，合理故選(1)(2)(5)

(7)

【91-3】某人隔河測一山高，在 A 點觀測山時，山的方位為東偏北 60，山頂的仰角為 45， 某人自 A 點向東行 600 公尺到達 B 點，山的方位變成在西偏北 60，則山有多高？ 答：公尺。

【解答】600 【詳解】

QAB QBA  60  △QAB 為正三角形

PAQ  45，PQAQ  PQAQAB 600（m） 【93-1】設△ABC 為一等腰直角三角形，BAC  90。若 P，Q 為 斜邊 BC 的三等分， 則 tanPAQ  。（化成最簡分數） 【解答】 4 3 【詳解】 如圖，假設 A(0，0)，B(0，3)，C(3，0) ∵ P，Q 為 BC 之三等分點 ∴ P(1，2)，Q(2，1) 直線AP及AQ之斜率分別為 m AP 2，mAQ₂ 1 ∴ tanPAQ  AQ AP AQ AP m m m m ．   1  2 1 2 1 2 1 2 ．    4 3

【93-2】設 270 A  360且 3sinA  cosA  2sin2004，若 A  m，則 m  。 【解答】306 【詳解】 3sinA  cosA  2( 2 3 sinA  2 1

cosA)  2(cos30sinA  sin30cosA)  2sin(A  30)  2sin(A  30)  2sin2004 2sin204 ∴ A  30 204或 336  A  174 （不合）或 306

(8)

3 6 x

x

【94-1】若，試問以下哪些選項恆成立？(1) sin cos (2) tansin (3) costan(4) sin 2cos 2(5) 【解答】(1)(5) 【詳解】

(1)因0 2 cos 1 , 0 sin 2 cos sin

4 2 2



    

        

(2)tan sin sin cos       因0 4     , 0 cos  1 (3)cos 30 3 tan 30 1 2 3    (4)0 0 2 , sin 60 3 1 cos 60 4 2 2 2             (5) 2 2 tan 2 tan 1 2 2

tan 2 tan tan tan

1 2 2 2 1 tan 2       _       【94-2】如右圖所示，在△ABC 中，∠BAC 的平分線 AD 交對邊 BC 於 D；已知 3 , 6 BD DC ，且AB AD，則 cos∠BAD 之值為。(化成最簡分數) 【解答】3 4 【詳解】因AB AC: 3: 6 1: 2 AC2x 2 2 2 2 2 2 3 (2 ) 6 cos 2 2 2 x x x x BAD x x x x          2 18 x   cos 18 18 9 27 3 2 18 36 4 BAD        【95-1】在三角形 ABC 中﹐若 D 點在 BC 邊上﹐且AB7,AC13,BD7,CD8﹐ 則AD________. 【解答】7

(9)

【詳解】 2 2 2 7 15 13 cos , 2 7 15 ABC B       中 2 2 2 7 7 cos 2 7 7 x ABD B       中 2 49 225 169 49 49 2 7 15 2 7 7 x           2 2 105 98 49 7 . 15 7 x x x         （負不合） 【95-2】右圖是由三個直角三角形堆疊而成的圖形﹐且OD8.問﹕直角三角形 OAB 的高AB 為何﹖=(1)1 (2) ₆_ ₂ (3) _{7 1}_ (4) ₃ (5)2. 【解答】(4) 【詳解】 O C D 中﹐OC4 3﹐ O B C中﹐OBOCcos15 4 3 cos15﹐

O A B中﹐ABOBsin15 (4 3 cos15 ) sin15   

2 3(2sin15 cos15 ) 

2 3 s i n 3 0 2 13 3 2

      .

【95-3】下列哪一個數值最接近 2 ﹖(1) 3 cos 44 sin 44(2) 3 cos 54 sin 54

(3) 3 cos 64 sin 64(4) 3 cos 74 sin 74(5) 3 cos84 sin 84.

【解答】(4) 【詳解】

考慮 3 cos sin 2( 3cos 1sin )

2 2

     2(sin 60 cos cos 60 sin ) 

2sin(60 )    ≒ 2 . 當sin(60 ) 2 2     時﹐原式最接近 2 ﹐即 60    45 或60 +  135 , 15    （不合）或  75 ,故選(4).

(10)

【95-4】如圖所示﹐ABCD 為圓內接四邊形﹕若DBC  30 , ABD45 ,CD6﹐則線段 AD . 【解答】72 【詳解】 BCD  中 2 sin 30 CD R    6 2 12, 1 2 R  ABD  中 2 sin 45 AD R   ﹐ 2 2 sin 45 12 6 2 72 2 AD R         .

