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5.12相似形的應用

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Academic year: 2021

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(1)

相似形的應用 1 如圖,小龍想知道樹高,他在離樹根 6 公尺的 D 點直立 了一根標竿,並在的延長線上找到一點 E,使得 A、 C、E 三點恰好成一直線。已知=1 公尺,=1.5 公尺, 則樹高=?(A)8 (B)6 (C)5 (D)4 公尺 C 1 如圖,小玲設計了兩個三角形來測量河寬, 已知∥,=25 公尺,=10 公尺,=15 公尺,則河寬=?(A)25 (B)15 (C)10 (D)30 公尺 C 1 一群海盜在無名島上藏了三批珠寶,先在島上 A 地藏第一批珠寶,然後向東走 x 公里,再向南走 5 公里 B 地藏第二批珠寶,再循原路回到 A 地後,向西走 6 公里,再向北走 10 公里到 C 地藏第三批珠寶,如果 A、B、C 三地恰好在一條直 線上,則 x=? (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 A 1 如圖,小軒想知道大樓的高度,他先在大樓的西方 12 公尺 的 C 點平放一面鏡子,再向西方後退到離鏡子 3 公尺 的 B 點,透過光的反射看到了大樓樓頂 E 點。 根據光的反射定律知道∠1=∠2,若小軒眼睛到 腳的高度為 1.5 公尺,則大樓高是多少? (A)6 (B)7 (C)7.5 (D)8 公尺 A 1 如圖,有一根竹竿長 8 公尺,在陽光的照射下,影子長為 6 公尺 ,竹竿頂插了一枝旗子,旗子超出竹竿頂 1.2 公尺,試求此時 旗子的影長為多少公分? (A)0.9 (B)1.2 (C)90 (D)120 公分 C 1 小如的身高是 150 公分,在太陽下測得她的影長是 100 公分,又在同一時間測 得一棵大樹的影長為 2.5 公尺,請問大樹的高度約是幾公尺?(四捨五入) (A)4 (B)5(C)6 (D)7 公尺 A 1 如圖,小凌想測量樹高,已知∠1=∠2,=1.6 公尺 、=2 公尺、=6 公尺,則樹高是多少? (A)3.2 (B)3.6 (C)4 (D)4.8 公尺 D 1 如圖,地上的投射燈將小蛋的影子,投射至小蛋後方 6 公尺的牆上, 已知小蛋的影子高 3.6 公尺,投射燈距離小蛋 2 公尺處,請問 小蛋的身高是多少?(A)0.9 (B)1 (C)1.2 (D)1.5 公尺 A 1 如圖,小軒站在高 36 公尺的大樓頂樓,在陽光的照射下,大樓的影長 為 24 公尺,已知小軒的身高是 1.8 公尺,那麼同一時間小軒的影長 是多少? (A)0.6 (B)0.8 (C)1 (D)1.2 公尺 D ? 24 36 2 6 3.6 A B C D E 1 2 ? 6 8 1.2 A B C D E 1 2 ¤j ¼Ó Ãè¤l D C B A E ªe¬y A B C D E

(2)

P O F E D C B A A B C D A B C D E A B C D E F > > 2 如右圖為六個正三角形所構成,連接交於 P 點 下列何者與△AOP 不相似?

