中學生通訊解題第二期
問題編號 88201 將1、2、3、4、…、9 共 9 個數字填入下列空格，每格數字均相異，且必須符 合下列的運算式。試問該如何填上這些數字？(作答時，請說明你的思考過程) 參考解答： 解答的思考過程： 依題意可設a×bc=de 再加□□=□□ 當a=1 c=e 且 b=d(不合) 當a=9 or 8 de+□□>100(不合) 當a=7 當b2(不合) 當 b=1 當c3(不合) 當 c=2 7×12=84 再加□□=□□,填 1,5,6,9(不合) 當a=6 當b2(不合) 當 b=1 6×1c 當c=2,4,5,7,8,9(不合) 當c=3 6×13=78 再加□□=□□,填 2,4,5,9(不合) 當a=5 e=0 或 5(不合) 當a=4 當b3(不合) 當b=1 當c=2,5,6(不合) 當c=3 4×13=52 再加□□=□□,填 6,7,8,9(不合) □ × □□ □□ ＋ □□ □□ ４ ×１７ ６８ ＋２５ ９３當c=7 4×17=68 再加 25=93(合) 當c=8 4×18=72 再加□□=□□,填 3,5,6,9(不合) 當c=9 4×19=76 再加□□=□□,填 2,3,5,8(不合) 當b=2 當c=1or c3(不合) 當a=3 當b4(不合) 當b=1 當c=2,4,5,7(不合) 當c=6 3×16=48 再加□□=□□,填 2,5,7,9(不合) 當c=8 3×18=54 再加□□=□□,填 2,6,7,9(不合) 當c=9 3×19=57 再加□□=□□,填 2,4,6,8(不合) 當b=2 當c=1,4,5,8(不合) 當c=6 3×26=78 再加□□=□□,填 1,4,5,9(不合) 當c=7 3×27=81 再加□□=□□,填 4,5,6,9(不合) 當c=9 3×29=87 再加□□=□□,填 1,4,5,6(不合) 當a=2 當b=1,5,6,7,8,9(不合) 當b=3 當c=1,5,6,7(不合) 當c=4 2×34=68 再加□□=□□,填 1,5,7,9(不合) 當c=8 2×38=76 再加□□=□□,填 1,4,5,9(不合) 當c=9 2×39=78 再加□□=□□,填 1,4,5,6(不合) 當b=4 當c=1,5,6,7,9(不合) 當c=3 2×43=86 再加□□=□□,填 1,5,7,9(不合) 當c=8 2×48=96 再加□□=□□,填 1,3,5,7(不合)
本題恰有一解,即 17×4=68 再加 25=93 解題重點： 1. 用窮舉法討論 a 的情形。 2. 再依 a=2,3,4 時，就 b,c 之可能值進行討論。 3. 討論完成之後得唯一解。有些同學從 b 或 c 進行討論，其過程顯得較複 雜。 問題編號 88202 任取31 個相異的正整數，對它們作任意的排列。試證明：無論怎麼排列都 能找到一種方法，照此方法刪除其中的25 個數，剩餘的 6 個數在不變次序的條 件下，所構成的數列不是依序增大，就是依序減小。參考解答： 1.令 x1,x2,…,x31為1、2、3、…、31 等數字的一組任意順序的排列。設 a1=x1， 由 x1往後搜尋，遇到第一個比a1小的數字叫做a2，再由a2往後搜尋找到第一 個比a2小的數叫做a3，……，重覆這種搜尋，直到找不到更小的數為止。設最後 一個數為an，這樣由a1,a2,…,an所構成的數列命名為A 數列。 2.由 x1,x2,…,x31中去掉A 數列中的數，剩下者構成另一個數列，稱為 X1。令b1為 X1中的第一個數，依步驟1 中的搜尋方式，又構成一數列 b1,b2,…,bm，稱為B 數 列。 3.再依步驟 1、2 的方式，找到 C、D…等數列。 4.如此可以產生兩種情形： (1)若這些數列中，有任一數列的數字個數達到 6 個或超過 6 個，那麼在 X 中次序不變地留下這個數列中的 6 個數即為合於題意的數。 (2)若沒有一個數列的數字達到 6 個，則 X 至少可分成 6 個數列，設其中最 後一個數列的第一個數為 a，則在 a 所在數列的前一數列中一定可以找到 一數 b，使得 a>b，且 b、a 在 X 中的順序是 b 在 a 前。在 b 所在數 列的前一數列中亦可找到一數 c，使得 a>b>c，且在 X 中的順序為 c-b-a， ……，以這樣的方式，至少可以在 X 中找到 6 個數，使得它們在次序不 變的情況下，於刪去其餘的數後，形成一個依序增大的數列，而符合題意 之所求。 解題重點： 1. 可由較小的數目先作作看，在逐漸放大，經由實作找出規則。 問題編號 88203
