4−2 配方法與公式解
本節課程學習重點： ◎用平方根的概念解形如x2 = (k k≥0)及(ax b± )2 = (c a≠0，c≥0)的一元二次方程式。 ◎利用配方法解形如x2+ax b+ = 的一元二次方程式。 0 ◎能理解ax2+bx c+ = 與0 k ax( 2+bx c+ = 的解完全相同。 ) 0 ◎能以配方法導出一元二次方程式的公式解。 ◎能由判別式知道一元二次方程式解的性質為兩相異根、兩根相同或無解。 ◎能利用公式解求一元二次方程式的解。 一、利用平方根概念解一元二次方程式： 可以利用平方根的概念，解形如 2 x = (k k≥0)及(ax b± )2 = (c a≠0，c>0)的一元二次方程式。 【說明】例如：(1) 2 9 x = ，x= ± 9 = ± ，所以方程式的解為 3 和－3。 3 (2) (2x＋3)2＝8，2x＋3＝±2 2 ，x＝ 3 2 2 − ± ，所以方程式的解為 3 2 2 − + 和 3 2 2 − − 。 練習1：解下列各一元二次方程式。(1) x2＝25 (2) (x＋3)2＝16 (3) (x＋1)2＝2 練習2：解下列各一元二次方程式。(1) x2＝121 (2) (x－4)2＝25 (3) (x－2)2＝3 練習3：解下列各一元二次方程式。(1)(x＋7)2－3＝0 (2)(2x－3)2－7＝4 練習4：解下列各一元二次方程式。(1)(x－3)2－23＝0 (2)(3x＋5)2－15＝2二、利用配方法解一元二次方程式：(無法用前面學過的因式分解法來求解時，常用配方法來求解。) ◎完全平方式：若能將一元二次方程式整理成形如(ax＋b)2的式子(a≠0)即稱為完全平方式。 ◎配方法：利用和的平方公式(或差的平方公式)，將一個式子配成完全平方式的方法，稱為配方法。 ◎將 x2＋px 配成完全平方式：將形如 x2＋px 的式子加上( p2 )2，可以配成完全平方式。 【說明】x2＋px 加上( p2 )2可配成完全平方式，即 x2＋px＋( p2 )2＝(x＋ p2 )2； x2－px 加上( p2 )2可配成完全平方式，即 x2－px＋( p2 )2＝(x－ p2 )2。 例如：x2＋14x＋( 142 )2＝x2＋14x＋72＝(x＋7)2。 【觀念釐清】配方時，加「一次項係數一半的平方」，即可使形如 x2＋px 的式子配成完全平方式。 練習5：分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。 (1) x2＋12x＋□＝(x＋△)2 (2) x2－10x＋□＝(x－△)2 (3) x2－7x＋□＝(x－△)2 (4) x2＋13 x＋□＝(x＋△)2 練習6：分別找出適當的數填入空格中，使下列各式變成完全平方式。 (1) x2＋18x＋□＝(x＋△)2 (2) x2－6x＋□＝(x－△)2 (3) x2＋15x＋□＝(x＋△)2 (4) x2－7 3 x＋□＝(x－△)2 ◎利用配方法解一元二次方程式的步驟如下： (1)利用等量公理使 x2項的係數變為1。 (2)將方程式整理為 x2＋mx＝c 的形式。 (3)等號兩邊同加( m2 )2。 (4)等號左邊配成完全平方式。 (5)利用平方根概念解出 x。 【說明】例如：3x2＋6x－6＝0 ⇒ x2＋2x－2＝0 ⇒ x2＋2x＝2 ⇒ x2＋2＋( 2 2 )2＝2＋( 2 2 )2 ⇒ (x＋1) 2＝3 ⇒ x＋1＝± 3 ，x＝－1± 3 。 練習7：解一元二次方程式 x2＝x＋1。
練習8：解下列各一元二次方程式。(1) x2－10x＝－3 (2) x2＝2－5x 【觀念釐清】一元二次方程式中，常數項的絕對值很大時，不容易用十字交乘法來解，這類的方程式 就常用配方法求解。 練習9：解一元二次方程式 x2－4x－396＝0。 練習10：解一元二次方程式 x2－6x＝891。 練習11：解下列各一元二次方程式。(1) 3x2－5x＋1＝0 (2)－2x2＋3x＋1＝0 練習12：解下列各一元二次方程式。(1) 2x2－8x＋3＝0 (2)－2x2＋x＋4＝0 練習13：以配方法解一元二次方程式 x2＋10x＋a＝0，可得 x＝－5± 11 ，則 a 為多少？ (Hint：還原法，比較係數。)
