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2.1 ᇴё
在小學裡我們已經知道，可以用字母表示數。例如：長方形 的面積可以寫成 S = ab， 這裡字母 S 表示長方形的面積，字母 a、b 分別表示長方形的長 與寬。 我們知道，數的運算律可以用字母簡明地寫成： 加法交換律 a + b = b + a； 加法結合律 (a + b) + c = a + (b + c)； 乘法交換律 ab = ba； 乘法結合律 (ab)c = a(bc)； 分配律 a(b + c) = ab + ac。 這裡字母 a、b、c 表示任意的有理數。 在代數裡，我們通常用字母表示數。 例如，汽車每小時走 40 km，那麼 2 小時、2.5 小時、13 4 小 時所走的 km 數就分別是： 40 2× 、 40 2.5× 、40 13 4 × 。 如果用字母 t 表示汽車行駛的小時數，那麼汽車所走的 km 數就是 40t。 如果用字母 v 表示汽車每小時所走的 km 數、t 表示汽車行駛 的小時數，那麼汽車所走的 km 數就是 vt。 從上面的例子可以看出來，用字母表示數，能夠把數量或數量關係一般地而又簡明地表達出來。 在上面的一些例子裡，我們得到許多含有字母的式子，如 ab、a + b、40t、vt 等等。像這樣用運算符號2把數或表示數的字 母連結而成的式子，叫作代數式。 單獨一個數或一個字母，像 31− 、0、x，也是代數式。 代數式裡的每個字母都表示數，因此，數的一些運算規律也 適用於代數式。 用代數式表示一些數量或數量關係，對以後的學習非常重 要。 【ּ 1】 用代數式表示： (1) x 與 5 的差； (2) b 除以 8 的商； (3) x 的1 3； (4) y 的 50%。
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ྋ !! (1) 5x− ； (2) 8 b ； (3) 1 3x ； (4) 50 100 y 。 【ּ 2】 根據圖 2-1，求長方形的周長 l。ś
ྋ !! l = × + × =a 2 b 2 2a+2b。 注意：數與表示數的字母相乘時，如果省 略 乘 號 ， 應 當 把 數 寫 在 字 母 的 前 面，如a× 應寫成 2a。 2ቚ ௫!
1. 用代數式表示： (1) 15 與 S 的和； (2) x 與 3 的差； (3) a 乘以 15 的積； (4) a 除以 15 的商； (5) y 的 70%； (6) d 的 a 倍之 2 3 ； 2 這裡的運算是指加、減、乘、除、乘方、開方。開方運算以後再講。 圖 2-1 a bቚ ௫!
2. 填寫下表： 名 稱 圖形 文字 表示的公式 字母 的意義 字母 表示的公式 l ：周長 s ：面積 a ：長 長 方 形 周長 = 長 × 2 ＋寬 × 2 面積 = 長 × 寬 b ：寬 2 2 l a b s ab = + = l ：周長 s ：面積 正 方 形 周長 = 邊長 × 4 面積 = 2 邊長 a ：邊長 s ：面積 a ：底 三 角 形 面積 = 1 2× ×底 高 h ：高 s ：面積 a ：底 平 行 四 邊 形 面積 = 長 × 高 h ：高 s ：面積 a ：上底 b ：下底 梯 形 面積 = 1 ( 2× 上底 +下底) 高 × h ：高 c ：周長 s ：面積 π ：圓周率 圓 周長 = 2×圓周率 ×半徑 面積 = 圓周率 ×半徑 2 r ：半徑 a b a a a h a h a h b r【ּ 3】 用代數式表示： (1) x 與− 的和之1 2 5 ； (2) 比 a 的 5 9 大 4 之數； (3) 比 m 的相反數少 5 之數； (4) 比 n 的倒數大 2 之數。
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ྋ !! (1) 2( 1) 5 x− ； (2) 5 4 9a+ ； (3) − − ； m 5 (4) 1 2 n + 。 【ּ 4】 設某數為 x，用代數式表示： (1) 某數與 3 的和之 3 倍； (2) 4 除以某數平方的商減 5− 之差。ś
ྋ !! (1) 3(x+ ； (2) 3) 42 5 x + 。 【ּ 5】 設甲數為 x，乙數為 y，用代數式表示： (1) 甲、乙兩數的平方和； (2) 甲、乙兩數的和與甲、乙兩數的差之積。ś
ྋ !! (1) 2 2 x + y ； (2) (x+ y x)( − y)。 【ּ 6】 設甲數為 x，用代數式表示乙數： (1) 乙數比甲數多 5； (2) 甲、乙兩數的和為 16。ś
ྋ !! (1) 5x+ ； (2) 16− 。 xቚ ௫!
1. 用代數式表示： (1) a 與 8− 的差之 2 倍； (2) x 的 5%與 y 的 6%之和； (3) 比 x 的倒數小 8 之數； (4) 比 a 的 3 4 多 b 之數。ቚ ௫!
2. 設某數為 x，用代數式表示： (1) 某數的 8 倍與 7 之和； (2) 某數的立方與 3− 之差； (3) 5 與某數的差之 2 倍； (4) 某數除以 2 的商與 7 之差。 3. 用代數式表示： (1) a 與 b 的和乘以 c； (2) a 與 b 的差之平方；(3) a、b 兩數的平方差； (4) a、b 的積除以 a、b 的差。 4. 設甲數為 x，乙數為 y，用代數式表示： (1) 甲數與乙數的和之絕對值； (2) 甲數的 2 倍與乙數之和乘以甲數的 2 倍與乙數之差。 5. 設甲數為 x，用代數式表示乙數： (1) 乙數比甲數 2 倍少 6； (2) 甲、乙兩數的差為 15。 【ּ 7】 如圖 2-2，陰影區域的外正方形之邊長 是 a cm，內正方形的邊長是 b cm。用代數式表示 陰影區域的面積。
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ྋ !! 邊長是 a cm 的正方形面積是a2 cm2；邊 長是 b cm 的正方形面積是 2 2 cm b 。所以 陰影區域的面積是 2 2 2 (a −b ) cm 。 【ּ 8】 甲、乙兩地之間公路全長 245 km，從甲地乘汽車到乙 地，每小時走 v km，用代數式表示： (1) 汽車從甲地到乙地需要走多少小時？ (2) 如果每小時加快 3 km，需要走多少小時？ (3) 加快速度後可以早到多少小時？ś
ྋ !! (1) 汽車從甲地到乙地需要走 245 v 小時； (2) 如果每小時加快 3 km，需要走 245 3 v+ 小時； a b 圖 2-2(3) 加快速度後可以早到 245 245 3 v v ⎛ − ⎞ ⎜ + ⎟ ⎝ ⎠小時。
ቚ ௫!