(A) △CFA(B) △ECP(C) △DAF(D) △PED

D 2 如圖,水平桌面上有一個不等臂天平,已知 O 點為天平的支點 ,A、B 為兩端點,且=18 公分,=27 公分,將 A 點按於桌面 時,B 點離桌面為 24 公分;若將 B 點按於桌面,則 A 點距離桌面多少公分? (A)16 (B)18 (C)20 (D)24 公分 A 2 如圖,電線桿在距離 6 公尺之牆壁上的影長是 4 公尺,小彥在地 面上直立了一枝 2 公尺長的竹竿,竹竿距離牆壁 2 公尺,若此 時竹竿在地面上的影長為 2 公尺,則電線桿的高度是多少? (A)4 (B)6 (C)8 (D)10 公尺 D 2 如圖,阿志想測量樹高,他站在距離樹 30 公尺的 E 點,將手臂水平伸 直,並把一支直尺豎在眼睛前方,已知阿志的眼晴 O 點,與直 尺上的 A 點及樹的頂端 D 點同在一直線上,且 O 點 與直尺上的 B 點及樹的底部 C 點也在同一直線上。若=10 公 分,=30 公尺,阿志的手臂長 50 公分,則樹高是 多少 公尺?(A)5 (B)6 (C)7 (D)8 公尺 B 2 * 如圖,△ABC 中,∥∥, =2=3,則: :=? (A)1:2:3ˉ(B)3:5:6 (C)5:7:9ˉ(D)6:9:11 D 3 有一塊長方形紙片 ABCD,= 10,=8。將紙片摺疊,使得落在 邊上,摺痕為,將 ΔAED 沿向右 翻 折,得與的交點為 F,試問 ΔCEF 的面積為多少? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5   A 3 臺北101金融大樓,高度有580公尺,都可以看見它的身影。 阿偉在學校操場發現一個有趣的現象,6公尺高的旗杆頂端 18公尺高的校舍屋頂恰好可以和101大樓的尖端連成一線, 旗杆與101金融大樓的距離大約多少公尺? (A)9600 (B)8200 (C)7400 (D)6300 公尺。 A A C D B E F G

D

C

B A

E

O

30¤½¤Ø 50¤½¤À 10¤½¤À

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4 2 6 2 ? ¹q ½u §ý Àð A B C O 24 ®à ±

(3)

3 如圖,坐標平面上一直線L:3x + 4y = 24交x軸A點, 交y軸於B點,C、D皆在L上,且==, 已知四邊形CEOF、DGFH均為長方形,則DGFH的面積 為何?(A) 4 (B)  (C)  (D) 6 C 3 如右圖,小明將 L 型的紙沿剪成兩個相似長方形, 且=,>,=6,=4, 則 L 型的面積=?(A)124(B)132(C)144(D)156 D 3 如圖:以為直徑作圓 O,在上取一點 C, 以為半徑作圓 C。過 C 作垂直於的直線,分別交二圓於 D、G。以為一邊作正方形 CDEF,令其面積為 a;以、二邊 作長方形 ACGH, 令其面積為 b。(A)a>b(B)a=b(C)a<b(D)不確定 B 4 如圖,小軒想要測量旗竿的高度,在陽光的照射下,旗竿影長 為 6 公尺,當他從竿底往前走 4.5 公尺,發現他自己影子的 最前端和竿影的最前端剛好疊合,已知小軒的身高是 175 公分, 則旗竿的高度是 ˉˉˉˉ 公尺。 7 4 如圖,在 L、M、N 三條直線上,分別取=、 =、=,則△A'B'C'面積是△ABC 面積 的 ˉˉ ˉˉ 倍。 4 4 如圖,斜坡的長度是 180 公尺、高度是 12 公尺,若小嵐沿斜坡的起點 C 向上走 30 公尺至 D 點停 下 來,則 D 點的高度=ˉˉˉˉ 公尺。 2 4 如圖,有一光源 O 照在四邊形 ABCD 上,投影成四邊形 A'B'C'D',已知:=1:2,::: =4:2:3:2,試問:若=9 公分, 則四邊形 A'B'C'D'的周長為 ˉˉˉˉ 公分。 66 4 如圖,A、B 是蛋形湖泊岸邊的兩點,已知∥,今量得 =30 公尺,=12 公尺,=15 公尺, 則=ˉˉˉˉ 公尺。 37.5 4 如圖,小佳想知道河寬的距離,她量得=4 公尺, =6 公尺,=24 公尺, 則河寬=ˉˉˉˉ 公尺。 12 A B C D E A B C D E O A A' B B' C C' D D' A B C D E O A A' B B' C C' L M N 6M 4.5M 1.75M ? D C B A E F G H O A B C D E F G

(4)

