兩階段多元結果依賴採樣設計的最佳配置
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(2) 摘要 結果依賴採樣設計 (Outcome-dependent sampling, ODS) 在很多流行病學或大型資 料庫的研究中已經被證明是具有成本效益的抽樣方式且廣為採用，而多維度依賴採樣 設計 (multivariate outcome-dependent sampling design, MODS) 則是將 ODS 延伸到群 聚或長期追蹤資料，尤其在一位實驗對象有多於兩個觀測值時，存在著無法忽略的相 關性。過去的文獻中，模擬設定的取樣大多來自母體樣本數很大，較少討論到若母體 資料稀少的情況該如何抽樣，因此我們想更進一步討論此設計在這樣的情況是否能有 效的估計。本研究的目標是針對在小樣本的情況下，我們進行大量的模擬，討論此設 計在不同參數設定下目標參數的表現以及在有限的母體下，找出最佳配置的選取。最 後，我們也將用此模型分析來自 Busselton Health Survey 的實際資料。. 關鍵字: 結果依賴採樣設計、多變量、最佳化。. i.
(3) Abstract In most epidemiological or large database studies, the outcome-dependent sampling (ODS) design has been shown to enhance study efficiency and reduce the cost. The multivariate ODS (MODS) design is a further generalization for clustered or longitudinal data sampled under the ODS design. When the case is that one has at least two responses or there is more than one observation in the same cluster, the correlation between the responses can not be ignored. In the previous studies, most random samples were selected from large underlying cohorts. Therefore, we aim to consider relatively smaller underlying populations and see if the efficiency of the estimators still holds. Through conducting extensive simulation studies, we discuss the optimal allocation and design of the MODS sample under various settings. We also apply our proposed approach to analyze a real data set from the Busselton Health Survey Study.. Key words: outcome-dependent sampling design, multivariate, optimal.. ii.
(4) 謝辭 很開心可以完成碩士學位，首先，誠摯感謝我的指導教授呂翠珊老師，在就讀研究 所期間，遇到許多挫折讓我很想放棄，但老師總是鼓勵我並且耐心的指導我，很幸運 在研究所生涯遇到老師，使我勇敢面對論文，謝謝老師對我的照顧，我永遠謹記在心。 接著，感謝張少同老師與許雅甄老師，謝謝您們在百忙之中抽空前來擔任我的口試委 員，並且仔細地幫我檢視論文內容，讓我的論文能夠發揮他的貢獻與價值。再來，感 謝我研究所時期的好友柏宇，在撰寫論文時，不管遇到任何問題，總是能盡力的協助 我尋求解答。感謝我大學時期的八位好友們，在我撰寫論文與準備口試期間，你們總 是給我信心並且幫助我紓解壓力、調整心情去面對一切。最後，感謝我的家人與女友， 在一路上的求學過程中給予我精神上的支持與鼓勵，讓我順利的取得碩士學歷，有你 們的陪伴是我最大的福氣。文章的最後我想跟在天上的爸爸說:「爸爸，謝謝祢始終都 在我的身邊陪伴我，我研究所畢業了，我們都很想祢。」. 在師大的求學的日子將告一段落，會記得在師大所學習到的知識，謝謝師大帶給我 的一切，我畢生感激在心。 高駿逸 謹致 國立臺灣師範大學 數學所 中華民國一百零九年八月. iii.
(5) 目錄 第一章 緒論. 1. 第二章 多元依賴採樣設計模型. 3. 第一節 MODS 的資料結構與概似函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 第二節 最大半參經驗概似估計 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 第三章 使用連續型分配對多元結果依賴採樣設計的模擬結果. 7. 第一節 介紹 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 第二節 資料生成 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 7. 第三節 模擬結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9 58. 第四章 實徵資料 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 第二節 條件模型 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 58. 第三節 分析結果 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. 第一節 介紹資料來源. 第五章 結論與討論. 61. 參考文獻. 62. iv.
(6) 表目錄 3.1. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.2. 12. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.3. 13. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.4. 14. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.5. 14. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.6. 15. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.7. 16. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.8. 17. 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3.9. 17. 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. v. 18.
(7) 3.10 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19. 3.11 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 3.12 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 21. 3.13 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 22. 3.14 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 3.15 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 5% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24. 3.16 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = n2 = 10% . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 25. 3.17 模 擬 n1 和 n2 數 量 平 衡 的 結 果: 二 元 常 態 模 型 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1 . . .. 26. 3.18 模 擬 n1 和 n2 數 量 平 衡 的 結 果: 二 元 常 態 模 型 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2 . . .. 26. 3.19 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. vi. 27.
(8) 3.20 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.21 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3.22 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29. 3.23 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.24 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.25 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.26 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 3.27 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33. 3.28 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34. 3.29 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數 量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii. 34.
(9) 3.30 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 35. 3.31 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 36. 3.32 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = 15, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.33 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數 量為 n1 = 30, n2 = 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37. 3.34 模擬 n1 和 n2 數量不平衡的結果: 二元常態模型下, MODS 的數量為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1 . . .. 38. 3.35 模擬 n1 和 n2 數量不平衡的結果: 二元常態模型下, MODS 的數量為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2 . . .. 38. 3.36 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.37 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. 3.38 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 40. 3.39 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. viii. 40.
(10) 3.40 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.85, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.41 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.85, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 41. 3.42 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.85, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.43 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.85, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42. 3.44 模 擬 結 果: 二 元 常 態 模 型 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), 輔助樣本數量為 n1 = 5, n2 = 5 . . . .. 43. 3.45 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.46 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 44. 3.47 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 3.48 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 3.49 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中 的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ix. 46.
(11) 3.50 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中 的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 46. 3.51 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.52 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣 本中的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47. 3.53 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中的 0.2 倍. . . . . .. 48. 3.54 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中的 0.8 倍. . . . . .. 48. 3.55 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩 個輔助樣本中的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3.56 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 為兩 個輔助樣本中的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49. 3.57 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中的 0.2 倍. . . . . .. 50. 3.58 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩個輔助樣本中的 0.8 倍. . . . . .. 50. 3.59 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩 個輔助樣本中的 0.2 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51. 3.60 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 為兩 個輔助樣本中的 0.8 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. x. 51.
(12) 3.61 模擬 n1 和 n1 平衡的結果: 二元常態模型下, n0 為 100, σ1 = 1, σ2 = 1, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.62 模擬 n1 和 n1 平衡的結果: 二元常態模型下, n0 為 100, σ1 = 1, σ2 = 2, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2) . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 3.63 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍. 53. 3.64 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍. 53. 3.65 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔 助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.66 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔 助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 3.67 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍. 55. 3.68 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 分別為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍. 55. 3.69 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, (n1 , n2 ) 分別 為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.70 模 擬 結 果: 二 元 常 態 分 配 下, MODS 的 數 量 為 n = 100, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, (n1 , n2 ) 分別 為兩個輔助樣本中的 (0.8, 0.2) 倍 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 3.71 模擬結果: 二元常態模型下, n0 固定為 100, (n1 ,n2 ) 分別取剩下補充樣 本數量的 0.8 與 0.2 倍, σ1 = 1, σ2 = 2, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. 57. 使用 MODS 模型對 Busselton Health Survey 資料進行分析的結果，n0 數量為 100，(n1 , n2 ) 從兩個輔助樣本中選取 0.2 倍或 0.8 倍 . . . . . . .. xi. 60.
