直线与圆、圆与圆的位置关系—巩固练习（提高）
【巩固练习】 一、选择题 1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°．BC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2cm 的长为半径作圆， 则⊙C 与 AB 的位置关系是 ( ) A．相离 B．相切 C．相交 D．相切或相交 第1题图 第2题图 第3题图2. 如图，AB 为⊙O 的直径，PD 切⊙O 于点 C，交 AB 的延长线于 D，且 CO＝CD，则∠PCA＝（ ）
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
3．如图所示，两圆相交于 A、B 两点，小圆经过大圆的圆心 O，点 C、D 分别在两圆上，若∠ADB＝100°， 则∠ACB 的度数为( ) A．35° B．40° C．50° D．80° 4．设 O 为△ABC 的内心，若∠A=52°，则∠BOC=（ ）． A．52° B．104° C．116° D．128° 5．已知关于 x 的一元二次方程 x２ －2(R＋r)ｘ＋d２ =０没有实数根，其中 R、r 分别为⊙Ｏ１、⊙Ｏ２的半径， ｄ为两圆的圆心距，则⊙Ｏ１与⊙Ｏ２的位置关系是( ) A.外离 B.相交 C.外切 D.内切
6．（2015•临淄区校级模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交 BC 的中点于 D，DE⊥AC 于 E，连接 AD，则下列 结论：
①AD⊥BC；②∠EDA=∠B；③OA= AC；④DE 是⊙O 的切线，正确的个数是（ ）
A．1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
二、填空题
7．设等边三角形的内切圆半径为 r，外接圆半径为 R，边长为 a，则 r∶R∶a=______．
个圆的半径分别为____________.
9．如图，在 12×6 的网格图中（每个小正方形的边长均为 1 个单位长），⊙A的半径为 1，⊙B的半径为 2，
要使⊙A与静止的⊙B相切，那么⊙A由图示位置需向右平移 个单位长．
10．已知半径为1厘米的两圆外切，半径为2厘米且和这两圆都相切的圆共有__________个.
11．如图所示，已知△ABC，AC＝BC＝6，∠C＝90°，O 是 AB 的中点，⊙O 与 AC、BC 分别相切于点 D 与点 E．点 F 是⊙O 与 AB 的一个交点，连 DF 并延长交 CB 的延长线于点 G，则 CG＝________．
12．（2015•泰安）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线，切 点为 F．若∠ACF=65°，则∠E= ．
三、解答题
13.如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，C、D 是直径 AB 同侧圆周上两点，且
CD
=BD
，过 D 作 DE⊥AC 于点 E，求证：DE 是⊙O 的切线.14．如图所示，正方形 ABCD 中，有一直径为 BC 的半圆，BC＝2cm，现有两点 E、F，分别从点 B，点 A 同时 出发，点 E 沿线段 BA 以 1cm／s 的速度向点 A 运动，点 F 沿折线 A—D—C 以 2cm/s 的速度向点 C 运动，设 点 E 离开点 B 的时间为 t(s)．
(1)当 t 为何值时，线段 EF 与 BC 平行?
(2)设 1＜t＜2，当 t 为何值时，EF 与半圆相切?
15．（2015•温州）如图，AB 是半圆 O 的直径，CD⊥AB 于点 C，交半圆于点 E，DF 切半圆于点 F．已知∠AEF=135°． （1）求证：DF∥AB；
【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B； 【解析】如图，过 C 作 CD⊥AB 于点 D，在 Rt△CBD 中，BC＝4cm，∠B＝30°， ∴
1
1 4 2(cm)
2
2
CD
BC
， 又⊙C 的半径为 2cm，即 d＝r， ∴ 直线 AB 与⊙C 相切． 第 1 题答案图 第 2 题答案图 2．【答案】D； 【解析】如图：∵PD 切⊙O 于点 C，∴OC⊥PD， 又∵OC＝CD，∴∠COD＝45°， ∵AO＝CO，∴∠ACO＝22.5°， ∴∠PCA＝90°－22.5°＝67.5°． 故选 D． 3．【答案】B； 【解析】连 OA，OB，则∠AOB+∠ADB＝180°， 又∠ADB＝100°，∴ ∠AOB＝80°， ∴ ∠ACB＝1
2
∠AOB＝40°. 4．【答案】C； 【解析】∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-1
2
（180°-52°）=116°. 5.【答案】A； 【解析】因为关于 x 的一元二次方程 x2 －2(Ｒ＋ｒ)ｘ＋ｄ2 ＝０没有实数根，所以Δ＜0， 即［2(R+r)］2 －4d2 ＜0，所以(R+r+d)(R+r－d)<0， 因为Ｒ、ｒ分别为⊙Ｏ1、⊙Ｏ2的半径，d 为两圆的圆心距， 所以 R+r+d＞0.所以 R+r－d＜0，即 R+r<d.所以⊙Ｏ1与⊙Ｏ2的位置关系是外离. 6．【答案】D； 【解析】∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB=90°=∠ADC， 即 AD⊥BC，①正确；连接 OD，∵D 为 BC 中点，∴BD=DC， ∵OA=OB，∴DO∥AC， ∵DE⊥AC， ∴OD⊥DE， ∵OD 是半径， ∴DE 是⊙O 的切线，∴④正确； ∴∠ODA+∠EDA=90°， ∵∠ADB=∠ADO+∠ODB=90°， ∴∠EDA=∠ODB， ∵OD=OB， ∴∠B=∠ODB， ∴∠EDA=∠B，∴②正确； ∵D 为 BC 中点，AD⊥BC， ∴AC=AB， ∵OA=OB= AB， ∴OA= AC，∴③正确．故选 D． 二、填空题 7．【答案】1∶2∶
2
3
． 【解析】易求R=2 ,
r a
2 3 ,
r r R a r r
∴
: :
: 2 : 2 3
r
1: 2 : 2 3.
