神的比例

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神的比例

林淑慧真理大學財務與精算學系副教授

摘要

「神的比例」另一個習慣用語是「黃金比例」，也有人稱它是「黃金分割」或「黃金數字」。大約西元前3世紀歐幾里德以一條直線的「中末比」概念，首次清楚的定義了黃金比例：一直線的全長和分割後較長線段之比等於長線段和短線段之比。古希臘時代的畢達哥拉斯與柏拉圖已經發現此分割存在著一種和諧的美，也因此，在象徵畢達哥拉斯學派的五芒星圖騰以及某些柏拉圖立體圖中均可發現黃金比例的身影。「神的比例」原本是帕西歐里在西元 1509 年出版的書名。由於帕西歐里在書中極力推崇黃金比例的神聖屬性與在藝術上的應用，再加上有當時代名人達文西為此書插畫，更增添書的吸引力，以致能誘發各領域人士的關注與研究。本文會依序介紹黃金比例的歷史來源、與費波納契數列的關係，以及黃金比例如何跳脫其原始的幾何意義，而神不知鬼不覺的在大自然中出沒，甚至某些黃金迷用它來做為美感和諧的評斷標準等有趣主題。文章最後，則會探討這一趟黃金比例的文史之旅帶給我們的意義與省思。關鍵字: 黃金比例、費波納契數列、對數螺線

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The Divine Proportion

Shwu-Huey Lin

Associate Professor, Department of Finance and Actuarial Science, Aletheia University

ABSTRACT

The Divine Proportion has another name, called the Golden Ratio, Golden Section or Golden Number. About the 3rd century B.C., Euclid first use a straight line is said to have been cut in extreme and mean ratio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less. In ancient Greece, Pythagoras and Plato both found the harmonious beauty in this division. No doubt, the Golden Ratio also can be discovered in the pentagram totem of the Pythagorean school and some of the Platonic solids.

“De Divina Proportion” was a name of the book which had been published by Luca Pacioli in 1509. In this book, Pacioli highly praised the divine attributes of the Golden Ratio and its application on the art. Benefit from the illustration of Leonardo Da Vinci, this book successful evoked people concern and study the Golden Ratio. In this article, we will introduce historical sources of the Golden Ratio, and the following interesting topics: relationship with the Fibonacci sequence; how flee from the geometry appearing in the nature insensibly; and the Golden fans use it as a standard of beauty. In the end, we will explore the meaning and introspection about this Golden Ratio tour.

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壹

前言

「神的比例」另一個習慣用語是「黃金比例」，也有人稱它是「黃金分割」或「黃金數字」。大約西元前 3 世紀歐幾里德以一條直線的「中末比」概念，首次清楚的定義了黃金比例：一直線的全長和分割後較長線段之比等於長線段和短線段之比。1_{換句話說，如圖 1，若假設}_{𝐴𝐶 = 𝑥 ，𝐵𝐶 = 1，則 (𝑥 + 1): 𝑥 = 𝑥: 1，} 計算之後可以得到，𝑥 =1+√5₂ = 1.618 … … ，是一個無理數也就是我們說的黃金比例。當中，C 點稱為 𝐴𝐵 線段的黃金分割點。圖1 在數學裏有幾個非常特別的數字，當你深入了解之後，常會為他們的屬性與引人注目的特質而驚訝不已。這當中最有名的就是圓周率(π)，這個圓的周長與直徑的比值。π 出現在人類的歷史已超過 4000 年之久，這期間有無數的數學家曾為計算π 而付出了難以形容的精神與毅力，至今仍未能窺得其全貌。雖然一開始 π 是一個幾何問題，但後來人們發現在機率、統計、建築、生物、天文甚至藝術都隱藏有它的身影。此外，另一個常被談論的數就是黃金比例，但與π 相比，我們這裏要談的黃金比例，從許多方面來說相對要有趣的多。我們很難想像，樹葉生長的排列方式、巴特農神殿、達利的名畫《最後的晚餐聖餐》、鸚鵡螺的貝殼、隼鷹攻擊獵物的飛行路徑、兔子的繁衍問題……，這些看似無關的東西，竟然都跟黃金比例有相關。十六世紀初，修士兼數學家的帕西歐里(Luca Pacioli，1445~1517)有感於黃金比例的神聖屬性稱其為神的比例，並以此為名出版《神的比例》一書。由於達文西(Leonardo Da Vinci，1452~1519)是帕西歐里的知己好友，為了讓書更具吸引力，他邀請達文西為《神的比例》插畫。此書的出版，的確重新點燃人們對黃金比例的重視，並普遍的以神的比例來稱呼黃金比例。另外，由於藝術史家認為古希臘雕刻家菲狄亞斯(Phidias，490~390 B.C.) (巴特農神殿雅典娜女神像、奧林匹亞神廟宙斯像之作者)常在他的作品使用黃金比例，因此，1909 年美國數學家巴爾 (Mark Barr)為表達對這位偉大雕刻家的敬意，便用 ψ(phi)來稱呼黃金比例且一直

