中學生通訊解題第102-103 期題目參考解答及評註

中學生通訊解題第

102-103 期題目參考解答及評註

臺北市立建國高級中學 數學科

設 有

n

個 實 數 x x x₁, , ,...,_{2 3} xn， 其 中 每 一 個 i x ， 不 是 1 就 是 1 ， 且 1 1 2 2 3 1 ... n n 0 n x x x x x x x x       。 試 證 ：n 是 4 的 倍 數 。 參 考 解 答 ： 令 1 (1 1) i i i x y i n x_     ， ₁ n n x y x  ， 因 為x_i不 是1就 是1， 所 以 y_i不 是1就 是1。 設 y y₁, ,...,₂ yn這 n 個 數 中 有 a 個 1， b 個 1  ， 則a b n  。 又 y₁y₂ ... yn         ， a ( 1) b ( 1) a b 因 為a b  ，即 a b0  ，所以n2b。 又 由 於 1 2 1 2 2 3 1 ... ... n 1 n x x x y y y x x x     ， 即( 1) ( 1)_ a_{ } b _{ ，所以 ( 1)}1 _ b _{ 。 1} 故b 為偶 數，設b2m，則n4m，故n 是 4 的 倍 數。 【 解 題 評 析 】 1. 有 些同 學 直 接討 論n ，或 4 的倍數使4 得 原 式 成 立，論 述 的 方 式 不 足 以 解 決 本 題 。 2. 有 些同 學 未 將( 1 )代表何式作說明，即 展 開 論 述，以 致 表 達 不 清，文 字 表 達 的 能 力 需 要 再 加 強 練 習 。 設 a,b,c 為 正 整 數 ， 且 滿 足 13 2 2 2_{b c abbcca} a ， 求abc的 最 小 值 。 簡 答 ：8 參 考 解 答 ： 由

a ,

,

b

c

的 輪 換 對 稱 性，不 妨 設abc。 令abm,bcn， 則acmn， 且 ] ) ( ) ( ) [( 2 1 2 2 2 2 2 2 c a c b b a ca bc ab c b a            13 ] ) ( [ 2 1 2_ 2_{ } 2 _  m n m n ， 即m2mnn2 13。 對 於 m 的 方 程 式 有 判 別 式 0 3 52 ) 13 ( 4 2 2 2_{    } n n n D 又

n

為 非 負 整 數 0 4 3 52 2_{  n} n 得 ， 又

m

為 非 負 整 數，故 判 別 式D必 須 為 完 全 問 題 編 號 10201 問 題 編 號 10202

平 方 數 ， 且 2 D n m  ， 檢 驗 如 下 ： (1) 當n0時 ，D52(不 合)。 (2) 當 n1 時 ， D4972 ， 此 時 ， 3 2 7 1     m 。 8 5 3 1 4 3 13                    c c b a b c c b a c ba b (因為

c



1

)。 (3) 當n2時 ，D40(不 合)。 (4) 當 n3 時 ， D2552 ， 此 時 ， 1 2 5 3 _   m 。 10 7 3 3 4 1 3 1                      c c b a c b b c a c b b a (因為

c



1

)。 (5) 當n4時 ，D422， 此 時 ， 1 2 2 4      m (不 合)。 所 以 ， 當a5,b2,c1時 ，abc取 得 最 小 值8。 【 解 題 評 析 】 1. 本 題詳 解 解 題重 點 是 由a ,,b c的 輪 換 對 稱 性 出 發(設abc)， 再配 合 方 程 式 的 改 寫，及 判 別 式 的 討 論，最 後 由a ,,b c 皆 為 正 整 數 的 條 件 ， 即 可 討 論 出 c b a  的 最 小 值 。 2. 大 部分 作 答 同學 是 由a ,,bc的 輪 換 對 稱 性 出 發(設abc)， 並化 簡 成 26 ) ( ) ( ) (ab 2 bc2 ac2  後 ， 討 論 滿 足 方 程 式 時 ，(ab)2,(bc)2,(ac)2 的 兩 類 可 能 為1,9,16或0,1,25的 排 列，再 經 計 算 後 可 得0,1,25必 不 滿 足 方 程 式 ， 但1,9,16有 解 ， 且 8 1 , 2 , 5        b c a b c a ， 而 10 1 , 4 , 5        b c a b c a ， 因 此 最 小 值 為8。 3. 另 有 一 部 分 同 學 是 由a ,,b c的 輪 換 對 稱 性 出 發(設abc)，直 接由a ,,bc皆 為 正 整 數 的 條 件 ， 窮 舉 討 論 8 , , 5 , 4 , 3    b c a ，分 析 各 種 情 形 下 代 回 原 式 是 否 成 立 ， 最 後 得 到 7 , , 5 , 4 , 3 _   b c a 皆 不 合 ， 但 是 8 1 , 2 , 5        b c a b c a 滿 足 原 式 ， 進 而 可 得8為 最 小 值 。 4. 未 得 滿 分 的 同 學 幾 乎 都 有 掌 握 本 題 的 重 點，只 是 有 的 是 討 論 過 程 有 疏 漏 或 是 沒 說 明 窮 舉 討 論 abc3,4,5,,7都 不 合 後 ， 為 何 abc8可 以 是 最 小 值 ？ 才 因 此 被 扣 分 。 如 圖，在 △ABC中，點 D在BC上，已 知 AD 是BAC 的平分線， 試 證 明 ： AD2  ABACDBDC。 D C B A 問 題 編 號 10203

