第一次期中考數學

師大附中九十八學年度高二下數學科自然組第一次段考試題

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題5分，共30分 (該題全對得5分，錯1個選項得2.5分，錯2個選項(含)以上得0分) 1.下列哪些選項的敘述是正確的？ (A)兩個相同的拋物線可以組成一個雙曲線。 (B)若直線與雙曲線恰交於一點，則此直線就是雙曲線的切線。 (C)如右圖(一)，曲線為雙曲線的一支，若平行貫軸的光線， 經雙曲線反射之後，其反射光會通過雙曲線的焦點。 (D)馬克斯威爾通話器是利用聲音經由拋物面 的焦點發出，反射後會平行對稱軸到達 另一個拋物面  ，再反射聚集於拋物面  的焦點，以達通話的功能。 (E)現在醫學上，體外震波碎石機是採用一個橢圓型的反射器，將震波從橢圓的一焦點 發出，聚集到橢圓的另一焦點(病患身上結石的位置)，以達擊碎石頭的目的。 2.下列哪些選項的敘述是正確的？ (A)太陽系中，彗星繞太陽運行的軌道可以是任何的圓錐曲線。 (B)太陽系中，彗星的運行軌跡有可能從橢圓軌道改變成拋物線軌道。 (C)太陽系中，八大行星離太陽越遠的行星其橢圓軌道的離心率越小。 (D)拉塞福原子模型中， 粒子撞擊原子核時，其軌跡必為雙曲線的一支。 (E)蓋賽格林式反射望遠鏡是利用雙曲線與拋物線的光學性質設計而成的。 3.在坐標平面上，有關點 P(x，y)，下列哪些敘述是正確的？ (A)若 P 點滿足 2 2 3 2 ( 1) ( 1) 10 x y x  y    ，則 P 點的軌跡圖形為拋物線。 (B)若 P 點滿足 (x1)2(y1)2  (x1)2(y1)2 2 2，則 P 點的軌跡圖形為橢圓。 (C)若 P 點滿足 (x1)2(y1)2  (x1)2(y1)2  2，則 P 點的軌跡圖形為雙曲線。 (D)若 P 點滿足 2 2 (x1)  y  ，則 P 點的軌跡圖形為拋物線。 x (E)若 P 點滿足 2 2 (x1)  y   2 x 1，則 P 點的軌跡圖形為雙曲線。 4.下列哪些選項的直線與雙曲線 2 2 1 4 2 x y   不相交？ (A)x 2y (B)1 x2y (C)0 x y 2 (D) 2x   (E) 2y 3 x y 6 5.在坐標平面上，有一直線L x：  3與一圓 2 2 1 C x： y  ，若有一圓 P 與直線 L 相切，且與圓 C 外切，則有關此圓 P 的圓心軌跡圖形，下列哪些選項的敘述是正確的? (A)軌跡圖形為拋物線。 (B)軌跡圖形的正焦弦長為 8。 (C)直線y 為軌跡圖形的對稱軸。 (D)點( 20  ，0)為軌跡圖形的焦點。 (E)直線L x：  3為軌跡圖形的準線。 貫軸所在直線 圖(一)

6.若 a、b 兩數皆為不等於零的實數，則直線ax   與曲線y b 0 2 2 ax by ab的圖形可能為下 列哪些選項？

第二部分：填充題，每題 5 分，共 60 分 1.若拋物線通過( 2 ，1)和(1， 2 )，且對稱軸為x 1 0，則求此拋物線方程式為 。 2.如圖(二)，一個以直線 L 為中心軸且半徑為 4 的直圓柱面被 xy 平面所截出的截痕橢圓中，已 知此橢圓上 A、B 兩點，線段 AB 與直線 L 交於 O 點， AB 亦為此橢圓的最長之焦弦，且 AB 在 直線 L 的正射影長為 6，則求此橢圓方程式為 。 y x 4 A B L O 圖(二) 3.已知等軸雙曲線 的中心坐標為(1，1)，且  有一焦點為(5，1)，求雙曲線  的方程式 為 。 4.若拋物線x y2 ay(b2 的頂點落在 y 軸上，求 a 和 b 的關係式為 。 4) 5.設F 、₁ F 為坐標平面上橢圓₂ 2 2 1 16 x y k   的兩個焦點，有一直線通過F 點，且與橢圓相交₁ 於 A、B 兩點，若△ABF 的周長為₂ 24，則k  。 6.如圖(三)，曲線部分是拋物線的一部分，F 點為拋物線的焦點，已知拋物線上 A 、 B 兩點滿足 1   AF BF ，且AFB120，則此拋物線的焦距為 。 F A B 圖(三)