沿用至今。在本篇論文中，我們會交替採用ψ 或前文所提到的同義名詞來稱呼黃金比例。從計數到認知數字可以獨立存在於物件之外的抽象觀念，最早是在古希臘成形。希臘人對數字抽象觀念的崇拜幾乎到宗教狂熱的地步。當中的代表就是西元 1_{李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，頁}_{22，台北市，遠流，2014 年 6 月。}

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70 前 6 世紀的畢達哥拉斯學派(簡稱畢氏學派)。畢氏學派的哲學中心思想是:“萬物皆數”。亦即宇宙間各種關係都可以用整數或整數之比來表達。畢氏學派的研究中心有: 數論、幾何學、音樂、天文學。據說畢氏學派的成員希帕索斯發現了正方形的對角線與黃金比例都不是有理數。無理數的存在，會摧毀畢氏學派的哲學中心思想，也因此，傳說中畢氏學派為免於真像外露，便將發現此項真理的希帕索斯丟入茫茫大海中。今天，雖然我們覺得畢氏學派的想法有些異想天開的可笑，但是隱藏在這些理念的基本想法或許與愛因斯坦寫給索爾文(Solvine)的一封信中所要表達的概念不謀而和:「數學不過是一種手段，用來表達統轄大自然現象的定律。」2_{若以此觀點來看，畢氏學派可能是最先明白用數學來表達宇宙間所有} 現象的團體。據信畢氏學派已研究過正五邊形且發現，一正五邊形 ABCDE(參考圖 2) 的對角線 AD 與 BE 的交點 P，就是 AD(也是 BE) 的黃金分割點。畢達哥拉斯圖2 發現「中末比」之分割存在一種和諧的美，因此採用與此比例有關的五芒星圖騰來代表畢氏學派。之後，古希臘哲學家柏拉圖將此稱為黃金分割，且瞭解此分割與某些柏拉圖立體圖(正四面體、正立方體、正八面體、正二十面體與正十二面體) 之間有非常密切的關係。由於畢達哥拉斯與柏拉圖是古希臘及西方文化中極具影響力的人物，因此，對於 ψ 與正五邊形、五角星形及柏拉圖立體之間得有趣關聯，吸引了許多世代的數學家注意與研究ψ。加上十六世紀初，帕西歐里出版《神的比例》極力讚許黃金比例的神聖屬性，重新激發大家對黃金比例的重視與探究。往後的發展，甚至連生物學家、藝術家、音樂家、歷史學家、建築師與神祕主義者都曾加入此行列，思索與討論ψ 無所不在的原因與魅力。數學史上，再也找不到其他數字能像ψ 那樣，可以啟發與吸引這麼多的不同領域的思想家。甚至，我們可以說黃金比例是數學與這些不同領域的最佳交集。在後面的章節中，我們要繼續深入的探討 ψ 是如何跳脫其原始的幾何意義，而神不知鬼不覺的出沒在最意想不到的自然現象及數學中，把一大堆表面上看起 2_同前註_{1，頁 54。}