2 1 y c _b x   E A B D C 參 考 解 答 ： 如 下 圖，在AD 上 取一 點 E 使1 = 2，連 接BE， 令        c AC b AD x DE y BD CD AB , , , , , ， 則ADC ~ABE  c x₌ y x b   x2 _{= bc  xy………(1)} ADC ~BDE 



x

=

y



 xy =  代 入(1)式  x2 _{= bc  。} 【 解 題 重 點 】 本 題 是 屬 於 較 容 易 的 幾 何 證 明 題 ， 有 幾 個 思 考 方 向 ； 1. 作ABC 之外接圓，利用圓冪定理處理 之 。 2. 過 D 點 作

AB

之 平 行 線，利 用 相 似 三 角 形 解 之 。 3. 作

BC

之 垂 線 段

AH

，利 用 畢 氏 定 理 暴 力 解 之 。 4. 利 用餘 弦 定 理(不 鼓 勵 此 方法)。 如 圖 ， 在 △ ABC 中 ， BD CE 分 別 為, , ABC ACB   的 角 平 分 線 ， 且 BD CE ， 試 證 明 ：ABC ACB。 參 考 解 答 ： 如 圖 ， 令 , , , , , BC a AC b AB c CD d BE e     已 知BD CE ， 則 2 2 ( ) ( ) BD ac d b d  ab e c e  CE ， 2 2 ac bd d  ab ce e  ---(a) 又 BD CE 分 別 為, ABC,ACB 的 角 平 分 線，則 a e bc e 且 a d c b d ，則ac ae be  且ab ad cd 則ac ae be  且ab ad cd  ---(b) 將(b)代入(a)之 中， 得_{ae be bd d  } 2 _{ad cd ce e  } 2 問 題 編 號 10204

