平面凸六邊形內臨近周邊的兩相鄰交叉 對角線長度乘積一般化方程式

平面凸六邊形內臨近周邊的兩相鄰交叉

對角線長度乘積一般化方程式

李輝濱

壹、前言

圓 內 接 多 邊 形 圖 形 是 平 面 凸 多 邊 形 的 特 例 之 一，而 與 圓 內 接 多 邊 形 相 關 的 各 類 方 程 式 亦 都 是 平 面 凸 多 邊 形 相 對 應 方 程 式 的 特 例 ！ 有 趣 的 是；研 究 者 可 發 現 從 特 例 方 程 式 的 結 構 雛 形 中 能 夠 發 展 出 推 廣 的 凸 多 邊 形 一 般 化 方 程 式。也 就 是 可 以 自 圖 形 裡 對 應 的 邊 長 與 內 角 相 關 位 置 思 索 研 判 出 一 般 化 方 程 式 的 擴 充 形 態 。 現 在 要 來 觀 察、比 較、探 討 如 何 將 圓 內 接 多 邊 形 的 各 特 例 方 程 式 形 式 推 展 到 一 般 化 圖 形 方 程 式 的 思 考 情 況，憑 藉 著 這 預 期 觀 點，審 慎 規 劃 出 下 述 思 維 運 算 路 線，先 從 少 數 邊 形 的 四 邊 形 、 五 邊 形 圖 形 逐 步 分 析 起 ； (一 ) 在 下 圖 1.平 面 凸 四 邊 形 領 域 裡 有 一 個 震 古 鑠 今 的 著 名 定 理 ； 那 就 是 圓 內 四 邊 形 的 托 勒 密 定 理(Ptolemy theorem)。 見 下 圖 2. 一 個 圓 內 接 四邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄， 圖 1 圖 2 令 線 段

A

₁

A

₂ =

V

₁，

A

₂

A

₃=

V

₂，

A

₃

A

₄ =

V

₃，

A

₄

A

₁=

V

₄， 對 角 線 長

A

₁

A

₃



d

₁， 2 4 2

A

d

A



， 則 托 勒 密 定 理 公 式 型 式 為

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

V

₄··· (1) 現 在 要 將 此 特 例 方 程 式(1)推展 成 平 面 凸四 邊 形 一 般化 方 程 式 ，由 圓 內 接 四邊 形 圖 形 特 徵 ， 先 將 方 程 式(1)等號 兩 側 完 全平 方 ， 得 下式 ；

4 3 2 1 2 4 2 2 3 1 2 2 1

)

(

)

(

)

2

(

d

d



V

V



V

V



V

V

V

V

(

)

(

)

2

1 2 3 4

cos



2 4 2 2 3 1

V

V

V

V

V

V

V

V







因

cos







1

且 圓 內 接 四 邊 形 的 兩 個 對 角 互 為 補 角 關 係 ， 故 得 下 式 ；

(

d

₁

d

₂

)

2



(

V

₁

V

₃

)

2



(

V

₂

V

₄

)

2



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

··· (2) 方 程 式(2)是 從 特 例 方 程 式 (1)推 演 而 來 ； 事 實 上 ， 方 程 式 (2)就 是 托 勒 密 定 理 的 推 廣 ， 也 是 圖1.的 平 面凸 四 邊 形 兩對 角 線 長 度乘 積 一 般 化方 程 式 ！ (二 ) 再 看下 圖 3. 一 個圓 內 接 五 邊形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅， 令 線 段

A

₁

A

₂ =

V

₁，

A

₂

A

₃ =

V

₂， 4 3

A

A

=

V

₃，

A

₄

A

₅ =

V

₄，

A

₅

A

₁=

V

₅， 對 角 線

A

₁

A

₃



d

₁ ,

A

₂

A

₄



d

₂，

A

₄

A

₁



d

₄， 圖 3 (a) 觀 察圖 形 中 的 圓內 接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄ ，必 存 在 有托 勒 密 定 理公 式 為

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

d

₄ ··· (1-1) (b) 對



A

₁

A

₅

A

₄言 ， 邊 長 線 段 4

d

=

V

₄

cos(



2

)

+

V

₅

cos(



1

)

=

V

₄

cos(

A

₄



k

)

+

V

₅

cos(

A

₁



m

)

=

)

cos(

_{4 2} 4

A

 A





V

+

V

₅

cos(

A

₁

 A

₃





)

= -

V

₄

cos(

A

₄



A

₂

)

-

V

₅

cos(

A

₁



A

₃

)

， 將 此

d

₄代 入(1-1)式中 ， 得

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



V

₂

V

₅

cos(

A

₁



A

₃

)

··· (3) 方 程 式(3)即 為 圓內 接 五 邊 形的 兩 對 角 線長 度 乘 積 方程 式 ！ 角 度1=∠ A5A1A4 角 度2=∠ A5A4A1 角 度m=∠ A4A1A2 角 度k=∠ A1A4A3