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71 來風馬牛不相及的事物或學門聯繫在一起。最後，並想借由這一趟黃金比例的文史之旅闡述黃金比例帶給我們的意義與省思。

貳

黃金比例與費波納契數列的關係

在數學史上有一位數學家，他的名聲始終比不上他著作中的一則與兔子繁殖有關的數學問題，這位數學家就是李奧納多．比薩諾又稱為費波納契。李奧納多．比薩諾是十三世紀的義大利商人兼數學家。因做生意到過埃及、西西里、希臘及敘利亞而對東方數學產生興趣。他在1202 年出版《計算書》( Liber Abaci )為歐洲引進印度—阿拉伯數字系統，開創了算術革命與商業革命，對近代西歐的發展影響很大。前面所提兔子繁衍問題就是書中的一個例子: 某人放了一對成兔在一個四面被牆包圍的地方。假設每個月每一對成兔會生出一對兔子，而新生的兔子一個月後長大為成兔又能再生一對兔子，那麼一年當中，會生出多少兔子呢？此問題可以參考圖3 與表 1 的分析。3 圖3 表1 兔╲月份 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 成兔對數 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 幼兔對數 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 兔對總數 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 在表1，我們可以發現成兔對數、幼兔對數或是兔對總數的數列均有從第三項起，每一項等於前兩項之和的關係。換句話說，若假設 𝐹𝑛代表具有前述關係的數列 3_同前註_{1，頁 132。}

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72 第n 項的值，則數列滿足 𝐹𝑛+2 = 𝐹𝑛+ 𝐹𝑛+1。1877 年法國數學家 Lucas 將此數列命名為費波納契數列。在數學上費波納契數列是一個遞迴數列，費波納契的名字之所以這麼有名，是因為之後的研究發現費波納契數列的應用遠遠超過兔子的繁衍問題。此數列中的數，稱為費波納契數，在大自然中處處可以看到它的身影隱藏當中。大自然中大多數花的花瓣數目是 3，5，8，13，21，34，… 等費波納契數。例如百合花是三瓣，梅花五瓣，飛燕草八瓣，孤挺花十三瓣。向日葵不是21 瓣，就是34 瓣，雛菊的花瓣數大多是 13、21 和 34 瓣等。雖然不是所有花的花瓣數都一定是費波納契數，但平均而言費波納契數出現的頻率相當高，其他數目則鮮少出現。就好比酢漿草葉子通常是三片是一個費波納契數，四葉的酢漿草雖有但不常見。圖 4 圖 5 植物學家會用「葉序比」來描述葉子沿著莖幹以螺線移動的生長的模式。例如上圖4 顯示植示葉子沿著莖幹生長，經過三個完整轉後長出八片的例子。此例之「葉序比」為 3₈， 3 與 8 均是費波納契數。據說第一個(以直覺)發現葉序和費波納契數之間關係的，是天文學家克卜勒。另外，也有植物有螺線生長模式特徵，稱為斜列線的葉序模式，例如樅樹的毬果和鳳梨的鱗片。如圖5，鳳梨的葉序模式由左至右之平形排列數分別是8、13 與 21，這些都是費波納契數。4 植物如何知道按費波納契模式排列他們的葉子? 西元 1837 年，布拉維斯兄弟發現新葉子大約以 137.5゜的角度沿著圓周推進。360゜的 ψ 大約是 222.5゜，故有時稱137.5゜是黃金角5_{。黃金角度為什麼是樹葉的最佳成長角度的理由和無} 理數得概念有關。如果一個角度是無理數，則以這個角度旋轉不論多少次都不會回到出發點，也因此，可以讓每一片葉子都照得到陽光。以圖4 為例，葉序比是 4_同前註_{1，頁 146-147。} 5_同前註_{1，頁 148。}