1. 寫出表示下列各種零件斷面(陰影部分)面積的代數式： 2. 某農莊有 m 畝水稻要收割，原計畫每天收割 S 畝，雇工來支 援後，每天多收割 50 畝。用代數式表示： (1) 按原計畫多少天割完？ (2) 雇工支援後，多少天割完？ (3) 雇工支援後，提早多少天割完？ 3. 某班同學共 50 人，有五分之四的同學每人做好事 a 件，其 餘同學每人做好事比 a 件多一件，用代數式表示全班同學共 做好事多少件。 【ּ 9】 用代數式表示： (1) 含鹽 18%的鹽水 a kg，其中含純鹽多少 kg？ (2) 濃度為 75%的酒精溶液 x g，其中含純酒精多少 g？ 含水多少 g？ 說明： 「含鹽 18%的鹽水」，就是指 1 kg 這樣的鹽水中，含純 鹽 18 100kg； 「濃度為 75%的酒精溶液」，就是指 1 g 這樣的酒精溶液 中，含純酒精 75 100 g。 r R x x x x 30 20 第 1 題 (1) (2)ś
ྋ !! (1) a kg 這樣的鹽水中，其中含純鹽 18 100a kg； (2) x g 這樣的酒精溶液中，其中含純酒精 75 100 x g，含 水 75 100 x x ⎛ − ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠= 25 100 x g。ቚ ௫!
1. 用代數式表示： (1) 含鹽 25%的鹽水 m kg，含純鹽多少 kg？含水多少 kg？ (2) 濃度為 72%的糖水溶液 y kg，含純糖多少 kg？含水多少 kg？ 2. 某農莊原有稻田 260 畝，現在比原來增加 75%，現有稻田多 少畝？ 3. 稻穀的出米率一般是 72%，現有稻穀(G + 10) kg，能加工出 白米多少 kg？௫ ᗟ ˛
! 1. 填寫下表 名 稱 圖形 文字 表示的公式 字母 的意義 字母 表示的公式 V ：體積 a ：長 b ：寬 長 方 體 體積 = 長 × 寬 ×高 c ：高 V ：體積 正 方 體 體積 = 3 稜長 a ：稜長 a a a a b c2. 練習本每本售價 9 元，鉛筆每支售價 6 元。 (1) 買 5 本練習本與 4 枝鉛筆共需多少元？ (2) 買 2 本練習本與 y 枝鉛筆共需多少元？ (3) 買 x 本練習本與 3 枝鉛筆共需多少元？ (4) 買 x 本練習本與 y 枝鉛筆共需多少元？ 3. 用代數式表示： (1) a 與 b 的和乘以 6 之積； (2) x 與 y 的積之 2 倍； (3) a、b 兩數的積與 1 之和； (4) a 與 5 的差除以 b 之商。 4. 用代數式表示： (1) x 的11 2 倍與 7 之和； (2) y 的 b 倍之 2 3 ； (3) x 的相反數與 2− 之差； (4) a 與 b 的和除以 c 之商； (5) 比 x 與 y 的積大 13 之數； (6) 比 a 的 160%少 108 之數； (7) a 除 b 的商與 c 的倒數之差； 名 稱 圖形 文字 表示的公式 字母 的意義 字母 表示的公式 V ：體積 r ：底半徑 圓 柱 體積 = 底面積 × 高 h ：高 V ：體積 r ：底半徑 圓 錐 體積 = 1 3× 底面積 × 高 h ：高 V ：體積 球 體積 = 4 3π × 3 球半徑 r ：球半徑 r h h r r
(8) x 平方的 3 倍與 y 的 25%之和； (9) m、n 兩數的立方差； (10) m、n 兩數差的立方。 5. 用代數式表示： (1) 比 a、b 兩數的和之 2 倍大 c 的數； (2) a、b、c 三數和的平方； (3) 比 a、b 兩數的立方差之 3 倍小 c 的數； (4) a、b、c 三數的立方和減去 a、b、c 三數的積。 6. 設某數為 x，用代數式表示： (1) 某數的平方之 2 倍與 13 之和； (2) − 的絕對值與某數的差之 3 倍； 3 (3) 某數與這個數的相反數之差； (4) 某數的立方與 3 之差除以這個數的商。 7. 設甲數為 x，乙數為 y，用代數式表示： (1) 甲、乙兩數乘積的 3 倍； (2) 甲、乙兩數和的平方與甲、乙兩數差的平方之積； (3) 甲數的 2 倍與乙數除以 3 之差； (4) 甲、乙兩數的平方和與甲、乙兩數乘積之和。 8. 設甲數為 x，用代數式表示乙數： (1) 甲數比乙數少 10； (2) 甲、乙兩數的和為 15； (3) 甲數的 3 倍比乙數多 6； (4) 甲的 2 倍比乙數少 9。 9. 用代數式表示下列圖中陰影部分的面積： (第 9 題) (1) a b r 6x 4x x x x x x x x x (2)
10. 某農莊有菜田 m 畝，計畫每畝施加化肥 a kg；有稻田 n 畝， 計畫每畝施加化肥 b kg。用代數式表示共需化肥的 kg 數。 11. 某農莊稻米豐收，有 m 畝地每畝產稻米 a kg，另有 n 畝地每 畝產稻米 b kg。用代數式表示平均每畝產量。 12. 某汽車廠八月份生產汽車 s 輛，九月份的產量是八月份的產 量之 2 倍少 5 輛。用代數式表示九月份的產量。 13. 用耕耘機耕地 120 畝，原計畫每天耕 x 畝，需要幾天耕完？ 如果每天多耕 5 畝，需要幾天耕完？比原計畫提早幾天耕 完？ 14. 某工廠要製造 a 個成品，原計畫每天製造 b 個，要多少天完 成？如果比原計畫多製造 d 個，可以提前幾天完成？ 15. 某工廠原有工人 a 人，今年招募增加了一些工人，人數是原 來工人人數的 6%，現在這家工廠共有多少工人？ 16. 李先生每月薪水為 m 元，其中的 45%繳納房租。用代數式表 示李先生每月剩下的錢之元數。 17. 有濃度 20%的鹽水 n kg。含純鹽多少 kg？含水多少 kg？ 18. 某汽車廠 2013 年裝配的汽車數比 2012 年增加 5 倍，已知這 個汽車廠 2012 年裝配的汽車是 q 輛，用代數式表示 2013 年 裝配的汽車數。 19. 依次大 1 的正整數，如 14、15、16，叫作連續正整數。三個 連續正整數裡，(1)中間的數是 m，用代數式表示其它兩個； (2)最大的數是 n，用代數式表示其它兩個。 20. 一列慢車由甲站開往乙站，每小時走 56 km；同時，一列快 車由乙站開往甲站，每小時走 72 km。t 小時後兩車相遇。用 代數式表示甲、乙兩站之間的距離。
21. 有一個水池需要抽水，單獨用甲抽水機 a 小時可抽完，單獨 用乙抽水機 b 小時可抽完。用代數式表示： (1) 單獨用甲抽水機，1 小時能完成任務的幾分之幾？ (2) 單獨用乙抽水機，1 小時能完成任務的幾分之幾？ (3) 同時開動甲、乙抽水機，1 小時能完成任務的幾分之幾？ 22. 開挖一條渠道，甲工程隊單獨挖 a 天可以完成。甲工程隊挖 了 3 天，餘下的由其他工程隊完成。用代數式表示餘下的任 務。
2.2 ᇴё۞ࣃ
我們知道，底是 a cm、高是 h cm 的三角形之面積，可用代 數式 1 2ah (cm 2 ) 來表示。現在，我們根據這個代數式來計算下面三個三角形的面 積(圖 2-3)。 在(1)中，a = 3、h = 2， 1 1 3 2 3 2ah = × × = ； 2 在(2)中，a =31 2、h = 1 2 4 ， 1 1 1 1 1 7 9 63 15 3 2 3 2ah = ×2 2 × 4 = × × =2 2 4 16 = 16； 3 cm 2 cm 3.8 cm 1.9 cm 1 3 2 cm 1 2 4 cm 圖 2-3 (1) (2) (3)在(3)中，a = 3.8、h = 1.9， 1 1 3.8 1.9 3.61 2ah = ×2 × = 。 所以三個三角形的面積分別是 3 cm2、315 16 cm 2 、與 3.61 cm2。 用數值代替代數式裡的字母，計算後所得的結果，叫作代數 式的值。 從上面的例子中可以看到，改變字母 a、h 所取的值時，代 數式1 2ah 的值也就隨著改變。因此，代數式的值是由代數式裡字 母所取的值確定的。 代數式裡的字母，雖然可以取各種不同的數值，但是這些數 值不應當使代數式與它所表示的實際數量失掉意義。例如，上例 中的代數式1 2ah ，由於它所表示的是三角形之面積，所以 a 與 h 都不能取負數或零。又如，在代數式12 x 裡，因為零不能做除數， 所以 x 不能取零。 【ּ 1】 根據下面所給 x 的值，求代數式 2− + 的值： x 5 (1) x = 4； (2) x = 0； (3) x = 5− 。
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ྋ !! (1) 當 x = 4 時， 2− + = − × + = − ； x 5 2 4 5 3 (2) 當 x = 0 時， 2− + = − × + = ； x 5 2 0 5 5 (3) 當 x = 5− 時， 2− + = − × − + =x 5 2 ( 5) 5 15。 從例 1 可以看出，當我們給 x 一個值，代數式 2− + 就取得一個x 5 確定的值(圖 2-4)。 圖 2-4 x －5 4 5 15 0 3 − 2x 5 − +ቚ ௫!