又 在



A

₁

A

₅

A

₄中 ，

V

₄

sin(



2

)

-

V

₅

sin(



1

)



0

， 再 經 過 同 樣 的 角 度 轉 換 ， 可 得 0 =

V

₄

sin(

A

₄



A

₂

)

-

V

₅

sin(

A

₁



A

₃

)

··· (4) 將(4)式乘 上

V

₂， 即 得 0 =

V

₂

V

₄

sin(

A

₄



A

₂

)



V

₂

V

₅

sin(

A

₁



A

₃

)

··· (5) (c) 由方 程 式(3)的 獨自 平 方 再 加上 方 程 式(5)的獨 自 平 方， 得

(

d

₁

d

₂

)

2



[

V

₁

V

₃



V

₂

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



V

₂

V

₅

cos(

A

₁



A

₃

)]

2+

[

V

₂

V

₄

sin(

A

₄



A

₂

)



V

₂

V

₅

sin(

A

₁



A

₃

)]

2 將 上 式 展 開 再 化 簡 ， 並 變 換 角 度 ， 可 得 下 式 ；

(

d

₁

d

₂

)

2



(

V

₁

V

₃

)

2



(

V

₂

V

₄

)

2



(

V

₂

V

₅

)

2



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



2

V

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅ ··· (6) 因 為 圓 內 接 五 邊 形 的 任 意 兩 內 角 的 和 並 無 特 定 關 係 值 ， 所 以 推 測 這 個 方 程 式(6)必 定 也 是 一 般 形 平 面 凸 五 邊 形 的 一 般 化 方 程 式 ！ 亦 即 先 有 了 方 程 式(3)這 個 假 設 的 特 例 雛 型 概 念，再 思 考 尋 求 推 廣 理 論 的 有 效 推 證 方 法，進 而 論 證 出 完 整 的 結 果 來。而 方 程 式(6)也被 完 美 地 證 明 出 是 一 般 形 平 面 凸 五 邊 形 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 ！ 請 參 考 比 對 下 圖 4.的 一 般 凸 五 邊 形，可 見 到 此 五 邊 形 的 各 邊 長、各 頂 角 及 其 與 兩 相 鄰 對 角 線 長 相 關 位 置 皆 依 圖 形 結 構 很 有 秩 序 且 具 規 律 性 特 徵 地 出 現 在 方 程 式(6)裡 的 各 對應 項 中 。 圖 4、 一 般形 平 面 凸 五邊 形 那 麼，接 下 來 的 平 面 凸 六 邊 形 是 否 也 具 有 此 項 同 類 性 質，可 將 其 特 例 方 程 式 推 展 到 令

人 期 待 的 一 般 化 方 程 式 ？ 答 案 是 肯 定 的。就 讓 讀 者 來 觀 摩 一 下，品 味、鑑 賞 仿 照 上 述 概 念 而 發 展 出 本 篇 正 文 的 演 繹 推 理 論 證 歷 程 ！

貳、本文

詳 細 比 對 平 面 凸 四 邊 形 的 方 程 式(2)與 凸五 邊 形 方 程式(6)，發 現方 程 式(6)的項 數 內 容 完 整 的 包 含 了 方 程 式(2)，方程 式(6)可 由方 程 式(2)間接 推 證 而 得。同 理，平面 凸 六 邊 形的 方 程 式 亦 可 由 方 程 式(6)間 接 導 證 出 來 。 在 導 證 之 前 ， 先 要 看 看 圓 內 接 六 邊 形 內 臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 公 式 的 型 態，再 循 此 型 態 的 軌 跡 脈 絡 來 預 測 一 般 形 平 面 凸 六 邊 形 的 方 程 式。而 在 下 列 撰 文 推 理 演 繹 的 運 算 過 程 中，需 應 用 或 對 照 到 下 述 已 知 的 數 個 基 本 數 學 性 質 ；

一、數學基本性質– 引理

引 理 1.平 面 凸 多邊 形 的 向 量性 質 任 給 一 個 平 面 凸 n 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

_

A

_n1

A

_n， 令 邊 長

A

₁

A

₂ =

V

₁的 向 量 為  1

V

， 3 2

A

A

=

V

₂的 向 量 為  2

V

,



,

A

_n

A

₁=

V

_n的 向 量 為  n

V

, 則 此 平 面 凸 n 邊 形 即 為 此 n 個 向 量 按 順序 箭 頭 接 箭尾 相 加 而 成的 封 閉 凸 n 邊 形 。 依 向 量 加 法 性 質 知 ；



_



 n m 1

V

m 

0

= ₁

(

cos

)



₁

(

sin

)



0

   





