第一次期中考數學

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師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考自然組數學試題

範圍：龍騰版選修二 1-1~2-2

壹、單選題（每題 5 分，共 10 分）

1.函數

f x

( )



15



2

x



x

2

的值域為下列何者？



(1)

x x

  或

5

x3,xR



(2)



x

  

5

x

3,

x



R



(3)



x x



4,

x



R



(4)



x

0

 

x

4,

x



R







(5)

x x



0

或

x



4,

x



R

2.設 a 為實數，若函數

f x

( )



ax

3



6

x

2



3(

a



3)

x

 在整個實數線上皆為遞增函數，則 a 值的範圍為

6

何？

(1) 1

   (2)

a

4

a

  或

1

a

 (3) 1

4

   (4)

a

4

a

  或

1

a

 (5)

4

a



4

貳、多重選擇題（每題 7 分，共 21 分，每錯一個扣兩分，扣完 7 分為止）

1.若函數

f(x)

滿足

4

1

)

(

lim

1







_x

x

f

x

，則下列選項哪些是正確的？

7

)

1

2

1

)

(

lim(

)

1

(

1











x

x

x

x

f

x

1

(2) lim ( )

4

x

f x



(3) lim

x1

xf x

( )



0

1 2

( )

(4) lim

4

(

1)

x

f x

x







0

)

(

lim

)

5

(

0





xf

x

x

2.設 ( )

f x 的導函數

f x 的圖形為如右圖所示的拋物線，則下列敘述正確的有哪些？

'( )

(1) (2)

f

是

f(x)

的極小值

(2)對任意

1

 

x

2

，

f x

( )



0

(3) (19)

f



f

(21)

(4)

f x 圖形反曲點為

( )

( , ( ))

3

3

2

f

2

(19)

(21)

(5)

(20)

2

f

f

f



_

3.下列哪些函數在

x



0

處可微分？

(1) ( )

f x



x

(2) ( )

f x



x

(3) ( )

f x



x x

(4) ( )

f x

 

x

1

2

,

0

(5) ( )

0

,

0

x

x

f x

_x

x







 



_



第 2 頁

参、填充題（第一題每格 3 分，其餘每題 7 分，共 51 分）

1.求下列各極限值，若極限不存在，請寫「不存在」

(1)

₃ 0

lim

x

x

x

x

x









(2)

2 0

2

3

2

lim

x

x

x

x











(3)

₂ 0

3

5

6

lim(

)

2

x

x

x

x

x

x





_



_



2. 設函數

f x

( )



(

x



1) (2

10

x



5)

30

，則 '(2)

f

＝

3.設

f x

 



x

4



8

x

2



1

，

且 3

  

x

3

，

若

f x 的最大值為 M ，最小值為 m ，則數對 (

 

M m ＝

, )

4.設函數

f x

( )



3

x

4



5

x

2



40

x

 ，則

1

0

(2

3 )

(2)

lim

2

k

f

k

f

k







_

5.若對任意實數 x ，

f x

( )



x

4



6

x

2



8

x

 恆為正數，則 a 值的範圍為

a

6.若三次函數

f(x)

在

x

 時有極值 4

1

 ，且

0

( )

lim

2

x

f x

x



  ，則 ( )

f x ＝

7.若三次函數

f(x)

的反曲點為 (0,3) ，且

f(x)

的圖形在

x

 處的切線為

1

y



3

x

 ，則

7

f(x)

=

肆、計算題（每題 9 分，共 18 分）

1.設函數

f x

( )



ax

3



bx

2



(

a

2



2

a



12)

x

，在

x1

有極小值，在

x2

時有極大值，求 ,

a b 之值

2.求過

P(1, 2)

而與曲線

f x

( )



x

3



3

x

 相切的直線方程式

5

第 3 頁

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考自然組數學答案卷

班級： 座號： 姓名：

壹、單選題（每題 5 分，共 10 分）

1

2

貳、多重選擇題（每題 7 分，共 21 分，每錯一個扣兩分，扣完 7 分為止）

1

2

3

参、填充題（第一題每格 3 分，其餘每題 7 分，共 51 分）

1

(1)

(2)

(3)

2.