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73 3 8，約每135゜就出現一片葉子，相當接近黃金角。這也說明，費波納契數的出現是因為它們給出最接近黃金比例的整數比6_。 觀察下列費波納契數列: 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233， 377，...，若以𝐹𝑛代表具此數列第n 項的費波納契數，會發現當 n 趨近無窮大時， 𝐹𝑛+1⁄ 會趨近於 ψ，這個屬性是 1611 年德國天文學家克卜勒觀察到的。可是𝐹𝑛 還要再等 100 年，費波納契數列與 ψ 之間的關係才終於被蘇格蘭數學家辛普森證明(但仍不週全)。到了 18 世紀 Euler 及法國數學家隸美佛發現費波納契數列一般項表示法7_是 𝐹𝑛 = 1 √5[( 1 + √5 2 ) 𝑛 − (1 − √5 2 ) 𝑛 ] 如前一章所述，ψ= 1+√5₂ 可推得ψ−1₌ √5−1 2 ，因此 𝐹𝑛 = 1 √5[(ψ) 𝑛_{− (}−1 ψ ) 𝑛 ] 當n 趨近無窮大時，𝐹𝑛 會趨近於_√51 ψ𝑛 ，這也就說明了為何當 n 趨近無窮大時，𝐹𝑛+1⁄ 會趨近於 ψ 的道理。 𝐹𝑛 當矩形的長與寬之比為 ψ 時就稱為黃金矩形，而等腰三角形，其腰與底之比恰為黃金比例的稱為黃金三角形，我們可證明黃金三角形是頂角為36°角的等腰三角形。若將黃金矩形垂直剪下一個正方形，則剩下的矩形仍是黃金矩形。把一個黃金三角形的底角兩等分，可以得到一個較小的黃金三角形。我們在黃金矩形 (或黃金三角形)持續這個步驟則可以得到無數多個黃金矩形(或黃金三角形)。 (參考圖 6 與 7，8_{先忽略螺線)在前述的步驟中所得到的正方形做四分之一圓，並} 持續 6_{艾利克斯．貝洛斯著，胡守仁譯，《數字奇航》}_，頁_{243，台北市，時報文化，2012 年 3} 月。 7_{李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，頁}_{144，台北市，遠流，2014 年 6 月。} 8_同前註_{7，頁 155。}

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74 圖 6 圖 7 對相鄰較小的正方形做相同的事，如圖6，最後會得到一個接近對數螺線的曲線。類似作法，以黃金三角形的頂點為圓心，腰的長度為半徑畫圓弧，並持續對相鄰較小的黃金三角形做相同的事，如圖7，最後也會得到一個類似對數螺線的曲線。對數螺線中穿過中心極點的直線與螺線相交的每一點夾角都相同。因此特性，笛卡兒又稱對數螺線為等角螺線。十七世紀時的雅各・伯努利是第一個徹底研究對數螺線性質的數學家，由於對數螺線具有不論如何延伸，形狀永遠不變的「自我相似」特質，伯努利稱呼它是一條神奇的螺線，並要求在墓誌銘上表達此性質: 「縱使改變，依然故我。」9_{遺憾的是，墓碑上的曲線被錯刻成了阿基米德螺線。} 自然界很多地方可以發現對數螺線，例如鸚鵡螺的貝殼、大象的象牙、向日葵種子的生長螺線、旋渦星系的旋臂、低氣壓的外觀、遊隼攻擊獵物時的飛行路徑。我們的太陽系本身就處在一個稱為「銀河」的螺旋星系中，整個宇宙中，有上千億個像我們太陽系一樣的星系，其中有許多就也是「螺旋星系」。至此，我們總算知道，這個不能用任何有理數來表達的無理數 ψ，雖無法真實呈現在現實的世界中。但，卻藉由與它密切相關的費波納契數及對數螺線悄悄的隱身在大自然中，等待有識之士的發現。而這些探訪者，也往往會驚嘆於他們的研究發現竟是如此神奇的與一個數字相關。

