國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授： 陳彥廷 博士
二位國小高年級教師
數學教學知識之比較
研究生：林淑凌 撰
中華民國一百零三年六月
感謝誌
本論文終於順利完成，首先，感謝指導教授，陳彥廷老師，既細心又 有耐心的指導，在研究出現瓶頸時，能給予適切的提點，問題因此迎刃而 解；在寫作進度落後時，能給予正面鼓勵，論文因此順利產出。 感謝口試委員，謝闓如老師與徐偉民老師，不僅細心評閱，更提供精 闢建議，讓本論文能更臻成熟，實受益良多。 本研究的幕後功臣，阿亮與小孟二位教師，有你們的情義相挺，願意 開放課室教學觀察，本研究才得以順利進行，除了感謝之外，還要說：「有 你們真好！」你們真是我的大貴人。 感謝兩位協助完成課室教學觀察逐字稿的小幫手，佳慧與蘋慧，佳慧 在文書處理的協助，讓論文寫作能事半功倍，因為有你的協助，論文格式 才得以更正確。 感謝驅使我讀研究所的激將功臣，福勇老師；一直給予工作上協助的 喬雯老師與學年老師；隨時督促論文進度的行政同仁；被我拉著一起分析 資料的葦芸老師、宜家老師、秀容老師；提供碩士班各科考古資料的學長 姐：仁聰老師、秀如老師、瑩瑩老師、珠惠老師，感謝你們代代相承的同 系情誼，與你們共事真是幸福！ 另外要感謝在論文研究上的學伴：美伶、蘭芬、秋蘭及翠貞，有你們 隨時的激勵與心得交流，研究瓶頸得以輕鬆解開，論文寫作得以順利完成。 最後衷心感謝一直默默支持的家人，乖巧懂事的廷佑、自動自發的蘋 慧，還有精神相挺的國賓先生，有你們的包容，讓我無後顧之憂的完成學 業，謹以此論文獻給摯愛的家人。I
二位國小高年級教師數學教學知識之比較
中文摘要
本研究旨在比較二位國小高年級教師在進行「圓形圖」與「柱體體積」 單元時，所呈現的數學教學知識整合。首先，利用「數學教師專業評量表」 提供二位個案教師進行自我評估自身之數學教學知識現況；接續，藉由他 們在二個單元的教學錄影與晤談資料，透過轉錄彙整與統計，繪製成「數 學教學知識整合歷程圖」，進而分析二位個案教師在二個不同單元的教學 活動中，其數學教學知識的整合情形。研究結果顯示：1.二位個案教師在 「數學教學知識」的自我覺察，並不容易真實呈現其教學的動態現況；2. 教師的師資培育背景並不影響其數學教學知識的呈現；3.二位個案教師其 數學教學知識的整合，會隨著單元不同而有所改變；4.二位個案教師的數 學教學知識面向的整合尚未達均衡狀態。最後，本研究亦提出未來教學與 研究之建議，以供後續進行相關研究之參考。 關鍵詞：柱體體積、圓形圖、數學教學知識II
Mapping Out the Integration of Mathematics Pedagogical
Content Knowledge from Two Elementary School Teachers
Abstract
The purpose of this study is to compare two in-service six-grade teachers’
mathematics teaching knowledge integration when teaching “pie chart” and “prism volume”. First, Professional Standards for Elementary Mathematics Teachers’ was administered for teachers to self-evaluate their current teaching knowledge of mathematics. Then with the transcription of their teaching videos and interviews as well as the follow-up statistic analysis of the above mentioned data, mapping out the integration of the components of pedagogical mathematics knowledge was made to realize two teachers’ mathematics teaching knowledge integration in two different units. The study results showed that the teachers’ self-perception of mathematics teaching knowledge was difficult to implement in their teaching practice and their different pre-service training backgrounds made no significant influences on the performance of their teaching knowledge of mathematics. In addition, different mathematics teaching knowledge integrations were found in teaching different units of the two teachers and the teachers’ mathematics teaching knowledge integration still hadn’t achieved a balance. Moreover, it also revealed that a teacher’s individual belief would affect his/her mathematics teaching knowledge integration. At the end of this study some suggestions were provided for further teaching and research in related fields.
Keywords: prism volume, pie chart,
III
目錄
目錄
... III
表目錄
... Ⅴ
圖目錄
... VII
第一章 緒論
... 1
第一節 研究動機 ... 1 第二節 研究目的與問題 ... 5 第三節 名詞解釋 ... 6 第四節 研究範圍與限制 ... 8第二章 文獻探討
... 9
第一節 教師專業知識的重要性 ... 9 第二節 教師的數學教學知識 ... 16 第三節 教師數學教學知識的相關研究 ... 29第三章 研究方法
... 39
第一節 研究架構 ... 39 第二節 研究對象 ... 41 第三節 研究工具 ... 44 第四節 研究流程 ... 50 第五節 資料蒐集與分析度 ... 53第四章 研究發現與討論
... 59
IV 第一節 個案教師在「國小數學教師專業標準」量表的評估情形 ... 59 第二節 個案教師在「圓形圖」單元中的數學教學知識整合 ... 67 第三節 個案教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合 ... 84 第四節 二位教師在不同單元教學呈現的數學教學知識整合比較 ... 99
第五章 結論與建議
... 109
第一節 研究發現... 109 第二節 建議 ... 114參考文獻
... 116
附錄一
... 124
V
表目錄
表 2-1-1 教師專業知能學說比較 ... 10 表 2-1-2 「教師專業知識標準」之論述 ... 14 表 2-2-1 學科教學知識（PCK）的內涵與本質相關彙整 ... 18 表 2-2-2 不同學者之數學教師專業知能架構 ... 22 表 2-2- 教師數學教學知識面向彙整 ... 25 表 2-3-1 學科教學知識發展之相關文獻彙整 ... 29 表 2-3-2 學科教學知識與課室教學之相關文獻彙整 ... 32 表 2-3-3 專家與生手之學科教學知識之相關文獻彙整 ... 33 表 3-2-1 個案教師背景分析 ... 43 表 3-3-1 「國小數學教師專業標準」量表工具的信度 ... 44 表 3-3-2 「國小數學教師專業」評量表與數學教學知識面向比較表 ... 45 表 3-3-3 本研究探討的數學教學知識的面向與內涵 ... 46 表 3-3-4 研究觀察單元教學之課程分析表 ... 47 表 3-3-5 個案教師的教學單元分析 ... 48 表 3-3-6 本研究對教師晤談之題幹 ... 49 表 3-5-1 晤談資料編碼 ... 54 表 4-1-1 二位個案教師在數學專業知能不同層面具備的情形分析 ... 60 表 4-1-2 「國小數學教師專業」評量表與數學教學知識面向比較表 ... 65 表 4-2-1 阿亮於「圓形圖」單元之數學教學知識整合情形統計表 ... 68VI 表 4-2-2 小孟於「圓形圖」單元之數學教學知識整合情形統計表 ... 74 表 4-3-1 阿亮於「柱體體積」單元之數學教學知識整合情形統計表 ... 85 表 4-3-2 小孟於「柱體體積」單元之數學教學知識整合情形統計表 ... 90 表 4-4-1 阿亮於「圓形圖」與「柱體體積」單元中數學教學知識整合次數 .... 99 表 4-4-2 小孟於「圓形圖」與「柱體體積」單元中數學教學知識整合次數 .. 105