3.

4.

5.

6.

7.

肆、計算題（每題 9 分，共 18 分）

1.

2.

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師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考自然組數學參考答案

壹、單選題（每題 5 分，共 10 分）

1 4

2 5

貳、多重選擇題（每題 7 分，共 21 分，每錯一個扣兩分，扣完 7 分為止）

1 13 2 1345

3

1345

参、填充題（第一題每格 3 分，其餘每題 7 分，共 51 分）

1

(1)

不存在

1

(2)

3 1

(3)

5 2. 50



3.

(10, 15)



4.

54 5.

a



24

6.

3 2

6

x



8

x



2

x

7.



2

x

3



9

x



3

肆、計算題（每題 9 分，共 18 分）

1.

a

 

6,

b

 

9

2.

3

x

  和 15

y

5

x



4

y



7

國立臺灣師大附中 98 學年第二學期第一次期中考 社會組 數學試題 班 號 姓名

一. 是非題：

（每題 2 分，共 20 分）設 A、B 都是二階方陣，O 為二階零方陣，I 為二階單位方陣；下列各敘述若正確

請答「○」，否則請答「×」。

1. AB＝BA 恆成立。 2. (A＋B)2 ＝A2

＋2AB＋B2

恆成立。 3. 若 AB＝BA，則(A－B)2＝A2－2AB＋B2。 4. (A+I)(A-I)＝A2－I2恆成立。 5. A2

＝O 為 A＝O 的充分且必要條件。 6. 若 A2

＝I，則 A＝I 或 A＝－I。 7. 若 AB＝O，則 A＝O 或 B＝O。 8. 若 B＝C，則 AB＝AC。

9. 若 AB＝O，則 B A＝O。 10. 若 A＝I 或 A＝O，則 A2

＝A。

二.多選題：

（每題 10 分，共 30 分）每題對一選項得 2 分，錯一選項倒扣 2 分，未答不倒扣；倒扣限於本大題為止。 1. 矩陣 A＝ ，B＝ ，選出正確的選項：1. A 有 3 行 2 列 ； 2. A 是 3×2 階矩陣 ； 3. A 的 第(2，1)元是 3； 4. A＋B＝ ； 5. 矩陣 A 的所有元的和為 7。 2. 已知 ＝ ，則下列哪些正確？ 1. a＝2； 2. b＝2； 3. c＝2； 4. d＝ ； 5. a+b＝c+d。 3. 下列哪些增廣矩陣所表示的一次方程組恰有一組解？ 1. 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 2. 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 3. 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1 3 4. 1 2 3 4 0 2 4 6 0 0 0 7 5. 1 1 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 。

三.填充題：

（每題 8 分，共 40 分） 1.

