数据的分析——知识讲解
【学习目标】 1.了解极差、方差和标准差的意义和求法，体会它们刻画数据波动的不同特征； 2.学会用极差、方差与标准差来处理数据．并用它们来解决实际问题. 【要点梳理】 要点一、极差、方差与标准差 1.极差 一组数据中最大值与最小值的差，能反映这组数据的变化范围，我们就把这样的差叫 做极差（range），极差＝最大值－最小值. 要点诠释： 极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.一组数据的极差 越小，这组数据的波动幅度也越小，也就越稳定. 2.方差 在一组数据x x
1, ,
2…，
x
n中，各个数据与它们的平均数x
的差的平方分别是
2 1x
x
，
2
2 2 nx
x
，…，
x
x
， 我 们 用 它 们 的 平 均 数 ， 即 用
2 2
2 2 1 21
x
x
(
x
x
)
...
(
x
x
)
n
S
n
来描述这组数据的离散程度，并把它叫做这 组数据的方差，记作 2s
. 要点诠释： （1）方差反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小， 数据的波动越小. （2）一组数据的每一个数都加上（或减去）同一个常数，所得的一组新数据的方差不变. （3）一组数据的每一个数据都变为原来的k
倍，则所得的一组新数据的方差变为原来的 2k
倍. 3.标准差 通常，我们也用方差的算术平方根，即 来描述一组数据的离散程度，并把它叫做这组数据的标准差，记作 s. 要点诠释： （1）标准差的数量单位与原数据一致. （2）一组数据的方差或标准差越小，这组数据的离散程度越小，这组数据就越稳定. 要点二、极差、方差与标准差的联系与区别 联系：极差与方差、标准差都是表示一组数据离散程度的特征数． 区别：极差表示一组数据波动范围的大小，它受极端数据的影响较大；方差反映了一 组数据与其平均值的离散程度的大小．方差越大，稳定性越小；反之，则稳定性越好．所 以一般情况下只求一组数据的波动范围时用极差，在考虑到这组数据的稳定性时用方差. 【典型例题】类型一、极差、方差与标准差 1. （2015•黄冈模拟）某校要从小王和小李两名同学中挑选一人参加全国数学竞赛， 在最近的五次选拔测试中，他俩的成绩分别如下表： 次数 成绩（分） 姓名 1 2 3 4 5 小王 60 75 100 90 75 小李 70 90 80 80 80 根据上表解答下列问题： （1）完成下表： 姓名 极差（分） 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 小王 40 80 75 75 190 小李 （2）在这五次测试中，成绩比较稳定的同学是谁？若将 80 分以上（含 80 分）的成绩视为 优秀，则小王、小李在这五次测试中的优秀率各是多少？ （3）历届比赛表明，成绩达到 80 分以上（含 80 分）就很可能获奖，成绩达到 90 分以上 （含 90 分）就很可能获得一等奖，那么你认为应选谁参加比赛比较合适？说明你的理由． 【思路点拨】（1）根据平均数、中位数、众数、方差、极差的概念求得相关的数； （2）方差反映数据的离散程度，所以方差越小越稳定，应此小李的成绩稳定；小王的优秀 率= ，小李的优秀率= ； （3）选谁参加比赛的答案不唯一，小李的成绩稳定，所以获奖的几率大；小王的 90 分以 上的成绩好，则小王获一等奖的机会大． 【答案与解析】解：（1）小李的平均分= =80， 中位数=80， 众数=80， 方差= =40， 极差=最大的数﹣最小的数=90 70=20﹣ ； 姓名 极差（分） 平均成绩（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 小王 40 80 75 75 190 小李 20 80 80 80 40 （2）在这五次考试中，成绩比较稳定的是小李， 小王的优秀率= ×100%=40%，小李的优秀率= ×100%=80%； （3）方案一：我选小李去参加比赛，因为小李的优秀率高， 有 4 次得 80 分，成绩比较稳定，获奖机会大． 方案二：我选小王去参加比赛，因为小王的成绩获得一等奖的机率较高， 有 2 次 90 分以上（含 90 分），因此有可能获得一等奖．
（注：答案不唯一，考生可任选其中一人，只要分析合理，都给满分．若选两人都去参加， 不合题意不给分）． 【总结升华】本题考查了方差、中位数及众数的知识，属于基础题，一些同学对方差的公 式记不准确或粗心而出现错误． 举一反三： 【变式】我国著名的珠穆朗玛峰海拔高达 8844 米，在它周围 2 千米的附近，耸立的几座 著名山峰的高度如下表： 山峰名 珠穆 朗玛 洛子峰 卓穷峰 马卡 鲁峰 章子峰 努子峰 普莫 里峰 海拔高度 884 4m 8516 m 7589 m 846 3m 7543 m 7855 m 7145 m 则这七座山峰海拔高度的极差为 米． 【答案】1699 2. （2015•内江）有一组数据如下：3，a，4，6，7，它们的平均数是 5，那么这组数 据的方差是（ ） A．10 B． C．2 D． 【思路点拨】先由平均数的公式计算出 a 的值，再根据方差的公式计算：
2 2
2 2 1 21
x
x
(
x
x
)
...