VII
圖目錄
圖 2-2-1 Fennema & Franke (1992)所提的「在脈絡中發展的數學教學知識」
... 23
圖 2-2-2 數學教學知識... 24
圖 2-2-3 個案教師的學科教學知識整合歷程圖... 28
圖 3-1-1 教師數學教學知識觀察面向圖... 40
圖 3-3-1 本研究過程流程... 52
圖 3-5-1 繪製數學教學知識成分歷程圖的數學教學知識事件舉例... 56
圖 4-2-1 阿亮於「圓形圖」單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 69
圖 4-2-2 小孟於「圓形圖」單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 75
圖 4-3-1 阿亮於「柱體體積」單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 86
圖 4-2-4 小孟於「柱體體積」單元教學過程中的數學教學知識整合歷程圖... 91
圖 4-2-1 阿亮於圓形圖單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 100
圖 4-3-1 阿亮於柱體體積單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 100
圖 4-2-2 小孟於圓形圖單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 105
圖 4-3-2 小孟於柱體體積單元教學的數學教學知識整合歷程圖... 105
1
第一章 緒論
第一節 研究動機
「師者，傳道、授業、解惑也」這是中國古代為教師所下的定義，以現 代的觀點來看，傳道即是新觀念的建立、價值觀的啟發；授業，是傳授學問 知識、教導專業技巧，是生活智能的開展，學習結果的成功與挫敗，對學生 的學習成就感影響甚鉅；解惑則是指協助疑慮的排解、澄清、判斷與決策， 這涉及到如何因應生命的挑戰，包括職業選擇、生涯規劃、家庭、感情等（李 麗玲，2009）。這也清楚地說明，教師的教學活動中，不只是單純的學科知 識傳授，還有許多隱含於身教、言教在其中。然而 21 世紀的教師，又該具 備哪些專業知能才能達成社會大眾的期望呢？以現今的教學環境而言，想要 達成有效的教學目的，並不是擁有單一學科專長就可完成，尤其是國內自 2001 年於國民小學一年級開始實施九年一貫新課程，在一綱多本的教材下， 教師必須具備基本學科知識的專業；在國小階段包班教學的體制下，教師的 教學知識更要紮實才能經得起時代的挑戰。 近 30 年來，我國師資培育不論在政策上或制度上都有重大的變革，民 國 68 年由「師範學校法」改制為「師範教育法」，又於民國 83 年修定為「師 資培育法」迄今；師資培育已從一元化、計畫性、公費制、分發制改為多元 化、儲備性、自費制、甄選制，期望能廣納百川以增進教育的人才。但是， 李麗玲（2009）發現，師資培育機構已產生許多問題：1.市場化造成供給過 度影響品質：由於未能管控多元化師資培育政策，師資培育機構數量流於浮 濫，且未能專業品質把關，讓多元化政策的美意演變成市場化的流弊；2.學 分化形成只求分數不重專業素養：速成培育師資，不重視實質內涵，教師的 專業形象已經漸漸受到質疑。但是，社會大眾的期待是：現職教師的教學知2 識與學科教學知識相關知能應該提升，同時也應對教師教學專業進行把關 （鍾靜、張淑怡、陳幸玫、陸昱任、戴坤邦，2012）。 這些師資培育面臨的困境（許芳菊，2013）已經漸漸受到教育當局的重 視，並且開始積極的改進職前教師與在職教師的專業成長。林美淑（2005） 指出，無論是職前教師的訓練或是在職教師的進修規畫，都一再強調教師的 專業成長，教師必須建構自己的教學模式，並隨時檢視自己的教學歷程，才 能經得起一波又一波的教育改革潮流。64 年課程標準實施年代，在一綱一 本的體制下課程內容缺乏多樣性，教師的教學也只重視知識的傳輸認知教 學，強調制式化的答案、嚴謹的班規、有條不紊的上課秩序，教學過程中缺 乏活動力。在九年一貫課程實施後，研究者紛紛提出建議：除了認知教學外， 科學本質、思考智能、科學態度等能力的培養也應該被重視（張靜儀，2006）。 近年來對於教師教學的研究，各有不同面向，其中，史丹佛大學 Lee S.
Shulman 教授在 1986 年提出「學科教學法知識」（Pedagogical Content
Knowledge, PCK）的概念，認為教師除了學科專業知識（Content Knowledge, CK）以外，也必需積極發展與學科領域教法有關的教學法知識（Pedagogical
Knowledge, PK），強調教師要有統整且養成具備該學科教學（與學習）特色
的學科教學知識（PCK）能力（劉怡甫，2010） 。基於此觀點，國外後續 有許多學者（Ball,1990; Borko, Underhill, Brown, Jones& Agard,1993; Borko, Eisenhart, Brown, Underhill, Jones & Agard,1992; Fennema & Franke,1992）提 出相關研究，進而提出不同研究發現。Medly（1987）提出教師教學的結構 必須包含多面向且完整的，教師特質、教師知能、教學前的教師行為、教師 與學生互動的行為、學生的學習活動、學生的學習結果、師資訓練、外在情 境、內在情境及學生特質等十個變項。這項觀點與學科教學知識（PCK）所 關注的面向即有異曲同工之妙，再次提醒教師的教學要點除了專業知識外， 同時要具備完整的教學法知識。而國內在學科教學的領域中，以研究學科教
3 學知識觀點來提升教師在教學方面專業成長的探討，獲得成果的學者也不 少，邱美虹、江玉婷（1997），初任與資深國中地球科學教師學科教學知識 之比較；郭義章、段曉林（1998） ，國中初任理化教師思考與呈現其學科 教學知識之個案研究；黃泰源（2004），國小體育專家教師與生手教師教學 行為及教學反省之比較研究；許德田、張英傑（2004），二位國小實習教師 數學教學專業發展之研究；林美淑（2005），國中自然科教師學科教學知識 成長之行動研究；陳國泰（2006），國小自然與生活科技資深專家教師學科 教學知識的發展之個案研究；蘇姿鳳（2011），國小自然科專家教師學科教 學知識之個案研究；莊筱玉、楊雪櫻、林役勵、何聖欣（2012），技術學院 英語教師專業知識轉化之教學個案研究。為實踐課程設計的最初目標，我們 希望老師能擁有豐富的學科教學知識（PCK），才能在教學中現場盡情發揮 以符合教學期望，達成教學目標。 Shulman 將學科教學知識（PCK），定義為「教師在進行專業領域的教 學過程中所涉及的知識」（轉引自陳彥廷，2012）。但是，這樣的解釋有點過 於籠統，以數學科為例，「要界定與測量教師的數學教學知識（mathematics
pedagogical content konwledge，MPCK）其實並不容易」。因為 MPCK 除了
一般的教學知識，還有對數學學科知識及精準的數學獨特教學規則的知識
（Cheang,Yeo.Chan, & Lim-Teo,2007）。因此，陳彥廷（2012）分析國內外相
關文獻及量化統計後，將教師的數學教學知識分為「課程與目標知識」、「學 科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」、「學習成效評估知識」等 5 個面向，並開發出「國小教師數學教學知識（PCK）知覺量表」，以提供國 小教師自我檢視數學教學知識。 本研究將參考此知覺量表，再做細部的修正，從修正後所關注的各個面 向探討現階段國小教師在進行數學教學時所表現的數學教學知識內涵，提供 教師自我檢視數學教學知識，進而期待能更進一步提升其數學教學知識的專
4 業成長。
本研究依據課程進度，觀測二位個案教師在二個不同單元的教學活動中
所呈現的數學教學知識，此二單元分別為「圓形圖」與「柱體體積」，在數
5
第二節 研究目的與問題