港警所接到一個檢舉電話，說在一艘將要啟航的貨櫃輪上有一個貨櫃裝有違 禁物品。並給了一個不知何意的數"50 11 9 "。根據警方人員的調查與研判，這 艘船上的所有貨物都裝在從1 開始以連續自然數依次編號的貨櫃中，而且這 個數字"50 11 9 "是除了藏有違禁物品的那個貨櫃輪外，其他所有貨櫃輪編號的 算術平均數。根據這些線索，辦案人員藉由準確的計算找到了這個藏有違禁物 品貨櫃箱的編號。你知道他們是怎樣計算出來的嗎？ 參考解答： 設各貨箱編號依次為 1、2、3、4、…、n。如果去掉的貨箱是 1 號，則其餘所有 貨箱編號的平均數為 1 3 2 n n = ) 1 ( 2 ) 1 )( 2 ( n n n = 2 n +1，如果去掉的貨箱是 n 號，則其餘所有貨箱編號的平均數為 1 ) 1 ( 2 1 n n = ) 1 ( 2 ) 1 ( n n n = 2 n ，於是 2 n 11 9 50 2 n +1，即 7 11 99 n 101 11 7 ，∴n=100 或 n=101，由於 50 11 9 是n-1 個正整數的平均數，因此 50 11 9 ×(n-1)應是正整數，所以 n=100。而 1+2+…+100=5050，設去掉的貨箱號數為 x，則 99 5050x =50 11 9 x=19。故， 違禁物品藏在第19 號貨箱內。 解題重點： 1. 樹立應用意識，提高應用能力。 問題編號 88204
一個凸四邊形 PQRS 內接於一個邊長為 L 的正方形 ABCD，求證：四邊形 PQRS 必有一個邊大於或等於 2 2 L。 參考解答： 證法一：如圖，作正方形ABCD 關於 BC 的軸對稱圖形 A1BCD1；相應地得 PQRS 關於 BC 的軸對稱圖形 P1QR1S1。再作A1BCD1關於CD1的軸對 稱圖形A2B2CD1，以及A2B2CD1關於D1A2的軸對稱圖形A2B3C3D1； 相應地得兩四邊形P2Q2R1S2，P3Q3R3S2，連結PP3、AA2，由AA2=2 2 L，AP=A2P3，得PP3=AA2=2 2L， PQ+QR+RS+SP =PQ+QR ∵ 1+R1S2+S2P3PP3=AA2=2 2L， PQ ∴ 、QR、RS、SP 四邊中必有一條大於或等於 22 L。 註：著眼於整體，反復運用對稱變換，考慮四邊形PQRS 周長的最 小值。 證法二：(反證法) 假設四邊形PQRS 四邊都小於 2 2 L，∵四邊形 PQRS 的內角和為 360°，∴它的四個內角中必有一個不大於 90°。(不妨假設 SPQ ∠ 90°)於是， 2 2 2 2 )2 2 2 ( ) 2 2 ( L L PQ SP SQ ＜ =L2。即， SQ＜L，這與 SQAB=L 的事實矛盾。故，四邊形 PQRS 必有一邊 大於或等於 2 2 L。 A S D P R B Q C Q2 B2 P1 R1 P2 A1 S1 D1 S2 P3 R3 C3 Q3 B3
證法三：(本證法由福和國中張中宜同學提供) 在正方形ABCD 上任取 4 點 a、b、c、d，連ab、bc、cd 、da、 ac、 bd ，則ac、bd 一定會大於或等於L（等於時ac、bd 平行於正方 形的邊） 根據托勒密定理，abcdbcad bdac， 因為bdac L2，所以abcdbcad L2 則abcd或bcad中必有一個大於或等於 2 2 L 不妨設 2 2 L cd ab ，則在ab或cd中，一定有ab或cd 大於或等 於 2 2 2 2 2 L L ，故此內接四邊形一定有一邊大於或等於 L 2 2 解題重點： 1. 反證法。 2. 利用對稱變換方法，考慮四邊形 PQRS 周長的最小值。 3. 利用廣義托勒密定理與鴿聾原理。 評析： 1. 本題參與徵答人數，共計 62 人，平均得分數為 4.13 分。 2. 採用反證法作答且答題品質較佳者共計有南門國中呂明道，介壽國中 簡民惠等共15 人。 3. 