V

i

n_m

V

m m

j

n m m



m



此 處



_m為

V

_m在 直 角 坐 標 平 面 上 的 方 位 角 。 

i

為 正 X 軸 方 向的 單 位 向 量， 

j

為 正 Y 軸 方 向 的單 位 向 量, 再由 平 面 正交 坐 標 系 性質 知 ；



n_m1

(

V

_m

cos



_m

)



0

且

(

sin

)

0

1





 n m

V

m



m 現 在 ， 將 頂 點

A

₁置 於 直 角 坐 標 平 面 上 的 原 點 O， 如 下圖(5)， 使

A

₁

A

₂ 邊 完 全 重 疊 並 貼 置 於 X 軸 ， 以使 此 n 邊 形 完 全 落在 第 1 及 第 2 象 限 區 域內(含 X 軸)， 則

V

₁+



n_m2

V

_m

cos[(

m



1

)







_km_2

A

_k

]



0

··· (7) 且

sin[(

1

)

]

0

2 2











  m k k n m

V

m

m



A

··· (8)

圖 5、 凸 n 邊 形 證 明 ： 由 圖 5.知凸 n 邊 形 的內 角 依 次 為

A

₁,

A

₂,

A

₃,



,

A

_n， 而

V

₁的 方 位 角



₁為 零 ， 2

V

的 方 位 角



₂為 π −

A

₂ ,

V

₃的 方 位 角



₃為 (π −

A

₂) + (π −

A

₃) ，

V

₄的 方 位 角



₄為 (π −

A

₂) +(π −

A

₃) +(π −

A

₄) , . . . ,

V

_n的 方 位 角



_n為 (n−1)π −(

A

₂ +

A

₃ +

A

₄+· · · +

A

_n ) 。 將 這 n 個 方 位 角 全 部 代 入 以 下 方 程 式 中 ：

0

)

cos

(

1





 n m

V

m



m 且



1

(

sin

)



0

n m

V

m



m ， 則

0

)

cos

(

1





 n m

V

m



m

=

V

₁+

V

₂cos(π −

A

₂)+

V

₃cos(2π −

A

₂−

A

3)+



+

V

ncos[(n-1) π-



_2

]



0

n k

A

k 將 上 列 等 式 改 寫 成 下 式; 得

V

₁+



n_m2

V

_m

cos[(

m



1

)







_km_2

A

_k

]



0

··· (7) 同 理 , 再 得

sin[(

1

)

]

0

2 2











  m k k n m

V

m

m



A

··· (8) 證 明 完 成 。 引 理 1.的 一 組 方 程 式 (7)與 (8)所 顯 示 的 幾 何 意 義 是 ； 方 程 式 (7)代 表 此 凸 多 邊 形 各 邊 長 在 X 軸 方 向 的投 影 向 量 總和 為 零 ， 方程 式(8)則 表示 凸 多 邊 形各 邊 長 在 Y 軸 方 向 的 投 影 向 量 總 和 為 零 。 引 理 1.的一 組 方程 式(7)與(8)是因 以 線 段

A

₁

A

₂ =

V

₁為 底 ， 疊 置 在 水 平 方 向 X 軸 所 求 得 的 結 果，若 換 成 以

A

₂

A

₃ =

V

₂為 底，將 求 得 類 似 的 另 一 組 方 程 式；以 此 類 推，總 共 會 得 A5 A2 A1 A6 A4 A3 An An-1

出 n 組 。 這n 組 方 程式 是 非常 好 應 用 的， 尤 其 用 在多 邊 形 尋 找邊 長 與 內 角之 間 的 組 合關 係 式 時 至 為 有 效 ！ 引 理 2. 在 平面 上 給 定 一個 凸 n 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

....

A

_n1

A

_n， 則 此 凸 多 邊 形 所 有 內 角 總 和 為

A

₁



A

₂



A

₃



A

₄



....



A

_n1



A

_n





n



2





證 明: 略 。 引 理 3. 任 給一 圓 內 接 偶數 邊 n 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

....

A

_n1

A

_n，n=2k+2，k 為 自 然 數，則 此 多 邊 形 的 頂 角 組 合

A

₁



A

₃



A

₅



A

₇



....



A

_n3



A

_n1



2





2

1

....

₂ 8 6 4 2

















A

A

A

A

A

_n

A

_n

n

證 明: 略 。 引 理 4. 三 角 函數 角 度 的 和差 轉 換 公 式 sin α β sin

α cos β cos α sin β

cos α

β

cos α cos β ∓ sin α sin β

引 理 5. 在 平 面上 給 定 一 個凸 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄， 如 圖 6.