鑑於上述研究動機，本研究期望透過文獻分析，整理出國小教師數學教 學知識的面向，並透過此面向觀察二位國小教師進行數學教學時所呈現的數 學教學知識，進而比較其異同。本研究亦透過晤談的方式，以釐清他們進行 數學教學時真正的意圖，以確認他們在每一個教學行為背後涉及的數學教學 知識。據此，提列本研究目的如下： 一、探究二位個案教師對自身數學教學知識的自覺概況。 二、探究二位個案教師在「圓形圖」單元中的數學教學知識整合情形。 三、探究二位個案教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合情形。 四、探究二位個案教師在不同單元中數學教學知識整合的差異。 本研究觀察之教學單元挑選，主要是依據個案學校之課程教學進度，另 外考慮數學概念不重複以增加觀察結果之推論，因此，挑選「圓形圖」與「柱 體體積」為本研究之單元。6
第三節 名詞解釋
基於上述研究目的，本研究所涉及的專有名詞包含 1.數學教學知識、2. 圓形圖、3.柱體體積，茲分述如下： 一、數學教學知識 Shulman（1986）認為，教師應具備「學科教學知識」，因為教師若具備 學科教學知識，便能在了解學生的能力與有效教學法之後，運用自己所組織 與操作的能力，有效的將某些概念內容以清晰易懂的型態傳遞給學生（孫敏 芝，2006）。Shulman 認為，教師必須有將主題內容知識（Subject matter knowledge）轉化為學生可以理解的學科教學知識的能力。換言之，教師在 教學過程中，必須經歷「從能夠理解學科內容知識到能夠以新的方式詮釋學 科內容知識；重組、分割學科內容知識；運用活動與情感包裝；運用譬喻與 練習，讓學生更加掌握此學科內容知識」的轉化過程（Shulman,1987）。學 科教學知識若套用在數學領域，即為數學教學知識。但是，這樣的解釋過於 含糊，無法完整呈現教師數學教學知識，因此，陳彥廷（2012）參考相關文 獻後，開發「國小教師數學教學知識（PCK）知覺量表」，將教師的數學教 學知識分為「課程與目標知識」、「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學 表徵知識」、「學習成效評估知識」等 5 個面向，本研究將延續陳彥廷（2012） 「國小教師數學教學知識（PCK）知覺量表」，再融入「生活脈絡知識」面 向，以提供國小教師自我檢視數學教學知識。7 二、圓形圖 圓形圖在數學領域的主題概念為統計，用整個圓面積表示總數，用圓的 扇形面積表示部分所佔的百分數，對應能力指標內涵為「能整理生活中的資 料，並製成圓形圖」，本研究所指的「圓形圖」單元的教學內容為：1.認識 圓形百分圖。2.能依據統計表上的資料求出各部分所占的百分率，並畫出圓 形百分圖。3.能整理生活中的資料，求算各部分所占全體的比率，並轉換成 扇形圓心角的角度，繪製成圓形圖。4.能依據圓形百分圖中各部分所占百分 率及全部的量，求出各部分的量。5.能依據圓形圖中各部分所占比率及全部 的量，求出各部分的量。 三、柱體體積 依據國家教育研究院國小教材分析，「體積」是指物質所占空間的大小。 臺北市多媒體資源中心解釋：上下兩個底面是平行且全等的多邊形或圓形， 而側面是長方形的形體，稱為直柱體。柱體體積在數學領域的主題概念為數 與量、幾何與代數，對應能力指標內涵為「能理解簡單直立柱體的體積為底 面積與高的乘積；能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題；能用中文簡 記式表示圓面積、圓周長與柱體的體積公式；能利用常用的數量關係，列出 恰當的算式，進行解題，並檢驗解的合理性」。本研究所指的「柱體體積」 單元的教學內容為：1.能透過紙片的推疊，瞭解柱體體積的意義。2.知道長 方體體積公式可以寫成底面積×高。3.知道三角柱的體積公式可以寫成底面 積×高。4.知道圓柱體的體積公式可以寫成底面積×高。5.能根據柱體體積公 式，計算複合形體的體積。6.透過平行四邊形的切割和平移，導出底面是平 行四邊形的柱體體積公式是底面積×高。
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第四節 研究範圍與限制
一、教學單元的範圍 由於時間的限制，本研究僅選擇二位國小個案教師在「圓形圖」、「柱體 體積」等二單元所進行之教學作分析，因此無法推論至其他單元。 二、研究樣本的限制 由於本研究必須實地入班進行觀察，但因研究人力、時間等條件的限 制，僅以臺中市西區某一國小六年級的二個班級的數學教師為研究對象，入 班觀察他們進行二個單元共 10 節課的教學。以探究二位教師所呈現的數學 教學知識，因此，本研究的結果不適合推論至其他地區、其他班級，或其他 領域之教師。 三、研究工具的限制 本研究係以數位攝影機作為記錄教師教學活動的工具，將他們教學的過 程全程錄影後，再依據本研究所訂定的「數學教學知識面向」進行編碼、分 析而獲致結果。但是，教師的數學教學知識有些是不易覺察的，無法從影片 中直接判讀而得，因此本研究輔以晤談方式。9
第二章 文獻探討
目前國內正積極推動十二年國教的教育改革工程，需要第一線教師大力 的幫助方能達成；而教育部師資藝教司為提升教師的專業形象，也特別針對 中小學教師專業發展評鑑試辦年多，教師專業發展評鑑的焦點放在「正確實 施教學觀察」，其目的在於了解教師班級經營、有效教學及教學技巧的策略 應用。由此可見，教師的教學活動不單只是學科教學，還包含了許多教學相 關的知識。為了達到本研究探究二位國小個案教師其進行數學教學時所呈現 的數學教學知識整合情形，本章文獻探討將分為三個部分進行論述：第一 節，教師專業知識的重要性；第二節，教師的數學教學知識；第三節，教師 數學教學知識的相關研究。第一節 教師專業知識的重要性
「專業」，是現代社會各行各業追求的目標，相對的，對於各領域的從 業人員也被要求要有一定的專業素養，才能在該領域佔有立足之地（許郁 卿，2008）。楊國賜（1985）轉述賈馥茗對「專業」的解釋，所謂專業，是 指從業者具有卓越的知識和能力，他們對知識和能力的運用，關係著別人的 生死或利害。 「專業」，或稱「專門職業」，係指具備高度的專門知能，存在與他種職 業不同的特殊性，例如醫師、律師、工程師、建築師…等（賴孟俞，2007）。 近幾年來，國人深切體認到教育對人力資源開發的重要性，對於教育的關 心，促使教育改革成為國人共同期盼與關心的課題，尤其是帶好每一位學 生，提升教育品質的訴求主題，深深的觸及到每位學生家長的心坎，教師的 專業角色更加顯得其重要性（吳宗立，2000）。 饒見維（2000）曾期望教師的角色轉型，能由「官方課程的執行者」轉10 換為「課程的設計者」；從「被動的學習者」轉換成「主動的研究者」；從「教 師進修研習」轉換成「教師專業發展」；從「知識的傳授者」轉換成「能力 的引導者」。隨著時代的變革，教育體制持續演進，教師的角色在職場中被 迫轉型。 綜合以上論述，研究者認為，在面對教師供需市場變遷下，教師與家長、 學生之間的關係如同經濟活動中的消費關係，教師的專業被嚴格檢視，隨時 面臨被淘汰的命運。因此，身為教師就必須具備專業知能、專業素養，才能 勝任教師職務、從容面對時代變革、完成百年樹人的任務。 一、教師專業知識 所謂專業知能是指教師擁有某種知識或技能，而且此種知識技能並非一 般大眾所擁的，因此，對於教師專業人員而言，其專業知能即指與「教育」 有關的一些知識或能力（許郁卿，2008）。 研究者蒐集相關研究，彙整各學者論述，繪製成表 2-1 以做比較： 表 2-1-1 教師專業知能學說比較 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 張德銳（1993） 現職教師 教師評鑑標準 教師專業知能應包含三 大領域：1、任教科目的專門 知識與技術；2、教學方法的 專業知識與技巧；3、班級經 營的能力。 Grossman P. L （1994） 職前教師與 現職教師 教育專業知識的 培養 教師知識應包括六領 域：內容知識、學習者知識、 普遍教學論知識、課程知 識、背景知識、以及知識本 身（賴孟俞，2007）。 鍾任琴（1994） 現職教師 教師專業知能 教師專業知能界定為 「包括與教育工作有關的一 般知識與教學方法、與教學 工作有關的能力以及任教學 科的專門知識」
11 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 單文經（1995） 現職教師 教師專業知能的作用 認為教師專業知能的作 用是可以對教學事件做深入 理解，對教學問題有較高的 分析層次，使教師具備良好 的組識辨識能力，對專業情 境有較高的敏感性，對教學 問題與教室常規妥善處理。 饒見維（1996） 現職教師 「教師專業知能」項目 「教師專業知能」細分 為五個項目，包括：教育目 標與教育價值的知識、課程 與教學知能、心理與輔導知 能、班級經營知能、教育環 境脈絡的知識。 羅清水（1998） 現職教師 教師專業知能的內涵 教師專業知能是「教育 相關理論的認識、心理輔導 的體認與教學方法的實踐， 除此之外，還應包括情意方 面，例如：信念、態度與價 值觀等」 高薰芳與陳美娟 （2002） 現職教師 教師專業知能 教師專業知能包括學科 知識與教學知能、教學反省 能力、學生身心發展的知 識，教師專業知識主要是實 際教學經驗與日常生活體 驗。 林進材（2002） 現職教師 教學知識研究 在進行教學知識研究時 指出，「教師在教學中扮演著 決定性的角色，是決定教學 成敗的關鍵性人物」。（吳美 靜，2003） 吳清山（2004） 職前教師 強化教師專業知識能力 師資培育應建立在「標 準本位」(standard-based) 的主軸，事先建立教師知識 和能力的標準，以確保師資 生具有足夠的內容知識和教 學技巧。 從表 2-1-1 之各學者論述得知，教師專業知能的標準具有時代的意義， 從早期的專業訓練只強調知識層面（Grossman P. L., 1994；饒見維，1996）， 到後期逐漸擴展到技能與情意層面（羅清水，1998），因此，構成教師專業 知能的基本要素是知識、技能與態度。然而，「專業知能」並非只有教學技