叁

帕西歐里

帕西歐里，人稱路加‧帕西歐里修士，出生於波哥‧聖‧色波克羅，曾在佩魯吉亞、薩拉（Zara）、那不勒斯及羅馬等大學教授數學。1494 年，帕西歐里在威尼斯出版《算術、幾何、比例及比例性等知識集》(簡稱《概要》)，這本書擁有百科大全的性質和規模（約 600 頁厚），囊括當時所有算術、代數、幾何及三角等方面的知識。在此書中，帕西歐里採用他的老師（通常都會附上合宜的謝詞）法蘭契斯卡在《算盤的論著》中所附的二十面體和十二面體的習題，以及費波納 9_{艾利克斯．貝洛斯著，胡守仁譯，《數字奇航》}_{，p.241，台北市，時報文化，2012.03。}

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75 契與其他人的代數及幾何習題。帕西歐里把費波納契做為他的主要參考來源，並說凡未註明出處的，全出自李奧納多．比薩諾。在《概要》書中，有一部分介紹複式記帳法，這是一種有助於追蹤金錢去向的記帳法，也是當時文藝復興時期威尼斯商人通用的記帳法，因此《概要》也被視作是第一本出版的會計書。雖然這個記帳法並不是帕西歐里發明的，但他希望能夠「提供即時的資產和債務資訊」的理念，使他得到「會計之父」的頭銜。1994 年，世界各地的會計師聚集於聖色‧ 波克羅慶祝《概要》出版五百週年紀念。10 達文西與帕西歐里是相知相惜的朋友。達文西從帕西歐里那兒學到幾何的知識，同時他也傳遞給後者更高的藝術鑑賞能力。達文西對幾何有相當大的興趣，尤其在力學上的實際應用。他說：「力學是數學科學的天堂，因為藉由力學我們看到了數學的成果。」1482 年米蘭城大公的攝政斯弗薩邀請達文西擔任「大公的畫家及工程師」，並在達文西的推薦下於1496 年邀請帕西歐里擔任宮廷的數學教師。西元 1509 年，帕西歐里在威尼斯出版《神的比例》三卷巨作，並把《神的比例》第一卷《神的比例概論》獻給斯弗薩。第一卷包含一個很詳細的黃金比例摘要，以及對柏拉圖立體及其他多面體的研究。帕西歐里在《神的比例》第一頁，即宣稱：凡具有清晰洞見和探詢精神的人類心靈，一定不可不讀這部作品；在這部作品中，每一位熱愛哲學、透視、繪畫、雕塑、建築、音樂以及其他數學領域的人，都會從中得到非常美妙而且難以言傳的教導，也會喜歡這些形形色色的問題，它們觸及到了一個非常深奧難解的科學。11 帕西歐里在《神的比例》第一卷第五章說明為什麼相信黃金比例的適當名字應當是「神的比例」：一、「除此一個，別無其他。」帕西歐里把黃金比例的獨一無二值比擬作統一體(unity），是「上帝本身的至高展現」。二、帕西歐里發現黃金比例的定義恰好牽涉到三個長度，和聖父、聖子、聖靈三位一體之間有相似之處。三、對帕西歐里而言，上帝的無法完全理解和黃金比例為無理數是可以相提並論的。「就像我們無法為上帝下個適當的定義，也不能透過文字來瞭解，同樣的，我們的比例也永遠不能以可理解的數字來描述，也不能用任何有理量來表達，只能永遠封存成為祕密，被數學家們稱為無理（數）。」四、帕西歐里把上帝的無所不在及永恆不變拿來和黃金比例的自我相似性比較 — 也就是說，（由於自我相似性）它的值永遠一樣，因此不會因為被分割的直線的長度或是五邊形的大小尺寸而改變。五、第五個理由則近乎柏拉圖的存在觀點。帕西歐里說，就如上帝透過十二面體代表的第五要素來造出整個宇宙，因而也透過黃金比例來造出十二面體，因為如果沒有黃金比例就不能造出十二面體。12 帕西歐里在《神的比例》第一卷中極力誇讚黃金比例的屬性。他連續分析了 10_{李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，頁}_{168-171，台北市，遠流，2014 年 6 月。} 11_{李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，頁}_{171-172，台北市，遠流，2014 年 6 月。} 12_同前註_{11，p.172-173。}

