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6-2-2多項式函數的微積分-函數性質的判定

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Academic year: 2021

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(1)2-2 函數性質的判定 【目標】 函數性質的判定 知道函數在某區間中遞增、遞減的意義﹐及導函數的正負值與函數遞增、遞減的 關係﹐與圖形凹口方向與二階導數的關係﹐找出圖形的反曲點﹒再者﹐熟悉函數 極值及臨界點的意義﹐並能求多項式函數的極值.進而能描繪三次函數圖形﹐並 探討三次方程式根的特性﹒ 【定義】 1. 函數的遞增與遞減: 設 f 是一實函數﹐I 是 f 定義域中的一個區間﹒ (1)若 x1 ﹐ x2 ∈ I 且 x1 < x2 時﹐ f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) 恆成立﹐則稱 f 在區間 I 遞增﹒ (2)若 x1 ﹐ x2 ∈ I 且 x1 < x2 時﹐ f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) 恆成立﹐則稱 f 在區間 I 遞減﹒ (3)在(1)中的條件改成 f ( x1 ) < f ( x2 ) 時﹐則稱 f 在區間 I 嚴格遞增;在(2)中的 條件改成 f ( x1 ) > f ( x2 ) 時﹐則稱 f 在區間 I 嚴格遞減﹒ 【討論】 1. 一個可微分的實函數 f﹐其遞增或遞減的情況與導函數 f ' 的正負有密切的關 係﹐. 在微積分的發展史上﹐有一個重要的工具——均值定理﹒. 9.

(2) 【定理】 1. 均值定理: 若 f : [a, b] → R 是連續函數﹐且在區間(a﹐b)內可微分﹐則存在 c ∈ (a, b) ﹐ 使得 f ' (c) =. f (b ) − f ( a ) ﹒ b−a. 註: 此定理是法國數學家拉格朗日(Lagrange﹐1736~1813)首先提出來的﹐其 中. f (b ) − f ( a ) 表示曲線 y = f ( x) 上兩點 A(a﹐f(a))﹐B(b﹐f(b))的割線斜率﹐因 b−a. 此﹐均值定理的幾何意義乃是圖形上存在一點 P(c﹐f(c))﹐使得以 P 為切點 的切線斜率等於割線 AB 的斜率﹐如圖所示﹒在運動學上﹐若 f 表示運動質 點的位置函數﹐則均值定理的物理意義就是質點必有某一時刻 x = c 時的瞬時 速度恰等於該質點在時段[a﹐b]內的平均速度﹒. 【方法】 1. 函數遞增、遞減的判定: 設實函數 f 在區間[a﹐b]上連續﹐且在區間(a﹐b)內可微分﹒ (1)若 x ∈ (a﹐b)時﹐ f ' ( x) > 0 都成立﹐則 f 在區間[a﹐b]嚴格遞增﹒ (2)若 x ∈ (a﹐b)時﹐ f ' ( x) < 0 都成立﹐則 f 在區間[a﹐b]嚴格遞減﹒ 證明: 任取 x1 ﹐ x2 ∈ [a﹐b]且 x1 < x2 ﹐則 f 在區間[ x1 ﹐ x2 ]上連續﹐且在區間 ( x1 ﹐x2 )內可微分;利用均值定理﹐存在 c ∈ ( x1 , x2 ) ﹐使得 f ' (c) =. 2.. f ( x2 ) − f ( x1 ) ﹒ x2 − x1. (1)當 f ' ( x) > 0 在區間(a﹐b)內都成立時﹐ f ' (c) > 0 ;由此得 f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' (c)( x2 − x1 ) > 0 ﹐即 f ( x1 ) < f ( x2 ) ﹐這表示 f 在區間[a﹐b]嚴格 遞增﹒ (2)當 f ' ( x) < 0 在區間(a﹐b)內都成立時﹐ f ' (c) < 0 ;由此得 f ( x2 ) − f ( x1 ) = f ' (c)( x2 − x1 ) < 0 ﹐即 f ( x1 ) > f ( x2 ) ﹐這表示 f 在區間[a﹐b]嚴格 遞減﹒ 多項式函數遞增、遞減的充要條件: 設 f 為實係數多項式函數﹒ (1) f 在區間[a﹐b]遞增的充要條件是在區間(a﹐b)內 f ' ( x) ≥ 0 恆成立﹒ (2) f 在區間[a﹐b]遞減的充要條件是在區間(a﹐b)內 f ' ( x) ≤ 0 恆成立﹒. 10.