(13) 第一章 緒論 流行病學研究是涉及疾病發生，每個族群因為個體在環境中被疾病侵襲會與某些特 質有關聯，由於許多觀察和測量在流行病學研究或臨床試驗上耗費甚多，許多研究者 尋找一個可以降低成本同時也可以保留統計檢定力 (statistical power) 的統計方法。而 世代研究 (cohort study) 和病例對照研究 (case-control study) 是普遍研究流行病學的 研究設計；世代研究是通過對未患某一特定疾病的人群在一定時間內的觀察，根據相 關性來確定被觀察對象患病的風險；相反的，病例對照研究乃是利用已患病（或相關 症狀）的病人 (病例組)，再與沒有患病的人 (控制組) 作出比較，以找出一些病症的特 徵。雖然世代研究可以清楚表示時間順序，但長期的世代研究容易造成龐大的花費， 因此在時間及經費有限的情況下，病例對照組是較好的選擇。病例對照研究的概念在 統計研究上可以減少預算也能增加研究效力，但是只能運用在二元或類別資料上。實 際上，許多實驗結果 (outcome/ response) 乃是連續型資料型態，例如 IQ 分數、聽力 測驗或存活時間，若將連續型資料二分化進行分析，可能會失去許多估計的效力。. 因此，Zhou et al. (2002) 提出結果依賴採樣設計 (outcome-dependent sampling, ODS)，其想法是當資料為連續型結果 (continous outcome/ response)，ODS 的樣本採 樣是取決於結果，研究者除了隨機抽樣 (simple random sample, SRS) 亦可以將結果 變數根據一些切點 (cuttoff points) 分隔成互相獨立的區間在感興趣的區間進行抽樣， 其抽樣出來的樣本為輔助樣本 (supplemental sample)。他們已證實，ODS 設計相較 於 SRS 的設計，更能提升估計效力並且降低研究的預算花費。例如: 根據國產醫學研 究計畫 (Collaborative Perinatal Project, CPP)，其為一個有計劃去研究兒童神經系統 疾病和其他健康狀況的前瞻性研究 (Niswander and Gondon, 1972; Gray et al., 2000)， 在最近一項的環境流行病學研究中，Longnecker et al. (2004) 對於暴露於多氯聯苯量 (PCBs)（妊娠後期的血清中所測得）的母體與孩童大約在 8 歲時，使得聽力檢定下降 之間的關聯感到興趣，由於昂貴的血清化驗，研究者只選擇部分的樣本資料，此樣本 資料從 1200 位有測聽力評估的受試者中，隨機選取 726 位並且還有 200 位聽力評估 顯示患有感覺神經性聽力喪失 (SNHL) 的 8 歲孩童來做分析。使用 ODS 設計來分析 這份資料，分析的結果雖然未顯示 PCBs 的曝露對於聽力有顯著的影響，但透過標準. 1.
(14) 誤差 (standard errors) 比較，ODS 設計所估計出來的表現，其效果相對於 SRS 設計更 能精準的估計目標參數 (張雪愉。2011。連續型資料的結果依賴採樣設計之配置選擇。 國立臺灣師範大學數學系碩士論文)。. 很多流行病學或大型資料庫的研究中涉及到多變量反應變數 (multivariate outcomes)，Lu et al. (2017) 提出多維度結果依賴採樣 (multivariate outcome-dependent sampling, MODS) 設計，並且提出最大半參經驗概似估計量 (maxiumum semiparametric empirical likelihood estimator, MSELE) 的方法來求 MODS 模型的不偏估計量，文 獻中使用的母體 (underlying population) 很大，這與平常收集到的真實資料有出入， 畢竟大多醫學資料收集不易，為了將 MODS 設計能更廣泛的使用，所以在 MODS 設 計中，我們將探討取樣來自少量的母體數量，因此，研究目標將會以母體樣本不超過 1000 的情況下為基礎，並且利用模擬的方式不斷地將母體樣本數減少，觀察 MODS 模型在母體樣本減少時是否還能有較好的估計結果，以及在少量母體時，有哪些配置 的抽樣準則可以使估計結果更精確。. 這篇論文主要是透過大量且系統化的模擬，研究在母體有限的數量下，MODS 是 否還是能有準確的估計值。第二章，我們首先呈現一些符號並且陳述 MODS 模型的 資料結構，再來使用 Lu et al. (2017) 提出的最大半參經驗概似估計量 (maxiumum semiparametric empirical likelihood estimator, MSELE) 的方法來求 MODS 模型的不 偏估計量。第三章，我們進行模擬並且考慮不同的設定與配置，來觀察估計值的表現。 第四章，我們運用 MODS 模型去分析來自 Busselton Health Study 的實際資料。第五 章，總結我們得到的結論與給一些關於取樣的標準，讓未來研究相關議題的人員有一 些參考的依據。. 2.
(15) 第二章 多元依賴採樣設計模型 在這個章節，我們定義符號來描述多元依賴採樣設計 (MODS) 及其模型，並且利 用 Lu et al. (2017) 提出的半參經驗概似估計法來得到估計參數。. 第一節 MODS 的資料結構與概似函數 令 Yij 是第 i 個個體的第 j 項資料且是連續型變數，其中 i = 1, 2, . . . , n, j = 1, 2, . . . , p (p ≥ 2)，Xi 是第 i 個人的變項向量，其可以是離散或連續的變量。令 a={aj , j = 1, 2, . . . , p} 和 b={bj , j = 1, 2, . . . , p} 為 Yj ={Yij , ∀i} 值域的固定切點， 其中 aj 跟 bj 為已知常數並且滿足 {aj > bj , ∀j}。MODS 設計的資料結構由三個 選取方式組成: 從母體樣本數中隨機選取 n0 組觀測值，稱隨機樣本 (simple randon sample, SRS)。再 來， 我 們 取 n1 組觀 測值， 條 件為 Yi 大於 已知 的 切點 a，意 即 {Yi1 > a1 , Yi2 > a2 � . . . Yip > ap }，稱輔助樣本 1 (supplemental sample 1)，再取 n2 組觀 測值，條件為 Yi 小於已知的切點 b，意即 {Yi1 < b1 , Yi2 < b2 � . . . Yip < bp }，稱輔助樣 本 2 (supplemental sample 2)。因此我們觀察到的資料為: o n (i ) 隨機樣本 (SRS): Yi , Xi ，i = 1, 2, . . . , n0 n o (ii) 輔 助 樣 本 1(supplemental sample 1): Yi , Xi |{Yi1 > a1 , Yi2 > a2 � . . . Yip > ap } ， i = 1, 2, . . . , n1. n o (iii) 輔 助 樣 本 2(supplemental sample 2): Yi , Xi |{Yi1 < b1 , Yi2 < b2 � . . . Yip < bp } ， i = 1, 2, . . . , n2 因此 MODS 設計樣本數總共為 n =. P2 k=0. nk 。在不失一般性下，我們進一步假設. p = 2，令 f (Y|X；θ) 為給定 X 的情況下 Y 的條件密度函數，而 θ 是我們感興趣的 迴歸參數向量，X 的機率密度函數為 gX (X) 而且 X 與 θ 獨立，因此 (Y, X) 的聯合機 率密度函數可以寫成 f (Y|X；θ)gX (X)。假設 X 的未知累積分配函數為 GX (X)，最 後多元依賴採樣設計的聯合概似函數可以表示成: L(θ, GX ) =. n0 hY i=1. ×. n2 hY. n1 i hY i f (Yi1 , Yi2 , Xi ；θ) × f (Yi1 , Yi2 , Xi ；θ)|Yi1 > a1 , Yi2 > a2 i=1. i f (Yi1 , Yi2 , Xi ；θ)|Yi1 < b1 , Yi2 < b2 ,. i=1. 3. (2.1).