12 能，還包括輔導、行政與班級經營等知能（高薰芳、陳美娟，2002），以小 學級任教師為例，教師與學生相處互動的時間相當長久，隨時都是教育時 機，因此，教師專業知能的發揮不僅限於上課而已。教師專業內涵應涵蓋外 顯的實務知識，即教師在教育學、教學、任教科目的學科知識，還有內在的 專業態度（教師自我省思能力），兩者合併建構出專業化的教育者。 二、教師專業知識標準 近年來，社會大眾不斷呼籲提升現職教師的數學教學相關能力，此項需 求國內外皆然， AAMT（Australian Association of Mathematics Teachers , 2006）因此發展了卓越教師的標準以作為高成就數學教師（highly
accomplished teachers of mathematics）認證考試的依據，其內容主要分為三 個層面：專業知識（professional knowledge）、專業特質（professional
attributes）、專業實踐（professional practice）；而也因此訂定標準共有十條：
學生知識、數學知識與學生數學學習知識；個人特質、個人專業發展與社群 責任；學習環境、學習計畫、教學活動與評量。此標準主要適用對象為專業 教師。英國 NCETM（National Council of Teachers of Mathematics, 2007）所 制定之教師專業標準內容分為專業特質（professional attributes）、專業知識 與理解（professional knowledge and understanding）及專業技能（professional skill）三個層面，相關標準條文細則有個人專業發展、與他人溝通合作、學 科與課程、教與學的知識、計畫、教學、評量、學習環境等。此套標準的適 用目的為區分合格教師（qualified teacher）、核心教師（core teacher）、晉級 教師（post threshold teacher ）、優等教師（excellent teacher）、及高級教師 （advanced skill teacher）。
近年來，國內學者也陸續建立相關的數學教師專業標準研究的學者，劉 曼麗（2008）針對職前教師數學教學專業標準分為五大類：基本理念、內容
13 知識、學科知識、學科教學知識、教師專業成長，主要標準的細則包含：教 育理念、學習理論、課程理論、數學教學知識、數學教學思維、課程知識、 教學知識、學習及評量知識、反思與進修。因為研究對象為「職前教師」， 所以偏重基本理念之教育理念、學習理論與課程理論，研究對象教不適用於 現職教師，因為，現職教師在教學實務上之策略應該更被重視。林碧珍與蔡 文煥（2007）針對輔導教師的數學教學輔導知能進行探究，將專業標準分為； 專業信念、專業發展、反思能力、數學課程與數學規劃、數學學科知識、數 學教學、學生學習數學特性、數學學習評量、數學課程與教學評鑑、實習教 師專業發展輔導及數學課程與教學輔導等，共 11 個子向度，86 條指標。此 研究對象為「輔導教師」，標準內容強調對實習教師知輔導，若是用在一般 教師，可能會有許多面向無法觀測。李源順與呂玉琴（2006）及李源順、呂 玉琴、林福來、陳美芳等（2008）則是將國小教師數學專業知能標準分為六 個主題：數學知識、學生認知、教學方法、教學實務、教學評量與專業責任， 其中更細分為 47 條標準，主要目在於將教師分為實習教師、合格教師、輔 導教師與專業教師。此項專業標準的觀測主題並未涵蓋課程與目標概念，與 其他學者之主張比較。 鍾靜教授及其研究團隊開發出「數學教師專業標準」（鍾靜、張淑怡、 陳幸玫、路昱任、戴坤邦，2012）。該內容將標準分為三個層面：專業知能、 專業實踐、專業特質；標準共有十一條，分別為： （一）專業知能之數學教學知識、 數學教學能力、學生學習數學的知識 3、 數學課程與數學知識； （二）專業實踐之營造數學學習環境、數學教學設計、教學策略與科技資源 協助學生學習、多元評量； （三）專業特質之保持正向且積極的態度面對教學與學生學習、反思與專業 成長、參與相關專業社群並貢獻相關數學教學知能。
14 其內容共有 26 條指標，此專業標準的目的在於將教師知數學專業程度 區分為職前教師、初任教師、一般教師及專家教師。 綜合以上論述，研究者彙整出表 2-1-2 以供參考： 表 2-1-2 「教師專業知識標準」之論述 研究者 研究對象 研究內容 研究目的 AAMT （2006） 專業 教師 卓越教師的標準 其內容主要分為三個層面： 專業知識（professional knowledge）、 專業特質（professional attributes）、 專業實踐（professional practice） 作為高成就數學教師 （highly accomplished teachers of mathematics）認 證考試的依據， NCETM （2007） 教師專業標準內容分為三個層面： 專業特質（professional attributes）、 專業知識與理解（professional knowledge and understanding） 及專業技能（professional skill） 為區分： 合格教師（qualified teacher）、核心教師（core teacher）、晉級教師（post threshold teacher ）、優等教 師（excellent teacher）、及高 級教師（advanced skill teacher）。 林碧珍與 蔡文煥 （2007） 輔導 教師 專業標準分為；專業信念、專業發 展、反思能力、數學課程與數學規 劃、數學學科知識、數學教學、學生 學習數學特性、數學學習評量、數學 課程與教學評鑑、實習教師專業發展 輔導及數學課程與教學輔導等 輔導教師的數學教學輔導知 能進行探究 劉曼麗 （2008） 職前 教師 職前教師數學教學專業標準： 基本理念、內容知識、學科知識、學 科教學知識、教師專業成長 職前教師數學教學專業標準 分類 李源順與 呂玉琴 （2006） 李源順等 （2008） 國小 教師 將國小教師數學專業知能標準分為 六個主題：數學知識、學生認知、教 學方法、教學實務、教學評量與專業 責任 將教師分為實習教師、合格 教師、輔導教師與專業教 師。 鍾靜、 張淑怡、 陳幸玫、 路昱任、 戴坤邦， （2012） 國小 教師 將標準分為三個層面：專業知能、 專業實踐、專業特質 將教師知數學專業程度區分 為職前教師、初任教師、一 般教師及專家教師。
15 由於本研究之對象為「二位國小個案教師」，已非實習教師，其專業知 能程度比較適合定位為職前教師、初任教師、一般教師或專家教師之層級。 研究者綜合比較表 2-1-2 之各家論述，決定本研究將採用鍾靜教授及其研究 團隊所開發出之「數學教師專業標準」（鍾靜等，2012）作為依據，用來檢 視參與本研究的二位個案教師的數學專業知能。並依照此標準之指標內容進 行數學教學知識面向分類，藉由此量表進一步分析二位個案教師數學教學知 識自我覺察狀態。
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第二節 教師的數學教學知識
過去教師常被視為被動的學習者。為因應現行的教育改革趨勢，教師開 始被視為主動建構其教學知識的人（段曉林，1994）。教師需要具備的基本 能力是如何將科學的概念呈現，使學生能懂得老師教學方式，換言之，教師 面臨的教學問題是學科知識與教學知識的統整，形成學生能夠理解的知識， 此即為 Shulman（1986）所述之學科教學知識。以下將針對教師的知識、數 學教學知識等進行探討。 一、教師的知識 教師知識是指教師在某一教學情境中，為了達到有效教學所應具備的 一系列理解、知識、技能與特質等（湯誌龍，2005）。Wilson, Shulman & Richert（1987）也提到，教師的知識包含教育心理學、學生的心理輔導、教 室管理…等相關的知識。由此可見，教師的知識所涉及的面向很多，目前 最被廣泛接受的教師知識是 Shulman（1987）和 Wilson（1987）等，多位學 者所提出的研究成果，Shulman（1987）提出專業教師應具備的知識分為七 大類，其內容如下：（一）學科內容知識（Subject matter knowledge 或 Content knowledge）： 這是指教師對於所要授課的學科內容具備基礎的知識，不同學科領域
