2020年中考数学压轴题专题08《二次函数的图象性质与应用问题》

专题

08 二次函数的图象性质与应用问题

【典例分析】 【考点1】二次函数的图象与性质 【例_{1】（2019·四川中考真题）二次函数}

y x



2



ax b



的图象如图所示，对称轴为直线

x 

2

，下列结论 不正确的是（ ） A．

a 

4

B．当b   时，顶点的坐标为4

(2, 8)



C．当

x  

1

时，

b  

5

D．当

x 

3

时，y 随 x 的增大而增大 【变式1-1】 （_{2019·重庆中考真题）抛物线}

y

 

3

x

2



6

x



2

的对称轴是（ ） A．直线

x 

2

B．直线

x  

2

C．直线

x 

1

D．直线

x  

1

【变式_{1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线}

y



2

x

2



4

x c



与

x

轴有两个不同的交点_. (1)求

c

的取值范围；

(2)若抛物线

y



2

x

2



4

x c



经过点

A m



2,



和点

B n

 

3,

，试比较

m

与

n

的大小，并说明理由_. 【考点2】抛物线的平移与解析式的确定 【例_{2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线}

y x



2



6

x



5

向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长 度后，得到的抛物线解析式是（ ） A．

y



(

x



4) 6

2



B．

y



( 1) 3

x



2



C．

y



(

x



2) 2

2



D．

y



(

x



4) 2

2



【例_{2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，跨径} 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图_{2 所示，此钢拱(近似看成二次函数的} 图象_{-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB} 的距离为_{78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为}

x

轴建立平 面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为( ) A． 2

26

675

y



x

B． 2

26

675

y

 

x

C． 2

13

1350

y



x

D． 2

13

1350

y

 

x

【变式_{2-1】（2019·西藏中考真题）把函数} 2

1

2

y

 

x

的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数





2

1

₁

₁

2

y

 

x





的图象（ ） A．向左平移

1

个单位，再向下平移

1

个单位 B．向左平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位 C．向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位 D．向右平移

1

个单位，再向下平移

1

个单位 【变式_{2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点}P(2,2)，顶点为 (0, 0)O 将该图象向右平移， 当它再次经过点 P 时，所得抛物线的函数表达式为__． 【变式_{2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线}

y



(

x



5)(

x



3)

经过变换后得到抛物线

(

3)(

5)

y



x



x



_{，则这个变换可以是（ ）}

A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 C．向左平移 8 个单位 D．向右平移 8 个单位 【变式_{2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线}

y

＝( ﹣ ﹣

x

3) 2

2 向左平移_{_______个单位后经过点}

A ，

(2 2)

． 【考点_{3】二次函数的图象与字母系数的关系} 【例_{3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数}

y ax bx c a



2





(



0)

的图象如图所示，现给出下列结论： ①

abc 

0

；②

9

a b c



3

 

0

；③

b

2



4

ac



8

a

；④

5

a b c

  

0

．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函 数图象的顶点始终在直线_{y=-x+1 上；②存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰} 直角三角形；③点_{A(x1,y1)与点 B(x2,y2)在函数图象上，若 x1<x2，x1+x2>2m，则 y1<y2；④当-1<x<2 时，} y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m≥2 其中错误结论的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式_{3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线}y ax 2bx c a



0



的对称轴是直线

x 

1

，其部分图象如 图所示，下列说法中：①

abc 

0

；②

a b c

  

0

；③

3

a c

 

0

；④当

- < <

1

x

3

时，

y 

0

，正确的是 _____（填写序号）． 【考点4】二次函数的应用 【例_{4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件 30 元，销售过程中发现月销售量 y（件）} 与销售单价_{x（元）之间的关系如图所示．}

（_{1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式．} （_{2）设这种商品月利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数关系式．} （_{3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？} 【变式_4-1】（_{2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度}

h

_(单位：

m

_{)与小球运动时间}

t

_(单 位： s)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是

40m

；②小球抛出3 秒后，速度 越来越快；③小球抛出3 秒时速度为 0；④小球的高度

h



30

m

时，

t



1.5

s

．其中正确的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【变式_4-3】（_{2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C＝120°．若} 新建墙BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ） A．18m2 B．

18 3

m2 C．

24 3

m2 D．

45 3

2

_m2 【变式_{4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲} 等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店

A B

,

两种湘莲礼盒一个月的销售情况，_{A 种湘莲礼盒进价} 72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的 销售总额为_{2800 元，平均每天的总利润为 1280 元．} （_{1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？} （_{2）小亮调査发现，}

A

种湘莲礼盒售价每降_{3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当}

A

种

湘莲礼盒降价多少元_{/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？} 【达标训练】 1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线

y ax bx c



2





的对称轴为直线

x 

1

，则下列结论中，错误的是 （ ） A．

ac 

0

B．b24ac0 C．

2

a b

 

0

D．

a b c

  

0

2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数

y ax

＝

2与一次函数

y ax a

＝



在同一坐标系中的大致图象可能是 （ ） A． B． C． D． 3．（2019·浙江中考真题）二次函数

y



( 1) 3

x



2



图象的顶点坐标是（ ） A．

(1,3)

B．

(1, 3)



C．

( 1,3)



D．

( 1, 3)

 

4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线

y



2

x

2向上平移3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到 的抛物线为（ ）_. A．

y



2(

x



2) 3

2



； B．

y



2(

x



2) 3

2



； C．

y



2(

x



2) 3

2



； D．

y



2(

x



2) 3

2



.

E(2,y3)，则 y1、y2、y3 的大小关系是( ).