圖 6

令 線 段

A

₁

A

₂ =

V

₁，

A

₂

A

₃ =

V

₂，

A

₃

A

₄ =

V

₃，

A

₄

A

₁=

V

₄， 則 此 凸 四 邊 形 的 面 積 型 餘 弦 公 式 為

V

₄2=

V

₁2+

V

₂2+

V

₃2－ 2

V

₁

V

₂

cos A

₂－2

V

₂

V

₃

cos A

₃+ 2

V

₁

V

₃

cos



A

₂



A

₃



因 上 列 公 式 中 各 項 的 量 綱 都 是 邊 長 的 平 方 ， 故 稱 為 面 積 型 餘 弦 公 式 。 證 明 ： 略 。(請 參閱 本 文 末 參考 文 獻 之 第 1 列 。)

二、平面凸六邊形內臨近周邊的兩相鄰交叉對 角線長度乘積一般化方程式

(一) 首 先 要 來 推導 圓 內 接 六邊 形 鄰 近 周邊 兩 相 鄰 交叉 對 角 線 長度 乘 積 方 程式 在 平 面 上 給 定 一 個 圓 內 接 六 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆， 令 線 段 長

A

₁

A

₂ =

V

₁，

A

₂

A

₃ =

V

₂， 4 3

A

A

=

V

₃，

A

₄

A

₅ =

V

₄，

A

₅

A

₆ =

V

₅，

A

₆

A

₁=

V

₆， 頂 點

A

₁與

A

₃聯 結 的 近 周 邊 對 角 線 長

A

₁

A

₃=

d

₁及

A

₂

A

₄



d

₂， 中 央 對 角 線 長

A

₄

A

₁



d

₄₁， 見 下 圖 7. 圖 7 (1) 對 圖 7.中 的 圓 內接 四 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄有 托 勒 密 定 理 關 係 式 如 下 ；

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

d

₄₁ ，現 在 將其 完 全 平 方， 得 下 式 ； 41 3 2 1 2 41 2 2 3 1 2 2 1

)

(

)

(

)

2

(

d

d



V

V



V

d



V

V

V

d

··· (1-2) (2) 應 用引 理 5.對 四邊 形

A

₁

A

₄

A

₅

A

₆可 得 下 列 餘 弦 關 係 式 ；

d

₄₁2=

V

₄2+

V

₅2+

V

₆2－ 2

V

₄

V

₅

cos A

₅－2

V

₅

V

₆

cos A

₆+ 2

V

₄

V

₆

cos



A

₅



A

₆



··· (d-1)

(3) 應 用引 理 1.取 n=4 代 入 方 程式(7)與 (8)， 並作 內 角 轉換 ， 可 得 下列 兩 式 ；

V

₁-

V

₂

cos A

₂+

V

₃

cos(

A

₂



A

₃

)

-

V

₄

cos A

₁= 0 ··· (7-1)

V

₂

sin A

₂-

V

₃

sin(

A

₂



A

₃

)

-

V

₄

sin A

₁= 0 ··· (8-1)

5 4 1

A

A

A



=角 度 y 4 1 6

A

A

A



=角 度 t

對 四 邊 形

A

₁

A

₄

A

₅

A

₆並 參 考 方 程 式(7-1)與其 邊 長 及角 度 對 應 關係 ， 可 得 下式 ；

d

₄₁=

V cos

₄

y



V

₅

cos(

y



A

₅

)

+

V

₆

cos

t

(4) 再 由圓 內 接 四 邊形 引 理 3.性 質知 兩 對 角互 為 補 角 關係 ， 可 得 角 度

y



A

₄





A

₁

A

₄

A

₃



A

₄



(





A

₂

)



A

₂



A

₄





， 及

角

t



A

₁





A

₂

A

₁

A

₄



A

₁



(





A

₃

)



A

₁



A

₃





， 將 y 與 t 代 入

d

₄₁中 ， 並 化 簡 ， 得

d

₄₁=



V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)

+

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)



V

₆

cos(

A

₁



A

₃

)

··· (d-2)

(5) 現 在 將

d

₄₁2的(d-1)式 及

d

₄₁的(d-2)式 一 起 代 入 (1-2)式 中 ， 並 逐 次 展 開 ， 循 序 運 算 接 著 重 新 加 以 排 列 整 理 ， 得 下 列 主 要 方 程 式 ；

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 _{1 2 3 4 2 4} 6 2 2 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

A

A

d





















2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂

A

₄

A

₅

)

2

V

₆

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)

2 _{4 5 5} 2

cos

2

V

V

V

A



6 6 5 2 2

cos

2

V

V

V

A



2

2 _{4 6}

cos(

_{5 6}

)

2

V

V

A

A

V





··· (9) (6) 再 應用 引 理 3.的 性質 ， 知

A

₁



A

₃



A

₅



2





A

₂



A

₄



A

₆ ， 作 適 度 的 角 度 轉 換 ， 得 出 新 的 下 列 公 式 ；

(

d

₁

d

₂

)

2



(

V

₁

V

₃

)

2



(

V

₂

V

₄

)

2



(

V

₂

V

₅

)

2



(

V

₂

V

₆

)

2



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos

A

₆



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₅



A

₆

)



