《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（提高）知识讲解
【学习目标】 1.理解不等式的有关概念，掌握不等式的三条基本性质； 2.理解不等式的解（解集）的意义，掌握在数轴上表示不等式的解集的方法； 3.会利用不等式的三个基本性质，熟练解一元一次不等式或不等式组； 4.会根据题中的不等关系建立不等式（组），解决实际应用问题； 5.通过对比方程与不等式、等式性质与不等式性质等一系列教学活动，理解类比的方法是 学习数学的一种重要途径. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释： （1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集． 解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a ，x a 等；另一种 是用数轴表示，如下图所示： （3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质： 不等式的基本性质 1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，那么 a±c＞b±c 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果 a＞b，c＞0，那么 ac＞bc(或a
b
c
c
)． 不等式的基本性质 3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果 a＞b，c＜0，那么 ac＜bc(或a
b
c
c
)． 要点二、一元一次不等式1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高 次数是 1，这样的不等式叫做一元一次不等式， 要点诠释：ax+b＞0 或 ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法： 解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为 1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定 边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即： （1）审：认真审题，分清已知量、未知量； （2）设：设出适当的未知数； （3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少” “不超过”“超过”等关键词的含义； （4）列：根据题中的不等关系，列出不等式； （5）解：解出所列的不等式的解集； （6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释： 列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、 “不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组 关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释： （1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解 集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集 的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用： ①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等 式组的解集及实际意义确定问题的答案． 【典型例题】 类型一、不等式 1. （2015 春 天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“• ×”）． （1）若 b 3a﹣ ＜0，则 b＜3a； （2）如果﹣5x＞20，那么 x＞﹣4； （3）若 a＞b，则 ac2＞bc2； （4）若 ac2＞bc2，则 a＞b； （5）若 a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．
（6）若 a＞b＞0，则 ＜ ． ． 【答案与解析】 解：（1）若由 b 3a﹣ ＜0，移项即可得到 b＜3a，故正确； （2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5 不等号方向改变，故错误； （3）若 a＞b，当 c=0 时则 ac2＞bc2错误，故错误； （4）由 ac2＞bc2得 c2＞0，故正确； （5）若 a＞b，根据 c2+1，则 a（c2+1）＞b（c2+1）正确． （6）若 a＞b＞0，如 a=2，b=1，则 ＜ 正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√． 【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方 向改变． 2. 设 x>y，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则 其中最小的正整数 x 或 y 的值是多少? 【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。 【答案与解析】 解：可利用作差比较法比较大小． -(8-l0x)-[ -(8-l0y)] =-8+10x+8-10y =10x -10y． ∵x>y，∴10x>10y，∴10x -10y>0 ∴-(8-l0x)>-(8-l0y)． 按题意-(8-l0x)>0，则 10x>8． ∴
4
5
x
． ∴x的最小正整数值是 1． 【总结升华】两个数量的大小可以通过它们的差来判断： ①a b
a b
0
②a b
a b
0
③a b
a b
0
举一反三： 【变式】己知：x<0.5，比较 2-4x 和 18x-9 的大小. 【答案】 解：∵2-4x-（18x-9）=11-22x 而又∵x<0.5，∴-22x>-11 即 11-22x>0 ∴2-4x>18x-9类型二、一元一次不等式 3. 已知关于 x 的不等式
1
5
1
1
2
2
x
2
ax
的解集是1
2
x
，求 a 的取值范围. 【答案与解析】 解：法一：x
5 2
ax
2
，(1
a x
)
9
， ∵它的解集为1
2
x
，1
0
9
1
1
2
a
a
，
a
17
. 法二：1
2
x
是关于 x 方程1
5
1
1
2
2
x
2
ax
的解，1 1
1 1
(
5) 1
(
2)
2 2
2 2
a
，解得a
17
17
a
