2-3-1三角函數的性質與應用-三角函數的圖形

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(1)第二冊 3-1 三角函數的性質與應用-三角函數的圖形 【定義】 度: 半徑為 r 的圓 O ,將其圓周分成 360 等分,每一等分所對應的角度大小就定義為 1 度。因此一個圓周就是 360° 。 弧度: 半徑為 r 的圓 O ,在其圓周上取一段圓弧 PQ ,使得圓弧 PQ 的長度等於半徑 r , 規定這一段圓弧所對的圓心角 ∠POQ 為 1 弧度。即當弧長等於半徑時所對的圓 心角是 1 弧度。 註:1 弧度比 60° 小。 【性質】 度與弧度之關係: 弧長 2πr r = = 由於 角度 360° 1弧度 360 ⇒ 1弧度 = ( )° ≈ 57°17'45' ' 2π 2πr 且 1° = ( )弧度 ≈ 0.01745弧. 360 【問題】 試轉換下列角度: 度. 0°. 30°. 45° 60° 120° 135° 150° 210° 225° 240° 300° 315° 330° 360°. 弧 度 【定義】 扇形的弧長: 半徑為 r 的圓 O ,若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度,弧長為 s r s 弧長 = = 由於 角度 1(弧度) θ (弧度) ⇒ s = rθ 扇形的面積: 半徑為 r 的圓 O,若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度,弧長為 s ,扇形 POQ 的面積為 A. πr 2 A 面積 = = 角度 2π (弧度) θ (弧度) 1 1 ⇒ A = r 2θ = rs 2 2 扇形的周長: 半徑為 r 的圓 O,若圓弧 PQ 的圓心角為 θ 弧度,弧長為 s ,扇形 POQ 的周長為 L ⇒ L = r (2 + θ ) 弓形面積: =(扇形 POQ 面積)−(三角形 POQ 面積) 註:一般未寫角度單位時,即表示為弧度,若寫度時,一定要標示出來。故若一 廣義角為 x 弧度,其六個三角函數即為 sin x, cos x, tan x, cot x, sec x, csc x 。. 由於. 28.

(2) 【定義】 奇函數: 若函數 y = f (x ) 滿足 f ( − x ) = − f ( x ) ,則稱函數 y = f (x) 為奇函數。奇函數的圖形 對稱於原點。 偶函數: 若函數 y = f (x ) 滿足 f ( − x ) = f ( x) ,則稱函數 y = f (x ) 為偶函數。偶函數的圖形 對稱於 y 軸。 週期函數: 一個函數 y = f (x ) 的圖形若滿足 f ( x + p ) = f ( x),其中 p ∈ R +,就稱函數 y = f (x) 為一週期函數。若可以找到滿足條件的最小正數 p ,則稱 p 為函數的週期。 【性質】 1.奇偶性與週期、定義域與值域、振幅、漸近線: 奇偶 振 y = f (x ) 週期 定義域 值域 漸近線 函數 幅 y = sin θ { y ∈ R || y |≤ 1} 1 奇 2π R y = cos θ 偶 { y ∈ R || y |≤ 1} 1 2π R π π y = tan θ 奇 π {x ∈ R | x ≠ kπ + , k ∈ Z } x = kπ + , k ∈ Z R 2 2 y = cot θ π { x ∈ R | x ≠ k π , k ∈ Z } x = kπ , k ∈ Z 奇 R π y = sec θ 偶 2π {x ∈ R | x ≠ kπ + , k ∈ Z } { y ∈ R || y |≥ 1} 2 y = csc θ 奇 { x ∈ R | x ≠ k π , k ∈ Z } { y ∈ R || y |≥ 1} 2π 2.遞增、遞減: 3π π y = f (x) π . . . . . . . . . . . . 0 2π 2 2 y = sin θ ↗ ↘ ↘ ↗ 0 0 1 0 -1 y = cos θ ↘ ↘ ↗ ↗ 1 1 0 -1 0 y = tan θ ↗ + ∞ | −∞ ↗ ↗ + ∞ | −∞ ↗ 0 0 0 y = cot θ − ∞ | +∞ ↘ ↘ − ∞ | +∞ ↘ ↘ − ∞ | +∞ 0 0 y = sec θ ↗ + ∞ | −∞ ↗ 1 ↘ − ∞ | +∞ ↘ 1 -1 y = csc θ − ∞ | +∞ ↘ + ∞ | −∞ − ∞ | +∞ ↗ ↗ ↘ 1 -1 【方法】 描繪三角函數的圖形方法有下列: 1. 描點法,然後用平滑曲線將這些線連結起來。 2. 依照定義求長。 3. 利用已知函數的圖形以平移、伸縮、鏡射等畫出。 【問題】 試畫出下列圖形: π 4. y = 2 sin x 1. y = sin x 2. y = sin x + 1 3. y = sin( x + ) 4 π π 5. y = sin 2 x 6. y = sin( 2 x + ) 7. y = 3 sin( x + ) + 2 8. y = cos x 4 4 【圖形】 29.

(3) 1.正弦函數 y = sin θ. 2.餘弦函數 y = cos θ. 3.正切函數 y = tan θ. 4.餘切函數 y = cot θ. 5.正割函數 y = sec θ. 6.餘割函數 y = csc θ. 30.

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