已知矩陣 A=

3×₂

，其中

＝2i+j

2

，則 A 的轉置矩陣 A

T

＝ 。

2. 設

3×₃

＝

，則

＝ 。

3. 已知 A=

，I

2

＝

，則 A

2

＋2A－3I

2

＝ 。

4. 某人遊走於甲、乙、丙三城鎮；已知此人夜宿於某鎮時，第二天留宿該鎮的機率為 ，而改往其他

二鎮的機率均為 。假設此人 4 月 1 日夜宿於乙鎮，則 4 月 4 日那天他夜宿甲鎮的機率＝ 。

5. 求聯立方程組

的解＝ 。

四.計算題：求方程組

的解（x,y,z）＝？

（10 分）

國立臺灣師大附中 98 學年第二學期第一次期中考 社會組 數學試題

解答

一.是非題：

（每題 2 分，共 20 分）設 A、B 都是二階方陣，O 為二階零方陣，I 為二階單位方陣；下列各敘述若正確 請答「○」，否則請答「×」。

× 1. AB＝BA 恆成立。 × 2. (A＋B)2 ＝A2

＋2AB＋B2

恆成立。 ○ 3. 若 AB＝BA，則(A－B)2＝A2－2AB＋B2。 ○ 4. (A+I)(A-I)＝A2－I2恆成立。 × 5. A2

＝O 為 A＝O 的充分且必要條件。 × 6. 若 A2

＝I，則 A＝I 或 A＝－I。 × 7. 若 AB＝O，則 A＝O 或 B＝O。 ○ 8. 若 B＝C，則 AB＝AC。

× 9. 若 AB＝O，則 B A＝O。 ○ 10. 若 A＝I 或 A＝O，則 A2

＝A。

二.多選題：

（每題 10 分，共 30 分）每題對一選項得 2 分，錯一選項倒扣 2 分，未答不倒扣；倒扣限於本大題為止。 1、5 1. 矩陣 A＝ ，B＝ ，選出正確的選項： 1. A 有 3 行 2 列 ； 2. A 是 3×2 階矩陣 ； 3. A 的 第(2，1)元是 3； 4. A＋B＝ ； 5. 矩陣 A 的所有元的和為 7。 2、3、4 2. 已知 ＝ ，則下列哪些正確？ 1. a＝2； 2. b＝2； 3. c＝2； 4. d＝ ； 5. a+b＝c+d。 1、2、3 3. 下列哪些增廣矩陣所表示的一次方程組恰有一組解？ 1. 1 0 0 1 0 0 1 2 0 1 0 3 2. 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 3. 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 1 3 4. 1 2 3 4 0 2 4 6 0 0 0 7 5. 1 1 1 1 1 2 3 4 2 2 2 2 。

三.填充題：

（每題 8 分，共 40 分） 1.

已知矩陣 A=

3×2

，其中

＝2i+j

2

，則 A 的轉置矩陣 A

T

＝

。

2. 設

3×₃

＝

，則

＝

12

。

3. 已知 A=

，I

2

＝

，則 A

2

＋2A－3I

2

＝

。

4. 某人遊走於甲、乙、丙三城鎮；已知此人夜宿於某鎮時，第二天留宿該鎮的機率為 ，而改往其他

二鎮的機率均為 。假設此人 4 月 1 日夜宿於乙鎮，則 4 月 4 日那天他夜宿甲鎮的機率＝

。

5. 求聯立方程組

的解＝

無解

。

四.計算題：求方程組

的解（x,y,z）＝？

（10 分）

答：（3，2，1）

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考高三音樂班數學科試題

1

一、是非題：（每題 3 分，共 30 分）

設 , ,A B C 為二階方陣，I 為二階單位矩陣，O為二階零矩陣，試判別下列各題的對錯： 1. ________ A2B2 (AB A B)(  )恆成立 2. ________ (A I )n C I₀n C A C A₁n  ₂n 2 ... C A_nn n恆成立 3. ________ (AB C) A BC( )恆成立 4. ________ 若ABO，則BAO 5. ________ 若A3 且 A IA  , I ，則AO 6. ________ 若BACA且AO，則BC 7. ________ 若ABBA，則 A I 或 B I 8. ________ 若A , B ,C均為轉移矩陣，則A B C亦為轉移矩陣 9. ________ 若 A , B ,C均為轉移矩陣，則ABC亦為轉移矩陣 10. ________ 若 I 為某個方程組的係數矩陣，則此方程組必定恰有 1 解

二、多重選擇題：

（每題 5 分，共 10 分）

1. 設a ,,b c為實數，下列有關線性方程組 2 1 3 4 1 2 10 7 x y az x y bz x y z c            _{  }  的敘述哪些是正確的？ (A) 若此線性方程組恰有一組解，則11a3b7 (B) 若此線性方程組有無限多解，則11a3b7 (C) 若此線性方程組有無限多解，則c14 (D) 若11a3b7，則此線性方程組無解 (E) 若c14，則此線性方程組無解 2. 下列各選項中的行列式, 哪些與行列式 3 2 1 3 2 1 3 2 1 c c c b b b a a a 相等？ (A) 3 2 1 3 2 1 3 2 1 b b b c c c a a a (B) 3 3 3 2 2 2 1 1 1 c b a c b a c b a (C) 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 c c c c b c b c b a a a    (D) 3 2 1 3 3 2 2 1 1 3 2 1 c c c c b c b c b a a a    (E) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 c c c b b b a a a .