A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1

6．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数

y ax bx c a



2





(



0)

的图象如图所示，现给出下列结论：①

0

abc 

_；②

9

a b c



3

 

0

_；③

_b

2

_

₄

_ac

_

₈

_a

；④

5

a b c

  

0

．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2019·四川中考真题）二次函数y ax bx c＝ 2  的部分图象如图所示，有以下结论：①

3

a b

﹣ ＝

0

；② 2

₄

₀

b ac

﹣

＞

_；③

5 2

a b c

﹣



＞

0

_；④

₄

b c

_{ ＞}

_{3 0}

_{，其中错误结论的个数是（ ）} A．1 B．2 C．3 D．4 8．（_{2019·广东中考真题）已知}

y ax bx c a



2





(



0)

的图象如图，则

y ax b





和

c

y

x



的图象为（ ） A． B． C． D． 9．（2019·重庆中考真题）抛物线

y

 

3

x

2



6

x



2

的对称轴是（ ） A．直线

x 

2

B．直线

x  

2

C．直线

x 

1

D．直线

x  

1

10．（_{2019·浙江中考真题）已知}

a b

,

是非零实数，

a b



，在同一平面直角坐标系中，二次函数

y ax bx

1



2

＋

与一次函数

y

2

 ＋

ax b

_{的大致图象不可能是（ ）} A． B． C． D． 11．（2019·四川中考真题）如图，二次函数

y ax bx c



2





的图象经过点

A

( )

1,0

，

B

 

5,0

，下列说法正 确的是（ ） A．

c 

0

B．

b

2



4

ac



0

C．

a b c

  

0

D．图象的对称轴是直线

x 

3

12．（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，已知 a¹ b，设函数y=

(

x a x b+

)(

+

)

的图像与x 轴有 M 个交点，函数y=

(

ax+1

)(

bx+1

)

的图像与x 轴有 N 个交点，则（ ） A．M N= - 或1 M N= +1 B．M N= - 或1 M N= +2 C． M N= _或M N= +1 _{D． M N}= _或M N= -1 13．（2019·四川中考真题）已知二次函数

y



(

x a

 

1)(

x a

  

1) 3

a



7

(其中

x

是自变量_{)的图象与}

x

轴 没有公共点，且当

x  

1

时，

y

随

x

的增大而减小，则实数

a

的取值范围是( )

A．

a 

2

B．

a  

1

C．

  

1

a

2

D．

  

1

a

2

14．（_{2019·四川中考真题）已知抛物线}

y x



2



1

与_{y 轴交于点 A，与直线 y kx} （_{k 为任意实数）相交于 B，} C 两点，则下列结论不正确的是（ ） A．存在实数 k，使得



ABC

为等腰三角形 B．存在实数 k，使得



ABC

的内角中有两角分别为30°和 60° C．任意实数 k，使得



ABC

都为直角三角形 D．存在实数 k，使得



ABC

为等边三角形 15．（2019·江苏中考真题）如图是王阿姨晚饭后步行的路程 s(单位：m)与时间 t(单位：min)的函数图象，其 中曲线段_{AB 是以 B 为顶点的抛物线一部分.下列说法不正确的是( )} A．25min~50min，王阿姨步行的路程为 800m B．线段 CD 的函数解析式为

s



32 400 25

t



（

 

t

50

）

C．5min~20min，王阿姨步行速度由慢到快 D．曲线段 AB 的函数解析式为

s

 

（

3

t



20

）

2



1200 5

（

 

t

20

）

16．（2019·湖南中考真题）如图，在直角三角形

ABC

中，

  

C

90 ,

AC BC



，

E

是

AB

的中点，过点

E

作

AC

和

BC

的垂线，垂足分别为点

D

和点

F

，四边形

CDEF

沿着

CA

方向匀速运动，点

C

与点

A

重 合时停止运动，设运动时间为

t

，运动过程中四边形

CDEF

与



ABC

的重叠部分面积为

S

．则

S

关于

t

的 函数图象大致为（ ）

A． B． C． D． 17．（2019·湖北中考真题）如图，若被击打的小球飞行高度

h

（单位：

m

）与飞行时间

t

（单位： s ）之间 具有的关系为

h



20 5

t



t

2，则小球从飞出到落地所用的时间为_____ s ． 18．（2019·黑龙江中考真题）二次函数

y

  

(

x

6) 8

2



的最大值是_{__________．} 19．（_{2019·甘肃中考真题）二次函数}

y ax bx c



2





的图象如图所示，若

M



4

a



2

b

，

N a b

 ﹣

．则

M

、

N

_{的大小关系为}

_M

_{_____}

N

_．(填“



_”、“



_”或“



_”) 20．（2019·四川中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形

OABC

的顶点O 落在坐标原点，点 A、点 C 分别位于_{x 轴，y 轴的正半轴，G 为线段}

OA

上一点，将



OCG

沿 CG 翻折，_{O 点恰好落在对角线}

AC

上 的点_{P 处，反比例函数}

12

y

x



经过点_{B．二次函数}

y ax bx c a



2





(



0)

的图象经过

C

(0,3)

、_{G、A 三} 点，则该二次函数的解析式为_{_______．（填一般式）}

21．（2019·湖北中考真题）二次函数

y

 

2

x

2



4

x



5

的最大值是_{__________．} 22．（2019·浙江中考真题）某函数满足当自变量

x 

1

时，函数值

y 

0

；当自变量

x 

0

时，函数值

y 

1

， 写出一个满足条件的函数表达式_{_____.} 23．（2019·山东中考真题）如图，直线y x 1与抛物线 2

₄

₅

y x





x



_交于

_A

_{， B 两点，点 P 是}

y

_轴上 的一个动点，当



PAB

的周长最小时，

S

PAB



_{_______．} 24．（2019·吉林中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线





2

₂

8

₀

3

y ax





ax



a



与

y

轴交于点

A

， 过点

A

作

x

轴的平行线交抛物线于点

M

． P 为抛物线的顶点．若直线

OP

交直线

AM

于点 B ，且

M

为线 段

AB

的中点，则

a

的值为_____． 25．（2019·湖南中考真题）规定：如果一个四边形有一组对边平行，一组邻边相等，那么称此四边形为广义 菱形．根据规定判断下面四个结论：①正方形和菱形都是广义菱形；②平行四边形是广义菱形；③对角线 互相垂直，且两组邻边分别相等的四边形是广义菱形；④若_{M、N 的坐标分别为}