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76 13 個不同「神的比例」的「效應」，並賦予每一個「效應」諸如：「必要的」、「獨一無二的」、「奇妙的」、「至高無上的」等等的形容詞。例如，他認為黃金矩形可以內接於二十面體中的效應為「不可思議」。而帕西歐里在第十三個效應就打住的最主要理由是，在耶穌與門徒的最後晚餐中，恰有十三個人圍桌而坐，所以，為了獲得救贖，必須停止。帕西歐里撰寫《神的比例》目的是，希望把藝術的數學基礎完整化，他在《神的比例》的開場白即表達出希望透過黃金比例向藝術家們透露和諧形體的「祕密」。為了讓《神的比例》更具吸引力，帕西歐里邀請達文西為此書插畫。達文西提供了六十幅以立體為主題的素描插圖。13 帕西歐里《神的比例》第二卷是討論比例以及它在建築和人體結構上的應用。這部分的論述大都根據羅馬建築大師維特魯威‧波利歐（70 - 25 B.C.）的作品而來。達文西畫筆下的「維特魯威人」就是此建築師對比例與人體結構分析的完美呈現。由於帕西歐里認為在人體中可以找到每一種比例，乃是透過大自然內在的奧祕由上帝召喚而出，因此《神的比例》第二卷也以討論人體比例開始。但是在此卷，帕西歐里並沒有堅持黃金比例決定了所有藝術品的比例。相反的，在處理和設計與比例相關的問題時，帕西歐里特別強調維特魯威的簡單的比例（有理數）系統。《神的比例》第三卷主要是討論五個正規立體。內容就只是把法蘭契斯卡用拉丁文寫成的《五個正規立體的短書》逐字譯成義大利文。由於帕西歐里在這本書中隻字不提他只是翻譯者，而觸怒了藝術史家瓦薩里，認為他篡奪了法蘭契斯卡的尊榮與所有的研究成果。但是泰勒（Robert Emmer Taylor, 1889~1956）在 1942 年出版《沒有皇家專有的道路：帕西歐里與他的時代》書中，卻對帕西歐里抱持較同情的態度。他辯稱，從寫作風格來看，帕西歐里也許根本和《神的比例》第三卷無關，它不過是附加在帕西歐里的作品中罷了。14 回顧西方的發展歷史，亞里斯多德(384~322B.C.)是另一位影響西方文明至深的重要人物。在物理的運動力學上，亞里斯多德主張「凡是運動著的物體，一定有推動者在推著它運動。」但一個推著一個，不可能無限制地追溯上去，「必然存在第一推動者」。他的理論被中古世紀的基督教拿來與教義結合並說「第一推動者」就是指上帝。這樣的結合讓亞里斯多德的運動學成為權威學說，一直到牛頓，才建立正確的運動力學學說。同樣的，在天文學方面，亞里斯多德認為地球處於宇宙的中心的天動說也是當時的權威，之後伽利略(1564~1642)因支持哥白尼(1473~1543）的地動說而遭到教會審判與軟禁。帕西歐里(1445~1517)生活的文藝復興時期正是基督教推崇亞里斯多德學說的年代，當時的科學與藝術均深受其學說的深刻影響。處在如此的時空背景下，也難怪說，當帕西歐里從歷史文獻的閱讀與個人研究中，體察到黃金比例的諸多美妙與神奇屬性時，會自然的聯想到上帝，因為連「第一推動者」都是上帝了，這麼神奇的數字應該也跟上帝也有關係。雖然瓦薩里對帕西歐里歐里的批判非常的有道理，卻也無法抹煞《神的比例》 13_同前註_{11，p. 173。} 14_同前註_{11，頁 175-176。}