皆有不同的學科知識架構，教師必須對特定科目知識詳加了解。 （二）一般教學知識（General pedagogical knowledge）：
這是指教師對於班級經營、班級管理與班級組織的實施原則與策略之 概念。
（三）課程知識（Curriculum Knowledge）
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（四）學科教學知識（Pedagogical Content Knowledge）：
這是指教師將學科內容知識與一般教學知識融會貫通後，教師呈現自 我專業能力所需具備的知識。
（五）學習者特性的知識（knowledge of learner and their characteristics）： 這是指教師具備學習理論，了解學習者的特徵，在教育心理學、發展
心理學和學生輔導的學習上有一定成果的展現。 （六）教育情境知識（knowledge of education contexts）：
這是指教師能將社區和文化融合在教學活動中，並能適時的運用學校 教學資源。
（七）教育的目標、目的、價值及教育哲學與歷史的知識（knowledge of educational ends, goals, purposes, values, philosophy, and history）： 這是指教師具備教育哲學、教育社會學與教育價值的知識。 在上述七類教師的知識包含層面相當多元，任何一位教師若要達成有效 教學目標，必須具備這七類知識。其中，課程知識、教育情境知識、學習者 特性的知識、教育的目標、目的、價值及教育哲學與歷史的知識及價值知識 則一般被為「輔助知識」，是擔任協助完成教學任務的角色，而「學科內容 知識」、「一般教學知識」及結合二者而成的「學科教學知識」被視為專業知 識的核心（莊筱玉、 楊雪櫻、 林役勵、 何聖欣，2012），是影響有效教學 目標的重要因素。 二、教師的數學教學知識的意義 Shulman（1986）認為，過去美國有許多州的師資檢驗僅分為學科知識 （CK）與教學知識（PK）兩部分，而學科知識（CK）只能以紙筆測驗成績得 到相關數據，這是教師記憶的數據，而教學知識的評估則由教案與評量的結
18 果中呈現。但是，這並無法確認老師的個別差異、教室管理與教學策略（段 曉林，1995），所以，教師應具備「學科教學知識」（PCK），因為教師若具 備學科教學知識，他能在了解學生的能力與有效教學法之後，運用自己所組 織與操作的能力而成功的將某些概念內容以清晰易懂的方式傳遞給學生（孫 敏芝，2006）。Shulman（1987）認為，教師能將主題內容知識（Subject matter knowledge）轉化為教學素材知識的過程是非常重要的，此即表示，教師能 將學科的主體內容轉化為學生可以理解的學科教學知識是重要的。換言之， 教師在教學過程中，必須經歷「從能夠理解學科內容知識到能夠以新的方式 詮釋學科內容知識；重組、分割學科內容知識；運用活動與情感包裝；運用 譬喻與練習，讓學生更加掌握此學科內容知識」的轉化過程。 由於 Shulman 所倡導的學科教學知識（PCK）引發廣大的回響，許多學 者（Grossman ,1988；Geddis ,1993）針對學科教學知識（PCK）的內涵與本 質陸續提出相關的見解與批評，以下分別羅列出各家之見解。 表 2-2-1 學科教學知識（PCK）的內涵與本質相關彙整 研究者 研究內容 研究結果 Grossman (1988) 學科教學 知識 （PCK） 一、學科教學知識（PCK）包含四要素： 1.一般的教學法知識：了解學生在不同學科中某些主題 的先備知識。 2.主題學科知識：教師對於任教學科目的的信念。 3.教師學科教學知識：教師用來教導學科的課程教材包 含水平課程(各科相關目的連結)與垂直課程(了解學 生過去與將學之事物)。 4.教育情境脈絡的知識：教師必須熟悉要教導的概念與 主題，在適當時機使用最有效的教學與表徵方式。 二、強調學科教學知識應加入對課程知識的重視。 Tamir（1988） 「特定學 科」 （subject matter specific）教 學知識的 重要性 一、教師在進行某個主題教學前，必須先了解學生的學習 動機與興趣，這項主題教學才能對學生產生助益， 二、強調學科教學知識必須在教學中診斷、評量學生與教 學資源的重要性
19 研究者 研究內容 研究結果 Geddis (1993) 學科教學 知識 一、特別強調學科教學知識是將學科知識轉化為學生能接 受之形式的重要性，也就是教師必須轉換學科知識為 學生能夠理解的方式，以達成促進學生了解學科知識 的目的。 二、學科教學知識包含：1.是哪一種原因造成此主題較易 了解或較難理解，換言之，這必須加入學生的先備知 識作為考量。2.能有效的重組學生對此主題的理解以 減少教學策略所造成的迷思概念產生。3.有效地呈現 教學主題所涵蓋的概念與方法，例如，運用類比、說 明、舉例、解釋和示範。 Cochran, DeRuiter & King（1993） 根據建構 主義的觀 點分析教 與學的過 程
一、提出「學科教學認識」（Pedagogical Content Knowing, PCKg），強調 PCK 的形成過程是一種動態的歷程， 二、是教師主動建構整合學科知識、教學知識、學生知識、 情境脈絡知識的綜合理解， 三、是連續的發展，沒有先後教師自然能依據他們的理解 而為學科中的特定。 段曉林 （1995） 學科教學 知識 學科教學知識可分為 一、 微觀內涵：包含 1.學科知識；2.學生對特定單元的學 習知識；3.表徵方式與教學策略；4.課程知識；5.評 量知識；6.情境與文化之知識。 二、 巨觀內涵，源自於教師的學科知識、一般教學知識、 課程知識、評量知識、學生知識、學校情境與文化之 知識等領域知識之融合產物。 林碧珍 （2001） 數學教學 知識 一、數學教學知識是數學知識和教學知識的整合； 二、其整合的知識大於部份之和，並不是單純的將數學知 識和教學知識相加在一起； 三、數學教學知識包含數學內容、數學的教學和學習知識。 陳國泰 （2006） 特定學科 進行教學 時所應具 有的專門 教學法及 特定知識 一、特定學科進行教學時所應具有的專門教學法及特定知 識，這類知識融合了學科內容知識和教學法知識， 二、教師除了具備該學科的內容知識與特定問題的理解之 外，也能針對學生不同的能力、興趣和先備知識，並 考量教材的編排方式、教學原理及教學資源等，對學 習材料進行組織與調整，以利教學進行。 陳彥廷 （2013） 數學教學 知識 一、採用 Marks（1990）的觀點，認為數學教學知識包含 特定主題的知識（Subject Matter Knowledge, SMK）， 二、數學教學知識是一個綜合許多面向而組成的知識
（Abell, 2008），教師所擁有數學教學知識的層次取 決於個人內心中數學教學知識組成面向的整合程度。 三、教師的知識是無法脫離所處的情境脈絡，這些知識是
在活動、文化與脈絡交互作用下發展與改變 （Frnnema & Franke, 1992）
Grossman (1988)所定義的學科教學知識（PCK）包含四要素：1. 一般的 教學法知識。2. 主題學科知識。3. 教師學科教學知識。4. 教育情境脈絡的
20 知識。此外，Grossman 認為學科教學知識應加入對課程知識的重視。 Geddis (1993)主張，學科教學知識包含：1. 學生的先備知識。2.能有效 的重組學生對此主題的理解以減少教學策略所造成的迷思概念產生。3.有效 地呈現教學主題所涵蓋的概念與方法，例如，運用類比、說明、舉例、解釋 和示範。Geddis 認為，一般職前教師多過度將學習重心放在一般教學法與情 意向度的知能培養，例如：關照學生、熱忱與耐心，因而忽略教學中有關學 業的考量。因此，Geddis 特別強調學科教學知識是將學科知識轉化為學生能 接受的形式的重要性，也就是教師必須轉換學科知識為學生能夠理解的方 式，以達成促進學生了解學科知識的目的。
Tamir（1988）提出「特定學科」（subject matter specific）教學知識的重
要性，教師在進行某個主題教學前，必須先了解學生的學習動機與興趣，這 項主題教學才能對學生產生助益。並且，Tamir 特別強調學科教學知識必須 在教學中診斷、評量學生與教學資源的重要性。
Cochran, DeRuiter 和& King（1993）根據建構主義的觀點分析教與學的
過程，因此提出「學科教學認識」（Pedagogical Content Knowing, PCKg），