(0,1),(0, 1),



_{P 是二次函}

数 2

1

4

y



x

的图象上在第一象限内的任意一点，_{PQ 垂直直线}

y  

1

于点_{Q，则四边形 PMNQ 是广义菱形．其} 中正确的是_{_____．（填序号）} 26．（2019·四川中考真题）如图，点 P 是双曲线

C

：

4

y

x



（

x 

0

）上的一点，过点 P 作

x

轴的垂线交直 线

AB

：

1

₂

2

y



x



于点

Q

，连结

OP

， OQ.当点 P 在曲线

C

上运动,且点 P 在

Q

的上方时，△

POQ

面 积的最大值是_{______.} 27．（2019·江苏中考真题）某个函数具有性质：当

x

>0 时，

y

随

x

的增大而增大，这个函数的表达式可以 是_{____（只要写出一个符合题意的答案即可）} 28．（2019·四川中考真题）在某市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实 心球飞行高度y（米）与水平距离 x（米）之间的关系为 2

1

2

5

12

3

3

y

 

x



x



，由此可知该生此次实心球 训练的成绩为_{_______米．} 29．（2019·湖北中考真题）“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为 每条40 元，当售价为每条 80 元时，每月可销售 100 条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市 场调查反映：销售单价每降_{1 元，则每月可多销售 5 条．设每条裤子的售价为}

x

元₍

x

为正整数_{)，每月的销} 售量为

y

条． (1)直接写出

y

与

x

的函数关系式； (2)设该网店每月获得的利润为

w

元，当销售单价降低多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？ (3)该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出 200 元资助贫困学生．为了保证捐款后每月利润不低 于_{4220 元，且让消费者得到最大的实惠，该如何确定休闲裤的销售单价？} 30．（2019·湖北中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线

C y ax

:



2



2 1(

x



a



0)

和直线l:y=kx+b， 点_{A(-3,-3)，B(1,-1)均在直线 l 上．} （_{1）若抛物线 C 与直线 l 有交点，求 a 的取值范围；} （_{2）当 a=-1，二次函数}

y ax



2



2

x



1

的自变量_{x 满足 m≤x≤m+2 时，函数 y 的最大值为-4，求 m 的值；} （3）若抛物线 C 与线段 AB 有两个不同的交点，请直接写出 a 的取值范围． 31．（_{2019·浙江中考真题）有一块形状如图的五边形余料 ABCDE ，}

AB AE





6

，BC  ，5

    

A

B

90

，

135

C

 



_，

  

E

90

_{.要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一边在}

_AE

_{上，并使所截矩形的面积尽} 可能大. （_{1）若所截矩形材料的一条边是}

BC

或

AE

，求矩形材料的面积； （2）能否截出比（1）中面积更大的矩形材料？如果能，求出这些矩形材料面积的最大值，如果不能，请 说明理由_. 32.（2019·浙江中考真题）已知函数

y x bx c



2





（

b

，

c

为常数）的图象经过点





2,4



_. （_1）求

b

，

c

满足的关系式； （2）设该函数图象的顶点坐标是



m n

,



，当

b

的值变化时，求

n

关于

m

的函数解析式； （_{3）若该函数的图象不经过第三象限，当}

  

5

x

1

时，函数的最大值与最小值之差为_16，求

b

的值． 33．（2019·浙江中考真题）如图，已知二次函数

y x



2



ax



3

的图象经过点

P 



2,3



_. （_1）求

a

的值和图象的顶点坐标。 （_2）点

Q m n



,



在该二次函数图象上_. ①当

m 

2

时，求

n

的值； ②若

Q

到

y

轴的距离小于2，请根据图象直接写出

n

的取值范围. 34．（2019·江苏中考真题）超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为 40 元（市场管理部门规定，该种玩具 每件利润不能超过60 元），每天可售出 50 件．根据市场调查发现，销售单价每增加 2 元，每天销售量会减 少_{1 件．设销售单价增加}

x

元，每天售出

y

件． （1）请写出

y

与

x

之间的函数表达式； （2）当

x

为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250 元？ （_{3）设超市每天销售这种玩具可获利}

w

元，当

x

为多少时

w

最大，最大值是多少？

35．（2019·辽宁中考真题）2018 年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019 年我市猪肉售价将逐月上涨，每 千克猪肉的售价_{y1（元）与月份 x（1≤x≤12，且 x 为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克} 猪肉的成本y2（元）与月份 x（1≤x≤12，且 x 为整数）之间满足二次函数关系，且 3 月份每千克猪肉的成 本全年最低，为_{9 元，如图所示．} 月份_{x … 3 4 5 6 …} 售价_{y1/元 … 12 14 16 18 …} （1）求 y1 与 x 之间的函数关系式． （_{2）求 y2 与 x 之间的函数关系式．} （3）设销售每千克猪肉所获得的利润为 w（元），求 w 与 x 之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉 所第获得的利润最大？最大利润是多少元？ 36.（2019·辽宁中考真题）某网店销售一种儿童玩具，进价为每件 30 元，物价部门规定每件儿童玩具的销 售利润不高于进价的

60%

．在销售过程中发现，这种儿童玩具每天的销售量

y

（件

）

与销售单价

x

（元

）

满 足一次函数关系．当销售单价为35 元时，每天的销售量为 350 件；当销售单价为 40 元时，每天的销售量 为_{300 件．} （_1）求

y

与

x

之间的函数关系式． （_{2）当销售单价为多少时，该网店销售这种儿童玩具每天获得的利润最大，最大利润是多少？} 37．（2019·甘肃中考真题）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价 10 元_{/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于 16 元/件，市场调查发现，该} 产品每天的销售量

y

（件

)

与销售价

x

（元_{/件）之间的函数关系如图所示．} （_1）求

y

与

x

之间的函数关系式，并写出自变量

x

的取值范围； （_{2）求每天的销售利润 W（元}

)

与销售价

x

（元_{/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，} 每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 38．（_{2019·辽宁中考真题）小李在景区销售一种旅游纪念品，已知每件进价为 6 元，当销售单价定为 8 元时，} 每天可以销售_{200 件．市场调查反映：销售单价每提高 1 元，日销量将会减少 10 件，物价部门规定：销售}