(16) 利用貝氏定理，我們可以更進一步將上述的聯合概似函數寫成: Y n0. Y n1 f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) L(θ, GX ) = f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) × P r(Yi1 > a1 , Yi2 > a2 ) i=1 i=1 Y n1 f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) × P r(Yi1 < b1 , Yi2 < b2 ) i=1 Y Y n0 n1 f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) = f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) × π1 (θ, GX ) i=1 i=1 Y n1 f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ)gX (Xi ) × , (2.2) π2 (θ, GX ) i=1. 將上述數學式整理合併，可得到: L(θ, GX ) =. Y n. f (Yi1 , Yi2 |Xi ；θ). i=1. Y n. −n1 −n2 gX (Xi ) π1 π2. i=1. =L1 (θ) × L2 (θ, GX ),. (2.3). R∞R∞ 其中，P1 (X；θ) = P r(Y1 > a1 , Y2 > a2 |X) = a1 a2 f (Y|X；θ) dY1 dY2 ，而 π1 = R π1 (θ, GX ) = X P1 (X；θ)gX (X) dX 為 Y 的邊際機率函數，其滿足 (Y1 > a1 , Y2 > a2 )； 同樣的，. R b1 R b2 P2 (X；θ) = P r(Y1 < b1 Y2 < b2 |X) = −∞ f (Y|X；θ) dY1 dY2 ，而 π2 = π2 (θ, GX ) = −∞ R P (X；θ)gX (X) dX 為 Y 的邊際機率函數，其滿足 (Y1 < b1 , Y2 < b2 )。 X 2 在上述的數學式 (2.3) 中，第一個括弧的概似函數 L1 (θ) 只涉及 θ，但是第二個括弧的 概似函數 L2 (θ, GX ) 包括 θ 和 GX ，一般而言，我們只需要將最大概似函數對 θ 微分， 然而 L2 (θ, GX ) 需要處理 θ 和 GX ，因為 GX 是未知的分配，所以無法將 θ 與 GX 從 L2 (θ, GX ) 分開，因此我們利用 Lu et al. (2017) 提出對 MODS 的最大半參經驗概似估 計量 (maxiumum semiparametric empirical likelihood estimator, MSELE) 的方法來解 決這個問題，並且使用牛頓疊代法來獲得估計參數 θ。. 4.
(17) 第二節 最大半參經驗概似估計 為了估計 θ，Zhou et al.(2002) 提出將參數 θ 固定後來描述概似函數 L(θ, GX ) 並且 獲得整個經驗概似函數 GX 的分配，其分配皆包含觀測值 X 的，我們可以透過最大化 整個概似函數 L(θ, GX ) 來估計 θ，特別的在最大化整個分配 GX ，我們考慮離散分配 (也就是 step function) 在每一個觀測值的跳動點 (Owen,1988,1990；Qin and Lawless, 1994)，令 pi = dGX (Xi ) = gX (Xi ), i = 1, 2, . . . , n 是第 i 個共變量向量的機率值，而透 過最大化概似函數求出 pbi 。 首先將 L(θ, GX ) 取對數，得到: l(θ, {pbi }) =. n X. ln f (Yi |Xi ；θ) +. i=1. n X. ln pi − n1 ln π1 − n2 ln π2. (2.4). i=1. 其限制式如下: n n n X X X {pbi } ≥ 0； pi = 1； pi P1 (Xi ；θ) − π1 = 0； pi P2 (Xi ；θ) − π2 = 0 i=1. i=1. i=1. (2.5) 透過最大化 H 並且運用拉格朗日乘數法結合上述的限制式來獲得 pbi : H(θ, {pbi }, δ, λ1 , λ2 ) =. n X. ln pi − n1 ln π1 − n2 ln π2 − δ. i=1. n X. pi − 1. i=1. n n X X − nλ1 pi P1 (Xi ；θ) − π1 − nλ2 pi P2 (Xi ；θ) − π2 i=1. i=1. (2.6) 其中 δ,λ1 ,λ2 為拉格朗日乘數，首先固定 θ，我們取 H(θ, {pbi }, δ, λ1 , λ2 ) 對 pi 的偏導 數，並且利用 (2.4) 的限制式，我們可以獲得 δb = n 和 h i−1 pbi = n 1 + λ1 P1 (Xi ；θ) − π1 + λ2 P2 (Xi ；θ) − π2. 5. (2.7).
(18) 將 pbi 代回 (2.4)，我們可以得到對數概似函數為: l(θ, {pbi }) =. n X i=1. ln f (Yi |Xi ；θ) − . n X. h ln n 1 + λ1 P1 (Xi ；θ) − π1. i=1. + λ2 P2 (Xi ；θ) − π2. i. − n1 ln π1 − n2 ln π2. (2.8). 其中 λ1 , λ2 , π1 , π2 和 θ 獨立，藉由解對數概數函數 (2.8) 可以獲得 λ1 , λ2 , π1 , π2 , θ，而 我們將使用牛頓疊代法來對上述的對數概似函數 (2.8) 進行求解。. 6.
(19) 第三章 使用連續型分配對多元結果依賴採 樣設計的模擬結果 第一節 介紹 本章節，我們開始進行模擬，以了解 MODS 設計在何種配置下，能有效並且精確 的去估計目標參數 θbp ，在第二節中，使用二元常態模型生成資料；在第三節中，觀 察 MODS 對於最大半參經驗概似估計量 (MSELE) 的表現，並且先從母體樣本數量 為 1000 的狀態開始模擬，隨後逐次的刪減母體樣本數，觀察 MODS 設計在母體樣本 數減少的情況，其是否還能有效的去估計目標參數，並且觀察切點的設置與選取 n1 , n2 數量的多寡，其是否會影響 MODS 設計所估計出來的結果，並討論何種配置使 MODS 設計擁有最佳的估計結果；最後，我們說明若因切點的設置較極端或是 n1 , n2 選取的數量多於左右兩端的輔助樣本數的情況，我們能夠使用什麼措施來使 MODS 設 計繼續運作。. 第二節 資料生成 在這個章節，我們來描述關於資料的生成，首先考慮 Y 給定 X 服從二元常態分配 的條件機率:. 2 µi1 σ1 ρσ1 σ2 Y|X ∼ N µi = ，Σ = µi2 ρσ1 σ2 σ2 2. 其中，Σ 為一個 2 × 2 的共變量矩陣，µi1 = α1 + β1 Xi1 和 µi2 = α2 + β2 Xi2 ；意即，Yi1 給定 Xi1 和 Yi2 給定 Xi2 皆服從常態分配，平均數分別為 α1 +β1 Xi1 和 α2 +β2 Xi2 ，變異 數分別是 σ1 2 和 σ2 2 ，而相關係數為 ρ。我們的目標則是估計 (α1 , β1 , α2 , β2 , σ1 , σ2 , ρ)⊤ ， 先假設 X1 ∼ N (0, 1)、X2 ∼ N (0, 1)，真實參數值預設為四種設定: 第一種: α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln 2, σ1 = 1, σ2 = 1, ρ = 0.5 第二種: α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln 2, σ1 = 1, σ2 = 2, ρ = 0.5 第三種: α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln 2, σ1 = 1, σ2 = 1, ρ = 0.85 第四種: α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln 2, σ1 = 1, σ2 = 2, ρ = 0.85 7.