7.如圖(四)，設點 P(a，b)為橢圓 2 2 1 25 16 x y   上之一點，且落在第一象限，A、B 兩點為橢圓的頂 點。若當四邊形 PBOA 的面積為最大時，此時a b 。 8.如圖(五)，若橢圓 2 2 1 16  x y k 與雙曲線 2 2 1 8   x y k 共焦點F 、1 F ，橢圓與雙曲線相交於第一象2 限的 P 點，則PF₁PF₁ 。 9.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 5x2 y210x4y19 的兩個焦點，已知點 P 的坐標 0 為(4， 7 )，求F PF_{1 2}的角平分線方程式為 。 10.假設光源落在第二象限的點 P( 2 ，h)，有一橢圓形障礙物，其方程式為 2 2 1 4 9 x _ y _{ 。} 若光源要照到點(4，0)，則 h 的的最小值為 。 11.若圓錐曲線:x2ay2   與拋物線2 a 0 y2 2x有四個交點，則a的範圍為 。 12.如圖(六)，已知橢圓 2 2 1 2 8 x _ y _{ 內接三角形 ABC 中，已知 A( 1 ， 2 )，} △ABC 的重心為原點 O，求BC  。 第三部分：計算題，每小題 5 分，共 10 分 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF1：PF2 = 2：1，則△F PF 的周長為何？1 2 (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標為何？ x y A B C O 圖(六)

師大附中九十八學年度高二下數學科自然組第一次段考答案卷

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 30 分 (該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 2.5 分，錯 2 個選項(含)以上得 0 分) 1 2 3 4 5 6 第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 60 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF₁：PF₂ = 2：1，則△F PF 的_{1 2} 周長為何？ 答： (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標 為何？ 答：

師大附中九十八學年度高二下數學科自然組第一次段考答案卷

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號

第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 30 分

(該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 2.5 分，錯 2 個選項(含)以上得 0 分)

1 2 3 4 5 6

DE ABE CDE D ABC BCD

第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 60 分。 1 2 3 4 5 6 2 (x1)    y 2 2 2 1 25 16 x _ y _ 2 2 ( 1) ( 1) 1 8 8 x _ y _ 2 2 1 16 4 a _b _ 36 0.75 7 8 9 10 11 12 5 2 2 2 10 2   12 3x  y 5 _{3 3} a 2 15 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF₁：PF₂ = 2：1，則△F PF 的_{1 2} 周長為何？ 答：28。 (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標 為何？ 答：16 5 。