单价不能超过_{12 元，设该纪念品的销售单价为 x（元），日销量为 y（件），日销售利润为 w（元）．} （_{1）求 y 与 x 的函数关系式．} （2）要使日销售利润为 720 元，销售单价应定为多少元？ （_{3）求日销售利润 w（元）与销售单价 x（元）的函数关系式，当 x 为何值时，日销售利润最大，并求出} 最大利润． 39．（2019·山东中考真题）某商店购进一批成本为每件 30 元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量 y （件）与销售单价 _{x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示.} （1）求该商品每天的销售量 y 与销售单价 x 之间的函数关系式； （_{2）若商店按单价不低于成本价，且不高于 50 元销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获} 得的利润 _{w（元）最大？最大利润是多少？} （_{3）若商店要使销售该商品每天获得的利润不低于 800 元，则每天的销售量最少应为多少件？}

【考点_{1】二次函数的图象与性质} 【例1】（2019·四川中考真题）二次函数

y x



2



ax b



的图象如图所示，对称轴为直线

x 

2

，下列结论 不正确的是（ ） A．

a 

4

B．当b   时，顶点的坐标为4

(2, 8)



C．当

x  

1

时，

b  

5

D．当

x 

3

时，_{y 随 x 的增大而增大} 【答案】_C 【解析】 【分析】 根据对称轴公式 2 b x a  和二次函数的性质，结合选项即可得到答案. 【详解】 解：∵二次函数

y x



2



ax b



∴对称轴为直线

2

2

a

x  

∴

a 

4

，故_{A 选项正确；} 当b   时，4

y x



2



4

x

 

4 (

x



2) 8

2



∴顶点的坐标为

(2, 8)



，故_{B 选项正确；} 当

x  

1

时，由图象知此时

y 

0

即

1 4

  

b

0

∴

b  

5

，故_{C 选项不正确；}

∵对称轴为直线

x 

2

且图象开口向上 ∴当

x 

3

时，_{y 随 x 的增大而增大，故 D 选项正确；} 故选_C． 【点睛】 本题考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数_. 【变式1-1】 （_{2019·重庆中考真题）抛物线}

y

 

3

x

2



6

x



2

的对称轴是（ ） A．直线

x 

2

B．直线

x  

2

C．直线

x 

1

D．直线

x  

1

【答案】C 【解析】 【分析】 将抛物线的一般式配方成为顶点式，可确定顶点坐标及对称轴． 【详解】 解：∵

y

 

3

x

2



6

x

  

2

3(

x



1)

2



5

， ∴抛物线顶点坐标为

(1,5)

，对称轴为

x 

1

． 故选：_C． 【点睛】 本题考查了二次函数的性质．抛物线

y a x h



(



)

2



k

的顶点坐标为（_{h，k），对称轴为 x＝h．} 【变式_{1-2】（2019·浙江中考真题）已知抛物线}

y



2

x

2



4

x c



与

x

轴有两个不同的交点_. (1)求

c

的取值范围； (2)若抛物线

y



2

x

2



4

x c



经过点

A m



2,



和点

B n

 

3,

，试比较

m

与

n

的大小，并说明理由_. 【答案】₍₁₎

c

的取值范围是

c 

2

； ₍₂₎

m n



_{. 理由见解析.} 【解析】 【分析】 （_{1）由二次函数与 x 轴交点情况，可知△＞0；} （_{2）求出抛物线对称轴为直线 x=1，由于 A（2，m）和点 B（3，n）都在对称轴的右侧，即可求解；} 【详解】 (1)

 

2 2

₄

₄

₈

_{16 8}

b



ac

 



c





c

. 由题意，得b24ac0， ∴

16 8



c



0

∴

c

的取值范围是

c 

2

.

(2)

m n



. 理由如下: ∵抛物线的对称轴为直线

x 

1

， 又∵

a  

2 0

， ∴当

x 

1

时，

y

随

x

的增大而增大_. ∵

2 3



，∴

m n



_. 【点睛】 本题考查二次函数图象及性质；熟练掌握二次函数对称轴，函数图象的增减性是解题的关键． 【考点_{2】抛物线的平移与解析式的确定} 【例_{2-1】（2019·山东中考真题）将抛物线}

y x



2



6

x



5

向上平移两个单位长度，再向右平移一个单位长 度后，得到的抛物线解析式是（ ） A．

y



(

x



4) 6

2



B．

y



( 1) 3

x



2



C．

y



(

x



2) 2

2



D．

y



(

x



4) 2

2



【答案】D 【解析】 【分析】 由平移可知，抛物线的开口方向和大小不变，顶点改变，将抛物线化为顶点式，求出顶点，再由平移求出 新的顶点，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】 解：





2 2

₆

₅

₃

₄

y x





x

 

x





，即抛物线的顶点坐标为



3, 4





， 把点



3, 4





向上平移2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度得到点的坐标为



4, 2





， 所以平移后得到的抛物线解析式为





2

4

2

y



x





． 故选：_D． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故_{a 不变，所以求平移后的抛物线} 解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式； 二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 【例_{2-2】（2019·山西中考真题）北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥(如图 1)，它由五个高度不同，跨径} 也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连，最高的钢拱如图_{2 所示，此钢拱(近似看成二次函数的} 图象_{-抛物线)在同一竖直平面内，与拱脚所在的水平面相交于 A，B 两点，拱高为 78 米(即最高点 O 到 AB} 的距离为_{78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，以平行于 AB 的直线为}

x

轴建立平 面直角坐标系，则此抛物线钢拱的函数表达式为_{( )}

A． 2

26

675

y



x

B． 2

26

675

y

 

x

C． 2

13

1350

y



x

D． 2

13

1350

y

 

x

【答案】_B 【解析】 【分析】 设抛物线解析式为_{y=ax2，由已知可得点 B 坐标为(45，-78)，利用待定系数法进行求解即可.} 【详解】 ∵拱高为_{78 米(即最高点 O 到 AB 的距离为 78 米)，跨径为 90 米(即 AB=90 米)，以最高点 O 为坐标原点，} 以平行于_{AB 的直线为}

x

轴建立平面直角坐标系， ∴设抛物线解析式为_{y=ax2，点 B(45，-78)，} ∴_-78=452a， 解得：_a=

26

675



， ∴此抛物线钢拱的函数表达式为 2

26

675

y

 

x

， 故选_B. 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解本题的关键_. 【变式_{2-1】（2019·西藏中考真题）把函数} 2