(20) 模擬的步驟如下: • 第一步: 變項 X1 和 X2 分別從 N (0, 1) 產出並且 X1 和 X2 互相獨立。 p • 第二步: ϵ1 從 N (0, σ1 )，ϵ2 從 N (0, σ2 1 − ρ2 ) 產出。 • 第三步: 將 X1 , X2 , ϵ1 , ϵ2 產生出的數值代入下列數學式子得到對應值 Y1 , Y2 ，進而生 成母體樣本資料。 Y1 = α1 + β1 X1 + ϵ1 σ2 Y2 = α2 + β2 X1 + ρ (Y1 − α1 + β1 X1 ) + ϵ2 σ1 為了觀察 MODS 在小母體的情況下，是否能夠有效估計我們感興趣的參數，首先 設定母體樣本數為 1000 筆資料 (underlying population data N = 1000)，MODS 設計 的樣本數設定為 n=200，接著藉由切點 a = aj , j = 1, 2 和 b = bj , j = 1, 2 將 Y 的值域 分割成三個互斥的區間，最後依照下列步驟選取，獲到結果依賴採樣設計的樣本數。 • 第一步: 從母體樣本數 N=1000 中，隨機抽取樣本數 n0 • 第二步: 分別從 Y 的右尾 ({Yi1 > a1 ，Yi2 > a2 }) 抽取輔助樣本 1，其數量為 n1 和 Y 的左尾 ({Yi1 < b1 ，Yi2 < b2 }) 抽取輔助樣本 2，其數量為 n2 。 接下來，我們考慮將切點設定在 (15th ,85th ) 或 (30th ,70th ) 兩種情況，(15th ,85th ) 代 表將切點設置於 Y1 與 Y2 的 15% 和 85%；同樣的，(30th ,70th ) 代表將切點設置於 Y1 與 Y2 的 30% 和 70%，輔助樣本數 n1 與 n2 則是設定 MODS 數量的 5% 倍或 10% 倍 (意 即 n1 , n2 =(10, 10) 與 n1 , n2 =(20, 20))。上述切點的設定和 n1 與 n2 選取的數量，使我 們擁有四種不同的配置，所以上述每一個真實參數的預設，將搭配這四種配置進行模 擬。以上為模擬中的設定，而我們將進行 1000 次的模擬並且使用偏差 (Bias)、樣本標 準差 (sample standard deviation, SSD) 以及標準誤差 (mean of the estimated standard errors, ESE) 來評估 MODS 設計估計出來的目標參數；其中 θP 為目標估計量來估計 MODS 設計中的迴歸係數，並且和以下估計量進行比較:(i) θS 為 SRS 設計的最大概 似估計量，其樣本數與 MODS 設計相同，(ii) θR 為 MODS 設計中隨機取樣的一部份 (只有 n0 的部分)。. 8.
(21) 第三節 模擬結果 1.MODS 的估計表現 Tables 3.1-3.4 的真實參數值設定為第一種情況；Tables 3.5-3.8 的真實參數值設定 為第二種情況；Tables 3.9-3.12 的真實參數值設定為第三種情況；Tables 3.13-3.16 的 真實參數值設定為第四種情況，從這些 Tables 3.1-3.16 中，我們將這三種設計所模 擬出來的估計量取平均值並且與真實參數進行比較，可以發現估計量皆為不偏估計 量，而 MODS 設計中，所估計出來的參數 θP ，其樣本標準差 (SSD) 很接近標準誤差 (ESE)，代表我們所估計出來的結果與母體十分相似。我們主要是比較 θP 與 θS 的標 準誤差 (ESE)，從 Tables 3.1-3.16 模擬出來的結果，可以發現 MODS 設計所估計出的 βb1 , βb2 ，其標準誤差為三者中最低，代表 MODS 設計估計出來的參數較精準。 2. 母體樣本數量最少的判定 母體數量減少至最小的判定是利用收斂次數，我們設定在 1000 次的模擬中，必須擁有 900 次以上收斂次數，若收斂次數低於 900 次，我們就判定此配置無法再減少母體數 量。例如:Table 3.1，母體數量最小為 310 筆資料，代表在此配置之下，最少需要 310 筆母體樣本數量才能運用 MODS 設計進行估計，換句話說模型在此配置下，310 個母 體樣本數量為模型的限制。我們將 Tables 3.1-3.16 使用最少母體樣本數來估計 θP 的結 果記錄在 Tables 3.17-3.18。 3.n1 與 n2 數量不同的情況 為了更廣泛的使用 MODS 設計，我們將兩個的輔助樣本設定在數量不同的情況， 觀察此情況是否會影響 MODS 設計在估計目標參數上變得不準確。我們將 Tables 3.1-3.16 模擬中的 n1 和 n2 分別調整為原來的 1.5 倍與 0.5 倍，使其不平衡 (unbalanced tails) 模擬的結果紀錄在 Tables 3.19-3.33。而 Tables 3.34-3.35 是記錄 Tables 3.19-3.33 母體樣本數減少到最少時，θP 的估計表現。我們可以從 Tables 3.19-3.33 發現雖然 n1 和 n2 數量不相等，但 MODS 設計所估計出來的 θP ，其標準誤差還是比 θS 的標準誤 差低，也就是說不論 n1 和 n2 的數量是否相同，使用 MODS 設計所估計出的 θP 依然 比 SRS 設計估計出 θS 更為精準，所以當兩個輔助樣本的數量選取越多確實能提升估 計的效力。. 9.