師大附中九十八學年度高二下數學科社會組第一次段考試題

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題5分，共30分 (該題全對得5分，錯1個選項得3分，錯2個選項得1分，錯3個選項(含)以上得0分) 1.下列哪些選項的敘述是正確的？ (A)兩個相同的拋物線可以組成一個雙曲線。 (B)若直線與雙曲線恰交於一點，則此直線就是雙曲線的切線。 (C)如右圖(一)，曲線為雙曲線的一支，若平行貫軸的光線， 經雙曲線反射之後，其反射光會通過雙曲線的焦點。 (D)馬克斯威爾通話器是利用聲音經由拋物面 的焦點發出，反射後會平行對稱軸到達 另一個拋物面  ，再反射聚集於拋物面  的焦點，以達通話的功能。 (E)現在醫學上，體外震波碎石機是採用一個橢圓型的反射器，將震波從橢圓的一焦點 發出，聚集到橢圓的另一焦點(病患身上結石的位置)，以達擊碎石頭的目的。 2.如右圖以O為圓心，其半徑分別為1、2、3、4、5的同心圓；另外 多組平行線與這些同心圓相切。已知A點落在以O為焦點，開口 向右的拋物線 上，試問下列哪些點也會落在拋物線  上？ (A)P (B)Q (C)R (D)S (E)T 3.在坐標平面上，有關點 P(x，y)，下列哪些敘述是正確的？ (A)若 P 點滿足 ( 1)2 ( 1)2 3 2 10 x y x  y    ，則 P 點的圖形為拋物線。 (B)若 P 點滿足 (x1)2(y1)2  (x1)2 (y1)2 2 2，則 P 點的圖形為橢圓。 (C)若 P 點滿足 2 2 2 2 (x1) (y1)  (x1) (y1)  2，則 P 點的圖形為雙曲線。 (D)若 P 點滿足 (x1)2 y2  ，則 P 點的圖形為拋物線。 x (E)若 P 點滿足 (x1)2 y2   2 x 1，則 P 點的圖形為雙曲線。 4.下列哪些選項的直線與雙曲線 2 2 1 4 2 x y   不相交？ (A)x 2y (B)1 x2y (C)0 x y 2 (D) 2x   (E) 2y 3 x y 6 5.在坐標平面上，有一直線L x：  3與一圓 2 2 1 C x： y  ，若有一圓 P 與直線 L 相切，且與圓 C 外切，則有關此圓 P 的圓心軌跡圖形，下列哪些選項的敘述是正確的? (A)軌跡圖形為拋物線。 (B)軌跡圖形的正焦弦長為 8。 (C)直線y 為軌跡圖形的對稱軸。 (D)點( 20  ，0)為軌跡圖形的焦點。 (E)直線L x：  3為軌跡圖形的準線。 O P Q R S T ● ● ● ● ● ● ● A 貫軸所在直線 圖(一)

6.若 a、b 兩數皆為不等於零的實數，則直線ax   與曲線y b 0 2 2 ax by ab的圖形可能為下 列哪些選項？

第二部分：填充題，每題 5 分，共 60 分 1.若拋物線通過( 2 ，1)和(1， 2 )，且對稱軸為x 1 0，則求此拋物線方程式為 。 2.如圖(二)，一個以直線 L 為中心軸且半徑為 4 的直圓柱面被 xy 平面所截出的截痕橢圓中，已 知此橢圓上 A、B 兩點，線段 AB 與直線 L 交於 O 點， AB 亦為此橢圓的最長之焦弦，且 AB 在 直線 L 的正射影長為 6，則求此橢圓方程式為 。 3.已知等軸雙曲線 的中心坐標為(1，1)，且  有一焦點為(5，1)，求雙曲線  的方程式 為 。 4.若拋物線x y2 ay(b2 的頂點落在 y 軸上，求 a 和 b 的關係式為 。 4) 5.設F 、1 F 為坐標平面上橢圓2 2 2 1 16 x y k   的兩個焦點，有一直線通過F 點，且與橢圓相交 1 於 A、B 兩點，若△ABF 的周長為 24，則2 k  。 6.如圖(三)，曲線部分是拋物線的一部分，F 點為拋物線的焦點，已知拋物線上 A 、 B 兩點滿足 1   AF BF ，且AFB120，則此拋物線的焦距為 公尺。

7.如圖(四)，設點 P(a，b)為橢圓 2 2 1 25 16 x y   上之一點，且落在第一象限，A、B 兩點為橢圓的頂 點。若當四邊形 PBOA 的面積為最大時，此時a b  。 8.如圖(五)，若橢圓 2 2 1 16  x y k 與雙曲線 2 2 1 8   x y k 共焦點F 、1 F ，橢圓與雙曲線相交於第一象2 限的 P 點，則PF₁PF₁ 。 9.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 5x2 y210x4y19 的兩個焦點，已知點 P 的坐標 0 為(4， 7 )，求F PF_{1 2}的角平分線方程式為 。 10.通過(4，0)與橢圓 2 2 1 4 9 x _ y _{ 相切的直線方程式為 。} 11.若圓錐曲線:x2ay2   與拋物線2 a 0 y2 2x有四個交點，則 a 的範圍為 。 12.如圖(六)，已知橢圓 2 2 1 2 8 x _ y _{ 內接三角形 ABC 中，已知 A( 1 ， 2 )，} △ABC 的重心為原點 O，求 BC 的斜率為 。 第三部分：計算題，每小題 5 分，共 10 分 1.設F 、1 F 為坐標平面上雙曲線2 2 2 1 9 16 x y   的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題： (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的周長為何？ 1 2 (2)若 P 點滿足F PF_{1 2} 90，則 P 點的 y 坐標為何？ x y A B C O 圖(六)