1

2

y

 

x

的图象，经过怎样的平移变换以后，可以得到函数





2

1

₁

₁

2

y

 

x





的图象（ ） A．向左平移

1

个单位，再向下平移

1

个单位 B．向左平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位 C．向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位 D．向右平移

1

个单位，再向下平移

1

个单位 【答案】_C

【解析】 【分析】 根据抛物线顶点的变换规律作出正确的选项． 【详解】 抛物线 2

1

2

y

 

x

的顶点坐标是

（ ，）

0 0

，抛物线线





2

1

₁

₁

2

y

 

x





的顶点坐标是

（ ，）

11

， 所以将顶点

（ ，）

0 0

向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位得到顶点

（ ，）

11

， 即将函数 2

1

2

y

 

x

的图象向右平移

1

个单位，再向上平移

1

个单位得到函数





2

1

₁

₁

2

y

 

x





的图象． 故选：C． 【点睛】 主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【变式_{2-2】（2019·江苏中考真题）已知二次函数的图象经过点}P(2,2)，顶点为 (0, 0)O 将该图象向右平移， 当它再次经过点 P 时，所得抛物线的函数表达式为__． 【答案】 2

1 ( 4)

2

y



x



． 【解析】 【分析】 设原来的抛物线解析式为：

y ax



2．利用待定系数法确定函数关系式；然后利用平移规律得到平移后的解 析式，将点 P 的坐标代入即可． 【详解】 设原来的抛物线解析式为：

y ax



2

(

a 

0)

， 把P(2,2)代入，得

2 4a



， 解得

1

2

a 

， 故原来的抛物线解析式是： 2

1

2

y



x

， 设平移后的抛物线解析式为： 2

1 ( )

2

y



x b



， 把P(2,2)代入，得 2

1

2

(2

)

2

b





， 解得

b 

0

(舍去)或

b 

4

，

所以平移后抛物线的解析式是： 2

1 ( 4)

2

y



x



， 故答案是： 2

1 ( 4)

2

y



x



． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．利用待定系数法 确定原来函数关系式是解题的关键． 【变式_{2-3】（2019·浙江中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线}

y



(

x



5)(

x



3)

经过变换后得到抛物线

(

3)(

5)

y



x



x



_{，则这个变换可以是（ ）} A．向左平移 2 个单位 B．向右平移 2 个单位 C．向左平移 8 个单位 D．向右平移 8 个单位 【答案】_B 【解析】 【分析】 根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【详解】 y=（x+5）（x-3）=（x+1）2-16，顶点坐标是（-1，-16）． y=（x+3）（x-5）=（x-1）2-16，顶点坐标是（1，-16）． 所以将抛物线y=（x+5）（x-3）向右平移 2 个单位长度得到抛物线 y=（x+3）（x-5）， 故选_B． 【点睛】 此题主要考查了次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【变式2-4】（2019·四川中考真题）将抛物线

y

＝( ﹣ ﹣

x

3) 2

2 向左平移_______个单位后经过点

A ，

(2 2)

． 【答案】₃ 【解析】 【分析】 直接利用二次函数的平移规律结合二次函数图象上点的性质进而得出答案． 【详解】 解：∵将抛物线

y

＝（ ﹣）﹣

x

3 2

2 向左平移后经过点

A（ ，）

2 2

， ∴设平移后解析式为：

y

＝（ ﹣

x

3



a

）﹣

2

2

， 则

2

＝（ ﹣

2 3



a

）﹣

2

2

， 解得：

a＝

3

或

a＝﹣

1

（不合题意舍去）， 故将抛物线

y

＝（ ﹣）﹣

x

3 2

2 向左平移3 个单位后经过点

A（ ，）

2 2

． 故答案为：_3．

【点睛】 考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 【考点3】二次函数的图象与字母系数的关系 【例_{3】（2019·辽宁中考真题）已知二次函数}

y ax bx c a



2





(



0)

的图象如图所示，现给出下列结论： ①

abc 

0

；②

9

a b c



3

 

0

；③

b

2



4

ac



8

a

；④

5

a b c

  

0

．其中正确结论的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】_C 【解析】 【分析】 根据图象可直接判断_{a、c 的符号，再结合对称轴的位置可判断 b 的符号，进而可判断①；} 抛物线的图象过点（_{3，0），代入抛物线的解析式可判断②；} 根据抛物线顶点的位置可知：顶点的纵坐标小于－_{2，整理后可判断③；} 根据图象可知顶点的横坐标大于_{1，整理后再结合③的结论即可判断④.} 【详解】 解：①由图象可知：

a 

0

，

c 

0

，由于对称轴

2

0

b

a





，∴b  ，∴0

abc 

0

，故①正确； ②∵抛物线过

(3,0)

，∴

x 

3

时，

y



9

a



3

b c

 

0

，故②正确； ③ 顶 点 坐 标 为 ： 2

4

,

2

4

b

ac b

a

a

















_{.由图象可知：} 2

4

₂

4

ac b

a



 

， ∵

a 

0

， ∴

4

ac b



2

 

8

a

， 即 2

₄

₈

b



ac



a

_{，故③错误；} ④由图象可知：

2

1

b

a





，

a 

0

，∴

2

a b

 

0

， ∵

9

a b c



3

 

0

，∴

c

 

9

a



3

b

， ∴

5

a b c

  

5

a b

 

9

a



3

b

 

4

a



2

b

 

2(2

a b



) 0



，故④正确； 故选：_C． 【点睛】 本题考查了抛物线的图象与性质和抛物线的图象与其系数的关系，熟练掌握抛物线的图象与性质、灵活运 用数形结合的思想方法是解题的关键_.