他們認為學習的過程中，教師同時不斷建構與發展各方面的教學知識，此種 見解，與 Shulman 的 PCK 有所區隔，Shulman 的 PCK 是學科內容知識的呈 現與對學生先備概念、概念以及具體學習困難的理解，是一個複雜性的歷程 知識（林美淑，2005），屬於靜態的順序，而且同時進行理解，並有持續性 擴展。隨著學科教學認識的發展，Cochran 等人強調 PCK 的形成過程是一種 動態的歷程，是教師主動建構整合學科知識、教學知識、學生知識、情境脈 絡知識的綜合理解，是連續的發展，教師能依據他們的理解而為學科中的特 定內容自編教學策略，而學生也能在既定的情境中構建最有效的理解。各種 領域知識演化的歷程不須刻意劃分學科知識與學科教學知識。而後續
21 段曉林（1995）綜合各學者的看法，綜合整理學科教學知識可分為微觀 內涵與巨觀內涵之觀點，其中微觀內涵包括：1.學科知識；2.學生對特定單 元的學習知識；3.表徵方式與教學策略；4.課程知識；5.評量知識；6.情境與 文化之知識。巨觀學科教學知識的範疇則源自於教師的學科知識、一般教學 知識、課程知識、評量知識、學生知識、學校情境與文化之知識等領域知識 之融合產物。 陳國泰（2006）認為，特定學科進行教學時所應具有的專門教學法及特 定知識，這類知識融合了學科內容知識和教學法知識，亦即教師除了具備該 學科的內容知識與特定問題的理解之外，也能針對學生不同的能力、興趣和 先備知識，並考量教材的編排方式、教學原理及教學資源等，對學習材料進 行組織與調整，以利教學進行。 林碧珍（2001）從數學學科觀點認為，數學教學知識是數學知識和教學 知識的整合，其整合的知識大於部份之和，並非單純的將數學知識和教學知 識相加在一起，數學教學知識包含數學內容、數學的教學和學習知識。 陳彥廷（2013）採用 Marks（1990）的觀點，認為數學教學知識包含特
定主題的知識（Subject Matter Knowledge, SMK），數學教學知識是一個綜合
許多面向而組成的知識（Abell, 2008），教師所擁有數學教學知識的層次取 決於個人內心中數學教學知識組成面向的整合程度；而且，教師的知識是無 法脫離所處的情境脈絡，這些知識是在活動、文化與脈絡交互作用下發展與 改變（Frnnema & Franke, 1992）。
從上述觀點可知，教師的數學教學知識所包含的層面相當多元，想要成 為優秀的教育人員，就必須同時隨時提升自我成長，積極學習並改進自我教 學能力與技巧。然而，每一個面向都具有影響教學成效的可能性，因此，本 研究為因應探討二位個案教師數學教學知識的主題，因此，將更聚焦於數學 教學知識的探討。
22 三、教師數學教學知識的內涵與整合 （一）教師數學教學知識的內涵 針對教師的數學教學知識，國內外學者分別提出各種不同的架構。鍾靜 （2012）彙整各家的論述，發現教師的專業知能包含許多面向，詳細資料如 表 2-2-2 所示。一般而言，數學教師的專業知能架構類別包含數學內容知識、 一般教學知識、數學教學知識、數學課程知識、學習者認知知識、情境脈絡 知識、教學評量知識、以及數學教師信念（鍾靜，2012）。 表 2-2-2 不同學者之數學教師專業知能架構 數學 內容 知識 一般 內容 知識 數學 教學 知識 數學 課程 知識 學習 者數 學認 知識 情境 脈絡 知識 教學 評量 知識 數學 教師 信念 Fennema & Franke
(1992) ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ Thompson（1993） ⌵ Cochran,DeRuiter & King（1993） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ Kilpartick, Swafford & Findell（2001） ⌵ ⌵ 林碧珍（2000） ⌵ ⌵ ⌵ 吳明崇（2003） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ 許德田與張英傑 （2004） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ 劉曼麗（2006） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ NCTM（1991）在『數學教學專業標準』一書中提到，教師在教數學學 科時應具備五種知識能力：1.對教學材料與資源理解的能力；2.表達數學概 念和過程的知識；3.組織教學策略與課堂模式的知識；4.促進課堂互動與培 養數學意識途徑的知識；5.評估學生數學理解的知識。Fennema 和 Franke (1992)提出「在脈絡中發展的數學教學知識」的觀點，如圖 2-2-1 所示，他
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們認為教師在進行數學教學時，必須事先具備數學知識、教學知識、信念及 對學習者數學知識的基本了解，針對特定的脈絡知識，教師將這些基本要素 融會貫通並實施於教學中，即具備完善的數學教學知識。
圖 2-2-1 Fennema & Franke (1992)所提的「在脈絡中發展的數學教學知識」
Ball 與 Rowan（2004）從數學教學實作過程中檢視教師所使用的知識， 並深入了解教學中所需要的教學知識以及這些相關知識如何被教師使 用， 因此，提出數學教學知識模型，如圖 2-2-2 所示，認為教師進行數學教學時
會使用的知識包括兩大類別：學科內容知識（SMK）與學科教學知識（PCK），
其中學科內容知識包含特殊內容知識（specializes content knowledge, SCK）、 一般內容知識（common content knowledge, CCK）、數學水平內容知識
（horizon content knowledge, HCK）；而學科教學知識則包含內容與學生知識
（knowledge of content and student, KCS）、內容與教學知識（knowledge of
content and teaching, KCT）、內容與課程知識（knowledge of content and
24 圖 2-2-2 數學教學知識 資料來源：鍾靜、張淑怡、陳幸玫、陸昱任、戴昆邦（2012）。 國小數學教師專業標準之建構。科學教育學刊，20，217-239 陳彥廷（2013）綜合各學者之觀點，將教師的數學教學知識內涵分為五 個面向：1.課程與目標知識：教師能理解數學單元概念、課程架構、教學目 標與資源等相關知識、2.學科內容知識：教師能理解單元的概念與運算法 則、學生學習此單元前的先備知識及在此單元中可能產生的迷思概念、3.教 學策略知識：教師能擁有教學過程中所需的一切教學策略知識、4.教學表徵 知識：教師具備教學過程中可能使用的活動、示範、說明，以幫助學生學習 的知識、5.學習成效評估知識：教師能運用適當的評量方式評估學生的學習 成效。
25 表 2-2-3 教師數學教學知識面向彙整 數學 內容 知識 一般 內容 知識 數學 教學 知識 數學 課程 知識 學習 者數 學認 知識 生活 (情境) 脈絡 知識 教學 評量 知識 數學 教師 信念 Fennema & Franke
(1992) ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ Thompson（1993） ⌵ Cochran,DeRuiter & King（1993） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ Kilpartick, Swafford & Findell（2001） ⌵ ⌵ 林碧珍（2000） ⌵ ⌵ ⌵ 吳明崇（2003） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ 許德田與張英傑 （2004） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ 劉曼麗（2006） ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ ⌵ 陳彥廷（2013） 學科內容 知識 教學 策略 知識 課程 目標 知識 教學 表徵 知識 學習 成效 評估 知識 本研究採用之 觀察面向 學科內容 知識 教學 策略 知識 課程 目標 知識 教學 表徵 知識 生活 脈絡 知識 學習 成效 評估 知識 資料來源：陳彥廷（2013），二位國小教師數學教學知識之比較 由表 2-2-3 觀察發現，各家學者所提出數學教師教學觀察面向大同小 異，本研究之觀察主軸建立在個案教師數學教學知識整合的情形，所以，將 以陳彥廷（2013）所提出之教師數學教學知識觀察面向為依據，因為，學科 內容知識面向實質內涵數學內容知識與一般內容知識。然而，學科教學知識 是動態的，教師教學知識是在活動、文化與脈絡交互作用下發展與改變中轉 化為學生能接受的知識（Frnnema & Franke,1992），教師的知識是無法脫離