(22) 雖然 MODS 設計可以使目標參數估計得更精確，但隨著我們逐次減少母體樣本數 量的過程中，左右兩尾的輔助樣本也會變得越來越少，若研究者將切點的設定較為極 端 (例如:85%,15%) 而且又想選取多一些 n1 和 n2 來做估計，容易導致兩尾的輔助樣 本不夠選取的現象，最後無法使用 MODS 設計去估計感興趣的參數，下一段我們將說 明兩種解決的方法。 4.n1 和 n2 需要數量不夠時的配套措施 若母體樣本數一開始就相當稀少，而研究者又將切點設定較為極端或是想選取較多 的輔助樣本數量，確實容易發生 n1 和 n2 不夠選取的現象，導致模型無法估計下去， 為了克服這樣類似的情形，我們思考了兩個措施: • 第一種措施: 固定 MODS 設計的樣本數量與兩個輔助樣本數量的比例，利用相 同比例的方式去改變 MODS 設計的樣本數量與 n1 與 n2 ，例如: 假設一開始需要的 資料大小為:n=200, n1 與 n2 皆為 MODS 設計數量的 5%(意即 n0 =180,n1 =10,n2 =10)， 所以 MODS 設計的樣本數量與兩個輔助樣本數量的比例為. 20 200. =. 1 ，若兩端的輔 10. 助樣本無法提供 n1 ,n2 所需要的數量，我們就減少 n1 ,n2 ，假設將 n1 ,n2 減少了一 半，也就是 n1 ,n2 數量皆為 5，則我們的 MODS 設計的樣本數量就改成 100，使其保 持相同的比例，我們將此想法進行模擬，首先將 MODS 設計的數量設定為 n=100， 輔 助 樣 本 數 n1 與 n2 設 定 為 MODS 數 量 的 10% 倍 (意 即 n0 =90,n1 =5,n2 =5)， 真 實參數 (α1 , β1 , α2 , β2 , σ1 , σ2 , ρ) 使用和上述相同的四種設定，切點設定為 (15th ,85th ) 和 (30th ,70th )，來進行模擬，Tables 3.36-3.43 為模擬出來的結果，相較於其他設計， MODS 設計所估計出來的 βb1 , βb2 確實能降低樣本標準差與標準誤差，代表使用 MODS 設計估計目標參數可以更佳精確。. • 第二種措施: 首先固定 Y 值域的切點以及從母體中隨機選取 n0 的個數，而 n1 從 輔助樣本 1 中選取 0.8 倍；n2 從輔助樣本 2 中選取 0.8 倍，為了瞭解輔助樣本選取的 多寡是否會影響目標參數的估計量，所以我們也從兩個輔助樣本中各選取 0.2 倍，來 比較兩者的差異。我們將 n0 固定為 100，真實參數和切點的設定皆與上述相同，在 Tables 3.45-3.60 中，我們可以發現不論是使用輔助樣本的 0.2 倍還是 0.8 倍當作 n1 10.
(23) 與 n2 ，MODS 估計出來的結果皆比其他兩個方法估計出來 βb1 , βb2 準確，而此方法也同 時可以了解若輔助樣本數量的選取的較多些，其估計的效果更好，在 Tables 3.61-3.62 可以看到採取比例較高的情況 (輔助樣本數量較多時)，可以使樣本標準差降低，提 升 MODS 的估計效力。最後是考慮兩端補充式樣本選取比例不同的情況，在 Tables 3.63-3.70 中，MODS 設計所估計出來的 βb1 , βb2 依舊比其他兩個方法精準，讓我們更加 確信在抽樣上，不管兩個輔助樣本是否相同，只要多抽取一點輔助樣本，就可以使我 們的估計效力提升。. 在以上的模擬中，我們將觀察到的結果記錄下來: 1. 兩端的補充式樣本數量選取較多時，βb1 , βb2 的樣本標準差和標準誤差最低，代表這 樣的情況可以提升 MODS 設計的估計效力。 2. 在切點相同時，資料的相關係數 ρ = 0.85 時，可以使用更少的母體樣本去進行估 計。 3. 比較變異數的差異，可以發現在變異數不同時，可以使用更少的母體樣本去進行估 計。. 以上提到的配置與方法，可以提供給使用結果依賴採樣設計模型的專家學者與研究 人員參考，而下個章節我們會使用這些配置來進行真實資料的分析。. 11.
(24) Table 3.1: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 310. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.002 0.000 0.001 0.000 0.001 0.000 0.002 0.002 0.003 0.001 -0.006 0.000 -0.004 -0.001 -0.001 0.000 0.005 0.005 0.005 0.003 0.003 0.005. SSD 0.076 0.071 0.073 0.078 0.071 0.070 0.075 0.073 0.069 0.074 0.070 0.069 0.075 0.073 0.069 0.072 0.076 0.069 0.074 0.071 0.070 0.078 0.074 0.071. 12. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.003 0.000 0.003 -0.002 0.002 -0.002 0.000 -0.001 0.002 0.003 0.002 0.001 -0.004 -0.002 -0.002 -0.002 0.000 -0.002 0.005 0.005 0.005 -0.001 0.002 0.000. βb2 SSD 0.076 0.072 0.072 0.077 0.072 0.072 0.074 0.070 0.070 0.076 0.071 0.070 0.075 0.075 0.069 0.075 0.074 0.070 0.075 0.072 0.072 0.077 0.073 0.069. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.070 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069.
(25) Table 3.2: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.002 0.007 -0.001 0.005 0.002 0.000 0.001 0.003 0.003 0.001 -0.005 0.000 -0.003 0.002 0.002 0.003 0.007 0.005 0.008. SSD 0.081 0.071 0.069 0.081 0.072 0.066 0.079 0.073 0.067 0.079 0.070 0.069 0.079 0.073 0.068 0.083 0.073 0.070 0.079 0.071 0.069. 13. ESE 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068. Bias 0.002 0.000 0.002 0.003 -0.001 0.003 0.000 -0.001 0.000 0.004 0.002 0.002 -0.004 -0.002 -0.002 -0.003 -0.001 -0.001 0.006 0.005 0.006. βb2 SSD 0.081 0.072 0.069 0.080 0.069 0.065 0.079 0.070 0.068 0.081 0.071 0.069 0.081 0.075 0.069 0.081 0.072 0.068 0.079 0.072 0.070. ESE 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068.
(26) Table 3.3: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 680. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.001 0.004 -0.001 0.004 0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.000 0.004 0.004 0.004. SSD 0.076 0.071 0.069 0.076 0.072 0.069 0.075 0.073 0.067 0.074 0.070 0.065 0.077 0.074 0.068. ESE Bias 0.075 0.003 0.071 0.000 0.067 0.001 0.075 0.003 0.071 -0.001 0.067 0.002 0.075 0.000 0.071 -0.001 0.067 0.000 0.075 0.003 0.071 0.002 0.067 0.002 0.075 0.001 0.071 -0.002 0.067 0.000. βb2 SSD 0.076 0.072 0.068 0.074 0.069 0.067 0.074 0.070 0.066 0.076 0.071 0.067 0.073 0.073 0.068. ESE 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.068. Table 3.4: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. βb2. Method Bias SSD ESE Bias SSD ESE θR 0.002 0.081 0.080 0.002 0.081 0.080 θS −0.001 0.071 0.071 0.000 0.072 0.071 θP 0.003 0.066 0.064 −0.001 0.066 0.065. 14.
(27) Table 3.5: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 300. 290. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 −0.001 0.002 0.004 −0.001 0.004 0.001 0.000 0.000 0.002 0.003 0.002 −0.006 0.000 −0.003 0.001 0.003 0.001 0.005 0.005 0.005 −0.003 0.002 0.000 0.003 0.001 0.003. SSD 0.076 0.071 0.069 0.076 0.072 0.069 0.075 0.073 0.068 0.074 0.070 0.067 0.075 0.073 0.068 0.076 0.069 0.070 0.074 0.071 0.070 0.076 0.072 0.071 0.078 0.072 0.072. 15. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.006 −0.001 0.005 0.005 −0.001 0.005 0.000 −0.002 −0.002 0.006 0.003 0.006 −0.008 −0.003 −0.003 −0.007 0.003 −0.007 0.010 0.009 0.009 −0.005 0.004 −0.001 0.006 0.000 0.004. βb2 SSD 0.151 0.143 0.137 0.148 0.138 0.135 0.148 0.141 0.136 0.153 0.141 0.139 0.151 0.149 0.137 0.152 0.139 0.138 0.150 0.143 0.143 0.151 0.148 0.140 0.149 0.139 0.136. ESE 0.150 0.142 0.138 0.150 0.143 0.137 0.150 0.142 0.138 0.149 0.142 0.137 0.150 0.142 0.137 0.150 0.142 0.138 0.150 0.142 0.138 0.150 0.143 0.138 0.150 0.143 0.138.