練習14：以配方法解一元二次方程式 x2－8x＋b＝0，可得 x＝4± 7 ，則 b 為多少？ 三、利用公式解求一元二次方程式的解： ◎利用配方法解一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 的步驟如下： (1)等號兩邊同除以 a，使 x2項係數為1。 (2)將常數項 c a 移到等號右邊。 (3)等號兩邊同時加( 2a )b 2。 (4)將等號左邊配成完全平方式。 【說明】x2＋b a x＋ c a ＝0 ⇒ x 2 ＋b a x＝－ c a ⇒ x 2 ＋b a x＋( b 2a )2＝－ c a ＋( b 2a )2 ⇒ (x＋2a )b 2＝－4ac＋b 2 4a2 ＝ b2－4ac 4a2 (此時須假設 b2－4ac≧0) ⇒ x＋2a ＝±b b 2－4ac 4a2 ＝± b2－4ac 4a 2 ＝± b2－4ac 2a ⇒ x＝－2a ±b b 2－4ac 2a ，x＝ －b± b2－4ac 2a 。 ◎一元二次方程式的公式解： 當 a≠0 且 b2－4ac≧0，一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 的公式解為 x＝－b± b 2－4ac 2a 。 【說明】解 x2－6x＋3＝0 時，令 a＝1、b＝－6、c＝3， 利用公式解可得 x＝－(－6)± (－6) 2－4×1×3 2×1 ＝ 6± 24 2 ＝3± 6 。 ◎一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判別式 b2－4ac 與方程式的解： (1)當 b2－4ac＞0 時，方程式有兩個相異的根，兩根為 x＝－b± b 2－4ac 2a 。 (2)當 b2－4ac＝0 時，方程式的兩根相等，此時稱 x＝－2a 為重根。 b (3)當 b2－4ac＜0 時，方程式無解。 【說明】在前面討論公式解時，假設 b2－4ac≧0，得到 x＝－b± b 2－4ac 2a 。 其實，方程式的公式解可以分別由判別式 b2－4ac 為正數、0 或負數來討論： (1)當 b2－4ac＞0 時，方程式的兩根為 x＝－b＋ b 2－4ac 2a 和 x＝ －b－ b2－4ac 2a ， 即方程式有兩個相異的根。 (2)當 b2－4ac＝0 時，方程式的兩根為 x＝－b± b 2－4ac 2a ＝ －b±0 2a ＝－ b 2a ， 即方程式的兩根相等，此時稱 x＝－2a 為重根。 b (3)當 b2－4ac＜0 時，因為 4a2＞0，所以b 2－4ac 4a2 ＜0，得方程式(x＋ b 2a )2＝ b2－4ac 4a2 ＜0。 目前學過的任意數，其平方都不是負數，因此在 b2－4ac＜0 的情況下，此方程式無解。
練習15：利用判別式判斷下列各方程式解的情形。 (1) 4x2＋2x＋14 ＝0 (2) 2x2－9x＋5＝0 (3) x2＋x＋1＝0 練習16：利用公式解求下列一元二次方程式的解。(1) 5x2－13x＋7＝0 (2) 3x2＋7x＝－2 練習17：利用公式解求下列一元二次方程式的解。(1) x2＋8x＋12＝0 (2) 3x2＋5x＝7 練習18：利用公式解求下列一元二次方程式的解。(1) x2＋22x＋121＝0 (2) 2x2＋3x＋4＝0 練習19：利用公式解求下列一元二次方程式的解。(1) x2＋x＋14 ＝0 (2) x2－4x＋5＝0 練習20：利用公式解求一元二次方程式－2x2＋3x＋1＝0 的解。