(
x
x
)
n
S
n
. 【答案】C 【解析】解：由题意得： （3+a+4+6+7）=5， 解得 a=5， S2= [（3 5﹣ ）2+（5 5﹣ ）2+（4 5﹣ ）2+（6 5﹣ ）2+（7 5﹣ ）2]=2． 故选 C． 【总结升华】此类题关键是掌握求方差的步骤，记准求方差的公式. 举一反三： 【变式】学校篮球队五名队员的年龄分别为17 15 17 16 15
，，，，
，其方差为0.8
，则 3 年后这五 名队员年龄的方差为______． 【答案】0.8 类型二、极差、方差与标准差的实际应用 3.甲、乙两班举行汉字输入比赛，参赛学生每分钟输入汉字的个数经统计计算后，填 入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均字数甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 分析此表得出如下结论：（ ） （1）甲、乙两班学生成绩的平均水平相同； （2）乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字 150 个为优秀） （3）甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大． A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（2）（3） D．（1）（3） 【思路点拨】理清表格中所列数据代表的含义，以及数据差异而导致的不同. 【答案】B 【解析】甲、乙两班学生的平均字数都是 135 个/分钟，所以平均水平相同；从中位数上 看，乙班的 151 大于甲班的 149，表明乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数；从方差上看， 甲班的方差大于乙班的方差，所以甲班学生成绩的波动情况比乙班成绩波动大 .因此， （1）（2）（3）都正确，选 B. 【总结升华】此类题关键是要能从表格中筛选出所需要的信息，理解每个数据所代表的含 义. 举一反三： 【变式】甲、乙两人各射击 6 次，甲所中的环数是 8，5，5，A，B，C, 且甲所中的环数 的平均数是 6，众数是 8；乙所中的环数的平均数是 6，方差是 4．根据以上数据，对甲、 乙射击成绩的正确判断是（ ） A．甲射击成绩比乙稳定 B．乙射击成绩比甲稳定 C．甲、乙射击成绩稳定性相同 D．甲、乙射击成绩稳定性无法比较 【答案】B. 4. 从甲、乙两种玉米苗中各抽 10 株，分别测得它们的株高如下：（单位：cm） 甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25 乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44 (1)根据以上数据分别求甲、乙两种玉米的极差和方差. (2)哪种玉米的苗长得高些； (3)哪种玉米的苗长得齐？ 【思路点拨】本题考察极差、方差的定义.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求 到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差. 【答案与解析】 解：（1）甲的极差： 42-14=28(cm)； 乙的极差：44-16=28(cm). 甲的平均值:
x
甲10
（
21
42
39
14
19
22
37
41
40
25
）
30
（
cm
）
1
乙的平均值: 甲的方差:104
.
2
(
)
10
)
30
25
(
)
30
42
(
)
30
21
(
2 2 2 2 2cm
S
甲
,乙的方差:
128
.
8
(
)
10
)
31
44
(
)
31
16
(
)
31
27
(
2 2 2 2 2cm
S
乙
（2）因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以乙种玉米的苗长的高. （3）因为S
甲乙2＜
S
2 ，所以甲种玉米的苗长得整齐. 【总结升华】本题既是一道和极差、方差计算有关的问题，又是利用方差解决实际问题的 一道题目，关键是理解和掌握极差、方差的求解公式. 举一反三： 【变式】 为了比较甲、乙两种水稻的长势，农技人员从两块试验田中，分别随机抽取 5 棵植株， 将测得的苗高数据绘制成下图： 请你根据统计图所提供的数据，计算平均数和方差，并比较两种水稻的长势． 【答案】5.8
5.2
x
甲
x
乙
∵，
，∴
甲种水稻比乙种水稻长得更高一些．S
2
2.16
S
2
0.56
乙 甲∵，
，∴
乙种水稻比甲种水稻长得更整齐一些． 5.某社区准备在甲乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了 5 箭，他们的 总成绩（单位：环）相同，小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图表，并计算了甲 成绩的平均数和方差（见小宇的作业）． 植株编号 1 2 3 4 5 甲种苗高 7 5 4 5 8 乙种苗高 6 4 5 6 5甲、乙两人射箭成绩统计表 第 1 次 第 2 次 第 3 次 第 4 次 第 5 次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 7 5 7
a
7 （1）a
＝_____； ＝_______； （2）请完成图中表示乙成绩变化情况的折线； （3）①观察图，可看出______的成绩比较稳定（填“甲”或“乙”）．参照小宇的计算方法， 计算乙成绩的方差，并验证你的判断．②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【思路点拨】 （1）根据他们的总成绩相同，得出a
＝30－7－7－5－7＝4，进而得出 ＝30÷5＝ 6；（2）根据（1）中所求得出a
的值进而得出折线图即可；（3）①观察图，即可得出乙 的成绩比较稳定；②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比 甲稳定，所以乙将被选中． 【答案与解析】 解：（1）由题意得：甲的总成绩是：9＋4＋7＋4＋6＝30， 则a
＝30－7－7－5－7＝4， ＝30÷5＝6， 故答案为：4，6； （2）如图所示：； （3）①观察图，可看出乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙； 2
=
1
7 6
2 27 6
26
27 6
2=1.6
5
s
乙（）（5- 6）（）（4）（）
由于s
2 乙＜s
2甲，所以上述判断正确． ②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所 以乙将被选中． 【总结升华】此题主要考查了方差的定义以及折线图和平均数的意义，根据已知得出a
的 值进而利用方差的意义比较稳定性即可． 举一反三： 【变式】某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训．现分别从他们在培训期间参加的若干 次测试成绩中随机抽取 8 次，数据如下(单位：分) 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 (1)请你计算这两组数据的平均数、中位数； (2)现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认为选派哪名工人 参加合适?请说明理由． 【答案】 解：1
(95 82 88 81 93 79 84 78) 85
8
x
甲
(分)，1
(83 75 80 80 90 85 92 95) 85
8
x
乙
(分)． 甲、乙两组数据的中位数分别为 83 分、84 分． (2)由(1)知x
甲乙
x
85
分，所以 21
[(95 85)
2(82 85)
2(78 85) ] 35.5
28
s
甲
， 21
2 2 2[(83 85)
(75 85)
(95 85) ] 41
8
s
乙
． ①从平均数看，甲、乙均为 85 分，平均水平相同；②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为