【变式_{3-1】（2019·浙江中考真题）小飞研究二次函数 y=-(x-m)2-m+1(m 为常数)性质时如下结论：①这个函} 数图象的顶点始终在直线_{y=-x+1 上；②存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰} 直角三角形；③点_{A(x1,y1)与点 B(x2,y2)在函数图象上，若 x1<x2，x1+x2>2m，则 y1<y2；④当-1<x<2 时，} y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围为 m≥2 其中错误结论的序号是（ ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】_C 【解析】 【分析】 把顶点坐标代入_{y=-x+1 即可判断①；根据勾股定理即可判断②；根据在对称轴的右边 y 随 x 的增大而减小} 可判断③；；根据在对称轴的右边_{y 随 x 的增大而增大可判断④.} 【详解】 把（m，-m+1）代入 y=-x+1，-m+1=-m+1，左=右，故①正确； 当_{-(x-m)2-m+1=0 时，x1= , x2= ,} 若顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形， 则1-m+(1-m)2+1-m+(1-m)2=4(1-m)，即 m2-m=0， ∴_{m=0 或 1 时，∴存在一个 m 的值，使得函数图象的顶点与 轴的两个交点构成等腰直角三角形；故②正} 确； 当_{x1<x2，且 x1、x2 在对称轴右侧时，} ∵-1<0, ∴在对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小，即 y1>y2，故③错误； ∵_{-1<0, ∴在对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，} ∴_{m≥2，故④正确.} 故选_C. 【点睛】 本题考查了二次函数的图像与性质，勾股定理，二次函数与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的图像与性 质是解答本体的关键_{. 对于二次函数 y=a(x-h)2+k （a，b，c 为常数，a≠0），当 a>0 时，抛物线开口向上，} 在对称轴的左侧_{y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而增大；当 a<0 时，抛物线开口向下，} 在对称轴的左侧_{y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧 y 随 x 的增大而减小.其顶点坐标是(h，k)，对称轴} 为直线_x=h. 【变式_{3-2】（2019·广西中考真题）已知抛物线}y ax 2bx c a



0



的对称轴是直线

x 

1

，其部分图象如 图所示，下列说法中：①

abc 

0

；②

a b c

  

0

；③

3

a c

 

0

；④当

- < <

1

x

3

时，

y 

0

，正确的是 _____（填写序号）．

【答案】①③④． 【解析】 【分析】 首先根据二次函数图象开口方向可得a＜ ，根据图象与 y 轴交点可得0

c＞

0

，再根据二次函数的对称轴

b 1

2a

x＝﹣ ＝

，结合_{a 的取值可判定出 b>0，根据 a,b,c 的正负即可判断出①的正误；把}

x＝﹣

1

代入函数关 系式

y ax bx c

＝

2





中得 ＝ ﹣

y a b c



，再根据对称性判断出②的正误；把

b

＝﹣ 代入 ﹣

2

a

a b c



中即可判 断出③的正误；利用图象可以直接看出④的正误． 【详解】 解：根据图象可得：

a

＜ ， ＞

0

c

0

， 对称轴：

x＝﹣ ＝ ，

2a

b 1

2

b

a

 ＝﹣ ，

0

a

 ＜ ，

0

b

 ＞ ，

，

0

abc



＜ ，

_{故①正确；} 把

x＝﹣

1

代入函数关系式

y ax bx c

＝

2





中得： ＝ ﹣

y a b c



，

由抛物线的对称轴是直线

x＝ ，且过点（ ，）

1

3 0

，可得当

x

＝﹣时， ＝ ，

1

y

0

0

a b c



﹣



＝ ，

_{故②错误；}

2

b

a

 ＝﹣ ，

a- -2a +c=0

 （ ）

，

即：

3

a c

 ＝ ，

0

故③正确； 由图形可以直接看出④正确． 故答案为①③④．

【点睛】 此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，关键是熟练掌握①二次项系数_{a 决定抛物线的开口方向，当}

0

a＞

时，抛物线向上开口；当a＜ 时，抛物线向下开口；②一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称0 轴的位置：当_{a 与 b 同号时（即}

ab＜

0

），对称轴在_{y 轴左侧； 当 a 与 b 异号时（即}

ab＜

0

），对称轴在_y 轴右侧．（简称：左同右异）；③常数项_{c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于}

（ ， ）

0 c

． 【考点_{4】二次函数的应用} 【例_{4】（2019·辽宁中考真题）某商场销售一种商品的进价为每件 30 元，销售过程中发现月销售量 y（件）} 与销售单价_{x（元）之间的关系如图所示．} （_{1）根据图象直接写出 y 与 x 之间的函数关系式．} （_{2）设这种商品月利润为 W（元），求 W 与 x 之间的函数关系式．} （3）这种商品的销售单价定为多少元时，月利润最大？最大月利润是多少？ 【答案】（_1）y＝

180(40

60)

3

300(60

90)

x

x

x

x

 

 



 

 



_{；（2）W＝} 2 2

210

5400(40

60)

3

390

9000(60

90)

x

x

x

x

x

x

 



 









 



_{;（3）这种商品} 的销售单价定为_{65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675．} 【解析】 【分析】 （_{1）当 40≤x≤60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b，当 60＜x≤90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式} 为_{y=mx+n，解方程组即可得到结论；} （_{2）当 40≤x≤60 时，当 60＜x≤90 时，根据题意即可得到函数解析式；} （3）当 40≤x≤60 时，W=-x2+210x-5400，得到当 x=60 时，W 最大=-602+210×60-5400=3600，当 60＜x≤90 时，_{W=-3x2+390x-9000，得到当 x=65 时，W 最大=-3×652+390×65-9000=3675，于是得到结论．} 【详解】 解：（_{1）当 40≤x≤60 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝kx+b，} 将（40，140），（60，120）代入得

40

140

60

120

k b

k b

 





_{ }



_， 解得：

1

180

k

b

 



 