(28) Table 3.6: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 90. 800. 700. 600. 500. 400. 360. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.000 0.007 -0.001 0.005 0.002 0.000 0.003 0.003 0.003 0.002 -0.005 0.000 -0.003 0.001 0.003 0.002 0.007 0.005 0.006 -0.002 -0.002 -0.002. SSD 0.081 0.071 0.070 0.081 0.072 0.065 0.079 0.073 0.067 0.079 0.070 0.067 0.079 0.073 0.068 0.080 0.069 0.068 0.079 0.071 0.068 0.081 0.072 0.069. 16. ESE 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067. Bias 0.004 -0.001 -0.001 0.006 -0.001 0.004 0.000 -0.002 0.003 0.007 0.003 0.005 -0.008 -0.003 -0.005 -0.009 0.003 -0.007 0.011 0.009 0.009 -0.012 -0.002 -0.014. βb2 SSD 0.163 0.143 0.133 0.160 0.138 0.130 0.158 0.141 0.133 0.163 0.141 0.134 0.162 0.149 0.141 0.161 0.139 0.136 0.157 0.143 0.136 0.158 0.145 0.132. ESE 0.159 0.142 0.134 0.159 0.143 0.134 0.159 0.142 0.134 0.158 0.142 0.134 0.159 0.142 0.134 0.159 0.142 0.134 0.159 0.142 0.134 0.159 0.142 0.134.
(29) Table 3.7: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 550. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.002 0.004 -0.001 0.003 0.001 0.000 0.000 0.002 0.003 0.002 -0.006 0.000 -0.004 0.002 0.000 0.003. SSD 0.076 0.071 0.068 0.076 0.072 0.068 0.075 0.073 0.067 0.074 0.070 0.064 0.075 0.073 0.067 0.076 0.069 0.067. ESE 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.066 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067. Bias 0.006 -0.001 0.003 0.005 -0.001 0.003 0.000 -0.002 -0.002 0.006 0.003 0.005 -0.008 -0.003 -0.005 0.000 0.000 0.000. βb2 SSD 0.151 0.143 0.134 0.148 0.138 0.130 0.148 0.141 0.132 0.153 0.141 0.130 0.151 0.149 0.137 0.157 0.146 0.138. ESE 0.150 0.142 0.133 0.150 0.143 0.133 0.150 0.142 0.133 0.149 0.142 0.132 0.150 0.142 0.133 0.150 0.142 0.133. Table 3.8: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 780. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.000 0.004 0.000 0.001 0.002 0.000 0.003 0.004 -0.001 0.000. SSD 0.081 0.071 0.067 0.083 0.068 0.065 0.079 0.073 0.065 0.079 0.072 0.063 17. ESE 0.080 0.071 0.064 0.080 0.071 0.064 0.080 0.071 0.064 0.080 0.071 0.064. Bias 0.004 -0.001 0.001 0.003 0.002 0.000 0.000 -0.002 -0.001 0.004 -0.006 -0.003. βb2 SSD 0.163 0.143 0.127 0.161 0.142 0.128 0.158 0.141 0.122 0.160 0.142 0.128. ESE 0.159 0.142 0.127 0.160 0.142 0.127 0.159 0.142 0.126 0.159 0.142 0.127.
(30) Table 3.9: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 300. 280. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 −0.001 0.003 0.004 −0.001 0.005 0.001 0.000 0.000 0.002 0.003 0.002 −0.006 0.000 −0.004 0.001 0.003 0.002 0.005 0.005 0.005 −0.003 0.002 −0.001 0.007 0.006 0.006. SSD 0.076 0.071 0.071 0.076 0.072 0.071 0.075 0.073 0.068 0.074 0.070 0.067 0.075 0.073 0.070 0.076 0.069 0.069 0.074 0.071 0.070 0.076 0.072 0.072 0.071 0.069 0.067. 18. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.003 −0.001 0.004 0.004 −0.001 0.005 0.001 −0.001 0.000 0.003 0.003 0.003 −0.006 −0.001 −0.004 −0.002 0.003 −0.001 0.006 0.006 0.006 −0.003 0.002 −0.001 0.008 0.007 0.006. βb2 SSD 0.076 0.071 0.071 0.075 0.070 0.070 0.074 0.072 0.067 0.076 0.070 0.069 0.075 0.074 0.070 0.075 0.068 0.069 0.074 0.071 0.070 0.076 0.073 0.071 0.073 0.071 0.069. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069.
(31) Table 3.10: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 380. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 −0.001 0.001 0.007 −0.001 0.005 0.002 0.000 0.001 0.003 0.003 0.002 −0.005 0.000 −0.005 0.001 0.003 0.001 0.007 0.005 0.005 −0.004 −0.002 −0.003. SSD 0.081 0.071 0.067 0.081 0.072 0.069 0.079 0.073 0.067 0.079 0.070 0.065 0.079 0.073 0.068 0.080 0.069 0.069 0.079 0.071 0.069 0.079 0.068 0.066. 19. ESE 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067. Bias 0.002 −0.001 0.001 0.005 −0.001 0.004 0.001 −0.001 0.001 0.004 0.003 0.003 −0.005 −0.001 −0.004 −0.002 0.003 −0.002 0.007 0.006 0.005 −0.003 −0.002 −0.002. βb2 SSD 0.081 0.071 0.068 0.081 0.070 0.068 0.079 0.072 0.065 0.081 0.070 0.068 0.079 0.074 0.068 0.080 0.068 0.068 0.078 0.071 0.068 0.079 0.067 0.067. ESE 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067.
(32) Table 3.11: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 480. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 −0.001 0.003 0.004 −0.001 0.004 0.001 0.000 0.002 0.002 0.003 0.002 −0.006 0.000 −0.003 −0.001 −0.001 −0.001 −0.002 −0.002 −0.001. SSD 0.076 0.071 0.069 0.076 0.072 0.068 0.075 0.073 0.066 0.074 0.070 0.066 0.075 0.073 0.067 0.072 0.076 0.067 0.074 0.069 0.067. 20. ESE 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067. Bias 0.003 −0.001 0.004 0.004 −0.001 0.004 0.001 −0.001 0.001 0.003 0.003 0.003 −0.006 −0.001 −0.003 −0.002 −0.001 −0.002 −0.003 −0.001 −0.002. βb2 SSD 0.076 0.071 0.069 0.075 0.070 0.067 0.074 0.072 0.066 0.076 0.070 0.068 0.075 0.074 0.067 0.073 0.075 0.068 0.073 0.068 0.066. ESE 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.068.
(33) Table 3.12: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. Method Bias SSD θR 0.002 0.081 θS −0.001 0.071 θP 0.001 0.066 θR 0.004 0.083 θS 0.000 0.068 θP 0.005 0.067 θR 0.002 0.079 θS 0.000 0.073 θP 0.003 0.065 θR 0.003 0.079 θS 0.003 0.070 θP 0.004 0.063. 21. βb2. ESE Bias SSD ESE 0.080 0.002 0.081 0.080 0.071 −0.001 0.071 0.071 0.064 0.000 0.066 0.065 0.080 0.003 0.082 0.080 0.071 0.001 0.069 0.071 0.065 0.005 0.066 0.065 0.080 0.001 0.079 0.080 0.071 −0.001 0.072 0.071 0.064 0.002 0.064 0.065 0.079 0.004 0.081 0.079 0.071 0.003 0.070 0.071 0.064 0.003 0.065 0.064.