2 2 ₀ ( ) ( ) ( )( ) 0 ( )( ) ( )( ) 0 ( )( ) 0 ae be ce ad bd cd d e a b c e a b c d d e d e a b c e d d e d e a b c d e e d                               則a b c d e    0或e d 0 但b d 且c e ，故a b c d e    0，因 此 0 e d  ， 即d e---(c) 將 (c) 代 回 (b) 之 中 ac ad bd  且 ab ad cd  ， 相 除 得 ac ad bd ab ad cd    ， 則 c a b b a c    則 acc2 abb2,(abc)(bc)0 ， 但 0   b c a ，故b c ，所 以ABC ACB。 【 解 題 評 析 】 這 一 道 數 學 題 是 在 西 元 1840 年 時，由 雷 姆 斯 (C.Lehmus)向 斯 坦 納 (J.Steiner)提 出 的 問 題 ， 後 世 稱 為Steiner-Lehmus 定 理 。 多 數 同 學 以 巧 添 輔 助 線 的 幾 何 作 法 答 對 ， 只 要 在 搜 尋 網 頁 中 輸 入 關 鍵 字 「 角 平 分 線 等 長 」 就 可 找 到 許 多 相 關 證 明 ； 在 此 提 供 另 一 種 代 數 作 法 ， 我 們 利 用 本 期 通 訊 解 題 中 的 10203 題 ， 關 於 角 平 分 線 長 度 的 公 式 來 證 明 此 題 。 利 用 幾 何 作 法 向 外 作 輔 助 線 造 出 平 行 四 邊 形 的 有 王 子 瑜 、 陳 宗 葳 、 徐 嘉 宏 、 江 陸、陳 柏 宇、葉 峻 豪、游 承 洋、鍾 尚 軒 、 李 承 翰 同 學 ； 利 用 幾 何 作 法 向 內 作 輔 助 線 造 出 等 腰 三 角 形 的 有 余 竑 勳 、 吳 晟 維 、 曾 則 皓 、 謝 耀 慶 、 游 垚 騰 、 蔡 子 暘 、 蔡 宜 庭 同 學 ； 利 用 向 內 造 輔 助 線 利 用 類 似 解 答 所 附 代 數 作 法 計 算 的 有 顏 君 瑋 、 蔡 沛 愷 、 高 暐 竣 、 鄭 容 濤 同 學 。 以 上 同 學 都 可 獲 得 滿 分 7 分 。 另 外 有 少 數 同 學 犯 了 使 用 結 論 來 作 推 導 依 據 的 錯 誤 ， 一 開 始 就 認 定 兩 底 角 相 等 ， 或 者 腰 上 兩 點 連 線 平 行 底 邊 ， 只 獲 得 1 分 。 會 來 投 稿 建 中 通 訊 解 題 ， 多 數 是 所 謂 「 數 學 感 」 較 佳 的 同 學 ， 許 多 定 理 已 經 操 作 的 相 當 熟 練 ， 表 示 平 日 數 學 訓 練 充 足 ， 值 得 欣 慰 ； 但 也 正 因 如 此 ， 所 以 在 證 明 過 程 中 常 會 有 省 略 、 跳 步 驟 、 上 下 句 邏 輯 銜 接 不 夠 的 小 毛 病 。 以 本 題 為 例 ， 許 多 同 學 不 自 覺 得 使 用 例 如 「 樞 紐 定 理 」 、 「 樞 紐 逆 定 理 」 、 「 大 邊 對 大 角 定 律 」 、 「 大 角 對 大 邊 定 律 」 、 「 三 一 律 」 等 ， 但 有 些 同 學 卻 沒 有 詳 述 何 時 使 用 何 者 推 導 ； 如 果 同 學 們 將 來 證 明 時 ， 能 夠 補 上 在 每 一 步 驟 使 用 的 定 律 或 定 理 ， 那 證 明 會 更 加 完 美 。

甲 乙 丙 丁 四 個 人 做 傳 球 練 習 ， 球 首 先 由 甲 傳 出 ， 每 個 人 得 到 球 後 都 等 機 率 地 傳 給 其 餘 三 個 人 之 一，設

P

_n表 示 經 過 n 次 傳 遞 後 球 回 到 甲 手 中 的 機 率 ， 求 ： (1)P₆之 值 。 (2)P_n(以 n 表 示 之) 簡 答 ：(1) 243 61 _{(2) )} 1 3 1 ( 4 1 4 1_{ }   n n P 參 考 解 答 ： 經 過 一 次 傳 遞 後 ， 落 在 乙 丙 丁 手 中 的 機 率 分 別 為 3 1 ， 而 落 在 甲 手 中 的 機 率 為 0， 因 此

P

₁= 0，兩 次 傳 遞後 球 落 在 甲手 中 的 機 率 為P₂= 3 1 × 3 1 + 3 1 × 3 1 + 3 1 × 3 1 ＝ 3 1 下 面 考 慮 遞 推 ， 要 想 經 過 n 次 傳 遞 後 球落 在 甲 的 手 中，那 麼 在 n－ 1 次 傳遞 後 球 一 定 不 在 甲 手 中 ， 所 以P_n＝ 3 1_(1－ 1  n P ), n＝1, 2, 3, 4, …, 因 此 3 P ＝ 3 1 (1－