所處的情境脈絡，吳明崇（2003）、許德田與張英傑（2004）、劉曼麗（2006）
提出之數學教師專業知能架構標準中，也加上情境脈絡為觀察面向。研究者 認為，情境脈絡知識亦是數學教師所應具備的教學知識，故於後續課室觀察 也納入此面向。因此，本研究之二位數學教師教學知識之比較所觀察的面向
26 為：課程目標知識、學科內容知識、教學表徵知識、教學策略知識、學習成 效評估知識、生活脈絡知識。 （二）教師數學教學知識的互動與整合 過去檢視教師所具備的數學教學知識之相關研究，大多以建立相關知識 面向，或以對應指標建構，這是以靜態的觀點檢視教師具備專業知識的狀態 （陳彥廷，2013）。然而，林碧珍（2001）認為數學教學知識是數學知識和 教學知識的整合，其整合的知識大於部份之和，並不是單純的將數學知識和 教學知識相加在一起（鍾靜，2012）。隨著教學不斷的進行，教師的教學知 識亦將隨之不斷與其他知識互相連結、統整，進而演化成為具有個人風格之 教學知識。Krauss, Brunner, Baumert, Blum, Neubrand, 和Jordan（2008）針對 數學教師的學科內容知識與學科教學知識做比較，發現教師個人所擁有的學 科內容知識與學科教學知識的連結程度將影響數學專業之程度。此觀點與陳 彥廷（2013）所提出之「探究教師學科教學知識，就無法脫離學科內容知識」 的觀點相應和，也符合教師的學科教學知識是隨著教學之進行而呈現動態的 整合的意義。 Park 和 Chen（2012）認為，學科教學知識將逐漸衍生兩種研究取向， 一是探究學科教學知識之某一面向的知識如何影響其他面向的知識；二是檢 視學科教學知識之某個面向知識與整體學科教學知識之間的關聯。Abell （2008）針對教師對學生理解的知識如何影響教學策略知識進行探究、Cohen 與 Yarden（2009）探究教師的特定主題的課程知識如何影響教學策略知識、 Clermont, Krajcik 與 Borko（1993）的研究發現教師對學生在特殊主題先備 知識、學習困難及推理類型的理解影響其學科教學知識的發展、Matese （2005）的研究指出，教師的評量知識影響其教學知識與實務、Hashweh （2005）認為，在研究學科教學知識領域上，應該更深入去探究學科教學知 識的所有面向彼此之間的互動情形，而這些互動情形如何以教師的教學實
27 踐。
根據以上論述，Park 和 Chen（2012）進一步提出「學科教學知識成分 整合歷程圖」（Integration of the components of Pedagogical Content
Knowledge），藉以分析教師的學科教學知識各面向之間的整合在特定主題教 學過程中所呈現的情形。此歷程圖之分析，是先依據該研究團隊所發展的學 科教學知識面向，以個案教師進行教學過程中的學科教學知識事件為單位， 進行個案教師在教學中每個學科教學知識事件所涉及的學科教學知識面向 分析，最後再以此分析內容分類繪製成教師在特定主題教學的「學科教學知 識成分整合歷程圖」。以下將針對其詳細相關步驟進行說明： （一）切割教學過程中的學科教學知識事件 首先，Park 和 Chen（2012）先建構學科教學知識面向，再從個案教師 的教學影帶中將其教學行為進行事件的切割，事件切割的判斷準則為： 1.教師在教學過程中呈現二個或多個面向整合的歷程，是教師學科教學 知識的展現。 2.在一個教學片段中顯示同時涉及二個或多個學科教學知識面向時，稱 為一個學科教學知識事件。 3.學科教學知識事件可以從教師與學生的互動行為中看見，顯示學科教 學知識的面向在學科教學知識事件中的互動與整合。 （二）確認每個學科教學知識事件中學科教學知識面向的出現次數與整合 學科教學知識事件中學科教學知識面向整合過程的描述，資料來自於課 室觀察與個案晤談與相關文件。當研究者確認學科教學知識的面向在一個學 科教學知識事件中被整合時，就紀錄學科教學知識各面向出現的次數，並關 注這個學科教學知識事件之中還有哪些學科教學知識面向出現，計算出學科 教學知識事件中學科教學知識面向出現的次數，及此事件中還有哪些學科教 學知識面向被整合。
28 （三）繪製教師教學過程之「學科教學知識成分整合歷程圖」 Park 和 Chen（2012）在分析完成每個學科教學知識事件中的學科教學 知識各面向後，根據其建構之學科教學知識面向，將同一個學科教學知識事 件所涉及的學科教學知識面向畫上連結線，圖 2-2-2 為 Park 和 Chen（2012） 研究某一位個案教師在一堂課室教學中所呈現的學科教學知識各面向知識 的整合情形。圖中各面向旁的數字代表該面向在教學過程中出現的次數；連 結線上出現的數字代表在教學過程中產生連結的次數。當面向與面向之間的 連結次數愈多，連結線就會愈粗，最後，教師在該單元教學的學科教學知識 歷程圖即形成。 本研究將以 Park 和 Chen（2012）分析教師進行教學呈現的學科教學知 識整合歷程圖為依據，以陳彥廷（2013）所開發之國小教師數學教學知識知 覺量表及其架構為分析面向參考，並加入生活脈絡知識面向，探究兩位國小 高年級數學教師在進行數學教學時呈現的數學學科教學知識整合情形。 圖 2-2-3 個案教師的學科教學知識整合歷程圖
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第三節 教師數學教學知識的相關研究
自從 Shulman 提出學科教學知識的概念後，國內外有關學科教學知識之 相關研究已在各學科領域引發討論。本節的重點主要在回顧學科教學知識在 各領域之研究，其內容包括學科教學知識發展、學科教學知識與課室教學、 專家與生手之學科教學知識、數學教學知識內涵： 一、學科教學知識發展之相關研究 有關學科教學知識的相關文獻眾多，研究者將所蒐集與學科教學知識發 展之相關研究彙整為表 2-3-1，以利探討： 表 2-3-1 學科教學知識發展之相關文獻彙整 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 Gess-Newsome 和 Lederman （l993） 職前 生物 教師 探究職前生物教師的學 科與教學知識之改變情 形 1.職前生物教師的記憶中已不存在 完整學科知識架構圖。 2.職前生物教師之專業知識容易受 教學、自我反省、及所修課程等 經驗影響而不穩固。 Lederman 和 Latz（1993） 職前 理化 教師 探究職前理化教師經過 一年（第五年）的師資培 育課程後，其學科知識與 教學知識架構之發展與 改變。 1.個案教師的學科知識並未改變， 但教學知識的部份則越變越複 雜，尤其是在有關學生的部份， 如：動機、學習型態、與學生的 關聯性等，和教師有關的項目， 如：朋友、諮商員、責任等。 2.教學知識架構由原來的簡單線形 轉變為複雜的網狀架構。 3.教學知識架構中心圍繞在學生及 學生關心的事項上。 4.職前理化教師並未具備統整的學 科知識或教學知識。30 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 Lederman, Gess-Newsome, 和 Latz(l994) 職前 科學 教師 以晤談和問卷的方式探 究十二位科學教師經過 一年的師資培育課程，其 學科知識與教學知識結 構的發展與改變。 1.參與者在研究初期的知識架構大 都為線型，且名詞間少有連結。 2.經過實習教學後，參與者不論在 學科知識或教學知識架構都易於 改變。 3.參與者認為學科與教學知識會影 響其課室教學。 Tuan, Jeng, Whang 和 Kaou（1995） 職前 化學 教師 探究三位職前化學教師 在最後一年的大學實習 課，其學科知識、教學知 識與學科教學知識的本 質、發展與影響其發展之 因素。 影響教師學科教學知識發展的 因素為教師本人對學科、教學與學 科教學知識的偏好，教師的反省與 行動的能力，與教師本身教學經驗 的貧乏。 高榮成， 段曉林（1995） 實習 化學 教師 探究一位大五化學教師 在一年國中理化教學的 實習階段間，其學科教學 知識的發展。 1.個案教師的概念呈現方式屬於接 受中心的概念達成模式。 2.個案教師的學科知識部份不但沒 有增加，反而因所教授學生的程 度不高而趨於簡化。 由表 2-3-1 學科教學知識發展之相關研究結果，得知，Gess-Newsome 和 Lederman（l993）發現職前教師的專業教學知識非常不穩固，容易受教學 活動、自我反省及所學課程影響；Lederman 和 Latz（1993）更提出職前教 師並未具備統整的學科知識或教學知識。Lederman, Gess-Newsome,和 Latz(l994)探究上述研究結果之影響因素，發現職前教師都認為學科與教學 知識會影響其課室教學。高榮成、段曉林（1995）進一步發現，職前教師在 實習階段中，學科教學知識不但沒有增加，反而因所教授學生的程度不高而 趨於簡化。Gess-Newsome 和 Lederman（l993）、Lederman 和 Latz（1993）、