師大附中九十八學年度高二下數學科社會組第一次段考答案卷

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 30 分 (該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項(含)以上得 0 分) 1 2 3 4 5 6 第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 60 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的1 2 周長為何？ 答： (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標 為何？ 答：

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命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號

第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 30 分

(該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 3 分，錯 2 個選項得 1 分，錯 3 個選項(含)以上得 0 分)

1 2 3 4 5 6

DE ACD CDE D ABC BCD

第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 60 分。 1 2 3 4 5 6 2 (x1)    y 2 2 2 1 25 16 x _ y _ ( 1)2 ( 1)2 1 8 8 x _ y _ 2 2 1 16 4 a _b _ 36 0.75 7 8 9 10 11 12 5 2 2 2 10 2   12 3x  y 5 3_{( 4)} 2 y  x a 2  2 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的1 2 周長為何？ 答：28。 (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標 為何？ 答：16 5 。

師大附中九十八學年度高二下數學科數資班第一次段考試題

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題5分，共25分 (該題全對得5分，錯1個選項得2.5分，錯2個選項(含)以上得0分) 1.下列哪些選項的敘述是正確的？ (A)兩個相同的拋物線可以組成一個雙曲線。 (B)若直線與雙曲線恰交於一點，則此直線就是雙曲線的切線。 (C)如右圖(一)，曲線為雙曲線的一支，若平行貫軸的光線， 經雙曲線反射之後，其反射光會通過雙曲線的焦點。 (D)馬克斯威爾通話器是利用聲音經由拋物面 的焦點發出，反射後會平行對稱軸到達 另一個拋物面  ，再反射聚集於拋物面  的焦點，以達通話的功能。 (E)現在醫學上，體外震波碎石機是採用一個橢圓型的反射器，將震波從橢圓的一焦點 發出，聚集到橢圓的另一焦點(病患身上結石的位置)，以達擊碎石頭的目的。 2.在坐標平面上，有關點 P(x，y)，下列哪些敘述是正確的？ (A)若 P 點滿足 ( 1)2 ( 1)2 3 2 10 x y x  y    ，則 P 點的軌跡圖形為拋物線。 (B)若 P 點滿足 (x1)2(y1)2  (x1)2 (y1)2 2 2，則 P 點的軌跡圖形為橢圓。 (C)若 P 點滿足 (x1)2(y1)2  (x1)2(y1)2  2，則 P 點的軌跡圖形為雙曲線。 (D)若 P 點滿足 2 2 (x1)  y  ，則 P 點的軌跡圖形為拋物線。 x (E)若 P 點滿足 2 2 (x1)  y   2 x 1，則 P 點的軌跡圖形為雙曲線。 3.下列哪些選項的直線與雙曲線 2 2 1 4 2 x _ y _{ 不相交？} (A)x 2y (B)1 x2y (C)0 x y 2 (D) 2x   (E) 2y 3 x y 6 4.在坐標平面上，有一直線L x：  3與一圓 2 2 1 C x： y  ，若有一圓 P 與直線 L 相切，且與圓 C 外切，則有關此圓 P 的圓心軌跡圖形，下列哪些選項的敘述是正確的? (A)軌跡圖形為拋物線。 (B)軌跡圖形的正焦弦長為 8。 (C)直線y 為軌跡圖形的對稱軸。 (D)點( 20  ，0)為軌跡圖形的焦點。 (E)直線L x：  3為軌跡圖形的準線。 5.若 a、b 兩數皆為不等於零的實數，則直線ax   與曲線y b 0 ax2by2 ab的圖形可能為下 列哪些選項？ 貫軸所在直線 圖(一)