4 如圖,在△ABC 內找一點 O,取=3、=3 、=3,若△A'B'C'的面積是 4, 則△ABC 的面積是 ˉˉˉˉ。 36 4 如圖,小榮想利用三角形的相似性質來測量河寬的 長度,他測得=5 公尺,=2 公尺,=7.8 公尺,則河寬=ˉˉˉˉ 公尺。 4.8 4 如圖,小龍設計了測量河寬長度的方法,已知// ,且=10 公尺、=5 公尺、=15 公尺, 則河寬=ˉˉˉˉ 公尺。 45 4 如圖,小清想知道河寬的長度,測量得=14 公尺 、=12 公尺、=20 公尺,那麼河寬的長度 為 ˉˉˉˉ 公尺。 21 4 如圖,△ABC 為等腰直角三角形,E、F 分別為與 的中點,且與相交於 G 點,已知△EFG 的面積 是 3 平方公分,則(1)△BGC 的面積=ˉˉˉˉ 平方公分。 (2)△ABC 的面積=_ ˉˉˉ 平方公分。 12 36 4 如圖,△A'B'C'是△ABC 以 O 為中心點的縮小圖,其中 :=3:2,試回答下列各題: (1)若=18 公分,則=ˉˉˉˉ 公分。 (2)△A'B'C' 的面積:△ABC 的面積=ˉˉˉˉ。 (1)27 (2)4:9 4 如圖,小宗想測量樹高的高度,他先在 C 點平放一面小鏡子,再由鏡 子後退 2 公尺的 B 點處向鏡子看,透過光的反射看到了樹梢 D 點,根據反射定律,知道∠1=∠2,若小宗的身高為 1.6 公尺,則樹高=ˉˉˉˉ 公尺。 3.2 5 如圖△ABC中,= 8,= 9,= 3x + 1,= 4x – 2 ,則當x =______時,△BDF面積與△CEF面積會相等。 5 A B C D E 1.6 21Ãè¤l2 4 O A B C A' B' C' F E A B GD C A B C D E A B C D E A B C D E O A B C A' B' C'

(5)

5 如圖,△ABC 面積為 24,∠BAC=900,是斜邊上 的中線,⊥於 E,連交於 F, 則△AEF 的面積= 。 4 5 兩路燈、高 5 公尺,=20 公尺, 姚明身高 2 公尺,直立於 C 點, (1)當 E 點光線照在姚明身上(即上),其身影長為,則= 公 尺; (2)當 F 點光線照在姚明身上,其身影長為,則= 公尺。 8 16/3 5 如圖,、、分別垂直於 B、F、C, 且=5,=3, 則= 15/2 5 如右圖, ABC 中,ADEF 為正方形,若=10,=15,△ 則此正方形的邊長為 。 6 5 如圖,△ABC 中, ⊥,若=15、=17 、=8,則= 8/17 5 如圖,梯子斜放在垂直於地面的牆上,為了要讓梯子更穩定,多加了支架 支撐,已知⊥,且=16 公尺, =12 公尺,則=ˉˉˉˉ 公尺。 9 5 如圖,泳池內有一座小型滑水道,其中與的夾角為 90°,已知長 1.5 公尺,為 1.2 公尺, 則為 ˉˉˉˉ 公尺。 2.5 5 如圖是一個溜滑梯,已知∠BAC=90°,=4 公尺, 頂點離地面的高度為 6 公尺, 則=ˉˉˉˉ 公尺。 9 D C B A D C B A A B C D E F F E A B C D G F E A C B D F E A B C D

(6)

5 如圖,△ABC 中,∠BAC=90°, 為斜邊上的高,若=4,=2, 則(1)= (2) = 2√5 8 5 如圖,直角△ABC 中,∠BAC=90°,⊥, =(-1)㎝、=(+1) ㎝, 則= √2 5 如圖,小豪想知道一金字塔形建築物的高度,他先在 地上立了一支長 1.5 公尺的標竿,量得此竿影長 為 3 公尺,後來又在距離第一支標竿的 10 公尺處 再立一支相同的標竿,量得此竿影長為 6 公尺,則此 金字塔建築物的高度應為 公尺 6.5 5 如圖,在河的對岸有一個長方形的空地 ABCD,已知 河寬為 6 公尺,=7 公尺、=9 公尺、 =12 公尺,則空地的寬度為 ˉˉˉˉ 公尺。 6 5 如圖,小楊想知道為樹高是多少,他先在地面上直立兩根 標竿、,然後拉一條繩子通過共線的 A、C、E 三點 ,並量得=20 公尺,=5 公尺,=120 公分,=150 公分,則 樹高=ˉˉˉˉ 公尺。 2.4 5 地上置一燈,照著一道高牆,今有一人身高 1.5 公尺,自光源 O 處 向牆壁走近 3 公尺時,牆上人影恰好是 3 公尺,若再向前走近 1 公 尺時,則牆上人影為 公尺 9/4 5 如圖,已知小玲的身高為 1 公尺,小岳的身高為 1.5 公尺,兩人分別站 在樹前,發現 A、F、D 三點在同一直線上,若=1 公尺、=6 公 尺,則樹高為 ˉˉˉˉ 公尺。 4.5 5 如圖,田野中有一農舍高 h 公尺,今量得農舍在地面上 的影長為 10 公尺,同時旁邊一棵高 1.5 公尺的小樹影 長為 2 公尺,則 h=ˉˉˉˉ 公尺。 7.5 A B C D E F 1 6 3 1 1.5 3