填表： x − 2 − 1 0 1 2 4x− 5 − 13 2 2 x + 2 【ּ 2】 求a = − 時，代數式2 2 3 1 2 3 2 a − a + 的值。ś
ྋ !! 當a = − 時， 2 3 1 2 3 1 2 2 3 2 ( 2) ( 2) 3 2 2 16 2 3 15 a − a + = × − − × − + = − − + = − 【ּ 3】 當 1 2 x = 、y = − 時，求下列代數式的值： 2 (1) 2x2 − + ； y 3 (2) 4x 2y xy − 。ś
ྋ !! (1) 當 1 2 x = 、 y = − 時， 2 2 2 1 2 3 2 ( 2) 3 2 1 5 2 x − + = ×y ⎛ ⎞⎜ ⎟ − − + ⎝ ⎠ = (2) 當 1 2 x = 、y = − 時， 2 1 4 2 ( 2) 4 2 2 2 4 6 1 1 ( 2) 2 x y xy × − × − − = = + = − − × − 。【ּ 4】 當 (1) x = − 、5 y = 時； (2) 53 x = 、 y = − 時，3 求代數式 | |x +| y| 2 | | |− x i y| 的值。
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ྋ !! (1) 當x = − 、5 y = 時， 3 | | | | 2 | | | | | 5 | | 3 | 2 | 5 | | 3 | 5 3 2 5 3 22 x + y − x y = − + − − = + − × × = − i i (2) 當x = 、5 y = − 時， 3 | | | | 2 | | | | | 5 | | 3 | 2 | 5 | | 3 | 5 3 2 5 3 22 x + y − x y = + − − − = + − × × = − i iቚ ௫!
1. 求x = − 時，代數式2 x3 −3x2 +2x+ 的值。 7 2. 當x = − 、3 y = 時，求代數式4 x2 +3xy− y2 − 的值。 5 3. 求a = 、2 b = − 、1 11 2 c = − 時，下列各代數式的值： (1) a2 −b2 +2bc； (2) 2c a b+ 。 4. 當x = − 、3 y = 時，求下列各代數式的值： 4 (1) | | 3 |x + y|； (2) | x+3 |y 。 【ּ 5】 圖 2-5 中 的 渠 道 橫 斷 面 是 梯 形，用代數式表示它的面積， 並計算當 a = 2.8、b = 0.8、h = 1 (單位：m)時，渠道橫斷面的面 積。ś
ྋ !! 因為渠道的橫斷面是梯形，它 圖 2-5 a b h的兩底分別是 a、b，高是 h，所以，表示渠道橫斷面面 積的代數式是 1 ( ) 2 a b h+ 。 當 a = 2.8、b = 0.8、h = 1 時， 1 1 ( ) (2.8 0.8) 1 2 2 1 3.6 1 2 1.8 a b h+ = + × = × × = ඍĈ渠道橫斷面的面積是 1.8 m2。 【ּ 6】 工人常把圓柱形鋼管堆成如圖 2-6 (1)的形狀，下面一層 比上面一層多放一根。只要數出頂層的根數 a、底層的 根數 b 與層數 n，就可用公式 ( ) 2 n a b+ 算出這堆鋼管的根 數。計算當 n = 6、a = 4、b = 8 時，這堆鋼管的根數。 ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !
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ྋ !! 當 n = 6、a = 4、b = 8 時， ( ) 6 (4 8) 36 2 2 n a+b = × + = 。 ඍĈ當 n = 6、a = 4、b = 8 時，有 36 根鋼管。 圖 2-6 a b n (1) (2)ቚ ௫!