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77 對後世的影響。以下歸納四點《神的比例》歷史意義: 一、法蘭契斯卡的數學理念及論著，藉由帕西歐里的書被廣為流傳下來。二、《神的比例》出版前，黃金比例都以「中末比」或「有一個中項及兩個外項」這類只有數學家才懂的名字，一般人很少注意到它。但此書出版之後，引爆新一波對黃金比例的興趣，讓人們認定神的比例是一個值得尊敬的議題。三、把哲學和神學的意義注入書名「神的比例」以突顯黃金比例，使得它成為人數日增的折衷主義學派知識份子，可以投身鑽研的數學主題之一。四、《神的比例》是可以讓藝術家真正拿來應用，而且不會太數學化的理論論著。15 平心而論，帕西歐里雖然不會因為他的「原創力」而被人紀念，但是他在數學特別是在黃金比例歷史上的發展影響，是值得我們肯定的!

肆

處處皆有黃金比例!?

在艾利克斯．貝洛斯的《數字奇航》第八章中介紹到一位有趣牙醫樂文，因深受《神的比例》啟發而發覺到迷人的牙齒也有黃金比例的關係。基於工作的需要，1980 年代初期，樂文請工程師設計了一個三叉黃金尺規，以方便他了解兩顆牙齒間是否成黃金比例。利用這把尺，他同時發現大自然中的動植物、人體、建築物比例、繪畫、心電圖甚至人們書寫的字體都隱含ψ，這麼多的巧合發現，讓他開始思考之中的原由。經過三十年對ψ 的研究，他認為任何看起來好的藝術，當中最主要的比例一定是ψ。樂文可以說是一個標準的黃金迷。很多的黃金迷都與樂文有相同的想法，他們各自依著自己的專長與興趣去發掘與 ψ 相關的事物。譬如，19 世紀末的德國學者蔡辛(Adolf Zeising)就強力主張黃金比例是美的化身，並把它描述為宇宙的法則:「做為至高無上的理想，滲透在各種形式的結構與比例中，不管大至宇宙還是小至個人，有機的還是無機的，聽覺得還是視覺的，然而它最完全的體現還是以人的形式呈現。」16_{蔡辛也是第一個宣稱雅典巴特農神殿(Parthenon)的大門是} 黃金矩形的人。他在1884 年出版《黃金分割》，書中宣稱巴特農神殿正面的高度與支柱的高度比，恰是黃金比例。另有黃金迷依據希臘歷史學家希羅多德說的：大金字塔高度的平方與其三角形的面積相等，並利用這個陳述經過一些簡單計算證明出，大金字塔的三角面的高與其底邊的一半之比正好等於黃金比例！可以想見，這個推論多麼令黃金迷雀躍與驚喜。但有學者調查發現希羅多德的原意應是：大金字塔的底面是正方形且邊長與高度相等。而此錯誤可能是來自英國退休出版 15_同前註_{11，頁 176。} 16_{艾利克斯．貝洛斯著，胡守仁譯，《數字奇航》}_，頁_{244，台北市，時報文化，2012 年 3} 月。