Lederman, Gess-Newsome,和 Latz（l994）、Tuan, Jeng, Whang 和 Kaou
（1995）、高榮成，段曉林（1995）都主張，職前與初任科學教師其學科教 學知識的發展深受所教授的對象與情境之影響。
31 綜合以上論述，發現，職前教師的學科教學知識在教學現場的表現， Gess-Newsome 與 Lederman，高榮成、段曉林（1995）都認為非常不穩固， 而且容易受外在因素（例如學生程度）而漸趨簡化。所以，學科教學知識的 發展容易被所教授的對象與情境影響。本研究二位個案教師雖然是現職教 師，其學科教學知識在教學活動中的整合情形為何，二位教師已有多年教學 經驗，是否仍會出現如職前教師在實習階段中，學科教學知識不但沒有增 加，反而因所教授學生的程度不高而趨於簡化（高榮成、段曉林，1995）的 情形，是本研究關注的焦點。 二、學科教學知識與課室教學之相關研究 Shulman 強調學科教學知識，是教師在面對特定單元與特定學生時，其 學科知識的表徵方式與概念改變的教學策略等內涵之知識。 Brickhouse（1990）主張，教師對於自然科學認知會表現在其教學中， Magnusson, Borko, Krajcik,和 Layman（1992）提出教師的學科與教學知識和 學生知識具有關聯，如果教師的學科知識很好，而且能有充分的機會展示， 則學生的學科知識有所進展。林曉雯（1994）認為，教師因為教學經驗資深， 所以具有非常豐富的教學表徵。邱美虹（1998）發現，教師的學科教學知識 與其在教室觀察中所獲得的教學表現，在課程知識、教學策略與教學目標知 識、學科知識、教學情境知識、對學生的知識五個面向中呈現一致性。劉麗 玲（2000）的研究結果反映出，教師能自行創造與利用資訊科技媒材等教學 資源來擴展其教學表徵，並透過與同事討論、與專家學者研究，發展出新的 教學表徵。 Brickhouse（1990）建議探究教師的科學信念和教學策略，以瞭解教師 的科學信念如何轉換為學科教學知識，進而表現在實際教學中來影響學生的 學習。林曉雯（1994）則提出影響個案的教學表徵知識因素包括教師的學科
32 教學知識，學科知識與教師的教學信念。邱美虹（1998）認為一位具有豐富 的學科教學知識的教師，會隨時藉由自我反省來調整教學，整合個人的學科 教學知識，建構出適合學生學習的教學表徵。 研究者蒐集「教師的學科知識如何影響教師之課室教學」之相關文獻， 來探討教師在課室教學中如何表現其學科教學知識，資料彙整成表 2-3-2： 表 2-3-2 學科教學知識與課室教學之相關文獻彙整 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 Brickhouse （1990） 理化教師 兩位有經驗的 教師與一位新 老師 探究三位理化教 師（兩位有經驗的教 師與一位新老師）所 具有的科學本質的看 法如何影響到他們的 課室教學 1.教師對於自然科學的看法可 能表現在其教學中。 2.教師對於科學家如何的應用 科學知識與其對於學生該如 何的學習科學之態度一致。 Magnusson, Borko, Krajcik,& Layman (l992) 自然科教師 探究教師的學科與 教學知識和學生知識 的關聯。 1.當教師的學科知識很豐富，但 能展示的機會不多時，學生 的學科知識並沒有增加。 2.如果教師的學科知識很好且 能有充分的機會展示，則學 生的學科知識有所進展。 3.教師的學科知識不足而能展 示的機會非常的多，則學生 的學科知識不但沒有增加反 而有錯誤的概念形成。 林曉雯 （1994） 國中生物教師 探究一位資深的國 中生物教師之教學表 徵。 1.個案教師的教學表徵方式計 有類比、隱喻、因果說明、 展示說明、示範說明、問題 討論等，個案教師深具教學 經驗，且具有非常豐富的教 學表徵。 2.影響個案的教學表徵知識則 包括教師的學科教學知識 （包含關於生物教學目標的 知識，關於學生學習生物的 知識，以及教學表徵的知 識），學科知識與教師的教學 信念。 邱美虹 （1998） 國中資深理化 教師 探討一位國中資深 理化教師的學科教學 知識。 1.由晤談中獲得個案教師的學 科教學知識與其在教室觀察 中所獲得的教學表現，五個 面向中有一致性； 2.影響個案教師的教學因素除 了上述五個面向外，自我反
33 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 省的因素扮演重要的角色。 3.這些知識面向彼此互相影 響，一位具有豐富的學科教 學知識的教師，會隨時藉由 自我反省來調整教學，整合 個人的學科教學知識，建構 出適合學生學習的教學表 徵。 劉麗玲 （2000） 資深的國中理 化教師 探討教師的教學表 徵類型、來源、新表 徵的發展、影響教學 表徵之教師知識的內 涵和學生對教師教學 的感受等。 1.個案教師能自行創造與利用 電腦網路教學資源來擴展其 教學表徵。 2.個案教師能透過與同事討論 、與專家學者研究，發展出新 的教學表徵。 綜合各學者之觀點，發現，教師的學科知識深深影響課室教學活動的成 效，一位優秀的教師應具備豐富的學科知識，並願意隨時自我調整教學策 略、整合個人的學科教學知識，建構出適合學生學習的表徵知識，以達成有 效的教學活動。本研究的目的即希望透過課室觀察，了解二位個案教師的學 科教學知識的整合情形。 三、專家與生手之學科教學知識之相關研究 專家教師與生手（初任）由於教學經驗上的不同，其學科教學知識的呈 現因此出現差異，許多學者針對此議題進行研究，研究者依據蒐集之相關文 獻彙整成表 2-3-3： 表 2-3-3 專家與生手之學科教學知識之相關文獻彙整 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 Grossman （l989） 未受過完整 師資教育的 碩士學位初 任教師，與 受過完整師 資訓練的教 師 未受過完整師 資教育的碩士 學位初任教 師，與受過完 整師資訓練的 教師其學科教 學知識表現 1. 未受過完整師資教育的碩士學位初任教師，比 受過完整師資訓練的教師更常忽略學生的需 要。 2.受過完整師資教育的初任教師能注意學生的 需要，但是對於學生先備知識、學生程度、能 力的瞭解仍然會忽略，在教學中也難以決定最 適當的步驟。
34 研究者 研究對象 研究內容 研究結果 Cochran, DeRuiter 和 King （1993） 生手教師 P.C.K.發展的 研究 1.生手教師依賴的學科內容知識是取自於教材 與課程指引中，經常是未曾組織成完整的架 構。 2.生手教師經常使用廣泛的教學策略，但是卻忽 略學生的先備知識、學生的能力或是學習策 略。 Geddis (1993) 初任教師與 有經驗教師 初任與有經驗 教師教授同位 素單元時其學 科教學知識的 本質。 1. 教師的學科教學知識可分為四類：學生的先前 知識，有效的教學策略，學科的另有呈現方 式，和課程的要點。 2. 初 任教師 不了解學生學習 此單元之先前概 念，常以課本的單元目標為主，舉例不恰當。 3. 初任教師較重視陳述性知識的教導而不重視 概念性知識的教導。 4. 初任教師能以正確的方式呈現事實的概念教 學，而有經驗教師則會考量學生的需求使用假 設的數據教學。 5.初任教師對於如何轉換課程中的主題，以配合 學生的需求，較有經驗教師缺乏，造成所教授 的主題過於深入，不符合學生的需求。 Clermont, Borko 和 Krajcik （l994） 生手教師與 有經驗教師 探究有經驗與 生手的化學教 師的學科教學 知識之差異。 1. 有經驗的教師較生手教師擁有較廣而豐富的 教學表徵庫，因此教學上能做深入的討論並提 供不同的教法。 2.有經驗的教師較生手教師能提供更多示範活 動中的變異性，這是轉移學科知識的過程 （Shulman,1987），顯示能認知到示範活動系 統的複雜性，且了解這些複雜性可能干擾學生 的學習。 3.有經驗的教師相對於生手教師較重視探究式 的示範教學，且較重視概念解釋的正確性。 邱美虹、 江玉婷 (1997) 初任與資深 地理教師 出任與資深國 中地球科學教 師學科教學知 識之比較 1.資深教師比初任教師能呈現完整的學科知識。 2.資深教師教能預知學生的學習困境而做出適 當的解釋。 吳青蓉 、 張景媛 (1997) 以 2 位專家 教師與 2 位 生手教師為 對象 英語科專家與 生手教師課堂 教學之研究 1.專家教師：能依教學情境的需要適時調整教 學；採用鼓勵方式激發學生的學習動機及學習 意願；會設法培養學生在聽、說、讀、寫各方 面簡單的語文能力；對於自己的教學較有自 信； 2.生手教師教學上缺乏變化與彈性。常運用較多 的口頭警告與責備，提醒學生要專心學習。以 考試教學為主，在學生溝通、會話和用語能力 的培養上較少。多以學生的成績表現來衡量自 己的教學。