_， ∴y 与 x 之间的函数关系式为 y＝﹣x+180； 当_{60＜x≤90 时，设 y 与 x 之间的函数关系式为 y＝mx+n，}

将（_{90，30），（60，120）代入得}

90

30

60

120

m n

m n

 





_{ }



_， 解得：

3

300

m

n

 



 



_， ∴_{y＝﹣3x+300；} 综上所述，_y＝

180(40

60)

3

300(60

90)

x

x

x

x

 

 



 

 



_； （_{2）当 40≤x≤60 时，W＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣x+180）＝﹣x2+210x﹣5400，} 当_{60＜x≤90 时，W＝（x﹣30）（﹣3x+300）＝﹣3x2+390x﹣9000，} 综上所述，W＝ 2 2

210

5400(40

60)

3

390

9000(60

90)

x

x

x

x

x

x

  



 









 



_； （_{3）当 40≤x≤60 时，W＝﹣x2+210x﹣5400，} ∵﹣_{1＜0，对称轴 x＝}

210

2





_＝105， ∴当_{40≤x≤60 时，W 随 x 的增大而增大，} ∴当_{x＝60 时，W 最大＝﹣602+210×60﹣5400＝3600，} 当_{60＜x≤90 时，W＝﹣3x2+390x﹣9000，} ∵﹣_{3＜0，对称轴 x＝}

390

6





＝_65， ∵_{60＜x≤90，} ∴当_{x＝65 时，W 最大＝﹣3×652+390×65﹣9000＝3675，} ∵3675＞3600， ∴当_{x＝65 时，W 最大＝3675，} 答：这种商品的销售单价定为_{65 元时，月利润最大，最大月利润是 3675．} 【点睛】 本题考查了把实际问题转化为二次函数，再利用二次函数的性质进行实际应用．根据题意分情况建立二次 函数的模型是解题的关键． 【变式_4-1】（_{2019·山东中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度}

h

_(单位：

m

_{)与小球运动时间}

t

_(单 位： s_{)之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是}

40m

；②小球抛出_{3 秒后，速度} 越来越快；③小球抛出_{3 秒时速度为 0；④小球的高度}

h



30

m

时，

t



1.5

s

．其中正确的是_{( )}

A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】_D 【解析】 【分析】 根据函数的图象中的信息判断即可． 【详解】 ①由图象知小球在空中达到的最大高度是

40m

；故①错误； ②小球抛出_{3 秒后，速度越来越快；故②正确；} ③小球抛出_{3 秒时达到最高点即速度为 0；故③正确；} ④设函数解析式为：





2

3

40

h a t







， 把

O

 

0,0

代入得





2

0



a

0 3





40

，解得

40

9

a  

， ∴函数解析式为





2

40

₃

₄₀

9

h

 

t





， 把

h 

30

代入解析式得，





2

40

30

3

40

9

t

 





， 解得：

t 

4.5

或

t 

1.5

， ∴小球的高度

h



30

m

时，

t



1.5

s

或

4.5s

，故④错误； 故选D． 【点睛】 本题考查了二次函数的应用，解此题的关键是正确的理解题意 【变式_4-3】（_{2019·江苏中考真题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场 ABCD，其中∠C＝120°．若} 新建墙_{BC 与 CD 总长为 12m，则该梯形储料场 ABCD 的最大面积是（ ）} A．18m2 B．

18 3

m2 C．

24 3

m2 D．

45 3

2

_m2

【答案】_C 【解析】 【分析】

过点_{C 作 CE⊥AB 于 E，则四边形 ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°，则}

∠_{BCE=∠BCD-∠DCE=30° ， BC=12-x ， 由 直 角 三 角 形 的 ， 性 质 得 出}

1

1

BE

BC 6

x

2

2



 

得 出

3

1

1

AD CE

3BE 6 3

x,AB AE BE x 6

x

x 6

2

2

2













  





， 又 梯 形 面 积 公 式 求 出 梯 形 ABCD 的面积 S 与 x 之间的函数关系式，根据二次函数的性质求解. 【详解】 解：如图，过点C 作 CE⊥AB 于 E，

则四边形_{ADCE 为矩形，CD=AE=x，∠DCE=∠CEB=90°， 则∠BCE=∠BCD-∠DCE=30°，BC=12-x，} 在_{Rt△CBE 中，∵∠CEB=90°，}

1

1

BE

BC 6

x

2

2





 

3

1

1

AD CE

3BE 6 3

x,AB AE BE x 6

x

x 6

2

2

2















  





∴ 梯 形 ABCD 面 积 2

1

1

1

3

3 3

3 3

S

(CD AB) CE

x

x 6

6 3

x

x

3 3x 18 3

2

2

2

2

8

88

















_





_



_



_

 





 



_{ }

_

2

(

x 

4) 24 3



∴当_{x=4 时，S 最大=24}

3

． 即_{CD 长为 4 m 时，使梯形储料场 ABCD 的面积最大为 24}

3

_m2； 故选C． 【点睛】 此题考查了梯性质、矩形的性质、含_{30°角的直角三角形的性质、勾股定理、二次函数的运用,利用梯形的面} 积建立二次函数是解题的关键 【变式_{4-3】（2019·湖南中考真题）某政府工作报告中强调，2019 年着重推进乡村振兴战略，做优做响湘莲} 等特色农产品品牌．小亮调查了一家湘潭特产店

A B

,

两种湘莲礼盒一个月的销售情况，_{A 种湘莲礼盒进价}

72 元/盒，售价 120 元/盒，B 种湘莲礼盒进价 40 元/盒，售价 80 元/盒，这两种湘莲礼盒这个月平均每天的 销售总额为_{2800 元，平均每天的总利润为 1280 元．} （1）求该店平均每天销售这两种湘莲礼盒各多少盒？ （2）小亮调査发现，

A

种湘莲礼盒售价每降3 元可多卖 1 盒．若 B 种湘莲礼盒的售价和销量不变，当

A

种 湘莲礼盒降价多少元_{/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是多少元？} 【答案】（_{1）该店平均每天销售}