(34) Table 3.13: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 300. 260. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.001 0.004 -0.001 0.005 0.001 0.000 0.000 0.002 0.003 0.002 -0.006 0.000 -0.004 -0.001 -0.001 0.001 0.005 0.005 0.004 -0.003 0.002 0.000 -0.004 -0.001 -0.003. SSD 0.076 0.071 0.069 0.076 0.072 0.069 0.075 0.073 0.069 0.074 0.070 0.067 0.075 0.073 0.069 0.072 0.076 0.067 0.074 0.071 0.067 0.076 0.072 0.070 0.076 0.074 0.071. 22. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.007 -0.002 0.004 0.008 -0.002 0.010 0.001 -0.001 -0.001 0.006 0.006 0.005 -0.012 -0.002 -0.009 -0.004 -0.002 0.000 0.011 0.011 0.010 -0.006 0.004 0.000 -0.003 0.004 -0.003. βb2 SSD 0.152 0.142 0.138 0.151 0.139 0.136 0.148 0.143 0.135 0.153 0.140 0.138 0.149 0.148 0.138 0.146 0.151 0.136 0.147 0.141 0.135 0.152 0.146 0.139 0.146 0.145 0.138. ESE 0.150 0.142 0.137 0.150 0.143 0.137 0.150 0.142 0.137 0.149 0.142 0.137 0.150 0.142 0.137 0.150 0.142 0.137 0.150 0.142 0.137 0.150 0.143 0.137 0.150 0.142 0.138.
(35) Table 3.14: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 320. 310. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.000 0.007 -0.001 0.005 0.002 0.000 0.001 0.003 0.003 0.002 -0.005 0.000 -0.003 0.001 0.003 0.001 0.007 0.005 0.006 -0.006 -0.002 -0.004 0.003 0.003 0.003. SSD 0.081 0.071 0.066 0.081 0.072 0.068 0.079 0.073 0.067 0.079 0.070 0.064 0.079 0.073 0.067 0.080 0.069 0.068 0.079 0.071 0.068 0.079 0.071 0.067 0.083 0.074 0.069. 23. ESE 0.080 0.071 0.066 0.079 0.071 0.066 0.080 0.071 0.066 0.079 0.071 0.066 0.080 0.071 0.066 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.066 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067. Bias 0.005 -0.002 0.003 0.011 -0.002 0.008 0.002 -0.001 0.001 0.008 0.006 0.005 -0.011 -0.002 -0.007 -0.005 0.005 -0.004 0.015 0.011 0.011 -0.011 -0.005 -0.009 0.002 0.005 0.002. βb2 SSD 0.163 0.142 0.133 0.161 0.139 0.133 0.157 0.143 0.135 0.163 0.140 0.133 0.158 0.148 0.132 0.160 0.135 0.138 0.155 0.141 0.136 0.158 0.142 0.134 0.164 0.148 0.136. ESE 0.159 0.142 0.133 0.159 0.143 0.133 0.159 0.142 0.133 0.158 0.142 0.132 0.159 0.142 0.133 0.159 0.142 0.133 0.159 0.142 0.133 0.159 0.142 0.133 0.159 0.142 0.133.
(36) Table 3.15: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 5% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. 390. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.002 0.004 -0.001 0.004 0.001 0.000 0.001 0.002 0.003 0.002 -0.006 0.000 -0.005 0.001 0.003 0.000 0.005 0.005 0.006 -0.002 0.000 -0.002. SSD 0.076 0.071 0.069 0.076 0.072 0.067 0.075 0.073 0.067 0.074 0.070 0.065 0.075 0.073 0.066 0.076 0.069 0.069 0.074 0.071 0.067 0.074 0.069 0.066. 24. ESE 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.066 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.066 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067 0.075 0.071 0.067. Bias 0.007 -0.002 0.005 0.008 -0.002 0.008 0.001 -0.001 0.001 0.006 0.006 0.006 -0.012 -0.002 -0.009 -0.003 0.005 -0.004 0.011 0.011 0.014 -0.005 0.000 -0.005. βb2 SSD 0.152 0.142 0.138 0.151 0.139 0.131 0.148 0.143 0.133 0.153 0.140 0.131 0.149 0.148 0.133 0.151 0.135 0.137 0.147 0.141 0.134 0.149 0.138 0.133. ESE 0.150 0.142 0.133 0.150 0.143 0.133 0.150 0.142 0.133 0.149 0.142 0.132 0.150 0.142 0.133 0.150 0.142 0.133 0.150 0.142 0.133 0.150 0.142 0.133.
(37) Table 3.16: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.85, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = n2 = 10% Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 540. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.002 -0.001 0.002 0.004 0.000 0.002 0.002 0.000 0.003 0.003 0.003 0.003 -0.005 0.000 -0.002 0.001 -0.003 0.003. SSD 0.081 0.071 0.064 0.083 0.068 0.066 0.079 0.073 0.062 0.079 0.070 0.062 0.079 0.073 0.062 0.079 0.069 0.063. 25. ESE 0.080 0.071 0.063 0.080 0.071 0.063 0.080 0.071 0.063 0.079 0.071 0.063 0.080 0.071 0.063 0.079 0.071 0.063. Bias 0.005 -0.002 0.002 0.006 0.002 0.003 0.002 -0.001 0.004 0.008 0.006 0.007 -0.011 -0.002 -0.005 0.007 -0.003 0.008. βb2 SSD 0.163 0.142 0.126 0.164 0.138 0.133 0.157 0.143 0.123 0.163 0.140 0.129 0.158 0.148 0.125 0.156 0.138 0.124. ESE 0.159 0.142 0.126 0.160 0.142 0.126 0.159 0.142 0.126 0.158 0.142 0.125 0.159 0.142 0.126 0.159 0.142 0.125.
(38) Table 3.17: 模擬 n1 和 n2 數量平衡的結果: 二元常態模型下, MODS 的數量為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1 βb1 n cutpoint (n1 , n2 ) 數量 N 70%,30% (10, 10) 200/310 (20, 20) 200/400 85%,15% (10, 10) 200/680 (20, 20) 200/1000 0.85 70%,30% (10, 10) 200/280 (20, 20) 200/380 85%,15% (10, 10) 200/480 (20, 20) 200/700. Bias SSD 0.005 0.071 0.008 0.069 0.004 0.068 0.003 0.066 0.006 0.067 -0.003 0.066 -0.001 0.067 0.004 0.063. ρ 0.5. βb2 ESE Bias SSD 0.069 0.000 0.069 0.068 0.006 0.070 0.067 0.000 0.068 0.064 -0.001 0.066 0.069 0.006 0.069 0.067 -0.002 0.067 0.067 -0.002 0.066 0.064 0.003 0.065. ESE 0.069 0.068 0.068 0.065 0.069 0.067 0.068 0.064. N 為母體樣本數 Table 3.18: 模擬 n1 和 n2 數量平衡的結果: 二元常態模型下, MODS 的數量為 n = 200, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2 βb1 cutpoint (n1 , n2 ) 數量 70%,30% (10, 10) (20, 20) 85%,15% (10, 10) (20, 20) 0.85 70%,30% (10, 10) (20, 20) 85%,15% (10, 10) (20, 20) ρ 0.5. n N. 200/290 200/360 200/550 200/780 200/260 200/310 200/390 200/540. Bias 0.003 -0.002 0.003 0.000 -0.003 0.003 -0.002 0.003. N 為母體樣本數. 26. SSD 0.072 0.069 0.067 0.063 0.071 0.069 0.066 0.063. βb2 ESE 0.069 0.067 0.067 0.064 0.069 0.067 0.067 0.063. Bias SSD 0.004 0.136 -0.014 0.132 0.000 0.138 -0.003 0.128 -0.003 0.138 0.002 0.136 -0.005 0.133 0.008 0.124. ESE 0.138 0.134 0.133 0.127 0.138 0.133 0.133 0.125.