2

V

₆

V

₁

V

₂

V

₃

cos

A

₅



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅



2

V

₂2

V

₅

V

₆

cos

A

₆



2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos(

A

₅



A

₆

)

··· (10) 方 程 式(10)即 為 圓 內 接 六 邊 形 內 臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 方 程 式 。 因 方 程 式 內 容 項 數 很 多 很 長，故 以 對 角 線 長 度 乘 積 的 平 方 來 表 述 方 程 式 型 態 較 為 適 切。檢 視 方 程 式(9)，可 見到 六 邊 形 的所 有 邊 長 及內 角 依 著 圖形 結 構 順 序很 有 規 律 地 全 都 出 現 在 各 對 應 項 中 。 根 據 上 述 前 言 的 預 測 思 考 模 式，方 程 式(9)應 該 就 是一 般 形 平 面凸 六 邊 形 內臨 近 周 邊 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 ！ 接 下 來 就 要 看 如 何 證 明 這 個 有 條 理 地 被 預 測 出 的 一 般 化 方 程 式 。

(二) 平 面 凸 六 邊形 內 臨 近 周邊 的 兩 相 鄰交 叉 對 角 線長 度 乘 積 一般 化 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅

A

₆，見 下 圖 8. 令 線 段 長

A

₁

A

₂ =

V

₁， 3 2

A

A

=

V

₂，

A

₃

A

₄ =

V

₃，

A

₄

A

₅ =

V

₄，

A

₅

A

₆ =

V

₅，

A

₆

A

₁=

V

₆，三 臨 近 周 邊 對 角 線 長

A

₁

A

₃=

d

₁，

A

₂

A

₄



d

₂，

A

₅

A

₁



d

₅及 一 個 中 央 對 角 線 長

A

₄

A

₁



d

₄₁； 圖 8 (1) 對圖 8.中 的 凸 五邊 形

A

₁

A

₂

A

₃

A

₄

A

₅部 份 ， 由 應 用 自 方 程 式(6)的 平面 凸 五 邊 形兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 公 式 可 得 相 對 應 的 下 式 ；

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2 _{1 2 3 4 2 4} 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

d

V

V

V

V

A

A

d













2

d

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

k



A

₃

)



2

V

₂2

V

₄

d

₅

cos(

m

)

··· (6-1) (2) 對 圖 8.中 的 三 角形

A

₁

A

₅

A

₆言 ， 由 餘 弦 定 理 可 得 下 式 ；

d

₅2=

V

₅2+

V

₆2－2

V

₅

V

₆

cos A

₆ ··· (d-3) (3) 方 程式(6-1)中 等號 右 側 第 5 項 有

d

₅

cos(

k



A

₃

)

的 未 知 修 正 量，現 在 要 以 作 輔 助 線 幾 何 圖 示 法 來 找 出 這 未 知 修 正 量 與 六 邊 形 的 邊 長 及 角 度 關 係 ； (3a) 請 看 下 圖 9.之 一 般 形 凸六 邊 形 ； 在 頂 點

A

₁處 ， 作 一 直 線 B C 通 過 頂 點

A

₁， 使



BA

₁

A

₂=

A

₃頂 角 ， 則

a

A

k

A

BA

k





1 2





3







， 而

d

5

cos(

k



A

3

)

=

d

5

cos(





a

)

=

a

d

₅

cos



， 又 在 頂 點

A

₅處 作 一 直 線 段

A

₅

D

垂 直 於 直 線 BC， 使 D 點 為 垂 4 5 1A A A  =角 度m 2 1 5AA A  =角 度 k

直 交 點 ， 則 對 直 角



A

₅

A

₁

D

言 ，

d

₅

cos(

k



A

₃

)

=



d

₅

cos

a

的 值 即 為 直 線 段

A

₁

D

長 度 的 負 值 。 (3b) 通過 頂 點

A

₆處 作 一 直 線 段

A

₆

F

垂 直 於 直 線 BC， 使 F 點 為 垂 直 交 點 ， 另 又 通 過 頂 點

A

₆處 作 一 直 線

A

₆

G

平 行 於 直 線 BC， 直 線

A

₆

G

與 線 段

A

₅

D

垂 直 交 於 E 點 。 輔 助 線 幾 何 作 圖 完 成 如 圖 9.。 在 圖 9.中 很 清 楚 鮮 明 地 標 示 出 被 繪 製 出 來 的 各 個 角 度 符 號 位 置 。 . 圖 9 (3c) 在 頂 點

A

₁處 ， 角 度

w





BA

₁

A

₆



2





A

₁





BA

₁

A

₂



2





A

₁



A

₃， 對 直 角



A

₆

A

₁

F

言 ，

V

₆

cos

w



V

₆

cos(

2





A

₁



A

₃

)



V

₆

cos(

A

₁



A

₃

)