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C D E F B A A B C D E F G H 10 3 6 ¥ú·½ ¼Ð ¬ñ ¼Ð ¬ñ D C B A D C B A 4 2

(7)

A L A > L 45o 牆 H G A B C D E F 5 如圖,陽光從窗口照到室內,在地面上留下 2.7 公尺寬 的亮區。已知亮區一側 E 點到窗下牆角 C 點的距離 =8.7 公尺,窗口=1.8 公尺,試求窗口的下緣 B 點, 離地面的高度= 4 6 如右圖,正六邊形 ABCDEF 中,、交於 G, 、交於 H,則 四邊形 CHFG 面積:正六邊形 ABCDEF 面積為 4: 9 6 如圖,小軒距離牆角 2 公尺,在陽光的照射下,影長為 1.2 公 尺,已知他的身高是 1.8 公尺,若小軒再遠離牆角 1 公尺, 則他的影長是 公尺 0.9 6 在長方形ABCD中,= 8,= 9,H在上使得= 6, E在上使得= 4,直線EC與直線AH相交於G, 且F在直線AD上使得⊥,則=______。 20 6 如圖,∥∥,若= 13、= 10、= 5、 = 3,則:=______。 5:3 6 如圖△ABC中,== 2,∠A = 36°,今將沿對摺, 使與重合,求摺痕的長= 。 – 1 6 三個邊長為1公分的正方形的緊密相鄰在一條 直線L上,再將中間的正方形抽出並旋轉45度, (如圖),則A點到直線L的距離 為 。 + 6 如圖,直角三角形ABC中,∠ABC = 90°,= 30、= 15, 內接半圓的直徑∥且切於F,則= 9 6 如附圖,BCDE為矩形,已知= 16cm、= 12cm、= 4 cm, 則:(1) △ACF面積=______cm2 (2) =______cm。 32 12 C E B A D 1.8 2.7 8.7

(8)

圖(一) 圖(二) 圖(三) 6 如圖,四邊形ABCD由兩個全等的直角三角形所拼成,其中、 為斜邊,交於F,且= 9、= 15,:= 1:2,則 =______。 3 6 如圖,是側面為梯形的量筒,底面寬6公分,筒高12公分, 裝高為8公分的水時,水面寬12公分。今將長17公分的細玻璃棒 置入筒中,若玻璃棒超出筒外2公分,則在水面下的 部分長為 公分。 10 6 如圖,B、E、F、G分別為、、、的中點, 若△BGH面積=3,求△EFH面積 = 。 3 6 將長方形ABCD,如圖(一),沿對摺,使B點 落在上一點F,如圖(二),再沿對摺,使 交於P,如圖(三),若長方形ABCD的 長、寬比為4:3,則: =______。 1:2 6 如圖,△ABE與△BCF均為正三角形,若直線AB、 EF相交於一點H,且= 8,= 32, 則= 。 6 6 如圖,ABCD是長方形,G、H三等分,連延長交 於E點,連延長交於F點,若= 12, 求= 。 3 6 如附圖,△ABC中,D、F在AB上,E、G在上, ∥∥ (1) 若::= 1:2:3,則△ADE面積梯形、DEGF 面積與梯形FGCB面積的連比為 。 (2) 若△ADE面積:梯形DEGF面積:梯形FGCB面積=1:2: 3 ,則::= 。 (1) 1: 3:5; (2) 1:: 6 如附圖,將三角形紙片ADH,剪去兩個平行四邊形CEFG 和BFHP後,剩下三個三角形,若這三個三角形的周長分別 為 10、15、6公分,則原來三角形ADH的周長為 公分。 31 6 如圖,已知= 8,= 4,= 10,= 6,= 2, 試求的長為 。