【96】在ABC 中，M 為BC¯¯¯¯¯¯ 邊之中點，若AB¯¯¯¯¯¯ =3，AC¯¯¯¯¯¯ =5，且∠BAC=120°，則 tan∠_{BAM ＝。(化成最簡根式)} 【解答】5 3 【詳解】 於ABC，由餘弦定理得 BC2=32+52235cos120= 49 BC=7 由中線定理得 32+52=2(AM2+( 2 7 )2) AM= 2 19 於ABM，令BAM=，由餘弦定理得 cos = 19 2 1 2 19 3 2 ) 2 7 ( ) 2 19 ( 32 2 2       tan = sec21 (2 19)215 3 【97-1】廣場上插了一支紅旗與一支白旗，小明站在兩支旗子之間。利用手邊的儀器，小明測出他與正東方紅旗間的距離為他與正西方白旗間距離的 6 倍；小明往正北方走了 10 公尺之後再測量一次，發現他與紅旗的距離變成他與白旗距離的 4 倍。試問紅白兩旗之間的距離最接近下列哪個選項？ (1) 60 公尺 (2) 65 公尺 (3) 70 公尺 (4) 75 公尺 (5) 80 公尺【解答】(1) 【詳解】設小明與正西方白旗的距離為k， ∵AB：AC1：4，∴ 2 2 10 k  ：

(11)

2 2 (6 )k 10 1：4， 2 (k 100)：(36k2100) 1 ：16， 2 2 36k 100 16 k 1600， 2 20k 1500，k275，k5 3， ∴BC7k35 3≒35 1.732 ≒60。【97-2】坐標平面上，以原點O 為圓心的圓上有三個相異點A(1,0)，B，C，且ABBC。已知銳角三角形OAB的面積為 3 10，則△OAC的面積為____________。(化為最簡分數) 【解答】12 25 【詳解】 ∵ABBC，∴ABBCAOB BOC，又OA 1 半徑 1 OAOBOC， △ 1 sin 3 2 10 OAB OA OB   sin 3 5   ，∴cos 4 5  ，則△ 1 sin 2 1 1 1 2 3 4 12 2 2 5 5 25           OAC OA OC  。【98-1】假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為 45，則丙、丁兩鎮間的距離約為 (1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里。 【解答】(1) 【詳解】在△ACD中， A 120，  D 45 ，  C 15 ，由正弦定理知 20 2 sin120 sin 45 CD AC     ， 3 20 2 10 6 24.5 2 CD   ≒ （公里）。【98-2】在△ABC中，AB10，AC9，cos 3 8 BAC   。設點P、Q分別在邊AB、 AC 上 使得△APQ之面積為△ABC面積之一半，則PQ之最小可能值為____________。（化成最簡分數）【解答】15 2

(12)

【詳解】 APQ △ 的面積 1 2 ABC  △ 的面積， 1 1 1 sin ( sin ) 2AP AQ A 2 2AB AC A ，得AP AQ 45，又 2 2 2 2 cos 2 2 135 4 PQ  AP AQ  AP AQ AAP AQ  ，而由算幾不等式知 2 2 2 2 45 2 AP AQ AP AQ     ，知 2 90 135 225 4 4 PQ    ，得 15 2 PQ 。【99-1】如右圖，直角三角形ABD 中，A為直角，C 為AD邊上的點。已知BC6，AB5， 2 ABD ABC    ，則BD________。（化成最簡分數）【解答】90 7 【詳解】 令 ABC  c o s 2 2 c o s2 12 52 1 41 7 3 6 3 6 1 8         ∴ 5 18 90 7 7 BD   【99-2】已知△ABC 中，AB2, BC3且  A 2 C，則 AC________。（化成最簡分數）【解答】5 2 【詳解】 令 ACx， C ， A 2 由正弦定理得 3 2 sin sin 3 cos 4    再由餘弦定理得 2 2 2 2 2 3 x    2 3 x cos2x 9x100 5 2 x   或 2（不合）

(13)

【99-3】設   ₁, ₂, ₃, ₄分別為第一、第二、第三、第四象限角，且都介於 0 與 2 之間。已知

1 2 3 4

1

| cos | | cos | | cos | | cos |

3         ，請問下列哪些選項是正確的？ (1) ₁ 4    (2) ₁ ₂  (3)cos ₃ 1 3    (4)sin ₄ 2 2 3   (5) ₄ ₃ 2     。 【解答】(2)(3) 【詳解】 (1)；∵cos 45 2 2   ，而1 2 3 2 ∴1  45 (2)○；∵cos ₁ 1 3   ，cos ₂ 1 3    sin ₁ 2 2 3    ，sin ₂ 2 2 3  