8．【答案】2 厘米，3 厘米，10 厘米. 【解析】三个圆两两外切，利用外切两圆的性质，d=R＋r，列方程, 设三个圆半径分别是 x 厘米，y 厘米，z 厘米，由题意，得)
3
(
)
2
(
)
1
(
.
12
,
13
,
5
z
x
z
y
y
x
解得
.
10
,
3
,
2
z
y
x
则此三个圆的半径分别为 2 厘米，3 厘米，10 厘米. 9．【答案】2 或 4 或 6 或 8.【解析】分内切和外切进行讨论. 10．【答案】5． 【解析】要全面分析所有的情况，包括都外切，都内切，一内一外切.这样的圆共有 5 个，如图， 它们是⊙A，⊙B，⊙C，⊙D，⊙E. 第 10 题答案图 第 11 题答案图 11．【答案】
3 3 2
. 【解析】如图，连 DE、OD、CO，由已知条件，可知 CE＝CD＝1
2
AC＝3，DE∥AB． ∴ DE＝2
CD＝3 2
．又 OD∥CG，∴ ∠ODG＝∠G，又 OD＝OF． ∴ ∠ODF＝∠OFD＝∠EDG．∴ ∠EDG＝∠G， ∴ DE＝GE，∴ CG＝CE+GE＝3+3 2
. 12.【答案】50°. 【解析】连接 DF，连接 AF 交 CE 于 G， ∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H， ∴ ， ∵EF 是⊙O 的切线， ∴∠GFE=∠GFD+∠DFE=∠ACF=65°， ∵∠FGD=∠FCD+∠CFA， ∵∠DFE=∠DCF， ∠GFD=∠AFC， ∠EFG=∠EGF=65°， ∴∠E=180°﹣∠EFG﹣∠EGF=50°， 故答案为：50°． 三、解答题 13. 【答案与解析】 连结 OD、AD. ∵CD
=BD
，∴∠1=∠2.∵OA=OD， ∴∠2=∠3. ∴∠1=∠3. ∴AE∥OD. ∵AE⊥DE，∴OD⊥DE. ∴DE 是⊙O 的切线. 14. 【答案与解析】 (1)∵ EB∥CD，EF∥BC，∠ABC＝90°， ∴ 四边形 EBCF 为矩形，∴ EB＝CF． ∵ EB＝t，AD+DF＝2t，CF＝DC-DF＝2-(2t-2)＝4-2t， ∴ t＝4-2t，
4
3
t
， ∴ 当4
3
t
s 时，线段 EF 与 BC 平行． (2)如图所示，设 EF 与半圆相切于点 G，由切线长定理知 BE＝EG＝t， FG＝FC＝4-2t．而 EF＝EG+FG＝4-t，过 F 作 FH⊥AB 于 H 点， 则四边形 HBCF 为矩形，HF＝BC＝2，HB＝FC＝4-2t，EH＝EB-HB＝t-(4-2t)＝3t-4． 在 Rt△EFH 中，由勾股定理得(4-t)2 ＝22 +(3t-4)2 ．解得 12
2
2
t
， 22
2
2
t
． ∵ 1＜t＜2，∴2
2
2
t
，∴ 当
2
2 s
2
t
时，EF 与半圆相切． 15. 【答案与解析】 （1）证明：连接 OF， ∵A、E、F、B 四点共圆， ∴∠AEF+∠B=180°， ∵∠AEF=135°， ∴∠B=45°， ∴∠AOF=2∠B=90°， ∵DF 切⊙O 于 F， ∴∠DFO=90°， ∵DC⊥AB， ∴∠DCO=90°， 即∠DCO=∠FOC=∠DFO=90°， ∴四边形 DCOF 是矩形， ∴DF∥AB； （2）解：过 E 作 EM⊥BF 于 M， ∵四边形 DCOF 是矩形， ∴OF=DC=OA， ∵OC=CE， ∴AC=DE， 设 DE=x，则 AC=x，∵在 Rt△FOB 中，∠FOB=90°，OF=OB，BF=2 ，由勾股定理得：OF=OB=2， 则 AB=4，BC=4﹣x， ∵AC=DE，OCDF=CE， ∴由勾股定理得：AE=EF， ∴∠ABE=∠FBE， ∵EC⊥AB，EM⊥BF ∴EC=EM，∠ECB=∠M=90°， 在 Rt△ECA 和 Rt△EMF 中 ∴Rt△ECA≌Rt△EMF， ∴AC=MF=DE=x， 在 Rt△ECB 和 Rt△EMB 中，由勾股定理得：BC=BM， ∴BF=BM﹣MF=BC﹣MF=4﹣x﹣x=2 ， 解得：x=2﹣ ， 即 DE=2﹣ ．