1. 堤壩的橫截面是梯形，尺寸如 圖所示(單位：m)，用代數式表 示它的面積。當 a = 2、b = 13、 h = 3 時，計算它的面積。 2. 有一種放鉛筆的 V 形槽盒如圖 所示，第一層放 1 支，第二層 放 2 支，依次每層增放 1 支。只要數一數頂層的支數 n，就 可用公式 ( 1) 2 n n+ 算出槽盒內鉛筆的支數。分別計算當 n=6、 n=11 時，槽盒內鉛筆的支數。௫ ᗟ ˣ
! 1. 根據下面所給 x 的值，求代數式3 3 5 x− 的值： (1) x = ； 5 (2) 11 5 x = ； (3) x = ； 0 (4) x = − ； 1 (5) 21 2 x = − 。 2. 根據下面所給 a 的值，求代數式3a3 −2a2 + + 的值： a 5 (1) a = ； (2) 02 a = ； (3) 1a = − ； (4) 1 3 a = 。 (第 2 題) (2) (1) (第 1 題) a b h3. 用 x 表示輸入數，求下列輸出數： 4. 當x = − 、1 y = 時，求下列各代數式的值： 6 (1) 3x+2y； (2) xy ； (3) 2 (xy)2 ； (4) x+ y2 ； (5) (x+ y)2。 5. 當x = − 、1 y = 時，求下列各代數式的值： 6 (1) x y x y + − ； (2) 2 2 x y xy y − − ； (3) 2 2 x y x y + + ； (4) 3 3 x y x y − − 。 6. 當a = 、2 b = − 、3 c = − 時，求下列各代數式的值： 1 (1) 3a−4b c+ ； (2) b2 −4ac； (3) a2 −b2 +2bc c− ； (4) 2 c a b+ ； (5) a3 + + −b3 c3 3abc； (6) (a b b c c a− )( − )( − 。 ) 7. 填寫下面的表： x − 4 31 2 − −2 12 3 − 0 12 3 2 1 3 2 4 | |x | x− − 1| 3 2 1 x + 2 1 x − + x (第 3 題) 輸 入 輸 出 2 3x −2x+4 3 25 0 1 2 2 3 − 4 −
8. 當m = 25.87 、n =19.04時，計算下列代數式的值： (1) m2 − ； n2 (2) m3 + 。 n3 9. 取π =3.14，計算直徑為D =69.5cm 的球之體積 V (結果保留 兩位有效數字，球的體積公式是 1 3 6 V = πD )。 10. (1) 一切偶數可以用 2n (n 為整數)表示，當 n = 0、1、2、3 時，依次求出這些偶數。 (2) 一切奇數可以用 2n＋1(n 為整數)表示，當 n = 0、1、2、 3 時，依次求出這些偶數。 11. 如果芒果樹的穴距為 a m，行距為 b m，那麼每畝芒果樹的穴 數是600000 ab 。計算當 a = 4、b = 5 時，每畝芒果樹的穴數。 12. 有 m 支球隊進行單循環比賽(每一支參加比賽的隊伍都與其他 各隊恰比賽一次)，總共比賽的場數是用代數式 ( 1) 2 m m− 計算 的。現在有 4 支球隊進行比賽，總共比賽幾場？8 支球隊呢？ 10 支球隊呢？ 13. 電燈的瓦數是 a，那麼 t 小時的用電量是 1000 at 度。如果平均每 天用電 3 小時，用一個 25 瓦的燈泡比一個 40 瓦的燈泡每月(以 30 天計算)可節約多少度電？ 14. 有一座圓柱形糧倉，內圓半徑是 2.5 m，儲糧高為 3.5 m。試 根據圓柱體的體積公式 2 V =πr h，求出這一座糧倉能儲存稻穀 多少 kg (每 m3的稻穀約重 1150 kg)。
2.3 ፋё
看下面的代數式：2x 、 3 2 4a − 、 2 3 4 7 x y 、 3 ab 、−x yz2 。 這些代數式，都是數與字母的積，這樣的代數式叫作單項式。 單獨一個數或字母，如 5− 、x，也是單項式。 單項式 2x 中的數字因數是 2， 3 2 4a − 中的數字因數是 3 4 − ， 2 3 4 7 x y (可以看作 4 2 3 7 x y )中的數字因數是 4 7。單項式中的數字因數 叫作單項式(或字母因數)的數字係數，簡稱係數。 2x 、 3 2 4a − 、 2 3 4 7 x y 的係數分別是 2、 3 4 − 、 4 7 。 當一個單項式的係數是 1 或− 時。1 「1」通常略去不寫。例如， 3 1ab 寫成ab ，3 −1x yz2 寫成−x yz2 。 單項式 2x 中，字母 x 的指數是 1； 3 2 4a − 中，字母 a 的指數 是 2； 2 3 4 7 x y 中，字母 x 與 y 的指數之和是 2 + 3 = 5； 2 x yz − 中， 字母 x、y、z 的指數之和是 2 + 1 + 1 = 4。一個單項式中，所有字 母的指數之和叫作這個單項式的次數。例如，2x 是一次單項式， 2 3 4a − 是二次單項式， 2 3 4 7 x y 是五次單項式， 2 x yz − 是四次單項式。
ቚ ௫!
1. (口答) 下列代數式，哪些是單項式？哪些不是？ 3 2x − 、 ab 、1 x+ 、 2 4 5 ab 、 y− 、 2 1 6 7 2 x − x+ 。 2. 下列單項式各是幾次單項式？它們的係數各是什麼？ 8x 、−2a bc2 、 xy 、2 − 、t2 2 3 10 x y 、 5 7v t 、 10xyz− 。再來看下面的代數式： 4x− 、5 6 2 1 7 2 x − x+ 、a2 +ab b+ 。 2 在這些代數式中，4x− 是單項式 4x 與 55 − 的和，6 2 1 7 2 x − x+ 是單項式 2 6x 、 1 2 x − 與 7+ 的和， 2 2 a +ab b+ 是單項式a 、 ab2 + 與 2 b + 的和。 幾個單項式的和叫作多項式。在多項式中，每個單項式叫作 多項式的項。例如，多項式 2 1 6 7 2 x − x+ 中，6x 、2 1 2 x − 、 7+ 都 是它的項。要特別注意項的符號。如多項式 2 1 6 7 2 x − x+ 中的第二 項是 1 2 x − ，不是 1 2 x 。 一個多項式，含有幾項，就叫幾項式。例如， 4x− 是二項5 式， 2 1 6 7 2 x − x+ 、a2 +ab b+ 都是三項式。 2 多項式裡，次數最高的項之次數，就是這個多項式的次數。 例如， 4x− 是一次二項式，5 6 2 1 7 2 x − x+ 、a2 +ab b+ 都是二次2 三項式。 多項式裡，不含字母的項叫作常數項。例如，在多項式 4x−5 裡， 5− 是常數項，在多項式 2 1 6 7 2 x − x+ 裡， 7+ 是常數項。 為了計算方便，我們可以根據加法交換律，把一個多項式的 各項按照某一個字母的指數從大到小(或從小到大)的順序來排 列。例如，多項式 3 2 5 6 4 x + x− − x 可以按字母 x 的指數從大到小的順序把它寫成 3 2 4 5 6 x − x + x− ，
或者按字母 x 的指數從小到大的順序把它寫成 2 3 6 5x 4x x − + − + 。 按照某一個字母的指數從大到小來排列的多項式，叫作按這 個字母的降冪排列。按照某一個字母的指數從小到大來排列的多 項式，叫作按這個字母的升冪排列。例如，把多項式 2 2 3 3 3x y+4xy −x −5y 按 y 的升冪排列，就得到 3 2 2 3 3 4 5 x x y xy y − + + − ， 而按 y 的降冪排列，就得到 3 2 2 3 5y 4xy 3x y x − + + − 。 單項式與多項式統稱整式。
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1. (口答) 下列代數式，哪些是多項式？哪些不是？為什麼？ 2 3 1 5 x−x + 、3 a ab b + 、 a c b + 、 2 2 2 a + ab b+ 、 2 2 x − 、y 3 1 3 x− 、8x y+ 。 2. (口答) 下列多項式各由哪些項組成？各是幾次多項式？ 2x− 、 a b c8 + − 、 2 3 3 5 4 x x − − + 、 2 2 2 x − xy+ y 、 3 1 m − 、a3 +ab b+ 。 3. (1) 按照 a 的降冪排列多項式a4 −7a+ +6 3a5 −4a3； (2) 按照 x 的升冪排列多項式3x y3 − y4 +5xy3 − 。 x4 4. 先把下列多項式按照 x 的降冪排列，再按照 x 的升冪排列： (1) 12x−10x2 + ； (2) 8 x2 + y2 +2xy； (3) 3x y2 −5xy2 + y3 −2x3； (4) 6 2+ x2 +5x−9x5 +7x3。௫ ᗟ ˝
! 1. 下列整式中，哪些是單項式？把它 們填在單項式集合中。 abc 、−2x3、 x y+ 、 15 − 、 m− 、 2 3x +4x− 、 2 1 2 xy− a 、x4 + x y2 2 + y4、 2 2 a −ab b+ 、3ab 。 2 2. 什麼是單項式的係數？下列單式的係數各是多少？ 2 15a 、 xy 、 2 2 3 3a b 、 3 0.11m 、−a bc2 、 2 3 5 x y 。 3. 單項式的次數是怎麼計算的？第 2 題中的單項式之次數各是 多少？ 4. 分別寫出下列多項式的各項： (1) 4 2 1 2 x − ； (2) a3 +ab3 + ； b4 (3) a4 +b4 −a b2 2 ； (4) 2 3 3 2 2 5 2 4 x y x x y y − − + − 。 5. 多項式的次數是怎麼計算的？第 4 題中的多項式之次數各是 多少？ 6. 下列多項式各是幾次幾項式？ (1) 3 3 1 4 x − ； (2) 3a−2b； (3) 3x2 −2x+ ； 1 (4) a6 + 。 b6 7. 把下列多項式按照 x 的降冪排列，再按照 x 的升冪排列： (1) 13x−3x2 −2x3 − ； (2) 6 x2 + y2 −2xy； (3) 3x y2 −3xy2 + y3 − ； (4) x3 2 4 1 1 3 5 3ax + 2bx− 6cx +12d 。 單項式集合 (第 1 題) abc˟ăፋё۞ΐഴ!