P

₂)＝ 3 1 × 3 2 ＝ 9 2 , 4 P ＝ 3 1 (1－

P

₃)＝ 3 1 × 9 7 ＝ 27 7 , 5 P ＝ 3 1_(1－ 4 P)＝ 3 1_× 27 20 ＝ 81 20 _, 6 P ＝ 3 1_(1－ 5 P )＝ 3 1_× 81 61 ＝ 243 61 _, ∵P_n＝ 3 1_(1－ 1  n P ) ∴P_n－ 4 1 ＝ － 3 1 (P_n1－ 4 1 ) n P － 4 1 ＝(P1－ 4 1 ) ) 1 3 1 (   n 所 以P_n＝ 4 1 － 4 1 ₎ 1 3 1 (   n _。 【 解 題 重 點 】 1. 首 先，當 球 在甲 手 中 時，經 過一 次 傳遞 後 ， 落 在 乙 丙 丁 手 中 的 機 率 分 別 為 3 1_, 而 落 在 甲 手 中 的 機 率 為0，根 據 這 個 數 學 性 質 遞 推 下 去 。 2. 先 求P₁= 0， 再思 考 P_n、P_n1的 關 係 ： 在 n－1 次 傳 遞 後                        3 1 再傳給甲機率 ) (1 球不在甲手中機率 不可能再傳給甲 球在甲手中機率 一次傳遞 1 一次傳遞 1 n-P P 因 此P ＝_n 3 1 (1－P_n1), n＝1, 2, 3,… ， 由 遞 迴 數 列 求 出P ，這 是 此 題 的思 考 過_n 程 。 3. 一 些 同 學 利 用P 、₁ P 、₂ P 、₃ P 、₄ P 、₅ P₆ 推 測 出P ， 但 未 加 以 說 明_n P 對 所 有 正_n 整 數 結 論 都 成 立 ， 過 程 不 夠 嚴 謹 。 問 題 編 號 10205

設 p 、₁ p 、₂ …、 p 是 由質 數 組 成 的_n n 項 數 列，已 知 p₁ p₁_ p_n且 這n 個 質 數 的 乘 積 等 於 其 總 和 的 5 倍 ， 試 求n 的 值 及 此數 列 的 各 項 。 簡 答：n ，（2、5、7）及 3 n ，（2、2、4 3、5） 參 考 解 答 ： 由 已 知 條 件 ， 至 少 有 一 個 pj  。 5 令 p 為 其 餘 質 數中 的 最 大 值，A 為 5、p 以 外n 個質數的總和，B 為 5、p 以外2

n



2

個 質 數 的 乘 積 ， 則 有5 5



 p A



5pB， 即5  p A pB_(1) 又 ， 當x y,  ，2



1



1 1 0



xy x y   x y   ，即xy x y。 由(1)式 ， 若n ， 則2 A ，0 B ， 不 符1 合 。 故n ， B A3  （若n ，則 B A3  ）。 由 (1) 得 知 ， 5  p A pA



n3





p 1



A 1



6     因A2  p 7， 故 p 可 能 的 值 為 2、3、 5、7。  p7  ，僅有另一項 2，（2、5、7）A 2 符 合 。（ 此 時n ） 3  p5  ，亦僅有另一項 2，但（2、A 2 5、5） 不 符 合 。  p3  ，可能有一個 2，或一個 A 4 3，或 二 個 2， 即（2、3、5），（3、3、 5），（ 2、2、3、5），其 中 符 合 的 為（ 2、 2、3、5）  p2  ，可能有一個 2，或二個A 7 2，或 三 個 2，但（ 2、2、5），（ 2、2、2、 5），（2、2、 2、2、5） 均 不 符合 。 故 恰 有 兩 數 列（2、5、7）或（2、2、3、5） 滿 足 題 意 。 【 解 題 評 析 】 1. 本 題要 檢 查 出兩 組 解（2、5、7）與（ 2、 2、 3、 5） 是 容 易 的 ， 重 點 在 於 說 明 其 他 狀 況 是 無 解 的 。 2. 本 題 徵 答 的 同 學 均 由

n

之 值 去 討 論 解，可 惜 的 是 大 部 分 的 同 學 在 說 明 無 解 的 情 況，並 未 證 明。其 中 衛 道 國 中 高 暐 竣 同 學 利 用 不 等 式 來 估 計 質 數 範 圍，化 簡 了 討 論 的 過 程，過 程 相 當 完 整，值 得 鼓 勵 ， 可 惜 未 說 明n 無 解 。 天 母 國7 中 余 竑 勳 利 用 奇 偶 分 析 協 助 討 論，使 得 整 個 過 程 相 當 的 簡 潔 與 漂 亮 ， 值 得 嘉 勉 ， 可 惜 在 討 論n 時 ， 使 用 的 不 等5 式 有 問 題 。 共 有 幾 個 正 整 數 n 使 1＋5n 是 完 全 平 方 數 ， 並 且 1＋3n