(3) 【討論】 1. 函數圖形的凹性: 對於可微分的實函數 f﹐我們有以下的判別性質: (1)若導函數 f ' 在區間(a﹐b)中嚴格遞增﹐則 f 在區間(a﹐b)的圖形凹口向上﹒ (2)若導函數 f ' 在區間(a﹐b)中嚴格遞減﹐則 f 在區間(a﹐b)的圖形凹口向下﹒ 2. 導函數 f ' 的遞增或遞減可依 f ' 的導函數 f '' (即 f 的第二階導函數)之正負 值來決定﹐當 f '' ( x) > 0 恆成立時﹐ f ' 是遞增的;當 f '' ( x) < 0 恆成立時﹐ f ' 是 遞減的﹒ 【方法】 1. 凹口方向的判定: 設實函數 f 在區間(a﹐b)中的二階導數 f '' 都存在﹒ (1)若 x ∈ (a, b) 時﹐ f '' ( x) > 0 恆成立﹐則 f 在區間(a﹐b)的圖形凹口向上﹒ (2)若 x ∈ (a, b) 時﹐ f '' ( x) < 0 恆成立﹐則 f 在區間(a﹐b)的圖形凹口向下﹒ 【定義】 1. 反曲點: 設實函數 f 在 x = a 連續﹒若在 a 的兩側存在區間(t﹐a)及(a﹐s)﹐使函數 f 的 圖形在這兩開區間內的凹口方向相反﹐則稱(a﹐f(a))是函數 f 圖形上的反曲 點﹒ 多項式函數 f 圖形的反曲點 (a, f (a)) 都滿足 f '' (a ) = 0 ﹐然而﹐並非滿足 f '' (a ) = 0 的點 (a, f ( a)) 就一定是反曲點﹒例如: h( x) = x 4 滿足 h'' (0) = 0 ﹐但(0﹐ 0)卻不是其圖形的反曲點﹒實係數二次函數的圖形是拋物線﹐都只有一個凹 口方向﹐沒有反曲點﹐而三次函數的圖形都恰有一個反曲點﹒ 【定理】 1. 三次函數圖形的反曲點: 若 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 為實係數三次函數﹐則 (−. b b , f (− )) 是 f 圖形上唯 3a 3a. 一的反曲點﹒ 證明:函數 f 的第一階與第二階導函數分別為 f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c ﹐ f '' ( x) = 6ax + 2b = 6a ( x +. b )﹒ 3a. 不失一般性﹐我們只考慮 a > 0 的情況: b b 時﹐ f '' ( x) < 0 ;而 x > − 時﹐ f '' ( x) > 0 ﹐ 3a 3a b b 這表示函數 f 的圖形只有在點 (− , f (− )) 的左右兩側之凹口方向相反﹐ 3a 3a. 當x<−. 故此點即為 f 圖形上唯一的反曲點﹒. 11.