2.4 Тᙷี
我們來看下面的多項式：
2 3 3 2 3 3
4xy +3x −6x y−5xy + +7 4x − − 10 x
第一項4xy 與第四項2 −5xy2所含的字母相同，都是 x、y，並 且 x 的指數都是 1，y 的指數都是 2。像這樣，所含字母相同，並 且相同字母的指數也分別相同的項，叫作同類項。幾個常數項也 是同類項。上式中 2 4xy 與−5xy2是同類項，+3x3、+4x3與− 是x3 同類項， 7+ 與 10− 也是同類項。 3 6x y − 沒有同類項。
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1. (口答) 下列各組中的兩個項是不是同類項？為什麼？ (1) 2x y 與2 5x y ； (2) 2 1 3 3ab 與 3 4 3ab − ； (3) 4abc 與 4ab ； (4) 0.2x y 與2 0.2xy ； 2 (5) mn 與 mn− ； (6) 1 4 st 與 5ts ； (7) 12x y 與2 2 −12x y2 3； (8) 2x 與2 2x ； 3 (9) a 與3 5 ； 3 (10) −125與12 。 2. 找出下列多項式中的同類項： (1) 5x y2 −3y3 − − +x 4 x y2 +2x− ； 9 (2) 4ab−7a b2 2 −8ab2 +5a b2 2 −9ab+a b2 2。 多項式中的同類項，可以合併成一項。例如，在多項式 3x−4y+ +y 2x 中，3x 與 2x 是同類項， 4 y− 與 y 也是同類項，根據分配律， 3x+2x = +(3 2)x =5x ， 4y y ( 4 1)y 3y − + = − + = − 。把多項式中的同類項合併成一項，叫作合併同類項。合併同 類項時，把同類項的係數相加，所得的結果作為係數，字母與字 母的指數不變。 【ּ 1】 合併下列各式的同類項： (1) 3x3 − ； (2) x3 xy2 −5xy2。
ś
ྋ !! (1) 3 3 3 3 3x − x = −(3 1)x = 2x ； (2) xy2 −5xy2 = −(1 5)xy2 = −4xy2。 【ּ 2】 合併 2 2 4x −8x+ −5 3x +6x− 中的同類項。 2ś
ྋ !! 2 2 4x −8x+ −5 3x +6x− = 2 (4 3)− x2 + − +( 8 6)x+ − (5 2) = x2 −2x+ 。 3 【ּ 3】 合併 2 2 2 2 2 4a +3b +2ab−4a −2b − 中的同類項。 bś
ྋ !! 4a2 +3b2 +2ab−4a2 −2b2 − b2 = (4 4)− a2 + − −(3 2 1)b2 +2ab = 2ab 。ቚ ௫!
1. 合併下列各式的同類項： (1) 5x+4x ； (2) 7− ab+6ab； (3) 5 2 1 2 5 x x − + ； (4) −12vt +12vt ； (5) mn mn+ ； (6) − +ab 3ab。 2. 下列各題合併同類項的結果對不對？ (1) 3a+2b=5ab； (2) 5y2 −2y2 = ； 3 (3) 4x y2 −5xy2 = −x y2 ； (4) a+ =a 2a； (5) 7ab−7ba = ； (6) 0 3x2 +2x3 =5x5 。 3. 合併同類項： (1) 6x−10x2 +12x2 −5x； (2) 7a2 −2ab+2a2 +b2 +3ab−2b2； (3) x5 − +x3 4x2 −2x5 −2x2 +3x4； (4) 5xy−3x2 + y2 −4xy+4x2 −2y2。【ּ 4】 求多項式 2 2 2 2x −5x+ x +4x−3x − 的值，其中2 1 2 x = 。
ś
ྋ !! 2 2 2 2x −5x+ x +4x−3x − = 2 (2 1 3)+ − x2 + − +( 5 4)x− 2 = − −x 2 當 1 2 x = 時，原式 = 1 2 2 − − = 21 2 − 。 多項式中，如果有同類項，先合併同類項，再求值，計算就 簡便。 【ּ 5】 求多項式 1 2 1 2 3 3 3 3 a+abc− c − a+ c 的值，其中 1 6 a = − 、 2 b= 、c = − 。 3ś
ྋ !! 1 2 1 2 3 3 3 3 a+abc− c − a+ c = (3 3) 1 1 2 3 3 a abc ⎛ ⎞c − + + − +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = abc 當 1 6 a = − 、b = 、2 c = − 時， 3 原式 = 1 2 ( 3) 6 ⎛− ⎞× × − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = 1。 如果兩個同類項的係數互為相反數，合併同類項時，這兩項 就可以彼此抵銷。ቚ ௫!
求下列各式的值： 1. 3a+2b−5a b− ，其中a = − 、2 b= ； 1 2. 5x2 + −4 3x2 −5x− +5 6x，其中 x = − ； 3 3. 3ab−5ab3 +0.5a b3 −3ab2 +5ab3 −4.5a b3 ，其中a = 、1 11 2 b = ； 4. 4xy −3x2 −xy + y2 + x2 −3xy −2y+2x2，其中 113 15 x = 、y = − ；1 5. 1 2 1 0.2 3 0.25 0.5 2 1 3 2 x − 4 x+ x + x− x − 5x ，其中 12 13 x = 。2.5 Ν߁ཱི
看下列各式的計算： 13 (7 5)+ − =13 2+ =15； 13 7 5+ − = 20 5 15− = ； 8a+(5a−a) =8a+4a =12a； 8a+5a− =a 13a− =a 12a。 可以看出： 13 (7 5) 13 7 5 (1) 8a (5a a) 8a 5a a (2) + − = + − + − = + − ； 。 再看下列各式的計算： 13 (7 5)− − =13 2 11− = ； 13 7 5− + = + = ； 6 5 11 8a−(5a−a) =8a−4a = 4a； 8a−5a+ =a 3a+ =a 4a。 可以看出： 13 (7 5) 13 7 5 (3) 8a (5a a) 8a 5a a (4) − − = − + − − = − + ； 。 從 (1)、(2) 及 (3)、(4) 四個式子，得到去括號的法則： 括號前面是「＋」號時，把括號與它前面的「＋」號去掉， 括號裡各項都不變； 括號前面是「－」號時，把括號與它前面的「－」號去掉， 括號裡各項都變號。 【ּ 1】 去括號： (1) (a+ − + −b c d) ； (2) a− − + −( b c d)。ś
ྋ !! (1) (a+ − + −b c d)= − + − ； a b c d (2) a− − + −( b c d)= + − + 。 a b c d【ּ 2】 先去括號，再合併同類項： (1) 2y+ −( 2y+ − − + ； 5) ( 3y 2) (2) 4a+2(a c− 。 )
ś
ྋ !! (1) 2y+ −( 2y + − − + = 25) ( 3y 2) y−2y + +5 3y − ； 2 = 3y+ 3 (2) 4a+2(a c− = 4) a+(2a−2 )c = 4a+2a−2c = 6a− 。 2c 【ּ 3】 化簡 2 (5a−3 ) 3(b − a −2 )b 。ś
ྋ !! 2 (5a−3 ) 3(b − a −2 )b = 5a−3b−3a2 +6b； = 5a−3a2 +3b。ቚ ௫!