， 故

)

cos(

_{1 3} 6

A

A

V



的 值 就 是 直 線 段

A

₁

F

長 度 的 正 值 。 (3d) 在頂 點

A

₆處，由 平 行 線 內 側 角 性 質 知；



EA

₆

A

₁



w





BA

₁

A

₆，而 另 一 小 角 度

s



A

₆





EA

₆

A

₁



A

₆



w



A

₁



A

₃



A

₆



2



， 對 直 角



A

₆

EA

₅ 言 ，

V

₅

cos

s



V

₅

cos(

A

₁



A

₃



A

₆



2



)



V

₅

cos(

A

₁



A

₃



A

₆

)

， 故 在 直 角

5 6

EA

A



中

V

₅

cos(

A

₁



A

₃



A

₆

)

的 值 就 是 直 線 段

A

₆

E

長 度 的 正 值 。 (3e) 圖 9. 中 ， 對 長 方 形

A

₆

FDE

言 ， 線 段

A

₆

E

= 線 段

A

₁

F

+ 線 段

A

₁

D

， 故 ∠A1A5A4=角 度 m ∠A5A1A2=角 度 k ∠A5A1C=角 度 a ∠A6A1B=角 度 w ∠A5A6G=角 度 s

)

cos(

_{1 3 6}

5

A

A

A

V





=

V

₆

cos(

A

₁



A

₃

)



d

₅

cos(

k



A

₃

)

， 移 項 後 ， 得 這 未 知 修 正 量



d

₅

cos(

k



A

₃

)

=

V

₅

cos(

A

₁



A

₃



A

₆

)



V

₆

cos(

A

₁



A

₃

)

··· (d-4)

(4) 方 程式(6-1)中 等號 右 側 第 6 項 有 第 2 個

d

₅

cos(

m

)

的 未 知 修 正 量，同 理，以 作 輔 助 線 幾 何 圖 示 法 來 找 出 這 第 2 個未 知 修正 量 與 六 邊形 的 邊 長 及角 度 關 係；下 圖 10. 中 很 清 楚 明 晰 地 標 示 出 被 繪 製 出 來 的 各 個 角 度 符 號 位 置 。 圖 10 (4a) 請 看上 圖 10.， 在 圖中 自 頂 點

A

₁對 直 線 段

A

₄

A

₅作 一 垂 直 線

A

₁

H

， 使 H 點 為 垂 直 交 點 。 則 對 直 角



A

₁

HA

₅言 ，

d

₅

cos

m

的 值 就 是 直 線 段

A

₅

H

長 度 的 正 值 。 (4b) 自 頂點

A

₆處 作 一 直 線

A

₆

L

垂 直 於 直 線

A

₁

H

， 使 L 點 為 垂 直 交 點 。 另 通 過 頂 點

A

₅處 作 一 直 線

A

₅

M

平 行 於 直 線

A

₁

H

， 直 線

A

₆

L

與 線 段

A

₅

M

垂 直 交 於 M 點 。 因 直 線

A

₆

L

與 線 段

A

₄

A

₅相 互 平 行 ， 由 同 側 內 角 性 質 知 ； 角 度 5

A

x







， 得

V

₅

cos

x



V

₅

(





A

₅

)





V

₅

cos

A

₅， 則 對 直 角



A

₆

MA

₅ ∠A1A5A4=角 度 m ∠A5A1A2=角 度 k ∠A5A6M=角 度 x ∠A1A6L=角 度 z

言 ，

V

₅

cos A

₅的 值 就 是 直 線 段

A

₆

M

長 度 的 負 值 。 (4c) 在 頂 角

A

₆處 ， 角 度

z



A

₆



x



A

₅



A

₆





， 故 對 直 角



A

₆

LA

₁言 ， 得

)

cos(

)

cos(

cos

_{6 5 6 6 5 6} 6

z

V

A

A

V

A

A

V















， 因 此

V

₆

cos(

A

₅



A

₆

)

的 值 就 是 直 線 段

A

₆

L

長 度 的 負 值 。 (4d) 在 圖 10.中 線 段

A

₆

L

= 線 段

A

₆

M

+ 線 段

ML

= 線 段

A

₆

M

+ 線 段

A

₅

H

， 故

)

cos(

5 6 6

A

A

V





=



V

₅

cos A

₅+

d

₅

cos

m

， 移 項 後 ， 得 出 第2 個 未知 修 正 量 為

d

₅

cos

m

=

V

₅

cos A

₅



V

₆

cos(

A

₅



A

₆

)

··· (d-5) (5) 兩 個未 知 修 正 量都 找 到 了，現 在要 將 上述 第(2)段 的(d-3)式、第(3)段 的(d-4)式及 第 (4)段 的(d-5)式 同時 一 起 代 入方 程 式(6-1)式中，再 經化 簡、移 項整 理，最 後證 明 出 充 滿 期 待 又 美 妙 的 下 列 方 程 式(11)式 ；