三、填充題：（每格 5 分，共 50 分）

1. 設 _        1 3 2 4 A ， _        7 5 6 0 B ，若矩陣 X 、Y 滿足X  2Y  A且4X Y  B，則Y  。

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考高三音樂班數學科試題

2 2. 設 _{4 8} 4 8 ij A_ a       ，定義a_ij  2i 3j，則矩陣 A 中所有元的總和為__________。 3. 若A[a_ij]_{3 3} 且a_ij { 2 , 0 , 2 , 7 }， t A 為 A 的轉置矩陣，試問： (1) 使At  的 A 有__________個。 (2) 使A At   的 A 有__________個。 A 4. 設                 6 2 13 4 3 10 5 2 6 A ，               2 5 3 4 1 3 1 6 2 B ，若矩陣C AB[ ]c_ij ，試求矩陣 C 中的c 元 = __________。 ₂₃ 5. 矩陣              4 6 4 2 8 4 3 5 2 3 2 1 經列運算化簡之後變為            0 0 0 0 2 0 22 1 0 c b a ，則 a + b + c  。 6. 解方程式： 3 2 2 1 4 1 0 2 4 1 x x x        ，得x 。 7. 計算行列式 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 6 3 8 5 2 7 4 1 之值為__________。 8. 已知 \ ___ a , \ ___ b , \ ___ c 三個向量所張平行六面體的體積為 2，則 \ ___ \ ___ \ ___ 2 3 b c a   , \ ___ \ ___ 5 4 b  c , \ ___ c 三向量所張平 行六面體的體積為 。 9. 若[a b c M] [1 4 9]，[p q r M] [3 7 2]，[x y z M] [4 8 3]，求 2 2 2 a p b p c r p x q y r z M a p x b q y c r z       _{  }  _             __________。

四、計算題：（配分如下，共 10 分）

1. 某地區有甲、乙、丙三家報社，據調查顯示： 甲報社每年保留 70%的顧客，而轉向乙報社與丙報社訂購的顧客，分別占 10%與 20%； 乙報社則每年保留 80%的顧客，而轉向甲報社與丙報社訂購的顧客分別占 10%與 10%； 丙報社每年保留 80%的顧客，而轉向甲報社與乙報社的顧客分別占 10%與 10%； 若目前甲、乙、丙三報社的市場占有率分別為 30%, 30%, 40%，且顧客總人數不變。 (1)寫出轉移矩陣。 (2 分) (2)試求二年後丙報的市場占有率。 (4 分) (3)已知最後報社供應市場會趨於穩定，試問其穩定狀態時，甲家報社的市場占有率。 (4 分)

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考高三音樂班數學科答案卷

班級：________ 座號： 姓名：

一、是非題：（每題 3 分，共 30 分）

1. 2. 3. 4. 5.

6. 7. 8. 9. 10.

二、多重選擇題：

（每題 5 分，共 10 分）

1. 2.

三、填充題：（每格 5 分，共 50 分）

1. 2.

3.(1)

3.(2) 4. 5.

6. 7. 8.

9.

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考高三音樂班數學科答案卷

四、計算題：（共 10 分）

師大附中 98 學年度第二學期第一次期中考高三音樂班數學科答案卷

班級：________ 座號： 姓名：

一、是非題：（每題 3 分，共 30 分）

1. 2. 3. 4. 5.

╳

○

○

╳

╳

6. 7. 8. 9. 10.

╳

╳

╳

○

○

二、多重選擇題：

（每題 5 分，共 10 分）

1. 2.

ABC

BC

三、填充題：（每格 5 分，共 50 分）

1. 2.

3.(1)

             9 11 9 17 9 2 9 16

592 258048

3.(2) 4. 5.

8

6 7

6. 7. 8.

1 或 2 或 3

216

8

9.

4 11 11 2 6 1 8 19 14          

四、計算題：（共 10 分）

1. (1) 2 分 (2) 4 分 (3) 4 分

答：(1)           8 . 0 1 . 0 2 . 0 1 . 0 8 . 0 1 . 0 1 . 0 1 . 0 7 . 0 (2) 41.5% (3) 25%