1. 去括號： (1) a+ + ； (2) (b c) a− + ； (3) ((b c) a+ − − ； b c) (4) (a− − − ； (5) (b c) a b+ + +) (c d)； (6) (− + − + ；a b) (c d) (7) (a b− − − +) ( c d)； (8) − − + − −(a b) ( c d)。 2. 下列的去括號有沒有錯誤？ (1) a2 −(2a b c− + =) a2 −2a b c− + ； (2) a− − + −( b c d) = + + − ； a b c d (3) (− −x y) (+ xy− = − − +1) x y xy − 。 1 3. 化簡： (1) 5a+(3x−3y −4 )a ； (2) 3x−(4y−2x+ ； 1) (3) 7a+3(a+3 )b ； (4) (x2 − y2)+4(2x2 −3 )y ； (5) (a2 −2ab b+ 2) (− a2 −b2) ； (6) 5(x− −2) 3(2x− 。 1)2.6 ߁ཱི
從去括號知道： ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c + − = + − − − = − +反過來，上面的兩個式子可以寫成： ( ) ( ) a b c a b c a b c a b c + − = + − − + = − − 可以看出，添括號時有如下法則： 括號前面是「＋」號，括到括號裡的各項都不變；括號前面 是「－」號時，括到括號裡的各項都變號。 我們可以根據需要，按著添括號的法則，把一個多項式或者 它的一部份括在括號裡，而不改變這個多項式的值。 【ּ 1】 不改變多項式 3a−2b c+ 的值，按照下列要求添括號： (1) 把它放在前面帶有「＋」號的括號裡； (2) 把它放在前面帶有「－」號的括號裡。
ś
ྋ !! (1) 3a−2b c+ = +(3a−2b c+ ； ) (2) 3a−2b c+ = − − +( 3a 2b c− 。 ) 【ּ 2】 不改變多項式 3 2 5 4 9 x − x − x+ 的值，按照下列要求添括 號： (1) 後兩項括在前面帶有「＋」號的括號裡； (2) 後兩項括在前面帶有「－」號的括號裡。ś
ྋ !! (1) 3 2 3 2 5 4 9 5 ( 4 9) x − x − x+ = x − x + − + ； x (2) x3 −5x2 −4x + =9 x3 −5x2 −(4x − 。 9)ቚ ௫!
1. 在等號右邊的括號內，填上適當的項： (1) a b c d+ + − = +a ( )； (2) a b c d− + − = −a ( )； (3) (a b c− − − = − +d a b ) ； (4) (a b c+ − + = + −d a b )。ቚ ௫!
2. (1) 不改變m2 +mn−5m−5n的值，把前兩項放在前面帶有 「＋」號的括號裡，後兩項放在前面帶有「－」號的括號 裡； (2) 不改變−3ax+4ay+3bx−4by的值，把前兩項放在前面帶 有「－」號的括號裡，後兩項放在前面帶有「＋」號的括 號裡。௫ ᗟ Ȉ
! 1. 下列各題中的兩個項，是不是同類項？ (1) 1 2 3x y 與 2 3x y − ； (2) 0.2a b 與2 0.2ab ； 2 (3) 11abc 與 9ab ； (4) 3m n 與2 3 −n m3 2； (5) 5xy 與 25 yx ； (6) 4xy z 與2 4x yz ； 2 (7) 125 與 41 8 − ； (8) 6 與2 x 。 2 2. 合併下列各式中的同類項： (1) 15x+4x−10； (2) 6− ab ab− +8ab ； (3) −p2 − p2 − p2； (4) 12 5 1 3 + − ； 6 2 (5) 1 3 5 3 1 3 3x − 6 x + 2 x ； (6) −4a b2 +5a+5a b2 +2a− ； 3 (7) 1 0.3 1 0.3 4 x− y− 2 x+ y ； (8) 2 2 m m m n+ + − − ； n (9) 11x2 +4x+ −1 x2 −4x− ； 5 (10) 5x2 + −4 3x2 −5x+6x3 +3x 。 3. 把(a b+ 、 () x− y)各當作一個因式，合併下列各式中的同類 項：(1) 4(a b+ +) 2(a b+ − + ； ) (a b) (2) 3(x− y)2 −7(x− y) 8(+ x− y)2 +6(x− 。 y) 4. 先合併下列各式中的同類項，再求它們的值： (1) 3c2 −8c+2c3 −13c2 −2c−2c3 + ，其中 c = 4； 3 (2) 3y4 −4x y2 −4y4 +2x y3 ，其中x = − 、2 2 3 y = 。 5. 下面的去括號對不對？如果有錯，把它改正： (1) a2 −(2a b c+ + =) a2 −2a b c+ + ； (2) a+ − +( 3x 2y− = −1) a 3x+2y − ； 1 (3) (a+ − − + = + − − ； 1) ( b c) a 1 b c (4) −(2x− y) (+ − = − − + − 。 z 1) 2x y z 1 6. 化簡： (1) (2x−3 ) (5y + x−4 )y ； (2) (8a−7 ) (4b − a−5 )b ； (3) a−(2a b+ +) 2(a−2 )b ； (4) 3(5x− −4) 2(3x+ ； 5) (5) (8x−3 ) [4y − x+(3y− z)] 2+ z； (6) −4x2 +[5x−8x2 − −( 13x2 +4 )x + − ； 2] 1 (7) 2a− − +{ 3b [4a−(3a b− )]}； (8) − − −[ ( a2)−b2] [ (− + −b2)]。 7. 在下列各式的括號裡，填入適當的項： (1) 4x2 −3x+ = +6 ( )； (2) 4x2 −3x+ = −6 ( )； (3) a2 −ab−3a+3b= a2 −ab+( )； (4) a2 −ab−3a+3b= a2 −ab−( )； (5) a2 −b2 − −(b a) = a2 −b2 +( )； (6) a4 + − +( a2 2a− =1) a4 −( )。
8. 在下列各式的括號裡，填入適當的項： (1) (a b c a b c+ + )( − − = +) [a ( )][a−( )]； (2) (a b c a b c− + )( + − = −) [a ( )][a+( )]； (3) (− + +a b c a b c)( + − = −) [b ( )][b+( )]； (4) (a b c d a b c d+ − − )( − + − ) =[(a−d) (+ )][(a−d) (− )]。 9. 按著下面的要求，在多項式 4 2 2 4 2 4 2 2 2 m − m n − m + n + n 裡添上括號：把四次項結合起來，放在前面帶有「＋」的括 號裡，同時把二次項結合起來，放在前面帶有「－」的括號 裡。
2.7 ፋё۞ΐഴ
整式的加減運算，實際上就是合併同類項。在運算時，如果 遇到括號，就根據去括號的法則，先去括號，再合併同類項。 【ּ 1】 求單項式 2 5x y 、−2x y2 、2xy 、2 −4x y2 的和。ś
ྋ !! 5x y2 + −( 2x y2 )+2xy2 + −( 4x y2 ) = 5x y2 −2x y2 +2xy2 −4x y2 = −x y2 +2xy2 【ּ 2】 求 2 3x −6x+ 與5 4x2 +7x− 的和。 6ś
ྋ !! (3x2 −6x+ +5) (4x2 +7x− 6) = 3x2 −6x+ +5 4x2 +7x− 6 = 7x2 + − x 1 【ּ 3】 求 2 2 2x + xy+3y 減x2 −xy +2y2的差。ś
ྋ !! (2x2 + xy+3y2) (− x2 − xy+2y2) = 2x2 + xy+3y2 −x2 + xy−2y2 = x2 +2xy + y2ቚ ௫!