練習21：已知 x 的一元二次方程式 x2－10x＋5m＋10＝0 有重根，求 m 之值及此方程式的解。 練習22：已知 x 的一元二次方程式 x2－8x＋3m＋7＝0 有重根，求 m 之值及此方程式的解。 【觀念釐清】解一元二次方程式的方法有：因式分解(提出公因式、乘法公式、十字交乘法)、配方法和 公式解，只要根據題型選擇適當的方法，即能順利求出一元二次方程式的解。 ◎補充：根與係數關係(韋達定理)：設一元二次方程式 ax2＋bx＋c＝0 的兩根為α 、β，則 (1)兩根之和α β+ ＝－ ba。(2)兩根之積αβ ＝ c a。 【說明】因為x2 bx c (x )(x ) x2 ( )x a a α β α β αβ + + = − − = − + + ，比較係數可知α β+ ＝－ ba，αβ ＝ c a。 自我評量 1. 已知下列各式都是完全平方式，試求出 a、b 的值。 (1) x2＋18x＋ ＝(x＋ )2 (2) x2－x＋ ＝(x－ )2 2. 解下列各一元二次方程式。 (1) (x＋3)2＝19 (2) (3x－2)2－16＝0 (3) 2x2－8x－1792＝0 (4) 3x2＋5x＋1＝0 (5) 9x2＋4＝12x (6)－3x2－6x＋6＝2x2－x＋2
3. 利用判別式判斷下列各方程式解的情形。 (A) 5x2－13x＋8＝0 (B) 25x2＋1＝10x (C) 12 x－3x2＝5 (D) 15 x2＝－27 x＋4 (1)有相異兩根： 。(2)有重根： 。(3)無解： 。 4. 已知一元二次方程式 ax2－(a＋1)x＋1＝0 有重根，試求 a 的值及此方程式的解。 習作 1. 解下列各一元二次方程式。 (1) 3x2＝21 (2) (x－3)2＝25 (3) (3x－2)2－18＝0 (4) 16(3x－2)2＝1 2. 若 5 是 x 的一元二次方程式(x＋a)2＝36 的一個解，則 a＝ 。 3. 在下列空格中填入適當的數，使式子成為完全平方式。 (1) x2＋24x＋ ＝(x＋ )2 (2) x2－5 3 x＋ ＝(x－ )2 4. 利用配方法解下列各一元二次方程式。 (1) x2＋4x＋1＝0 (2)－x2－5x＋11＝0 (3) 2x2＋7x＋2＝0 (4) x(x－8)＝1584
5. 以配方法解一元二次方程式 2x2＋px－3＝0，可得 x＝－1± 10 2 ，則 p 為多少？ 6. 利用判別式判斷下列各方程式解的情形。 (A)－2x2－x＋1＝0 (B) x2＋x＋1＝0 (C) 4x2＋20x＋25＝0 (D) x2＋x－1＝0 (1)有相異兩根： 。(2)有重根： 。(3)無解： 。 7. 利用公式解求下列各一元二次方程式的解。 (1) x2＋2x＋3＝0 (2) 4x2＋12x＝－9 (3)－x2＋2x＋1＝0 (4) 1 3 x2－ 1 6 x－5＝0 8. 已知下列各式都是完全平方式，試求出 a、b 的值。 (1)9x2＋ax＋16 (2)bx2－30x＋9 9. 解一元二次方程式 x2－6x＋7＝0 得兩根為 a 與 b，則 ab＝？ 10. 已知 x 的二次方程式 mx2－3mx＋9＝0 有重根，求 m 的值及此方程式的解。
類題補充 1. 若方程式 5x2－6x＋p＝0 可推得 x－ 3 5 ＝ ± 19 5 ，則 p＝ 。 2. 一元二次方程式 x2－x－1＝0，若 x＞0，則 x＝？ 3. 若 x2＋ax－1＝0 可以寫成(x＋ 3 2 )2＝b，則 a＋b 的值為何？ 4. 設 α、β 為方程式 5x2＋6x－3＝0 的兩根，則 α×β 的值為多少？ 5. 二次方程式 ax2＋x＋c＝0 的二根為 2、－1，則 a－c 是多少？ 6. 已知 a、b、c 為整數且 x 的一元二次方程式 ax2－bx＋c＝0 可以用十字交乘因式分解的方法求得兩根， 那麼 b2－4ac 可能為下列何數？ (A)－16 (B) 24 (C) 60 (D) 121。 7. 若 4x2－(m－2)x＋49 為一完全平方式，則 m＝？
8. 設 －4＋ 21 5 為二次式5x2－bx－1＝0 之一根，則 b＝？ 9. 設 k 是常數，若 x2－(k－1)x＋1＝0 的解是二重根，則 k 值為？ 10. 若方程式 ax2＋x＋c＝0 有重根為 2，則 a＋c＝？ 11. 將－3x2＋6x－1 化為 a(x－1)2＋b 的形式，則 a＋b＝？ 12. 當 x＝1＋ 2008 2 ，則(4x3－2011x－2009)3＝？ 13. 設 a 為 x2－2x－4＝0 的正根，b 是 x2－4x－1＝0 的負根，則 a＋b＝？ 14. 若方程式 5x2＋7x－2＝0 的兩根為 m、n，則 m¯n＋m＋n＝？