又cos( ₁ ₂)cos₁cos₂sin₁sin₂ 1 ( 1) 2 2 2 2 1

3 3 3 3        ∴ ₁ ₂  (3)○；∵₃是第三象限 ∴cos ₃ 1 3    (4)；∵sin ₄ 2 2 3    (5)；∵cos ₄ 1 3   ，而cos( ₃ ) sin ₃ 2 2 1 2 3 3         ∴ ₄ ₃ 2     【100】四邊形ABCD 中，AB1, BC5, CD5, DA7，且DAB BCD 90 ，則對角 線 AC 長為________。 【解答】【詳解】 設 ABC ，則CDA180，

在△ABC 中，AC2 1 25 2 1 5 cos     26 10cos ，

在△ACD 中，AC2 49 25 2 7 5 cos(180      )74 70cos 

3

26 10 cos 74 70 cos , cos

5          ，故 26 10( 3) 32 5 AC    。【101-1】在坐標平面上﹐廣義角的頂點為原點O﹐始邊為x軸的正向﹐且滿足tan 2 3   ﹒若 的終邊上有一點P﹐其y坐標為4﹐則下列哪些選項一定正確？ (1)P的x坐標是6 (2)OP2 13 (3)cos 3 13   (4)sin 2 0 (5)cos 0 2  _ 【解答】(2)(4)

(14)

【詳解】 ∵ tan 2 3   ﹐又終邊的P點﹐y坐標為4 ∴ 在第三象限 (1) ╳：tan 2 4 3 y x x      x 6 ∴ P的x坐標為6 (2) ○： 2 2 4 6 52 2 13 OP    (3) ╳：cos 6 3 2 13 13 x OP      

(4) ○：sin 2 2sin cos 2 4 6 0

2 13 2 13      _  _  _    (5) ╳：180 360  k  270 360k﹐k 9 0 1 8 0 1 3 5 1 8 0 2 k  k         ﹐k 當k0時﹐ 2  在第二象限﹐cos 0 2  _ 當k1時﹐ 2  在第四象限﹐cos 0 2  _ 【101- 2】在邊長為13的正三角形ABC上各邊分別取一點P﹑Q﹑R﹐使得APQR形成一平行四邊形﹐如下圖所示： A B C P Q R 若平行四邊形APQR的面積為20 3﹐則線段PR的長度為 【解答】7 【詳解】 ∵ APQR為平行四邊形﹐∴ PAR BPQ QRC 60  △PBQ﹑△RQC為正三角形令APx﹐BPAR13x 1 2 APR   平行四邊形APQR面積  1 13  sin 60 1



20 3



2 x  x  2  _x2₁₃_x₄₀₀  _x₈_x ₅ ₀  8 x 或5 ∴ _PR ₈2    ₅2 _{2 8 5 cos60}  ₄₉₇_﹒

(15)

【102-1】莎韻觀測遠方等速率垂直上升的熱氣球。在上午 10：00 熱氣球的仰角為，到上午10：10 仰角變成。請利用下表判斷到上午時，熱氣球的仰角最接近下列哪 一個度數？ (1) (2) (3) (4) (5) 【解答】(3) 【詳解】 如圖所示﹐設水平觀測距離為 x﹐所求角度為﹐ 10:00 的高度為 h﹐10:00 到 10:10 移動 a﹐ 則 10:10 到 10:30 移動 2a﹐ 由題意得tan 30 h x   ﹐tan 34 a h x    0.577 h x   ﹐0.675 a h x    h 0.577x﹐a0.098x﹐ 又tan h 3a 0.577x 3 0.098x 0.871 x x        最接近41﹐故選(3)﹒ 【102-2】設銳角三角形 ABC 的外接圓半徑為 8﹒已知外接圓圓心到 的距離為 2﹐而到 的距離為7﹐則 ____________﹒（化為最簡根式） 【解答】【詳解】

令圓心為 O﹐ OBA ﹐OBC﹐ 則sin 2 1 8 4   ﹐cos 15 4  ﹐sin 7 8   ﹐cos 15 8   ﹐ ∴cosABCcos(  )coscos sinsin

1 5 1 5 1 7 1 4 8 4 8 4     ﹐ 又 2 2 2 8 2 2 60 AB   ﹐ 2 2 2 8 7 2 15 BC   2 2 2 2 cos AC AB BC AB BC ABC        240 60 2 2 60 2 15 1 4       2 240 240 4 15 AC AC      ﹒  30 34 39 40 41 42 43  sin 0.500 0.559 0.629 0.643 0.656 0.669 0.682 cos 0.866 0.829 0.777 0.766 0.755 0.743 0.731 tan 0.577 0.675 0.810 0.839 0.869 0.900 0.933