1. 說出下列各單項式的和： (1) − 、 2x3x − 、−5x2、5x ； 2 (2) 1 2n − 、 3 2 5n 、 4 5n 。 2. 說出下列各題中，從第一式減去第二式的差： (1) 3ab 、 2ab− ； (2) −4x2 、 1 2 x 。 3. 計算： (1) 2xy−3yx− −( 6x y2 2) 2− y x2 2 ； (2) ( 3− ab) ( 4+ − a2) 3+ a2 − −( 5ab)。 4. 求3a2 +b2 −5ab 與4ab b− 2 +7a2的和。 5. 求 x2 −3xy +2y2減3x2 −7xy −3y2 的差。 6. 計算： (1) (− +x 2x2 + + − +5) ( 3 4x2 −6 )x ； (2) (3a2 −ab+ − −1) ( 4a2 +6ab+7)。 【ּ 4】 計算 3a−(2a−4b−6 ) 3( 2c + − +c 2 )b 。ś
ྋ !! 3a−(2a−4b−6 ) 3( 2c + − +c 2 )b = 3a−(2a−4b−6 ) ( 6c + − +c 6 )b = 3a−2a+4b+6c−6c+6b = 10a+ b 【ּ 5】 先化簡下式，再求值。 2 2 1 2 3 1 2 2 x x 3 y 2 x 3 y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ − ⎟ ⎜+ − + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠， 其中x = − 、2 2 3 y = 。ś
ྋ !! 1 2 2 2 3 1 2 2 x x 3 y 2 x 3 y ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎜ − ⎟ ⎜+ − + ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 1 2 2 2 3 1 2 2 x− x+ 3 y − 2 x+ 3 y = 2 3x y − + 。 當x = − 、2 2 3 y = 時，原式 = 2 2 3 ( 2) 3 ⎛ ⎞ − × − + ⎜ ⎟⎝ ⎠ = 64 9 。ቚ ௫!
1. 計算： (1) x− −(1 2x+ x2) ( 1 3+ − + x−x2)； (2) (8xy −3x2) 5− xy −2(3xy−2x2)。 2. 先化簡下列各式，再求它們的值： (1) 2x− +y (2y2 − y2) (− x2 +2y2)，其中 x = 、1 y = − ； 2 (2) 5(3a b ab2 − 2) (− ab2 +3a b2 )，其中 1 2 a = 、 1 3 b= 。௫ ᗟ Ȉ ˘
1. 計算： (1) 4x3 − −( 6x3) ( 9+ − x3) ； (2) −3x y2 − −( 3xy2) 3+ x y2 +xy2； (3) −3x2 −4xy −6xy− −( y2) ( 2− + x2) 3− y2； (4) 2 3 2 3 2 1 3ab 4a b ab 4a b ⎛ ⎞ − + − +⎜− ⎟− ⎝ ⎠ 。 計算（第 2～12 題）： 2. (7x2 + −3 2 ) ( 4 6x + − − x−2x2)。 3. (2x2 −3x− + − +1) ( 5 3x− x2)。4. (5a+4c+7 ) (5b + c−3b−4 )a 。 5. (8xy −x2 + y2) (− x2 − y2 +8xy) 。 6. (3a2 −b2 −2ab) (+ b2 −ab−2a2)。 7. (11x3 −2x2) 2(+ x3 − x2)。 8. (2x2 − +1 3 ) 4(x − x− x2 + 。 1) 9. 5(a b2 −3ab2) 2(2− a b2 −7ab2)。 10. −3(a b3 +2b2) (3+ a b3 −13 )b2 。 11. 3x2 −[7x−(4x− −3) 2x2]。 12. 3 2 3 2 2 1 4 2 4 2 x y+⎧⎨xy −⎢⎡ x y−⎜⎛ xy + xy⎟⎞⎤⎥− x y⎬⎫ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎩ ⎭。 13. 先化簡下列各式，再求值： (1) (− + +x2 5 4x3) (+ − +x3 5x− ，其中4) x = − ； 2 (2) (5a b2 +4b3 −2ab2 +3a3) (2− a3 −5ab2 +3b3 +2a b2 )，其中 2 a = − 、b = 。 3 14. (1) 一個多項式加上3x y2 −3xy2得x3 − y3 ，求這個多項式； (2) 一個多項式減去a2 +ab得 2 1 2 4 ab b − + ，求這個多項式。 15. 已知 A= x3 + x2 +2x+ 、1 B = +x 2x2，計算： (1) A+ ； (2) B B+ ； (3) A A B− ； (4) B− 。 A (1) 與 (2) 的結果是不是一樣？ (3) 與 (4) 的結果呢？
̈ ඕ!
一、本章主要內容是代數式、整式、單項式、多項式的有關 概念。 二、代數式是在用字母表示數的基礎上建立起來的。由具體 的數到用字母表示數，就可以簡明地表達一些一般的數量與數量 關係，給研究問題與計算帶來方便，這是數學上的一個重大發展。 從具體的數之計算到用代數式表示出事物間的數量關係，這 是一個由特殊到一般的過程；用具體的數代替代數式裡的字母進 行計算，求出代數式的值，從而解決具體問題，則是一個由一般 到特殊的過程。 三、整式、單項式與多項式是代數式的基礎內容。其中有關 項、次數、係數等概念要區分清楚。判別同類項時要注意：一是 字母相同；二是相同字母的指數分別相同，兩者缺一不可。合併 同類項的要點是：字母因數不變，把各個同類項的係數之和作為 係數。 四、去括號與添括號在代數上的運算中經常遇到，去括號與 添括號一定要保證原式的值不變。不論去括號或添括號，都要特 別注意，括號前面放上或去掉「－」號，括號裡的各項都要變號。 五、整式的加減，實際上就是合併同類項，要注意，在運算 時，遇到括號，一般要去掉括號。 整式進行加減的結果還是整式。ኑ௫ણ҂ᗟ˟!