採用對稱變換法作答者較少，只有永吉國中黃紹倫，中正國中謝卓叡 2 人，特別是黃紹倫同學才國中一年級，實在難得。 4. 採用廣義托勒密定理作答者計有福和國中張中宜等 3 人。 5. 部分作答者思考解題方式有創意，答題品質頗佳者計有介壽國中王貴 寧，衛道中學廖祿塽，敦化國中劉峻豪，民生國中古君陽，南門國中 黃彥翔等5 人。 問題編號 88205 n 個客人圍坐一圓桌，按逆時針方向依次編號 1,2,3, …, n。服務員先給 1 號 座位的客人斟酒，然後再按照逆時針的方向斟酒，但每次都要跳過兩個未被 斟酒的客人(已斟過酒的客人自然也要跳過)，才給下一位客人斟酒，但最後 一位客人不受此限制。試問：最後一位斟到酒的客人座位編號是多少？ 參考解答：本解答由 建國中學 109 班 42 號 蕭俊宏 同學提供
先將n 以 1,2,3,…代入，動手操作，得表一： 表一：n 與最後一位斟到酒的客人的座位編號an關係表 n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12113 14 15 16 17 18 19 20 21 22 … an 1 2 3 3 2 5 2 5 8 2 5 8 11 14 3 6 9 12 15 18 21 3 … ﹙註：an表n 個客人時最後一位斟到酒的客人的座位編號﹚ 觀察an的規則，發現an序列中，斷斷續續出現一些公差為3 的等差 數列，例如 a10,a11,a12,a13,a14即為一組。但若按此規則，n=15 時 an應該是 a14+3=17，但 17>15 顯然是錯誤的。 如 果 我 們 將 按 照 等 差 數 列 規 則 猜 測 的 an= a14+3=17 減 去 正 確 的 a15=3，得差 14，似乎正是 n-1。而 a15又是另一等差數列的首項，因此這個 規則可能存在於兩相鄰等差數列之間。按此規則觀察其他相鄰等差數列， 發現也符合此規則（例如a9和a10、a21和a22等等），把這個規則敘述的具 體一點，即為: 若am ,…,an-2,an-1為一公差3 的等差數列，且 an,an+1,…,ar為另一公差3 的等差數列，且an-1和an的差不等於3，則： 後一數列的首項an=前一數列的末項 an-1+3-(n-1) 歸納上述結果，猜測： 當n 3≧ 時， an=an-1+3 (if an-1+3 n)≦ ， an=an-1+3-(n-1) (if an-1+3>n)。 【猜測的證明】 1 n=3∘ 時，a3=3=a2+3-2， ∴猜測是正確的。 2∘假設 n k≦ ∈N(k 3)≧ 時，猜測是正確的。 a∴ k可經由a2推出。 當 n=k+1 時， 1 號斟過酒後，剩下 k 個人尚未被斟酒，將剩餘的 k 人重新 加以編號， ∵下一個被斟酒的編號是跳過兩號，即為 4 號， ∴將原來的 4 號編為 1 號，之後按逆時針依序編號如表二： 表二：原編號與新編號對應表 原編號 4 5 6 … k k+1 2 3 新編號 1 2 3 … k-3 k-2 k-1 K k∵ 個人時，最後斟到酒的客人新編號為 ak， 若 ak≦ ，即 ak-2 k+3 k+1≦ =>ak+1=ak+3； 若 ak>k-2，即 ak+3>k+1 =>ak+1=ak-(k-3)=ak+3-k。 ∴猜測也是正確的。
3∘綜合上述證得猜測是正確的 Q.E.D. 所以，對於給定的 n，我們可以由 a2=2，依此規則推出 an。 解題重點： 1. 可先測試幾個 n 值，以求得最後一位斟到酒客人的座位編號 an，並進而 猜測歸納出an的關係式。 2. 利用數學歸納法證明所得之結果正確。 評析： 1. 本題屬遞迴數學之題型，兼具組合構造法解題，難度特高。本題參與徵 答人數共計23 位，但大部分的同學僅能操作出幾個 n 值，而無法進一 步歸納討論，完全答對者僅1 位，得分平均數為 1.82 分。 2. 有些徵答者的推測過程稍嫌粗糙，以致出現錯誤值，而無法完全正確 分析出一般之結果。 3. 永吉國中黃紹倫同學歸納出 an的一般式，而介壽國中簡民惠先歸納出 只跳過一人時之情形，並加以證明，再推測出跳過兩人時之情況。台北 市立建國高中一年9 班蕭俊宏同學答題過程簡單扼要，並完整證明出 最後一般性之結果，值得嘉許。
