《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

《锐角三角函数》全章复习与巩固--知识讲解（提高）

【学习目标】

1.了解锐角三角函数的概念，能够正确使用 sinA 、cos A、tanA 表示直角三角形中两边的比；记忆 30°、 45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值求出这个角的度数； 2．能够正确地使用计算器，由已知锐角的度数求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角 的度数； 3．理解直角三角形中边与边的关系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两 个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题； 4．通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，通过解直角三角的学习， 体会数学在解决实际问题中的作用，并结合实际问题对微积分的思想有所感受. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、锐角三角函数 1.正弦、余弦、正切的定义 　　如右图、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，如果锐角 A 确定： (1)sinA= ，这个比叫做∠A 的正弦. 　　 (2)cosA= ，这个比叫做∠A 的余弦. 　　(3)tanA= ，这个比叫做∠A 的正切. 　　要点诠释： 　　(1)正弦、余弦、正切是在一个直角三角形中定义的，其本质是两条线段的比值，它只是一个数值，

其大小只与锐角的大小有关，而与所在直角三角形的大小无关.

　　(2)sinA、cosA、tanA 是一个整体符号，即表示∠A 三个三角函数值，书写时习惯上省略符号“∠”， 　 　　但不能写成 sin·A，对于用三个大写字母表示一个角时，其三角函数中符号“∠”不能省略，应写成 sin∠BAC，而不能写出 sinBAC.

　　(3)sin2_{A表示(sinA)}2_{，而不能写成 sinA}2_. 　　(4)三角函数有时还可以表示成 等. 2.锐角三角函数的定义

　　锐角 A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数. 要点诠释：

　　1. 函数值的取值范围

对于锐角 A 的每一个确定的值，sinA 有唯一确定的值与它对应，所以 sinA 是∠A 的函数.同样， cosA、tanA 也是∠A 的函数，其中∠A 是自变量，sinA、cosA、tanA 分别是对应的函数.其中自变量∠A 的取值范围是 0°＜∠A＜90°，函数值的取值范围是 0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA＞0.

　　2．锐角三角函数之间的关系：

　　余角三角函数关系：“正余互化公式” 如∠A+∠B=90°， 那么：sinA=cosB； cosA=sinB；

　　同角三角函数关系：sin2_A＋cos2_A=1；tanA= 　　3.30°、45°、60°角的三角函数值 ∠A 30° 45° 60° sinA cosA tanA 1 　　30°、45°、60°角的三角函数值和解 30°、60°直角三角形和解 45°直角三角形为本章重中之重，是 几何计算题的基本工具，三边的比借助锐角三角函数值记熟练. 要点二、解直角三角形 　　在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形． 　　解直角三角形的依据是直角三角形中各元素之间的一些相等关系，如图：

　　　　　　　 　　角角关系：两锐角互余，即∠A+∠B=90°； 　　边边关系：勾股定理，即 ； 　　边角关系：锐角三角函数，即 　　 要点诠释： 　　解直角三角形，可能出现的情况归纳起来只有下列两种情形： 　　(1)已知两条边(一直角边和一斜边；两直角边)； 　　(2)已知一条边和一个锐角(一直角边和一锐角；斜边和一锐角)．这两种情形的共同之处：有一条边． 因此，直角三角形可解的条件是：至少已知一条边． 要点三、解直角三角形的应用 　　解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量 关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 1.解这类问题的一般过程 　　(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几 何图形，建立数学模型. 　　(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问 题. 　　(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. 　　(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 　　2.常见应用问题 　　(1)坡度： ； 坡角: . 　　　　　 　　(2)方位角：

　　　　　 　　(3)仰角与俯角： 　　　　　 要点诠释： 1．解直角三角形的常见类型及解法 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边(a，b) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 斜边，一直角边(如 c，a) 由 求∠A， ∠B=90°－∠A， 一 边 一 角 一直角边 和一锐角 锐角、邻边 (如∠A，b) ∠B=90°－∠A， ， 锐角、对边 (如∠A，a) ∠B=90°－∠A， ， 斜边、锐角(如 c，∠A) ∠B=90°－∠A，

， 　　 2．用解直角三角形的知识解决实际问题的基本方法是： 　　　　 　　把实际问题抽象成数学问题(解直角三角形)，就是要舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系 转化为图形(点、线、角等)以及图形之间的大小或位置关系． 　　借助生活常识以及课本中一些概念(如俯角、仰角、倾斜角、坡度、坡角等)的意义，也有助于把实际 问题抽象为数学问题． 　　当需要求解的三角形不是直角三角形时，应恰当地作高，化斜三角形为直角三角形再求解． 3．锐角三角函数的应用 　　用相似三角形边的比的计算具有一般性，适用于所有形状的三角形，而三角函数的计算是在直角三角 形中解决问题，所以在直角三角形中先考虑三角函数，可以使过程简洁。 　　如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函数值相等进行代换很简单： 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 　　　　∵ 　　　　∴ 【典型例题】 类型一、锐角三角函数 1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值是( )． A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变