(4) 【定義】 1. 極值: 設 f : D → R 是實函數﹐且 a ∈ D ﹒ (1)若有一包含 a 的開區間 I﹐使得對任意 x ∈ D ∩ I ﹐ f (a) ≥ f ( x) 都成立﹐ 則稱 f (a) 是 f 的一個相對極大值﹐簡稱極大值﹒ (2)若有一包含 a 的開區間 I﹐使得對任意 x ∈ D ∩ I ﹐ f (a) ≤ f ( x) 都成立﹐ 則稱 f (a) 是 f 的一個相對極小值﹐簡稱極小值﹒ 函數 f 的所有極大值與極小值﹐都稱為 f 的極值﹒若將函數 f 的圖形比做起 伏的波浪﹐則在圖形相對高點的波峰處就是有極大值的位置﹐而相對低點的 波谷處就是有極小值的位置﹒當然﹐函數的極值也可能出現在定義域的端點﹐ 例如:下圖顯示 f : D → R 的極值﹐其中 D = [ s, t ] :. 【性質】 1. 從極值的意義及圖﹐我們可以知道: (1)函數的最大值必定是一個極大值﹐但極大值不一定是最大值﹒ (2)函數的最小值必定是一個極小值﹐但極小值不一定是最小值﹒ (3)函數的最大值不可能小於最小值﹐但某些極大值有可能小於極小值﹒ 2. 對於可微分的函數 f﹐我們知道:當導數 f ' (c) = 0 時﹐曲線 y = f ( x) 以 (c, f (c)) 為切點的切線是一水平切線﹐直觀來看﹐f 在 x = c 就有可能產生極大值或極 小值﹒此一現象並不是必然的﹐例如:函數 f ( x) = x3 雖滿足導數 f ' (0) = 0 ﹐ 但 f (0) 既不是極大值﹐也不是極小值﹒. 12.

(5) 【定理】 1. 費馬定理: 若實函數 f : D → R 在 x = c 有極值 f (c) ﹐且 f ' (c) 存在﹐則 f ' (c) = 0 ﹒ 證明:若 f (c) 是 f 的一個極大值﹐則存在一開區間 I﹐使得 c ∈ I 且當 x ∈ D ∩ I 時﹐ f ( x) ≤ f (c) 恆成立﹒因此﹐當 x 從 c 的左側趨近 c 時﹐x < c 且 f ( x) ≤ f (c) ﹐ 可得. f ( x ) − f (c ) f ( x ) − f (c ) ≥0﹒ ≥ 0 ﹐故 f ' (c) = lim− x →c x−c x−c. 另一方面﹐當 x 從 c 的右側趨近 c 時﹐x > c 且 f ( x) ≤ f (c) ﹐可得. f ( x ) − f (c ) ≤ 0﹐ x−c. f ( x ) − f (c ) ≤0﹒ x−c 由於 f ' (c) ≥ 0 且 f ' (c) ≤ 0 ﹐可知 f ' (c) = 0 ﹒同理﹐若 f (c) 是 f 的一個極小值﹐. 故 f ' (c) = lim. x →c+. 仿上面的證明﹐一樣可以推得 f ' (c) = 0 ﹒ 註: 上述定理不僅提供可微分函數可能產生極值的必要性﹐同時也是求極值的基 本工具﹒除了 f ' (c) = 0 外﹐當 c 是定義域的端點或導數 f ' (c) 不存在時﹐ f (c) 也可能是函數的極值﹒ 【性質】 1. 可能產生極值的點: 實函數 f : D → R 的極值只可能出現在以下的點 c: (1)c 為定義域 D 的端點﹒ (2)導數 f ' (c) = 0 ﹒ (3)導數 f ' (c) 不存在﹒ 【討論】 1. 很明顯地﹐當 c 為定義域的端點時﹐ f (c) 就是一個極值;而導數 f ' (c) = 0 或 f ' (c) 不存在的點 c﹐其 f (c) 是否為極值仍必須判別﹐後面這兩者統稱為臨界 點﹒例如:實係數多項式函數 f 在 R 上每一點都可微分﹐其臨界點 c 就必須 滿足 f ' (c) = 0 ;又 f 的定義域 R 沒有端點﹐因此﹐多項式函數 f 出現極值的 點 c 必須滿足: f ' (c) = 0 ﹐即 c 必須是方程式 f ' ( x) = 0 的一個實根﹒ 2. 由以上的說明﹐我們可以知道﹐任意實係數多項式函數的極大值與極小值之 個數都是有限的﹐因此﹐當它的定義域限制在一個有界的區間[a﹐b]上時﹐ 函數就會有最大值﹐也會有最小值﹐而最大值就是區間[a﹐b]內的所有極大 值中最大者﹐最小值就是區間[a﹐b]內的所有極小值中最小者﹒這個性質對 一般的連續函數也會有同樣的結果﹒. 13.