2013？ 簡 答 ：22 參 考 解 答 ： [方 法一 ] 問 題 編 號 10301 問 題 編 號 10302

 ∵1＋3n



2013 ∴n



670  設 1＋5n＝m2 _{，m 為 正 整數 ， 則}

_n

_＝

5

1

2

_

m

， ∵

n

為 正 整 數 ∴ 5 ) 1 )( 1 ( 5 1 2 _{ }   m m m 為 正 整 數 不 妨 設 m＋1＝5k 或 m－1＝5k， k 為正 整 數 當 m＋1＝ 5k 時， ∵n ＝ 5 10 25_k2_{ k} ＝5k2_－2k ∴5k2_{－ 2k 670，1 k11} 當 m－1＝ 5k 時， ∵

n

＝

5

10

25

k

2



k

＝5k2_＋2k ∴5k2_＋2k



_670，

1

 k



11

 若 5k12－2k1＝5k22＋2k2， 則 （k1＋k2） （5k1－5k2＋2） ＝0 但 k1＋k2



0 且 5k1－5k2＋2



0 所 以 5k12－2k1



5k22＋2k2此 22 個

n

值 均 不 相 等 。 故 有 22 個

n

值 。 [方 法二 ]  ∵1＋3n



2013 ∴n



670  設 1＋5n＝m2 _{，m 為 正整 數 ， 則 m}2_≡ 1(mod 5)， 又 m 的 個 位 數 字 m2_{的 個 位 數 字} 0 0 1.9 1 2.8 4 3.7 9 4.6 6 5 5 唯 有 m 的 個 位 數字 為 1,4,6,9 時，滿 足 m2 ≡1 (mod 5) ∵n



670 ∴m2_＝1＋5n



_{3351  m}



₅₇ 得 m＝4,6,9,11,14,16,19,21,24,26,29,31,34 ,3639,41,44,46,49,51,54,56 故 有 22 個

n

值 。 【 解 題 評 析 】 先 說 明 此 題 所 應 用 的 數 學 原 理 與 解 題 想 法 ： [方 法一 ] (1)正 整 數n，1＋3n



2013，是 限 定 n 的範 圍 為 n



670。 (2)設 p 為 質 數，a、b 為 正 整數， abp ，則 a p 或 bp 。 (3)解 一元 二 次 不等 式 。 (4)說 明所 求 出 的 22 個

n

值 均 不 相 等 [方 法二 ](窮 舉 法) (1) (1＋5n)≡1 (mod 5)，得 m2_{≡1 (mod 5)。} (2)窮 舉 m 的 個 位數 字 和 m2_{的 個 位 數 字 的} 關 係 ， 得 到 m 的 個 位數 字 的條 件 。 (3)求 出 m 的 範 圍， 列 出 所 有 的 m 值 。 過 點 O 任 意 作 7 條 直 線，試證：以 O 為 頂 點 的 角 中 必 有 一 個 小 於26。 參 考 解 答 ： 如 圖 ， 點 O 把 7 條 直 線 分 成 14 條 射 線 ， 問 題 編 號 10303