A

礼盒_{10 盒， B 种礼盒为 20 盒；（2）当}

A

种湘莲礼盒降价_{9 元/盒时，这} 两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是_{1307 元．} 【解析】 【分析】 （_{1）根据题意，可设平均每天销售}

A

礼盒

x

盒， B 种礼盒为

y

盒，列二元一次方程组即可解题 （2）根据题意，可设

A

种礼盒降价

m

元/盒，则

A

种礼盒的销售量为：（

10

3

m



）盒，再列出关系式即可． 【详解】 解：（_{1）根据题意，可设平均每天销售}

A

礼盒

x

盒， B 种礼盒为

y

盒， 则有

(120 72)

(80 40)

1280

120

80

2800

x

y

x

y













_

_



_，解得

10

20

x

y





 



故该店平均每天销售

A

礼盒_{10 盒， B 种礼盒为 20 盒．} （_{2）设 A 种湘莲礼盒降价}

m

元_{/盒，利润为}

W

元，依题意 总利润

(120

72) 10

800

3

m

W



 

m



_





_







化简得 2 2

1

₆

₁₂₈₀

1

₍

_{9) 1307}

3

3

W

 

m



m



 

m





∵

a   

1 0

3

∴当

m 

9

时，取得最大值为_1307， 故当

A

种湘莲礼盒降价_{9 元/盒时，这两种湘莲礼盒平均每天的总利润最大，最大是 1307 元．} 【点睛】 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首 先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案． 【达标训练】 1．（2019·广西中考真题）如图，抛物线

y ax bx c



2





的对称轴为直线

x 

1

，则下列结论中，错误的是

（ ） A．

ac 

0

B．b24ac0 C．

2

a b

 

0

D．

a b c

  

0

【答案】_C 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断_{a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，然后根据对称轴及抛物} 线与_{x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．} 【详解】 A、由抛物线的开口向下知a  ，与0

y

轴的交点在

y

轴的正半轴上，可得

c 

0

，因此

ac 

0

，故本选项正 确，不符合题意； B、由抛物线与

x

轴有两个交点，可得b24ac0，故本选项正确，不符合题意； C、由对称轴为

2

1

b

x

a

 



，得

2a

 

b

，即

2

a b

 

0

，故本选项错误，符合题意； D、由对称轴为

x 

1

及抛物线过

(3,0)

，可得抛物线与

x

轴的另外一个交点是

( 1,0)



，所以

a b c

  

0

， 故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】 本题考查了二次函数图象与系数的关系．会利用对称轴的范围求_{2a 与 b 的关系，以及二次函数与方程之间} 的转换，根的判别式的熟练运用． 2．（2019·内蒙古中考真题）二次函数

y ax

＝

2与一次函数

y ax a

＝



在同一坐标系中的大致图象可能是 （ ） A． B．

C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由一次函数_{y=ax+a 可知，一次函数的图象与 x 轴交于点（-1，0），即可排除 A、B，然后根据二次函数的} 开口方向，与_{y 轴的交点；一次函数经过的象限，与 y 轴的交点可得相关图象进行判断．} 【详解】 解：由一次函数

y ax a

＝



可知，一次函数的图象与

x

轴交于点

（ ，）



1 0

，排除

A B

、

；当

a 0

＞

时，二次函 数开口向上，一次函数经过一、三、四 象限，当

a 0

＜

时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四 象限，排除

C

； 故选

D

． 【点睛】 本题主要考查一次函数和二次函数的图象，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系 数之间的关系． 3．（2019·浙江中考真题）二次函数

y



( 1) 3

x



2



图象的顶点坐标是（ ） A．

(1,3)

B．

(1, 3)



C．

( 1,3)



D．

( 1, 3)

 

【答案】_A 【解析】 【分析】 根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标_. 【详解】 ∵

y



( 1) 3

x



2



， ∴二次函数图像顶点坐标为：

(1,3)

_. 故答案为：A. 【点睛】 本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在_{y=a（x-h）2+k 中，对称轴为} x=h，顶点坐标为（h，k）． 4．（2019·黑龙江中考真题）将抛物线

y



2

x

2向上平移3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，所得到 的抛物线为（ ）_.

A．

y



2(

x



2) 3

2



； _B．

y



2(

x



2) 3

2



； C．

y



2(

x



2) 3

2



； _D．

y



2(

x



2) 3

2



_. 【答案】_B 【解析】 【分析】 根据抛物线图像的平移规律“左加右减，上加下减”即可确定平移后的抛物线解析式. 【详解】 解：将抛物线

y



2

x

2向上平移 3 个单位长度，再向右平移 2 个单位长度，得到的抛物线的解析式为





2

2

2

3

y



x





， 故选：_B． 【点睛】 本题考查了二次函数的平移规律，熟练掌握其平移规律是解题的关键_.

5．（2019·福建中考真题）若二次函数 y=|a|x2+bx+c 的图象经过 A(m,n)、B(0,y1)、C(3－m,n)、D(

2

, y2)、 E(2,y3)，则 y1、y2、y3 的大小关系是( ).

A．y1< y2< y3 B．y1 < y3< y2 C．y3< y2< y1 D．y2< y3< y1 【答案】_D 【解析】 【分析】 由点_{A（m，n）、C（3−m，n）的对称性，可求函数的对称轴为 x＝}

3

2

，再由_{B（0，y1）、D（}

2

，_y2）、 E（2，y3）与对称轴的距离，即可判断 y2< y3< y1；

【详解】 解答：解：∵经过_{A（m，n）、C（3−m，n），} ∴二次函数的对称轴x＝

3

2

_， ∵B（0，y1）、D（

2

，y2）、E（2，y3）与对称轴的距离 B 最远，D 最近， ∵_|a|＞0，

∴_{y2< y3< y1；} 故选：_D． 【点睛】 本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握函数图象上点的特征是解题的关键． 6．（2019·辽宁中考真题）已知二次函数

y ax bx c a



2





(



0)

的图象如图所示，现给出下列结论：①

0

abc 

_；②

9

a b c



3

 

0

_；③

_b

2

_

₄

_ac

_

₈

_a

；④

5

a b c

  

0

．其中正确结论的个数是（ ）