(6) 【定理】 1. 連續函數的極值定理: 若 f : [a, b] → R 是一連續函數﹐則 f 在區間[a﹐b]內有最大值與最小值﹒ 【討論】 1. 特別的﹐當實函數 f 在區間(a﹐b)內可微分時﹐我們該如何判別滿足 f ' (c) = 0 的點 c 是否是產生極值的點?如有極值﹐又該如何判定其為極大值或極小值 呢? (1)在圖(a)中﹐函數 f 在 x = c 附近的切線斜率由正轉負;即 f 在 x = c 的左側附 近是遞增的﹐而在 x = c 的右側附近是遞減的﹒此情況下﹐ f (c) 是極大值﹒ (2)在圖(b)中﹐函數 f 在 x = c 附近的切線斜率由負轉正;即 f 在 x = c 的左側附 近是遞減的﹐而在 x = c 的右側附近是遞增的﹒此情況下﹐ f (c) 是極小值﹒. 依據上面的說明﹐我們不難理解可微分函數的極值可以由第一階導函數的正 負來決定﹐整理如下: 【方法】 1. 極值的一階導數檢定法: 設實函數 f 在區間(a﹐b)內可微分﹐ c ∈ (a, b) 且 f ' (c) = 0 ﹒ (1)若 x ∈ (a, c) 時﹐ f ' ( x) > 0 ﹐且 x ∈ (c, b) 時﹐ f ' ( x) < 0 ﹐則 f (c) 是一極大值﹒ (2)若 x ∈ (a, c) 時﹐ f ' ( x) < 0 ﹐且 x ∈ (c, b) 時﹐ f ' ( x) > 0 ﹐則 f (c) 是一極小值﹒ 註: 許多例子顯示:關於導數 f ' (c) 存在的點 c﹐即使 f ' (c) = 0 ﹐其對應的 f (c) 也 未必是極值﹒至於導數 f ' (c) 不存在的點 c﹐它也可能是產生極值的地方﹒ 2. 極值的二階導數檢定法: 設實函數 f 在區間(a﹐b)內可微分﹐ c ∈ (a﹐b)﹐ f ' (c) = 0 且 f '' (c) 存在﹒ (1)若 f '' (c) < 0 ﹐則 f (c) 是一極大值﹒ (2)若 f '' (c) > 0 ﹐則 f (c) 是一極小值﹒ 證明:當 f '' (c) < 0 時﹐由 f ' ( x ) − f ' (c ) f ' ( x) ﹐ = lim x →c x − c x−c f ' ( x) 只要 x 很接近 c﹐必有 < 0; x−c 這表示 x < c 時﹐ f ' ( x) > 0 ﹐而 x > c 時﹐ f ' ( x) < 0 ﹒. 0 > f '' (c) = lim x →c. 因此﹐依極值的一階導數檢定法﹐ f (c) 是一極大值﹒ 同理﹐當 f '' (c) > 0 時﹐亦可推得 f (c) 是一極小值﹒. 14.