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

2 _{1 2 3 4 2 4} 6 2 2 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

A

A

d





















2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂

A

₄

A

₅

)

2

V

₆

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)

2 _{4 5 5} 2

cos

2

V

V

V

A



6 6 5 2 2

cos

2

V

V

V

A



2

2 _{4 6}

cos(

_{5 6}

)

2

V

V

A

A

V





··· (11) 這 方 程 式(11)即 為 平 面 凸 六 邊 形 內 臨 近 周 邊 的 兩 相 鄰 交 叉 對 角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 ！ 方 程 式(11)真 的與 圓 內 接 六邊 形 方 程 式(9)完 全 相 同， 確 認 了 我們 的 猜 測 。

三、檢驗

(一) 對 方程 式(11)，若令

V

₆



0

，使 頂 點

A

₆趨 近 至

A

₁，則 平 面 凸 六 邊 形 退 化 成 平 面 凸 五 邊 形，而 方 程 式(11)也 退化 成 平 面 凸五 邊 形 兩 相鄰 交 叉 對 角線 長 度 乘 積的 一 般 化 方 程 式 為

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

2 _{1 2 3 4 2 4} 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

A

A

d













2

V

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅ ··· (6) 其 中 這 一 項



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)

再 經 由 角 度 關 係 被 轉 換 成 五 邊 形 的



2

V

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)

。 (二) 對 方程 式(11)，若同 時 令

V

₆

 V

₅



0

， 使 頂 點

A

₅、

A

₆皆 趨 近 至

A

₁， 則 平 面 凸 六 邊 形 退 化 成 平 面 凸 四 邊 形，而 方 程 式(11)也 退 化 成平 面 凸 四 邊形 兩 交 叉 對角 線 長 度 乘 積 的 一 般 化 方 程 式 為

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

2 _{1 2 3 4 2 4} 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

V

V

V

A

A

d









··· (2) 由 此 可 見 方 程 式(11)正 是 方程 式(6)與 方程 式(2)的 推廣。因 此，方 程 式(11)完 美 涵 蓋 統 一 了 方 程 式(6)與 (2)！ 方 程 式 (11)是 永 恆 至 極 的 正 確 且 其 內 涵 用 途 比 公 元150 年 時 的 托勒 密 定 理 公式 更 寬 廣 強大 ！ (三) 若 此 六 邊 形 內 接 於 一 圓 ， 由 引 理 3. 內 角 和 的 均 分 性 質 ， 代 入 化 簡 後 ， 即 得 2 4 3 2 1 2 6 2 2 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2

cos

(

d

d



V

V



V

V



V

V



V

V



V

V

V

V

A



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₅



A

₆

)



2

V

₆

V

₁

V

₂

V

₃

cos

A

₅



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅



2

V

₂2

V

₅

V

₆

cos

A

₆



2

V

₂2

V

₄

V

₆

cos(

A

₅



A

₆

)

··· (10) (a) 若 令

V

₆



0

， 使 頂 點

A

₆趨 近 至

A

₁， 則 圓 內 接 六 邊 形 退 化 成 圓 內 接 五 邊 形 ， 而 方 程 式(11)式 退化 成 下 式 (3)式 ；

)

cos(

2

)

(

)

(

)

(

)

(

1 2 3 4 2 4 2 5 2 2 4 2 2 3 1 2 2 1

d

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

A

A

d













2

V

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos

A

₅



(

V

₁

V

₃

)

2



(

V

₂

V

₄

)

2

[cos

2

(

A

₂



A

₄

)



sin

2

(

A

₂



A

₄

)]

+

(

V

₂

V

₅

)

2

[cos

2

(

A

₁



A

₃

)



sin

2

(

A

₁



A

₃

)]



2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



2

V

₅

V

₁

V

₂

V

₃

cos(

A

₁



A

₃

)



2

V

₂2

V

₄

V

₅

cos(

A

₁



A

₂



A

₃



A

₄

)



[

V

₁

V

₃



V

₂

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



V

₂

V

₅

cos(

A

₁



A

₃

)]

2+

[

V

₂

V

₄

sin(

A

₄



A

₂

)



V

₂

V

₅

sin(

A

₁



A

₃

)]

2 ··· (12) 對 圓 內 接 五 邊 形 言 ， 有 正 弦 定 理 性 質 ；

V

₄

:

sin(

A

₁



A

₃

)



V

₅

:

sin(

A

₂



A

₄

)

， 故

V

₄

sin(

A

₄



A

₂

)



V

₅

sin(

A

₁



A

₃

)



0

，因 此，上 述(12)式 就 化簡 成 下 列 圓內 接 五 邉 形 方 程 式 ；

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

V

₄

cos(

A

₂



A

₄

)



V

₂

V

₅

cos(

A

₁



A

₃

)