第二部分：填充題，每題 5 分，共 65 分 1. 坐標平面上，若直線 L 通過點 A(0，2)，且與 x 軸及直線L：x6分別交於 P(n，0)、 Q(6，m)，其中 m、n 皆為整數，試問滿足上述條件的直線 L 共有 條。 2.設 a、b 為正整數，若b2 4a且a4b84，則 a 的最小可能值為 。 3.設 a 為複數，若x2(ai x) 2a  有一根為3 0 2i，求另一根為 。 4.如圖(二)，一個以直線 L 為中心軸且半徑為 4 的直圓柱面被 xy 平面所截出的截痕橢圓中，已 知此橢圓上 A、B 兩點，線段 AB 與直線 L 交於 O 點， AB 亦為此橢圓的最長之焦弦，且 AB 在 直線 L 的正射影長為 6，則求此橢圓方程式為 。 5.已知等軸雙曲線 的中心坐標為(1，1)，且  有一焦點為(5，1)，求雙曲線  的方程式 為 。 6.若拋物線 2 2 ( 4) x y ay b  的頂點落在 y 軸上，求 a 和 b 的關係式為 。 7.設F 、₁ F 為坐標平面上橢圓₂ 2 2 1 16 x y k   的兩個焦點，有一直線通過F 點，且與橢圓相交 1 於 A、B 兩點，若△ABF 的周長為 24，則₂ k  。 8.如圖(三)，曲線部分是拋物線的一部分，F 點為拋物線的焦點，已知拋物線上 A 、 B 兩點滿足 1   AF BF ，且AFB120，則此拋物線的焦距為 。 F A B 圖(三)

9.如圖(四)，設點 P(a，b)為橢圓 2 2 1 25 16 x y   上之一點，且落在第一象限，A、B 兩點為橢圓的頂 點。若當四邊形 PBOA 的面積為最大時，此時a b  。 10.如圖(五)，若橢圓 2 2 1 16  x y k 與雙曲線 2 2 1 8   x y k 共焦點F 、1 F ，橢圓與雙曲線相交於第一2 象限的 P 點，則PF₁PF₁ 。 11.假設光源落在第二象限的點 P( 2 ，h)，有一橢圓形障礙物，其方程式為 2 2 1 4 9 x _ y _{ 。} 若光源要照到點(4，0)，則 h 的的最小值為 。 12.若圓錐曲線:x2ay2   與拋物線2 a 0 y2 2x有四個交點，則 a 的範圍為 。 13.如圖(六)，已知橢圓 2 2 1 2 8 x y   內接三角形 ABC 中，已知 A( 1 ， 2 )， △ABC 的重心為原點 O，求 BC  。 第三部分：計算題，每小題 5 分，共 10 分 1.設F 、1 F 為坐標平面上雙曲線2 2 2 1 9 16 x y   的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題： (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的周長為何？ 1 2 (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標為何？ x y A B C O 圖(六)

師大附中九十八學年度高二下數學科數資班第一次段考答案卷

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號 第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 25 分 (該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 2.5 分，錯 2 個選項(含)以上得 0 分) 1 2 3 4 5 第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 65 分。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的1 2 周長為何？ 答： (2)若 P 點滿足F PF1 2 90，則 P 點的 y 坐標 為何？ 答：

師大附中九十八學年度高二下數學科數資班第一次段考答案卷

命題範圍：第一章圓錐曲線 班級 姓名 座號

第一部分：多重選擇題，每題 5 分，共 25 分

(該題全對得 5 分，錯 1 個選項得 2.5 分，錯 2 個選項(含)以上得 0 分)

1 2 3 4 5

DE ABE CDE D ABC

第二部分：填充題：每題 5 分，共佔 65 分。 1 2 3 4 5 12 225 47i 2 2 1 25 16 x y   ( 1)2 ( 1)2 1 8 8 x _ y _ 6 7 8 9 10 2 2 1 16 4 a b   36 0.75 5 2 2 2 10 2   12 11 12 13 3 3 a 2 15 第三部分：計算題：每小題 5 分，共 10 分，無計算過程不予給分。 1.設F 、₁ F 為坐標平面上雙曲線₂ 2 2 1 9 16 x _ y _{ 的兩個焦點，雙曲線上一點 P，回答下列問題：} (1)若 P 點滿足PF1：PF2= 2：1，則△F PF 的1 2 周長為何？ 答：28。 (2)若 P 點滿足F PF1 2  ，則 P 點的 y 坐標90 為何？ 答： 16 5  。若只有一個答案扣 1 分。