(7) 【討論】 三次函數的圖形: 對於實係數三次函數 f 的繪圖﹐除了描點作圖外﹐還可以透過函數的遞增、遞減 (以 f ' ( x) = 0 的根為分界)﹐以及圖形的凹口方向(以 f '' ( x) = 0 的根為分界)等性 質來探究其圖形的變化情形﹒首先﹐由立方公式 (a + b)3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b3 ﹐我 們可以將三次函數配方如下: b 2 x ) + cx + d a b b2 b3 b2 b3 = a( x3 + x 2 + 2 x + ) + cx + d − x − a 3a 27 a 3 3a 27 a 2 b b2 b b3 bc b3 = a ( x + )3 + (c − )( x + ) + d − − + 3a 3a 3a 27 a 2 3a 9a 2 b b b 3ac − b 2 b 2b3 bc (x + ) + d + = a ( x + )3 + p ( x + ) + q ﹐ = a ( x + )3 + − 2 3a 3a 3a 27 a 3a 3a 3a b b 3ac − b 2 b 其中 p = = f '(− ) 恰為函數 f 以反曲點( − ﹐f ( − ) )為切點的切線斜率﹐ 3a 3a 3a 3a 3 bc b 2b 而q = d + − = f (− ) ﹒因此﹐在坐標平面上﹐函數 f 的圖形可由 2 27 a 3a 3a b b 3 g ( x) = ax + px 的圖形依向量( − ﹐ f ( − ) )的方向平移而得﹒ 3a 3a 以下考慮 a > 0 ﹐並就 p > 0 ﹐ p = 0 ﹐ p < 0 三種情況﹐探討幾個代表性的例子﹐及 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d = a ( x 3 +. 其圖形的遞增、遞減、凹口方向等性質﹒ (I) a > 0 且 p > 0 (即 b 2 < 3ac ) 以 f ( x) = x3 + 3 x 為例﹐利用 f ' ( x) = 3x 2 + 3 及 f '' ( x) = 6 x ﹐解 f ' ( x) = 0 及 f '' ( x) = 0 的所 有實根﹐得到 x = 0 ﹒以 x = 0 為分界點﹐列表如下: x<0 x>0 0 x f ' ( x) f '' ( x) f ( x). + −. f ' ( x) f '' ( x) f ( x). + −. + + 0 + 反曲點 3 此函數 f ( x) = x + 3 x 的圖形具有以下性質: (1)沒有水平切線﹐反曲點為(0﹐0)﹒ (2)當 x < 0 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向下﹒ (3)當 x > 0 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向上﹒ (4)沒有極大值﹐也沒有極小值﹒ (5)圖形與 x 軸恰有一個交點(0﹐0)﹒ (II) a > 0 且 p = 0 (即 b 2 = 3ac ) 以 f ( x) = x 3 為例﹐利用 f ' ( x) = 3 x 2 及 f '' ( x) = 6 x ﹐解 f ' ( x) = 0 及 f '' ( x) = 0 的所有實根﹐ 得到 x = 0 ﹒以 x = 0 為分界點﹐列表如下: x<0 x>0 0 x 0 0 反曲點. 此函數 f ( x) = x3 的圖形具有以下性質: (1)有一水平切線 y = 0 ﹐反曲點為(0﹐0)﹒ 15. + +.

(8) (2)當 x < 0 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向下﹒ (3)當 x > 0 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向上﹒ (4)沒有極大值﹐也沒有極小值﹒ (5)圖形與 x 軸恰有一個交點(0﹐0)﹒ (III) a > 0 且 p > 0 (即 b 2 > 3ac ) 以 f ( x) = x 3 − 3x 為例﹐利用 f ' ( x) = 3x 2 − 3 = 3( x + 1)( x − 1) 及 f '' ( x) = 6 x ﹐解 f ' ( x) = 0 及 f '' ( x) = 0 的所有實根﹐得到 x = −1 ﹐ 0﹐1﹒以 x = −1 ﹐0﹐1 為分界點﹐列表如下: x < −1 −1 < x < 0 0 < x <1 x >1 0 1 −1 x f ' ( x) + 0 − − − 0 + f '' ( x) − − − 0 + + + f ( x) 極大 反曲 極小 點 3 此函數 f ( x) = x − 3x 的圖形具有以下性質: (1)有兩條水平切線 y = 2 ﹐ y = −2 ﹐反曲點為(0﹐0)﹒ (2)當 x < −1 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向下; −1 < x < 0 時﹐函數 f 遞減﹐圖形凹口向下﹒ (3)當 0 < x < 1 時﹐函數 f 遞減﹐圖形凹口向上; x > 1 時﹐函數 f 遞增﹐圖形凹口向上﹒ (4)有一極大值 f (−1) = 2 ﹐有一極小值 f (1) = −2 ﹒ (5)圖形與 x 軸恰有三個交點( − 3 ﹐0)﹐(0﹐0)﹐( 3 ﹐0)﹒ 以上三個例子所呈現的是三次函數的三種不同圖形風貌﹐其圖形的最右端都是遞 增而趨向∞﹐這個現象可由它們的最高次項係數均為正數推得﹒仔細觀察﹐上面 三個函數圖形似乎都是以反曲點為對稱中心的心對稱圖形;此一特徵並不是巧 合﹐而是有以下的一般結果:. 16.