記 為QA₁,QA2,…, QA ，相 鄰兩 射 線 組 成14 14 個 角，記 為1 , 2 , …, 14，其 和 為 一 個 周 角 ， 即1 + 2 + … + 14 = 3600。 若 以 O 為 頂 點 的每 一 個 角 都不 小 於 260_， 則3600 _{= } 1 + 2 + … + 14  260 × 14 = 3640 _{，顯 然 矛 盾，故在} 1 , 2 , …, 14中 ， 必 有 一 個 角 小 於 26。 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 【 解 題 重 點 】 本 題 是 典 型 的 「 鴿 籠 原 理 」 問 題 ， 若 不 使 用 「 鴿 籠 原 理 」 解 之 ， 亦 可 用 「 反 證 法 」 處 理。來 函 的 同 學 大 都 採 用「 反 證 法 」，另 有 少 數 同 學 使 用 直 接 解 法 ， 只 有 桃 園 市 新 興 國 際 中 小 國 中 部 游 垚 騰 是 用「 鴿 籠 原 理 」 解 題 。 由 字 母A 和 B 組 成“單 詞 ”，單 詞 中字 母 的 個 數 稱 為 長 度。至 少 有 兩 個A 相 連 的 單詞 稱 為“好 詞”， 試問 ： 長 度 為 6 的“好 詞”有 多 少 個 ？ 簡 答 ：43 參 考 解 答 ： (1)沒 有 B 的 “好 詞 ”： 1 個 ； (2)僅 有一 個 B 的“好 詞 ”：相 當 於 B 插 在 5 個 A 之 間 ， 或 在 單 詞 的 兩 端 ， 故 有 6 個 ； (3)僅 有二 個 B 的“好 詞 ”：無 論這 兩 個 B 置 於 何 處，皆 為 好 詞，相 當 於 在 6 個 位 置 放 兩 個B， 有 15 2 5 6 _ 個 ； (4)僅 有三 個 B 的“好 詞 ”：將連 續 的 兩 個 A 看 作 1 個，插 在 ABBB，BABB，BBAB， BBBA 中 ， 共 有 16 個 好 詞”； (5)僅 有四 個 B 的“好 詞 ”：也 就 是 僅 有 二個 A 的 “好 詞 ”，AA 插 在 BBBB 中或 兩 端， 故 有 5 個 。 共 43 個 好 詞 ”。 在 無 窮 大 的 方 格 紙 上 的 每 個 方 格 中 分 別 寫 有 數 字

1

,

2

,

3

,

4

之 一 ， 並 且 每 種 數 字 至 少 出 現 一 次 。 如 果 一 個 方 格 裡 面 所 寫 的 數 字 剛 好 等 於 寫 在 他 的 四 個(以 邊 相 鄰 的 )鄰 格 中 的 不 同 數 字 的 個 數 ， 則 稱 此 方 格 是 「 好 的 」。試 問：所 有 的 方 格 能 否 都 是 好 的。若 可 能 請 舉 例 說 明 ， 若 不 可 能 請 證 明 之 。 簡 答 ： 不 可 能 問 題 編 號 10305 問 題 編 號 10304

參 考 解 答 ： 不 可 能 。 假 設 存 在 一 種 寫 法 ， 使 得 所 有 的 方 格 都 是 「 好 的 」。 取 出 一 個 寫 著

4

的 方 格A， 那 麼 ， 在 它 的 一 個 鄰 格(稱 為B)中 也 寫 著

4

， 在 它 的 其 餘 三 個 鄰 格 C,D,E 之 一 中 寫 著

1

( 如 圖 1)，顯 然，

1

不 能 寫 在C中，若 不 然，

F

中 也 必 須 寫

4

， 此 時 ， 方 格B就 有 兩 個 鄰 格 都 寫 著

4

， 產 生 矛 盾 。 同 理，

1

不 能 寫 在E中，於 是，

1

就 只 能 寫 在D中 ， 對B的 鄰 格 做 類 似 的 討 論 ， 知 道

1

只 能 寫 在G中 。

F

C

G

B

A

D

E

(圖1) 從 而，在 無 窮 大 的 方 格 紙 上 寫 有 數 字

1

,

4

的 方 格 如 圖2所 示 。 而 數 字 2,3只 能 寫 在 其 分 成 的 22方 格 中 ， 其 中 ， 至 少 有 一 格 寫3( 不 妨 假 設 為 H)， 則I,J中 所 填 的 數 字 其 一 為

2

、 其 一 為

3

，不 妨 假 設J 為

3

，則 I,K均 寫

2

，但 I的 鄰 格 中 有

3

個 不 同 數 字 ， 矛 盾 。

4

4

4

1

4

4

1

4

4

1

4

4

4

4

H

I

4

4

4

J

K

4

1

4

4

1

4

4

1

4

4

4

4

4

4

4

4

(圖2) 【 解 題 重 點 】 本 題 解 題 重 點 在 先 取 出 一 個 寫 著

4

的 方 格，由 於

4

旁 邊 一 定 要 有

1

,2,3,4，

1

的 旁 邊 如 果 有

4

， 則 四 周 一 定 都 是

4

，

2

旁 邊 只 能 有 兩 組 數 字 相 同 ，

3

旁 邊 只 能 有 一 組 數 字 相 同 。 先 找 出

4

和

1

所 組 成 的 骨 架 後 ， 再 討 論 中 間 的 部 分 在 放 入 數 字

2

,

3

之 後 有 矛 盾，即 可 證 明 本 題 不 可 能 存 在 方 格 是「 好 的 」。