(39) Table 3.19: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.003 0.001 0.002 0.004 -0.001 0.003 0.002 0.003 0.003 -0.003 -0.001 -0.002 -0.003 0.001 -0.003 -0.001 -0.001 -0.001 -0.001 0.001 -0.001. SSD 0.076 0.071 0.070 0.076 0.072 0.071 0.072 0.074 0.066 0.077 0.071 0.072 0.073 0.072 0.067 0.072 0.076 0.069 0.078 0.073 0.072. 27. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.000 0.002 -0.001 0.003 -0.001 0.003 0.000 0.001 0.001 0.001 -0.001 0.002 -0.001 0.003 -0.001 -0.002 0.000 -0.003 0.003 0.001 0.003. βb2 SSD 0.075 0.070 0.069 0.074 0.069 0.068 0.073 0.070 0.068 0.074 0.072 0.068 0.072 0.072 0.066 0.075 0.074 0.070 0.078 0.072 0.070. ESE 0.075 0.071 0.070 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.070 0.075 0.071 0.070 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.070.
(40) Table 3.20: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.004 0.001 0.003 0.007 -0.001 0.005 0.002 0.003 0.002 -0.003 -0.001 -0.002 -0.004 0.001 -0.003 -0.001 -0.001 0.002. SSD 0.080 0.071 0.071 0.081 0.072 0.068 0.074 0.074 0.066 0.082 0.071 0.070 0.077 0.072 0.067 0.076 0.076 0.066. ESE 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068. Bias 0.001 0.002 0.001 0.003 -0.001 0.003 0.001 0.001 0.001 0.001 -0.001 0.002 -0.001 0.003 0.000 -0.002 0.000 -0.002. βb2 SSD 0.080 0.070 0.067 0.080 0.069 0.066 0.077 0.070 0.068 0.080 0.072 0.067 0.076 0.072 0.064 0.079 0.074 0.067. ESE 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068 0.079 0.071 0.068 0.080 0.071 0.068. Table 3.21: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 1, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. Method θR θS θP θR θS θP. Bias 0.003 0.001 0.003 0.004 -0.001 0.005. SSD 0.076 0.071 0.067 0.076 0.072 0.069. 28. ESE Bias 0.075 0.000 0.071 0.002 0.067 0.001 0.075 0.003 0.071 -0.001 0.067 0.003. βb2 SSD 0.075 0.070 0.066 0.074 0.069 0.066. ESE 0.075 0.071 0.068 0.075 0.071 0.068.
(41) Table 3.22: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. 400. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.003 0.001 0.003 0.004 -0.001 0.003 0.002 0.003 0.003 -0.003 -0.001 -0.001 -0.003 0.001 -0.004 -0.001 -0.001 -0.002 -0.001 0.001 -0.002. SSD 0.076 0.071 0.070 0.076 0.072 0.069 0.072 0.074 0.066 0.077 0.071 0.072 0.073 0.072 0.067 0.072 0.076 0.067 0.078 0.073 0.071. 29. ESE 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069 0.075 0.071 0.069. Bias 0.000 0.004 0.001 0.005 -0.001 0.004 0.001 0.003 0.000 0.003 -0.002 0.005 -0.002 0.005 -0.003 -0.005 -0.001 -0.008 0.006 0.002 0.004. βb2 SSD 0.149 0.140 0.136 0.148 0.138 0.134 0.146 0.141 0.136 0.148 0.144 0.136 0.143 0.144 0.131 0.150 0.148 0.138 0.155 0.144 0.140. ESE 0.150 0.142 0.138 0.150 0.143 0.138 0.150 0.142 0.138 0.150 0.142 0.138 0.150 0.142 0.138 0.150 0.142 0.138 0.150 0.142 0.138.
(42) Table 3.23: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 Cutpoints(U,L)=(70%, 30%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. 600. 500. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.004 0.001 0.004 0.007 -0.001 0.003 0.002 0.003 -0.001 -0.003 -0.001 -0.003 -0.004 0.001 -0.003 -0.001 -0.001 0.000. SSD 0.080 0.071 0.068 0.081 0.072 0.068 0.074 0.074 0.065 0.082 0.071 0.071 0.077 0.072 0.065 0.076 0.076 0.067. 30. ESE 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067 0.079 0.071 0.067 0.080 0.071 0.067. Bias 0.003 0.004 0.001 0.006 -0.001 0.003 0.002 0.003 -0.003 0.002 -0.002 0.001 -0.002 0.005 0.001 -0.005 -0.001 -0.006. βb2 SSD 0.159 0.140 0.135 0.160 0.138 0.131 0.155 0.141 0.133 0.159 0.144 0.135 0.151 0.144 0.127 0.157 0.148 0.133. ESE 0.159 0.142 0.135 0.159 0.143 0.135 0.159 0.142 0.135 0.159 0.142 0.135 0.159 0.142 0.134 0.159 0.142 0.135.
(43) Table 3.24: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 15, n2 = 5 Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. 900. 800. 700. Method θR θS θP θR θS θP θR θS θP θR θS θP. Bias 0.003 0.001 0.003 0.004 -0.001 0.005 0.002 0.003 0.002 -0.003 -0.001 -0.002. SSD 0.076 0.071 0.068 0.076 0.072 0.068 0.072 0.074 0.063 0.077 0.071 0.069. βb2. ESE Bias SSD 0.075 0.000 0.149 0.071 0.004 0.140 0.067 -0.001 0.132 0.075 0.005 0.148 0.071 -0.001 0.138 0.067 0.006 0.129 0.075 0.001 0.146 0.071 0.003 0.141 0.067 -0.001 0.129 0.075 0.003 0.148 0.071 -0.002 0.144 0.067 0.002 0.131. ESE 0.150 0.142 0.133 0.150 0.143 0.133 0.150 0.142 0.133 0.150 0.142 0.133. Table 3.25: 模擬結果: 二元常態分配下, MODS 的數量為 n = 200, ρ = 0.5, α1 = 0.5, β1 = −0.5, α2 = −0.8, β2 = ln(2), σ1 = 1, σ2 = 2, 輔助樣本數量為 n1 = 30, n2 = 10 Cutpoints(U,L)=(85%, 15%) βb1 population 1000. Method θR θS θP. Bias 0.004 0.001 0.003. SSD 0.080 0.071 0.063. 31. ESE 0.080 0.071 0.064. Bias 0.003 0.004 0.000. βb2 SSD 0.159 0.140 0.125. ESE 0.159 0.142 0.128.
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