(9) 【性質】 1. 三次函數圖形的對稱性質: 實係數三次函數 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 的圖形都是以反 b b , f (− )) 為對稱中心的心對稱圖形﹒ 3a 3a b 證明:我們已經知道:當 r = − 時﹐(r﹐f(r))為函數 f 3a 圖形上唯一的反曲點;又 f ( x) 可以表成 b b f ( x ) = a ( x + )3 + p ( x + ) + q ﹐ 3a 3a b2 其中 p = c − ﹐ q = f (r ) ; 3a 因此﹐ f ( x) = a( x − r )3 + p ( x − r ) + f (r ) ﹒. 曲點 (−. 於是﹐對任意實數 h﹐我們有 f ( r + h) = ah3 + ph + f (r ) ﹐ f ( r − h) = a ( − h )3 + p ( − h ) + f ( r ) ﹒ 由此可推得 f (r + h) + f (r − h) = 2 f (r ) ﹐這表示圖形上的點 (r + h, f (r + h)) 與點 (r − h, f (r − h)) 都對稱於點(r﹐f(r)); 故 f 的圖形是以反曲點(r﹐f(r))為對稱中心的心對稱圖形﹒ 此外﹐當三次函數的最高次項係數為負數時﹐我們可以透 過對稱的方式﹐以 x 軸為對稱軸﹐描繪出對稱的圖形﹒因 此﹐要研究實係數三次函數 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d 的圖形﹐我們只需要考慮 a > 0 的情況﹐再透過對稱性即可了解 a < 0 時的圖形﹒ 設 f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d 是實係數三次函數﹐其中 a > 0﹒由於多項式函數在 上每一點都可微分﹐因此﹐f 會有極值的點 x 就必須滿足方程式 f ' ( x) = 0 ﹐亦 即 3ax 2 + 2bx + c = 0 ;而此方程式的實根個數可由判別式 ∆ = (2b) 2 − 4 ⋅ (3a) ⋅ c = 4(b 2 − 3ac) 來決定﹐以下就 ∆ < 0 ﹐ ∆ = 0 ﹐ ∆ > 0 三種情形 來討論 f 的圖形﹒ 第一種情形: ∆ < 0 ﹐即 b 2 − 3ac < 0 ﹒ 此時﹐ f ' ( x) = 0 沒有實根﹐且 f ' ( x) > 0 恆成立﹐故 f 是嚴格遞增﹐其圖形(如 圖 2-12)具有以下性質: (1)f 在 R 上遞增﹒ (2)沒有水平切線﹒. (3)有一反曲點( −. b b ﹐ f ( − ) )﹒ 3a 3a. (4)沒有極大值﹐也沒有極小值﹒ (5)圖形與 x 軸恰有一個交點﹒ 第二種情形: ∆ = 0 ﹐即 b 2 − 3ac = 0 ﹒ 此時﹐f ' ( x) = 0 恰有一實根(重根)﹐此實根為 x = −. b b ;又 x ≠ − 時﹐f ' ( x) > 0 3a 3a. 恆成立﹐故 f 是嚴格遞增﹐其圖形(如圖 2-13)具有以下性質: (1)f 在 R 上遞增﹒ (2)恰有一條水平切線﹐且通過反曲點﹒. 17.

(10) (3)有一反曲點( −. b b ﹐f( − ))﹒ 3a 3a. (4)沒有極大值﹐也沒有極小值﹒ (5)圖形與 x 軸恰有一個交點﹒ 第三種情形: ∆ > 0 ﹐即 b 2 − 3ac > 0 ﹒ 此時﹐ f ' ( x) = 0 恰有兩相異實根﹐設為 α﹐β (α < β)﹐則 f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c = 3a ( x − α )( x − β ) ﹐ f '' ( x) = 6ax + 2b = 6a ( x +. b )﹒ 3a. 由於 f '' (α ) = 3a(α − β ) < 0 ﹐ f '' ( β ) = 3a ( β − α ) > 0 ﹐所以﹐ f (α ) 是極大值﹐ f ( β ) 是極小值﹐而函數 f 的圖形(如圖 2-14)具有以下性質: (1)f 在區間(−∞﹐α]及[β﹐∞)上遞增﹐在區間[α﹐β]上遞減﹒ (2)恰有兩條水平切線: y = f (α ) ﹐ y = f ( β ) ﹒ b b ﹐f( − ))﹒ 3a 3a (4)恰有一極大值 f (α ) 和一極小值 f ( β ) ﹒. (3)有一反曲點( −. (5)圖形與 x 軸可能有一個或兩個或三個交點﹒ 圖 2-12、圖 2-13、圖 2-14 及其以 x 軸為對稱軸的對稱圖形﹐就是實係數三 次函數 f 所有可能出現的六種圖形﹐這些圖形都是以反曲點( −. b b ﹐ f (− ) ) 3a 3a. 為對稱中心的心對稱圖形﹒特別地﹐當 f 有極大值和極小值時﹐我們有以下 的結果:. 18.