(9)

Q P H G F E D C B A 2 3 6 如圖,小君君想知道一金字塔形建築物的高度,他先 在 地上立了一支長1.5公尺的標竿,量得此竿影長為3公尺 ,後來又在距離第一支標竿的10公尺處再立一支相同 的 標竿,量得此竿影長為6公尺,則此金字塔建築物的高度應為 公尺 6.5 6 如圖,H、B為一條河流兩岸的兩定點,河寬,在 河的東岸為一建築物,聰玫先找來長3m的竹竿, 垂直立於H上,量得竹竿影長= 2m,然後延正西方 行進18m,到達F點,在垂直插上同長的竹竿, 且量得影長= 4m,請幫聰玫算出河寬? 與建築物的高度? 18 30 6 ABCD與 BEFG 為兩個全等的長方形,重疊之後(如圖) BCGH為正方形且=2,=3,P、Q 分別在 、上, 則四邊形 BPHQ 的面積= 12/5 6 如圖,在 ABC 中,D、E、F 分別為三邊中點,△ 、交於 G,P、Q 分別在、上, (1)求證:G △為 DEF 的重心 (2) 若 ABC 面積為 72,則四邊形 DPGQ 面積為 △ 6 6 如圖,正 ABC 與正△ △DEF面積均為 30,重心均為 G, 且∥則兩三角形重疊面積(灰色部分) = 20 6 如圖,四邊形 ABCD 的面積=88,若=4, =7,平分 ABC,∠ △ 則 ABD 的面積= 32 6 ABCD為一長方形,E 在上,F 在上,=30, =40,⊥,∥, 則(1) := (2)= 16:9 128 6 * 如右圖,E、F、G、H 分別為、、、的中點, △ABC的面積=20 △, BCD 的面積=16, 則四邊形 EFGH 的面積= 2 H G F E A B C D C D E F B A A B C D G F E B C D A Q P G F E A B D C

(10)

6 * △ 如圖,在 ABC 中,D 為中點, E 為中點, F為中點,連接交於 G, △ 則 EFG的面積: ABC 的面積= △ 1:12 6 如圖, CAF △∠ 為 ABC 的外角,、分別 ∠ 為 BAC ∠、 CAF 的平分線,已知=10,=5, △

則 ABD △: ACD △: ACE=

2:1:3 6 如右圖,在坐標平面上,有一質點從 A(-3,2)出發,沿折線 、前進與 X=5 交於 B 點,若∠1=∠2,則 (1)B點的坐標為 (2)C 點的坐標為 (5,) (0,) 6 如圖,、、分別垂直於 B、F、C, 且=4,=5, 則= 20/9

6 ABCD為一長方形,E 在上,∠BEC=900,=2,

=5,則 ABE 面積為 △ 1

6 ABCD為一長方形,E 在上,∠BEC=900,=3,

=5,則 ABE 面積為 △ 54/25 6 如圖 ABCD 為正方形,⊥,E 為中點, 求△ABE 與△AEF 的面積比? 4:5 6 阿貴摺一張等腰△ABC 的紙,已知==10 ,=4,=6,今將 A 點沿著對摺至 上的 F 點(如圖),恰好使△BDF 與△CFE 相似, 則= 35/3 F E A B C D C D E F B A E D C B A E D C B A F E A B C D O C B A > ^ x y x=5 1 2 E A B D C o o xx F G F E A B D C

(11)

6 如右圖△ABC 中,=8,=4,∠B=900, :=1:3,則= 6 如右圖,ABCD 為平行四邊形,若=20,=16, 則= 9 6 D、E 為三等分點,F、G 為三等分點, 則灰色面積之和與△ABC 面積的比值? 1/3 6 如圖,直角△ABC 中,∠BAC=90°,⊥, =20、=15,則= 16 6 坐標平面上,A 點坐標是(0,3)、B 點坐標是(4,0)、C 點坐標 是(-5,0),在直線 AB 上找一點 D,使得最短, 則=ˉˉˉˉ。 27/5 6 如圖,ABC 為正三角形,已知∠BDE=60°,D 在上,且 =2,=9,則= (2 解) 3,6 6 * 如圖=3,=4,=1, 則= 15/7 6 分 點 坐標平面上,A 點坐標是(0,3)、B 點坐標是(4,0),D 在上 ,且=3,則 D 點坐標是 (8/3,1) 6 如圖,大明走在紅磚道上,發現路旁有一支柱子,上面標示 著「高 3 公尺」,大明發現柱子的影長恰為 5 塊紅磚的長度, 而自己的影長恰為 3 塊紅磚的長度,則大明的身高和柱高 相差 ˉˉˉˉ 公分。 120 6 如圖∠BAC=900, ⊥,=26,=10, 則△ABC 的周長= 65 A B C D G F E A B C D E A B C D O D C B A > ^ X Y A C B D D C B A E F G C D E F G B A A B C D