. 【总结升华】不等式解集中的端点值就是对应方程的解. 举一反三： 【变式 1】如果关于ｘ的不等式kx60正整数解为 1、2、3, 则正整数ｋ应取怎样 的值? 【答案】解不等式得：x k 6 ∵ｋ为正整数且x k 6中的正整数解为 1，2，3 ∴ k6 4 ∴k 2． 【变式 2】（2015•江都）如果关于 x 的不等式（a+1）x＞a+1 的解集为 x＜1，那么 a 的取值范围是 ． 【答案】解：∵（a+1）x＞a+1 的解集为 x＜1， ∴a+1＜0， ∴a＜﹣1． 类型三、一元一次不等式组 4. 求不等式组
2x 7 3 1 x
4
2
x 3 1
x
3
3
2
5
1
3
x
x
－＜－
＋－
的整数解.【思路点拨】分别解出各不等式，取所有的公共部分. 【答案与解析】 解：
2x 7 3 1 x
4
2
x 3 1
x
3
3
2
5
1
3
x
x
－＜－
＋－
①
②
③
解不等式①得：x＜2 解不等式②得：x≥－1 解不等式③得：x＞-2 ∴不等式组的解集为－1≤x＜2 故不等式组的整数解为－1，0,1 【总结升华】求不等式组的特殊解的一般步骤是先求出不等式组的解集，再从中找出符合 要求的特殊解． 举一反三： 【变式】若关于不等式组 15 3 2 2 2 3 x x x x a 只有四个整数解，求 a 的取值范围. 【答案】 解：由15
3
2
x
x
，得x
21
， 由2
2
3
x
x a
，得x
3
a
2
， ∴不等式组的解集为
3
a
2
x
21
， ∵只有四个整数解，∴16
3
a
2 17
，即5
14
3
a
， ∴a的取值范围：5
14
3
a
. 5. 某家电商场计划用 32400 元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共 15台．三种家电的进价和售价如下表所示： 价格 种类 进价（元/台） 售价（元/台） 电视机 2000 2100 冰 箱 2400 2500 洗衣机 1600 1700 (1)在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机数量不大 于电视机数量的一半，商场有哪几种进货方案?(2)国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的 13％领取补贴．在(1)的条件下，如果 这 15 台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元? 【思路点拨】 (1)设购进电视机、冰箱各 x 台，则洗衣机为(15-2x)台．根据两个关键词： “不大于”、“不超过”就可以建立不等式组，根据 x 的取值讨论确定进货方案．(2)分别求出 (1)中各方案所需的补贴，再比较确定国家财政的最多补贴． 【答案与解析】 解：(1)设购进电视机、冰箱各 x 台． 依题意，得
1
15 2
2
2000
2400
1600(15 2 ) 32400
x
x
x
x
x
解这个不等式组得，6≤x≤7 ∵ x为正整数．∴ x＝6 或 7． 方案一：购进电视机和冰箱各 6 台，洗衣机 3 台； 方案二：购进电视机和冰箱各 7 台，洗衣机 1 台． (2)方案 1 需补贴： (6×2100+6×2500+3×1700)×13％＝4251(元)． 方案二需补贴： (7×2100+7×2500+1×1700)×13％＝4407(元)． ∴ 国家财政最多需补贴农民 4407 元． 【总结升华】利用不等式解答实际问题的策略是：①根据题意构建不等式(组)；解这个不 等式(组)；②由不等式(组)的整数解的个数确定方案． 类型四、综合应用 6.已知不等式组1
0
3
4(
1) 1
x
m
n
x
的解集为3
2
2
x
，试求 m，n 的值． 【答案与解析】 解：解不等式1
0
3
x
m
，得x
3
m
1
． 解不等式 n-4(x-1)＜1，得3
4
n
x
． 因为不等式组的解集为3
2
2
x
， 所以有3
1 2
3
3
4
2
m
n
， ∴1
3
m
n
． 答：m、n 的值分别 1 和 3． 【总结升华】先分别求出每一个不等式的解集，再求出这个不等式组的解集，然后根据题 意，建立关于 m、n 的方程求解． 7.潼南绿色无公害蔬菜基地有甲、乙两种植户，他们种植了 A、B 两类蔬菜，两种植 户种植的两类蔬菜的种植面积与总收入如下表：种植户 种植 A 类蔬菜面积(单 位：亩) 种植 B 类蔬菜面积(单 位：亩) 总收入(单位：元) 甲 3 1 12500 乙 2 3 16500 说明：不同种植户种植的同类蔬菜每亩平均收入相等． (1)求 A、B 两类蔬菜每亩平均收入各是多少元? (2)某种植户准备租 20 亩地用来种植 A、B 两类蔬菜，为了使总收入不低于 63000 元，且 种植 A 类蔬菜的面积多于种植 B 类蔬菜的面积(两类蔬菜的种植面积均为整数)，求该种植 户所有租地方案． 【答案与解析】 解：(1)设 A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 x 元，y 元． 由题意得：
3
12500
2
3
16500
x y
x
y
解得3000
3500
x
y
答：A、B 两类蔬菜每亩平均收入分别是 3000 元，3500 元． (2)设用来种植 A 类蔬菜的面积 a 亩，则用来种植 B 类蔬菜的面积为(20-a)亩． 由题意得：3000
3500(20
) 63000
20
a
a
a
a
解得：10＜a≤14． ∵ a取整数为：11、12、13、14． ∴ 租地方案为： 类别 种植面积单位：（亩） A 11 12 13 14 B 9 8 7 6 【总结升华】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，读懂统计表 能够从统计表中获得正确信息，及熟练解方程组和不等式组是解题的关键． 举一反三： 【变式】某花农培育甲种花木 2 株，乙种花木 3 株，共需成本 1700 元；培育甲种花木 3 株，乙种花木 1 株，共需成本 1500 元． （1）求甲、乙两种花木每株成本分别为多少元？ （2）据市场调研，1 株甲种花木售价为 760 元， 1 株乙种花木售价为 540 元．该花 农决定在成本不超过 30000 元的前提下培育甲乙两种花木，若培育乙种花木的株数是甲 种花木的 3 倍还多 10 株,那么要使总利润不少于 21600 元，花农有哪几种具体的培育方 案？ 【答案】 解：（1）设甲、乙两种花木的成本价分别为 x 元和 y 元．由题意得： 1500 3 1700 3 2 y x y x ， 解得： 300 400 y x ． （2）设种植甲种花木为 a 株，则种植乙种花木为（3a+10）株． 则有： 21600 ) 10 3 )( 300 540 ( ) 400 760 ( 30000 ) 10 3 ( 300 400 a a a a 解得： 13 270 9 160 a 由于 a 为整数，∴a 可取 18 或 19 或 20，所以有三种具体方案： ①种植甲种花木 18 株，种植乙种花木 3a+10=64 株； ②种植甲种花木 19 株，种植乙种花木 3a+10=67 株； ③种植甲种花木 20 株，种植乙种花木 3a+10=70 株.