··· (3) (b) 若 令

V

₆

 V

₅



0

，使 頂 點

A

₅、

A

₆皆 趨 近 至

A

₁，則 圓 內 接 六 邊 形 退 化 成 圓 內 接 四 邊 形，而 方 程 式(11)式、(6)式、(3)式與 (2)式 皆 縮減 成 為

d

₁

d

₂



V

₁

V

₃



V

₂

V

₄ 型 態 的 托 勒 密 定 理 公 式 ！

參、結論

(1) 將 特例 方 程 式 內容 結 構 推 廣延 伸 到 一 般化 公 式 型 態無 疑 是 一 項很 重 要 的 思考 模 式，歷 史 上 許 多 著 名 數 學 家 經 常 假 手 這 樣 的 思 維 理 念 而 發 展 出 廣 義 的 一 般 化 理 論，甚 而 展 開 新 視 野 ， 創 見 出 革 新 的 研 究 領 域 ！ (2) 輔 助線 幾 何 作 圖法 在 理 論 推證 過 程 中 佔著 一 席 重 要且 決 定 性 的地 位，藉 著其 作 為 可 以 巧 妙 地 證 明 出 未 知 修 正 量 與 已 知 量 的 相 關 結 合 等 式 關 係，並 因 此 而 知 悉 這 些 未 知 量 在 圖 形 結 構 上 的 實 質 內 涵 意 義 ， 它 的 應 用 真 是 非 常 的 實 際 。 (3) 方 程式(1)式、(3)式、(7)式 與 (8)式 內 容裡 各 項 的 長度 量 與 角 度正 餘 弦 式 都僅 呈 現 一 次 方 的 乘 積 型 態，這 類 型 態 也 只 出 現 於 圓 內 接 多 邉 形 的 對 角 線 長 度 公 式 中，其 餘 情 況 必 有 長 度 量 的 平 方 出 現，例 如；一 般 平 面 凸 多 邊 形 裡 任 一 對 角 線 長 度 的 表 示 式 都 必 有 長 度 量 的 平 方 項。仔 細 觀 察 比 較，可 發 現 圓 內 接 多 邉 形 的 公 式 形 式 要 較 一 般 多 邉 形 者 更 簡 潔 得 多。所 以，研 究 時 務 必 先 從 圓 內 接 多 邉 形 開 始 做 起，使 能 得 事 半 功 倍 之 效 ！ 圓 內 接 四 邉 形 是 圓 內 接 偶 數 邉 數 多 邉 形 的 最 少 邉 數 形，故 有 方 程 式 (1)式 的最 簡 潔 形 式。圓 內 接 五 邉 形 是 圓 內 接 奇 數 邉 數 多 邉 形 的 最 少 邉 數 形，故 有 方 程 式 (3)式 的 簡 潔 形 式 。 (4) 含 有 cos 項 的 所有 方 程 式 中，每 一 cos 項 裡 出 現 的角 度 或 角 度組 合 都 呈 現規 律 性 地 分 佈 ； 請 看 凸 六 邉 形 方 程 式 中 的 這 一 項

2

V

₁

V

₂

V

₃

V

₅

cos(

A

₂



A

₄



A

₅

)

， 將 其 邉 長 乘 積

5 3 2 1

V

V

V

V

分 成 兩 對 ， 第 一 對 為

V

₁

V

₂， 而 這 兩 邉 長

V

₁及

V

₂在 圖 形 中 依 序 排 列 所 夾 的 角 度 恰 是

A

₂。 第 二 對 為

V

₃

V

₅， 這 兩 邉 長

V

₃及

V

₅在 圖 形 中 依 序 排 列 自

V

₃至

V

₅所 夾 的 角 度 恰 是

A

₄



A

₅。 以 此 歸 納 出 cos 裡 的 角 度 組 合 為

A

₂



A

₄



A

₅！ 再 看 另 一 項 5 5 4 2 2

V

V

cos A

V

，前 一 對 是

V

₂2，這 兩 邉 長

V

₂自 身 互 相 重 疊 沒 有 夾 角，後 一 對

V

₄

V

₅所 夾 的 角 度 就 是

A

₅， 故 組 合 起 來 只 有

A

₅這 個 角 度 。 確 實 很 有 規 律 。 所 有 cos 項 裡 的 角 度 組 合 結 構 都 按 如 此 的 規 律 去 操 作 。 (5) 本 文論 述 所 秉 持的 中 心 信 念方 針 就 是 尋覓 確 立 規 律性，完 整 一致 的 規 律 性必 能 統 合 同 系 列 類 型 的 主 題，使 這 些 類 型 標 的 相 互 包 含 依 持 並 構 成 恆 常 一 貫 關 聯 性 的 整 體 連 續 脈 絡 ， 這 般 思 維 希 望 能 引 致 讀 者 的 共 鳴 。

參考文獻

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