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78 商泰勒(John Taylor)於 1859 年出版的《大金字塔：為什麼要造它，誰造了它？》但遺憾的是，這個錯誤卻被重複引用無數次，也因此讓某些人誤以為大金字塔的建造與黃金比例有關。17 指涉畫家在繪畫中運用黃金比例是另一個常被提到的話題。譬如，義大利著名的畫家及建築師喬托於西元1306 年畫的《萬聖節的聖母像》，許多關於黃金比例的著書和文章一再重複述說這幅畫的整體及中心人物，可以精確的內接於一個黃金矩形之內。另一個常被談到的是達文西所畫的《蒙娜麗莎》、《一位老人的頭》速描、《人體比例圖》與《在岩洞中的聖母》。此外，黃金迷也常拿法國點描派著名畫家秀拉的《大遊行》與《馬戲團》來證明黃金比例的應用。音樂由於受到畢氏學派影響，從古希臘到 12 世紀一直被視作是數學的一部分。12 世紀之後音樂才脫離數學所訂下的成規及公式，但 18 世紀德國哲學家萊布尼茲仍稱:「音樂是一種秘密的數學演練，沉溺其中的人並不了解他是在操作數字。」小提琴與鋼琴是常被視為與黃金比例有關的樂器，而黃金謎更深信某些音樂家會以黃金比例去控制其音樂形式的比例。並不是所有人都認同黃金迷所發覺的黃金比例的應用，有人因此深入研究提出證據來反駁。但，也的確有某些藝術家是真的應用黃金比例在他們的作品，譬如，達利1955 年所畫《最後的晚餐聖餐》，它的長寬比是黃金比例而且有一個巨大正十二面體的一部分浮在餐桌之上，我們都知道正十二面體與黃金比例有非常密切的關係。另外，瑞士-法國的著名建築師、畫家科比意(1887~1965)由於受到吉卡 1927 年出版書《在大自然及藝術中比例的美學》之影響，強力擁護黃金比例並把它應用在藝術及建築上。科比意分別在 1948 與 1955 出版的《模距》與《模距 II》，提供一個和諧的人體尺寸量度，可通用在建築及力學上。圖 8 是科比意的模距中的人體比例系統，可以看到肚臍眼是人體身高的黃金分割點，下垂的手畢的手腕處是手抬高之後全高的黃金分割點，也就是說 113/70 及 140/86 都是黃金比例。18 圖8 17_{李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，頁}_{81-86，台北市，遠流，2014 年 6 月。} 18_同前註_{11，頁 215-219。}

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結語

柏拉圖曾說:「所有美麗的東西都不好理解。」從這一趟黃金比例的文史之旅的確可以印證柏拉圖這句話的背後深意。黃金比例從被畢氏學派發現(或許更早) 到《神的比例》出版以前，大概都只有數學家會想去了解與研究，因為它不是好了解的東西，就好像數學課程對一般學生的感覺一樣。但帕西歐里出版《神的比例》之後，因極力吹捧黃金比例的神聖性質與希望藉此書把藝術的數學基礎完整化的構想，加上有達文西插畫的加持以及當時人們對神的信仰與敬畏，而成功的引發人們對黃金比例的興趣，進而對不同學門的思想家產生啟迪作用。也因此接續發現，不論是大自然界的動物、植物，宇宙中的螺旋星系以及兔子的繁衍問題，這些表面上看起來風馬牛不相及的事物或學門竟然都與黃金比例有關係。我們可以說，帕西歐里是黃金比例的最佳推銷員，好的東西若沒有好的行銷手法，是無法獲得廣泛的認同與採用，這一點帕西歐里就做得很好。雖然，它不尊重智慧財產權，有竊取法蘭契斯卡的數學理念及論著之嫌，這的確是個人人格上的一大缺失，但若就保護人類的智慧結晶得以流傳後世而言，確也是功不可沒的。美的事物會令人心情愉悅，但，究竟甚麼是美? 黃金迷或許會跟樂文一樣認為美好的事物當中必隱藏著黃金比例。也就是說，若一事物中找不到黃金比例則此物必不美。黃金迷們是否會在這種情節下，千方百計的想從他們認為美的事物中「找出」黃金比例。如此一來，測量的基準可能就不是很公正，再加上測量的誤差，有可能量測所得的黃金比例其實是不準確的値。所以，即使是樂文有一個三叉尺丈量黃金比例，但量得的是否真的是黃金比例，仍是個問題。總而言之，即使是黃金比例，雖然已有這麼多的人只要聽到說某事物是具有黃金比例的特質，多半會聯想它是美好的，但真要拿黃金比例來當成評斷事物美好與否的標準仍是問題重重啊!

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參考文獻

李維歐著，丘宏義譯，《黃金比例》，台北市，遠流，2014 年 6 月。艾利克斯．貝洛斯著，胡守仁譯，《數字奇航》，台北市，時報文化，2012 年 3 月。齊斯．德福林著，洪萬生譯，《數字人: 斐波那契的兔子》，台北市，五南，2013 年5 月。張維忠，黃金分割、斐氏級數及其文化價值，數學傳播，29(2)，頁 61-70，2005 年6 月