【答案】 D；

【解析】根据

sin A

 



A

_斜边

的对边

知 sin∠A 的值与∠A 的大小有关，与

 的对边

A

_斜边

的比值有关．

当各边长度都扩大为原来的 2 倍时，其

 的对边

A

_斜边

的比值不变．故选 D.

【总结升华】 锐角三角函数正弦、余弦和正切反映了直角三角形中边与边的关系．

举一反三：

【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 3】

【变式 1】已知，如图，

_

_ABC

中，

_CE

_

_AB

，

_BD

_

_AC

，

DE

_BC



₅

2

，求 cosA 及 tanA．

A B C D E 【答案】易证点 B、C、D、E 四点共圆，△ADE∽△ABC， cosA=

AD

_AB



DE

_BC



₅

2

,

tanA=

BD

_AD



₂

21

.

【 变 式 2 】 如 图 所 示 ， 已 知 △ ABC 是 ⊙ O 的 内 接 三 角 形 ， AB ＝ c ， AC ＝ b ， BC ＝ a ， 请 你 证 明

sin

sin

sin

a

b

c

A



B



C

．

【答案】

证明：⊙O 是△ABC 的外接圆，设圆的半径为 R，连结 AO 并延长交⊙O 于点 D， 连结 CD，则∠B＝∠D．

∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°．即△ADC 为直角三角形． ∴

sin

sin

2

AC

b

B

D

AD

R







_，∴

2

sin

b

R

B



．

同理可证：

_sin

a

_A



2

R

，

_sin

c

_C



2

R

．

∴

2

sin

sin

sin

a

b

c

R

A



B



C



． 类型二、 特殊角三角函数值的计算 2．已知 a＝3，且

(4 tan 45

)

2

3

1

0

2

b

b c







 

°

，则以 a、b、c 为边长的三角形面积等于( )． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A； 【解析】根据题意知

4 tan 45

0,

1

3

0,

2

b

b c

 







_

_{ }



°

解得

4,

5.

b

c





 



所以 a＝3，b＝4，c＝5，即

a

2



b

2



c

2，其构成的三角形为直角三角形，且∠C＝90°， 所以

S



1

₂

ab



6

． 【总结升华】利用非负数之和等于 0 的性质，求出 b、c 的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形是直 角三角形，注意 tan45°的值不要记错． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：计算】

【变式】计算：

tan 60

_{tan 60 tan 45}

 

_{ }

tan 45

_



＋

_2sin

60°

【答案】原式=

3 1

2

3

2

3 1



_{ }



=

2 3 3

3



类型三、 解直角三角形

3．如图所示，在等腰 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，D 是 AC 上一点，若

tan



DBA



1

₅

，则 AD的长为( )．

A．2 B．

3

C．

2

D．1 【思路点拨】 如何用好

tan



DBA



1

₅

是解题关解，因此要设法构造直角三角形，若所求的元素不在直角三角形中， 则应将它转化到直角三角形中去，转化的途径及方法很多，如可作辅助线构造直角 三角形，或找已知直角三角形中的边或角替代所要求的元素等． 【答案】 A； 【解析】 作 DE⊥AB 于点 E．

因为△ABC 为等腰直角三角形，所以∠A＝45°，所以 AE＝DE． 又设 DE＝x，则 AE＝x，由

tan

1

5

DE

DBA

EB







_．

知 BE＝5x，所以 AB＝6x，由勾股定理知 AC2_+BC2_＝AB2_， 所以 62₊₆2_＝(6x)2_，

_x



₂

_，AD＝

₂

_AE＝

₂



_{2 2}



_． 【总结升华】在直角三角形中，若已知两边，宜先用勾股定理求出第三边，再求锐角三角函数值；若已知 一边和角，应先求另一角，再通过锐角三角函数列出含有未知元素和已知元素的等式求解． 类型四 、锐角三角函数与相关知识的综合 4．（2016•连云港）如图，在△ABC 中，∠C=150°，AC=4，tanB= ． （1）求 BC 的长； （2）利用此图形求 tan15°的值（精确到 0.1，参考数据： =1.4， =1.7， =2.2） 【思路点拨】