加強練習 1. 分解 9x2－30x＋□＝(3x－△) 2，則下列何者正確？ (A) □＝100 (B) □＝16 (C) △＝4 (D) △＝5。 2. 下列是用配方法解 4x2＋5x－3＝0 的過程，哪一個步驟開始發生錯誤？ 第一步：x2＋ 54 x＝ 34 ； 第二步：x2＋ 54 x＋( 52 )2＝ 34 ＋( 52 )2； 第三步：(x＋ 52 )2＝ 284 ； 第四步：x＋ 52 ＝ ± 7 ，得 x＝－ 52 ± 7 。 (A)第一步 (B)第二步 (C)第三步 (D)第四步。 3. 將 x2＋b a x 配成完全平方式時，須再加上下列何者？ (A) b 2a (B) b2 a2 (C) b2 2a2 (D) b2 4a2 。
4. 方程式 x2＋ax＋1＝0 和 x2－x－a＝0 有相同實根之 a 值有幾個？ (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4。
5. 方程式 3x2－5x－1＝0 的兩根為何？ (A)無解 (B)一正根一負根 (C)二負根 (D)二正根。
6. 利用配方法解 3x2＋16x－9＝0，得 x＝－8± m 3 ，則整數 m＝？
7. 已知 x2＋4x＋b＝0 可配方成(x＋a)2＝8 的形式，則 x2＋4x＋b＝5 可配方成下列何種形式？
(A) (x＋a)2＝3 (B) (x＋a)2＝13 (C) (x＋a－5)2＝3 (D) (x＋a－5)2＝13。 8. 將 3x2－16x－16＝0 化為(x－p)2＝q 的形式，則 p＋q＝ 。
9. 若 a、b 為方程式( 53 x－2)2＝35 的兩根，且 a＞b，則 53 a－ 53 b＝ 。
10. 設 x 的二次方程式 x2－ax＋6＝0 有一根為 a2 ＋1，且 a＞0，則 (1) a 之值為 。(2) x2－ax＋6＝0 的兩根為 。 11. 一元二次方程式 ax2＋2x＋c＝0，則 x＝？ (4－4ac≧0) (A) －1± 2－2ac a (B) －2± 4－4ac a (C) －1± 1－ac a (D) 2± 4－4ac a 。 12. 若 a、b 為整數，則方程式 x2＋ax＋b＝0 在下列哪一個情況下一定有解？
(A) a＞0，b＞0 (B) a＜0，b＜0 (C) ab＜0 (D) a＋b＞0。
13. 設 a、b、c 為整數，x 的一元二次方程式 ax2－bx＋c＝0 的兩根都是有理數，則 b2－4ac 可能為下列
何數？ (A)－16 (B) 25 (C) 38 (D) 60。
14. 若(x＋b)2＝3 的一根為 1＋ 3 ，則此方程式的另一根為何？
(A)－1＋ 3 (B)－1－ 3 (C) 1－ 3 (D) 1＋ 3 。
15. 設 a 為整數，則有關 x2＋2ax＋a＝1 的敘述，哪一個是正確的？
(A) a＝4 (B)判別式 D＝4a2＋4a (C)方程式有相異兩根 (D)無法判斷根的性質。
16. 若已知一元二次方程式 ax2＋x＋b＝0 有一根為 1－ 5 2 ，則4a－3b＝ 。 17. 若方程式 x2＋mx＋12＝0 有相異的兩根，則 m 值可能為下列哪一個選項？ (A)－7 (B)－2 (C) 3 (D) 6。 18. 若 2x2－5x＋1＋k 可利用配方法整理成 2(x＋p)2的型式，則 k＝？ 19. 已知方程式 x2－4x＋(3k－1)＝0 無解，則 k 的範圍為？ 20. 若 x＝5 是方程式(x＋a)2＝36 的一個解，則 a＝？
Ans：1.(D)；2.(B)；3.(D)；4.(A)；5.(B)；6. 91；7.(B)；8.136 9 ；9. 2 35 ；10.(1) 2 7 ，(2) 7 1± ； 11.(C)；12.(B)；13.(B)；14.(C)；15.(C)；16.－7；17.(A)；18. 178 ；19. 5 3 k > ；20. 1 或－11。 心得筆記