1. 用字母表示： (1) 分數的基本性質； (2) 分數乘法與除法法則；2. 填表： a − 7 − 4 0 11 2 3 2 4 2 3 3 a − |− a| |a− 1| |a 1| − − 3. 填空： (1) 如果字母 a 表示一個正數，那麼 a− 表示一個 ( )， | |a 表示一個 ( )； (2) 如果字母 a 表示一個負數，那麼 a− 表示一個 ( )， | |a 表示一個 ( )； (3) 如果字母 a 表示零，那麼 a− 表示 ( )，| |a 表示 ( )； 4. (1) 如果字母 a 表示一個正數或零，那麼| |a 等於 a 嗎？| |a 等於 a− 嗎？ (2) 如果字母 a 表示一個負數，那麼 | |a 等於 a 嗎？| |a 等於 a − 嗎？ 5. 什麼叫做代數式？什麼叫做代數式的值？各舉例說明。 6. 什麼叫做單項式？什麼叫做多項式？什麼叫作整式？各舉例 說明。 7. (1) 什麼叫做係數？什麼叫做單項式的次數？各舉例說明。 (2) 指出下列各單項式裡的係數與次數各是多少。 2 2 45x y 、 1 2 2a b − 、 2 2 3 m n 、x、 n x − 。 (3) 什麼叫做多項式的項數？什麼叫做多項式的次數？各 舉例說明。
(4) 指出下列各多項式的項數與次數： 2 1 x + − 、 3y x− 、4 a2 +2ab b+ 、2 x3 + y3 +3x y2 +3xy2。 8. 用代數式表示： (1) 某工廠製造一種玩具，原來每件成本是 a 元，現在每件 成本降低 p%，求現在每件成本； (2) 某農莊有 n 畝水稻要收割，原計畫每天收割 m 畝，實際 每天多割 5 畝，求可以提早幾天收割完； (3) 某公司職員每人每年所得薪水是經理每人每年薪水 S 元 的1 5還少 200 元，求職員每人每年所得的薪水； (4) 某汽車廠第一個月生產 a 輛汽車，第二個月比第一個月 增產 x%，第三個月又比第二個月增產 x%，求第三個月 的產量。 9. 根據所給 x 的值，求代數式3x3 +2x2 − + 的值： x 3 (1) x = − ； (2) 02 x = ； (3) 3x = ； (4) 21 2 x = 。 10. 求 1 3 x = − 時，代數式x3 + 與代數式1 (x+1)2 的值。 11. 當x = 、2 y = − 時，求下列代數式的值： 4 (1) x2 + y2 ； (2) (x− y)2； (3) x2 −2xy+ y2； (4) 2x y x y + − 。 12. 根據所給 a、b 的值，求代數式a2 + 與b2 (a b+ )2的值： (1) a = 、3 b = − ； (2) 2 a = − 、3 b = ； 2 (3) a = 0.5、b = −0.5； (4) a = 、8 71 2 b = − 。 13. 某畜農前年養牛 n 隻，去年比前年增長 15%，用代數式表示 去年的養牛隻數。當 n = 3640 時，計算去年養牛隻數。
14. 灌溉渠道裡水流的橫斷面是梯形，水面寬 a m、渠底 b m、水 深是 h m，設水流的速度為 v m/秒，計算當 a = 1.2、b = 0.8、 h = 0.6、v = 0.4 時，每秒鐘流過斷面的水是多少 m3？ 15. 什麼叫作同類項？怎麼合併同類項？各舉例說明。 16. 舉例說明去括號與添括號的法則。 17. 合併下列各式的同類項： (1) x y2 −3x y2 ； (2) 10 y2 + y2； (3) 1 2 1 2 2a bc 2a bc − + ； (4) 1 1 7 4mn−3mn+ ； (5) 7ab−3a b2 2 + +7 8ab2 +3a b2 2 − −3 7ab； (6) 3x2 −3x2 − y2 +5y +x2 −5y+ y2。 18. 化簡下列各式： (1) (4a b3 −10 ) ( 3b3 + − a b2 2 +10 )b3 ； (2) 1 2 1 2 1 5 3 2 2 xy xy xy xy ⎛ ⎞ ⎛ − ⎞ + − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠； (3) 5a2 −[a2 +(5a2 −2 ) 2(a − a2 −3 )]a ； (4) 15 3(1+ − − − +a) (1 a a2) (1+ − +a a2 −a3)。 19. 在下列各式的括號裡，填上適當的項： (1) 2x+ x2 − y2 = 2x+( )； (2) 4− x2 +2xy − y2 = −4 ( )； (3) (a−2b c a+ )( +2b c− = −) [a ( )][a+( )]； (4) x2 − + = +x 6 ( ) = −( )。 20. 已知 A=9x2 +8y3 −16xy2 、B =3x3 −4y2 +2xy2，計算： (1) A+ ； B (2) A B− 。 21. (1) 一個多項式減去3x4 −x3 +2x− 得1 5x4 +3x2 −7x+ ，求2 這個多項式；
(2) 7a2 +4ab b− 加上一個多項式得2 10a2 −ab，求這個多項 式。 22. 計算： (1) (4a bc2 −3ab) ( 5+ − a bc2 +2ab2)； (2) (6m2 −4mn−3n2) (2− m2 −4mn+n2)； (3) (2a3 +5a2 +2a− − −1) (3 8a+2a2 −6a3)； (4) 3 2 5 1 3 2 2 2 x −⎡⎢ x−⎛⎜ x− ⎞⎟+ x ⎤⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦； (5) (5x3 −2x2 + − −3) (1 2x+ x2) 3( 1 3+ − + x−x2)； (6) (− + +x2 4 3x4 − x3) (2+ x3 −7x4 +6x− 5) 2 4 (x 2x x 5) − + − − 。 23. 求下列各式的值： (1) (3x2 − −4) (2x2 −5x+ +6) (x2 −5 )x ，其中 11 2 x = − ； (2) 3x y2 −[2x y2 −(2xyz− x z2 ) 4− x z2 )−xyz ， 其 中 x = − 、2 3 y = − 、z = 。 1 24. 五個連續整數，中間的一個是 a，寫出其餘四個數，並且求這 五個數的和，當 a = 34 時，這個和是多少？ 25. 三個連續偶數，中間的一個是 2n，用代數式表示這三個偶數 的平方和，當 n = 2 時，求這三個偶數的平方和。 26. (1) 6 10× 3 + ×9 102 + × + =？ 4 10 8 (2) 把 35 寫成a× + 的形式(a、b 各是 0 到 9 中的一個整10 b 數)。 (3) 把 712 寫成a×102 + × + 的形式(a、b、c 各是 0 到 9b 10 c 中的一個整數)。 (4) 一個二位數，十位數是 a、個位數是 b，寫出這個二位 數。
27. 寫出任意五個連續正整數的和。這個和能被 5 整除嗎？用代 數式表示五個連續的正整數並求出它們的和。這個和等於 5 與什麼代數式的積？ 28. 寫出任意一個二位數，然後把它的十位數與個位數交換位 置，則所得到的數與原來的數之和能被 11 整除嗎？用代數式 表示一個二位數，把這個二位數的十位數與個位數交換位 置，所得到的數與原來的數之和等於 11 與什麼代數式的積？