（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，由含 30°的直角三角形性质得 AD= AC=2，由三角函数求 出 CD=2 ，在 Rt△ABD 中，由三角函数求出 BD=16，即可得出结果；

（2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，求出∠AMC=∠MAC=15°，tan15°=tan∠AMD= 即可得出结果．

【答案与解析】 解：（1）过 A 作 AD⊥BC，交 BC 的延长线于点 D，如图 1 所示： 在 Rt△ADC 中，AC=4， ∵∠C=150°， ∴∠ACD=30°， ∴AD= AC=2， CD=AC•cos30°=4× =2 _， 在 Rt△ABD 中，tanB= = = ， ∴BD=16， ∴BC=BD CD=16 2﹣ ﹣ ； （2）在 BC 边上取一点 M，使得 CM=AC，连接 AM，如图 2 所示： ∵∠ACB=150°， ∴∠AMC=∠MAC=15°， tan15°=tan∠AMD= = = ≈ ≈0.27≈0.3． 【总结升华】本题考查了锐角三角函数、含 30°的直角三角形性质、三角形的内角和、等腰三角形的性质 等知识；熟练掌握三角函数运算是解决问题的关键． 举一反三： 【高清课程名称：《锐角三角函数》全章复习与巩固 高清 ID 号：395953 关联的位置名称（播放点名称）：例 6-例 8】 【变式】如图，设 P 是矩形 ABCD 的 AD 边上一动点，

PE



AC

于点 E，

PF



BD

于 F，

AB



3

，

4

AD



． 求

PE PF



的值．

【答案】如图，sin∠1=

PE

_PA

.

sin∠2=

PF

.

PD

由矩形 ABCD 知∠1=∠2，

则 PE=PAsin 1∠ ，PF=PDsin 2,sin 1=∠ ∠

CD 3

=

AC 5

，

所以 PE+PF= PAsin 1+ PDsin 2=∠ ∠ （PA+PD）sin 1=∠

3

4=

12

5



5

类型五、三角函数与实际问题 5．（2015•保康县模拟）如图，某广场一灯柱 AB 被一钢缆 CD 固定，CD 与地面成 40°夹角，且 CB=5米． （1）求钢缆 CD 的长度；（精确到 0.1 米） （2）若 AD=2 米，灯的顶端 E 距离 A 处 1.6 米，且∠EAB=120°，则灯的顶端 E 距离地面多少米？ （参考数据：tan40°=0.84，sin40°=0.64，cos40°= ） 【答案与解析】 解：（1）在 Rt BCD△ 中， ， ∴ ≈6.7； （2）在 Rt BCD△ 中，BC=5，∴BD=5tan40°=4.2． 过 E 作 AB 的垂线，垂足为 F， 在 Rt AFE△ 中，AE=1.6，∠EAF=180° 120°=60°﹣ ，

AF= =0.8. FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7 ∴ 米． 答：钢缆 CD 的长度为 6.7 米，灯的顶端 E 距离地面 7 米． 【总结升华】构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形问题. 6．（2015•攀枝花）如图所示，港口 B 位于港口 O 正西方向 120km 处，小岛 C 位于港口 O 北偏西 60°的方向．一艘游船从港口 O 出发，沿 OA 方向（北偏西 30°）以 vkm/h 的速度驶离港口 O，同时一艘快 艇从港口 B 出发，沿北偏东 30°的方向以 60km/h 的速度驶向小岛 C，在小岛 C 用 1h 加装补给物资后，立 即按原来的速度给游船送去． （1）快艇从港口 B 到小岛 C 需要多长时间？ （2）若快艇从小岛 C 到与游船相遇恰好用时 1h，求 v 的值及相遇处与港口 O 的距离． 【答案与解析】 解：（1）∵∠CBO=60°，∠COB=30°， BCO=90° ∴∠ ． 在 Rt BCO△ 中，∵OB=120， BC= ∴ OB=60， ∴快艇从港口 B 到小岛 C 的时间为：60÷60=1（小时）； （2）过 C 作 CD OA⊥ ，垂足为 D，设相会处为点 E．

则 OC=OB•cos30°=60 ，CD= OC=30 ，OD=OC•cos30°=90， DE=90 3v

∴ ﹣ ． CE=60

∴（30 ）2_{+（90 3v﹣ ）}2₌₆₀2_， v=20 ∴ 或 40， ∴当 v=20km/h 时，OE=3×20=60km， 当 v=40km/h 时，OE=3×40=120km． 【总结升华】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题， 理解方向角的定义，得出∠BCO=90°是解题 的关键.