(11) 【性質】 1. 三次函數極值點的對稱性質: 若實係數三次函數 f 有極大值 f (α ) 和極小值 f ( β ) ﹐則 α +β f (α ) + f ( β ) )= f( ﹒ 2. 2 證明:設 f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d ﹐則 α﹐β 為 f ' ( x) = 3ax 2 + 2bx + c = 0 的兩根﹒ 2b 不失一般性﹐可設 α < β﹐則 α + β = − ﹐ 3a. 且α =. −b − b 2 − 3ac −b + b 2 − 3ac ﹐β = ﹒ 3a 3a. b ; 3a α +β f (α ) + f ( β ) α +β f (α ) + f ( β ) 故r = 且 f (r ) = ﹐於是可得 f ( ﹒ )= 2 2 2 2. 由此可知(α﹐f (α))與(β﹐f (β))對稱於反曲點(r﹐f (r))﹐其中 r = −. 從上面的推導過程﹐我們可以發現:三次函數 f 圖形上的反曲點恰為極大點 α + β f (α ) + f ( β ) , )﹒ (α﹐f(α))與極小點(β﹐f(β))的連線段中點﹐其坐標為 ( 2. 2.. 2. 我們知道:實係數三次函數 f ( x) = ax + bx + cx + d 所有可能的圖形﹐都與 x 軸至少有一個交點﹐亦即三次方程式 ax3 + bx 2 + cx + d = 0 至少有一實根﹐此一 結果也可以由虛根成對的共軛性質推得﹒當判別式 b 2 − 3ac ≤ 0 時﹐f 是嚴格 遞增或嚴格遞減﹐其圖形與 x 軸恰有一個交點﹐即方程式 f ( x) = 0 恰有一實 根﹒此時﹐ f ( x) = 0 的三個根可能為一實根且為三重根﹐或一實根及兩共軛 複根﹒ 當判別式 b 2 − 3ac > 0 時﹐ f ' ( x) = 0 有兩相異實根 α﹐β﹐其中 α < β﹐再根據兩 個極值 f (α)及 f (β)的正負值﹐我們可以得到(在 a > 0 時)方程式 f ( x) = 0 三 根的可能情形﹐如下圖所示: 3. 19. 2.

(12) 【性質】 判別式. a>0. 圖形特徵. b 2 − 3ac < 0. (1)沒有水平切線 (2)f 是嚴格遞增( a > 0 ) 或嚴格遞減( a < 0 ) (3)沒有極大值﹐也沒有極小值. b 2 − 3ac = 0. (1)恰有一條水平切線 (2)f 是嚴格遞增( a > 0 ) 或嚴格遞減( a < 0 ) (3)沒有極大值﹐也沒有極小值. b 2 − 3ac > 0. (1)恰有兩條水平切線 (2)有一極大值和一極小值 (3)反曲點為極大點與極小點 的連線段中點. 20. a<0.

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二、多元函数的概念 三、多元函数的极限

sort 函式可將一組資料排序成遞增 (ascending order) 或 遞減順序 (descending order)。. 如果這組資料是一個行或列向量,整組資料會進行排序。

 MATLAB 程式使用 pass-by-value 的方 式,進行程式與函式間的溝通聯絡,當 程式呼叫函式時, MATLAB