(12)

P G A B C D E F I H G A B C D E F F E D C B A A B C D E F G A B C D E F 6 如圖,ABCDE 為正五邊形,5 條對角線分別交於 F、G、H、I、J,若=2,則= 3-√5 6 如圖,在 ABC△ 中, BOE 的面積=5,△ △COD的面積=8 △, BOC 的面積=10, 則四邊形 AEOD 的面積= 22 6 D、E 為三等分點,F、G 為三等分點, △ 則灰色面積之和與 ABC 面積的比值? 2/3 6 如圖,在 ABC 中,=8,=6 ∠△ , AFB=90, 則=

6 如圖,在 ABC 中,ADEF 與 DIHG 為兩全等矩形,△

已知=2,=10,

則 ADEF 的面積為

32

6 如圖,在 ABC 中,D、E 分別為、中點,△ Comb i n與Comb i n

交於 P,G、F 分別為、中點, 則(1)求證:DEFG 為平行四邊形 (2) 求證:平行四邊形 DEFG面積= ABC 面積△ 6 在 ABC△ 中, B=90 ,=8,=6,∠ △ ABC~△DEF,與距離為 1,與距離為 1, 與距離為 1,則 DEF 面積= △ 54 O E A B C D 5 8 10 I H G F E D C B A J

(13)

H G F E D C B A Q P A B C D 6 如圖,在梯形 PABQ 中,上一點 C,上一點 D, //且梯形 PCDQ 面積=梯形 CABD 面積。=6 =8,則= 5 7 如圖,A、C、E、D分別在∠B的兩邊上,且 平分∠EAC,∥,試證: (1) =。 (2) :=:。 (3) 若= 5、= 4、= 6,則= 30 7 如圖,四邊形 ABCD 為一長方形,:=:=:=:=3:2, 且=13,=10, 則灰色面積為 10 7 在 ABC△ 中, B=2∠A ,=8,=10,∠ 則= 12 7 如圖,ABCD 為平行四邊形,∥, :=3:2,已知=16, 則= 15 (連 BD

7 ABCD為一邊長為 4 的正方形, BEFG 為長方形,E 在上,H 為

與的交點,=3,則 (1)長方形 BEFG 的面積= ;四邊形 BCHE 的面積= (2) △HCF的周長= △; HCF 的面積= 16 77/8 39/5 507/200 7 如圖,試利用尺規作圖在上找到一點 C, 使得=。 B A P C D E F G H B A

R

Q

C

D

B

A

P

C B A

(14)

B A P A B C D E F 3 4 5

7 如圖,ABCD 為一正方形,ΔAEF 為直角 Δ,E、F 各在、

上,則 ABCD 面積為= 8 如圖,△ABC 為一直角三角形,已知∠ABC=90°,⊥, 求證:(1)2=×(2)2=× 9 如圖,在 ABC△ 中, B=2∠A∠ , 則 X= 4 (∠B 平分 線) 9 如圖,ABCD為一長方形, ABF △△ 、 CFG △、 CDH、 △ADE等 4個等腰直角 ,恰可圍成矩形 ABCD,若矩形△ ABCD~矩形 EFGH 且=1,則= 9 如圖,在 ABC 中,=2,=,=,△ 、、兩兩相交於 G、H、I, △ 則 GHI面積: ABC 面積= △ 1:60 (取 BF 中點P, 連DE 、 DP ) 9 如圖,試利用尺規作圖在 PAB 中,上找到一點 C,△ 上找到一點 D,使得//且=。 H G F E A B D C I C D E F G H B A C B A X X+1 X+2 A B C D

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