數學家如何提出可行的猜想

數　理　人　文 8 性提高，或至少值得我們往下猜想，繼續鑽研。我 們使用各式各樣的經驗法則與半具系統性的啟發法 （heuristics）2，而一旦成功了，我們就可以見著 真理。 依此模式，我們對腦海中任一浮現的概念或表 述，不斷檢驗其可行性。這是一個三階段的活動： 1. 透過一個或多或少可激發信心的啟發法網絡， 發展出可能性、假說或期望，並且同時 2. 檢驗它們的可行性，並且同時 3. 把它們「賣空」─在此我借用一個名聲很壞 的金融辭彙做比喻，意思是想辦法證明它不成立。 我們努力去理解數學、乃至任何事物的新概念 時，以上三者構成了我們腦海中內在對位樂曲的三 聲部─至少對我而言是如此，但是我想對許多人 亦然。 在實際著手證明之前，我們如何能對一個猜想有 信心呢？有別於波利亞著作的主旨，我們在此避免 指導式或禁制式的規則，也就是說，先不採取教導 的姿態，指示該做哪些，不可以做哪些。我的目標 是以內省式的描述，呈現當我們試圖判斷數學猜想 能否成立時，自然而然會出現的思考方式（至少對 我是自然而然的）。不 同數學家必然會有不同 的描述，這些差異是值 得談論的。不僅如此， 數學可行性的心理學導 向的研究，類似像特沃 斯基（Amos Tversky） ▲ 做數學要形成猜想，經常需要先採取可行性思考與啟發性 方法釐清問題的樣貌，才能著手證明。 ▲ 可行性推論三種模式：從結果推理、從隨機性推理、從類 比推理。 ▲ 作者以歐拉尚未證明的猜想與其他的例子，說明其中所牽 涉到的可行性思考。 我們數學家有許多便捷的方式來發現何者可能為 真，而且我們有各種程度的證據模式來幫助形成這 樣的期望，像是類比到已知確知為真的事物、計 算、以特例來論證等。這些方法有的具有明確表 述，有的沒有，可謂五花八門。有時它們只是隱約 暗示我們某一數學命題可能為真（plausible）1， 有時即使還不能證明，它們仍帶給我們相當確定的 信念。但是它們也可能引導我們誤入歧途。無論如 何，最後的終局當然仍是：理解、驗證、釐清，還 有最確切的─證明；簡言之，真理。 可行性和啟發法 不過，還是先來考慮開局。既然我在文章標題 裡用到plausible 這個字，各位不難猜到，我是波 利亞（George Pólya）名著《數學與可行性推理》 （Mathematics and Plausible Reasoning）[MPR] 的書迷。我想這本書之所以重要，雖有種種原因， 但最主要在於，波利亞所針對的是任何思考數學或 試圖創造新數學知識的人，必定會耗費大半時間和 心力所從事的活動。往往已知的很有限，卻有許多 未知，屢屢被錯誤和迷思所苦，只能努力和類比、 推論與隱約顯現的期望纏鬥；運用概略估計，運用 暗示了完整形貌的片段模式，運用假說中正確（或 看似正確）的部分結果，因為它們使得假說的真確

數學家如何提出可行的猜想

用結果、隨機性、類比協助推理

訪談者：梅哲（Barry Mazur）　譯者：趙學信 梅哲為美國數學家，1959 年畢業於普林斯頓大學，現為哈佛大學教授。梅哲早期研究幾何拓樸，證明廣義旬弗萊猜想（Schoenflies conjecture），後受格 羅騰迪克影響，轉往代數數論領域，成為該領域的領導人之一。他在2013 年獲頒美國國家科學獎章。 波利亞。（Mazur’s Note）