個案教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合

是「柱體體積」。「柱體體積」單元包含「數與量」、「幾何」、「代數」概念，

涉及的能力指標為：能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積、能利 用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題、能用中文簡記式表示圓面積、圓周 長與柱體的體積公式、能利用常用的數量關係，列出適當的算式，進行解題，

並檢驗解的合理性。本節，將依序分析二位個案教師在此單元的數學教學知 識整合情形：

一、阿亮教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合

在「柱體體積」單元的教學中，阿亮老師在第一節課是利用現有的教具 附件引起動機、引導正方體體積算法、長方體體積計算方式、以紙張堆疊體 驗體積變化、推論以 1 公分高堆疊的體積、歸納長方體體積的算法、正方體 體積的算法、複習平行四邊形底面積、延伸底面為平行四邊形的柱體體積計 算公式、由底面是平行四邊形的柱體體積推論三角柱體積、以例題求三角柱 體積。第二節則複習三角柱體積公式、討論不同列式的意義、解說梯形面積 公式、引導出梯形柱體體積公式、找出圓柱體中的體面積和高之間的垂直關 係、複習圓面積的公式由來、推論出圓柱體體積算法、複習柱體體積計算法 為底面積乘以柱高、介紹複合圖形體體積計算方法。第三節複習圓面積公 式、利用例題練習找出柱體的高、空心容器體積的計算方式、分析兩種計算 方法的差異、強調容器體積計算要扣掉兩側厚度。第四節複習中空柱體體積 算法、利用題目操作練習、變換題型計算有底部的中空容器體積、歸納不同 形體容器的體積算法。第五節則複習各種形體的體積計算方式、利用例題實

85

86

圖 4-3-1 阿亮於「柱體體積」單元教學的數學教學知識整合歷程圖

在「柱體體積」單元的教學過程中，阿亮老師數學教學知識整合分布概 況為：「課程與目標知識」出現 11 次（約佔 5.9％）、「學科內容知識」出現 39 次（約佔 20.7％）、「教學策略知識」出現 41 次（約佔 21.8％）、「教學表 徵知識」出現 38 次（約佔 20.2％）、「學習成效評估知識」出現 34 次（約佔 18.1％）、「生活脈絡知識」出現 25 次（約佔 13.3％）。其中，以教學策略知 識出現的次數最多，以課程與目標知識出現的次數最少。而透過「數學教學 知識整合歷程圖（圖 4-3-1）」觀察，各數學教學面向的整合為：「課程與單 元目標」與「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」、「學習成 效評估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合連結次數分別為 9 次、10 次、8 次、9 次、7 次；「學科內容知識」與「教學策略知識」、「教學表徵知 識」、「學習成效評估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合分別為 33 次、

35 次、31 次、25 次；「教學策略知識」與「教學表徵知識」、「學習成效評 估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合連結次數分別為 36 次、32 次、

87

88

教學中的數學教學知識整合中，「教學策略知識」面向整合次數高達 41 次的 現象。

在「數學教學知識整合歷程圖」中亦發現，阿亮老師在「學科內容知識」、

「教學策略知識」、「教學表徵知識」與「學習成效評估知識」面向之間的整 合情形很頻繁，我們試著從師生的對話中找出跡象：

師：……小朋友我們算柱體體積要先算什麼東西?

眾：底面積

師：所以你要想辦法找出那柱體的底面積在哪裡。好小朋友現在我們來看第 一題，我們請問三角柱他體積怎麼算?

眾：底面積乘以柱高

師：好現在請你筆放下手背後面眼睛看我謝謝，小朋友底面積乘以柱高對不 對？很明顯底面積一定是三角形對不對？現在有個困難來了，他這樣擺到

底誰是底誰是高？小朋友記不記得我們底跟高他有一個什麼關係？

眾：直角

師：垂直關係，所以你只要認這個角，請看這垂直符號的兩邊才是他的底跟 高。如果把他換一個方向畫的話他其實就是長這樣，這邊是12這邊是5這邊

是13，可是你不能要求所有的形體全都擺得這麼漂亮對不對?所以你自己找 垂直的符號在這邊，他也有可能是長這樣啊。所以你面積的話底乘高除以 二然後再乘柱高...柱高是多少?

生：15

師：這樣算出來多少?

眾：四百五十

師：A 答四百五十單位是立方公尺。

（柱體體積 601 亮 0325E15）

進行新單元教學，要教新概念之前一定會利用舊經驗引導，再慢慢帶入解 題目標，尤其是體積這種計算過程較多、較複雜的題型，舊的不會，新的 就教不下去了。……邊解題邊評估學習成效，才能知道要不要在多做說 明…… （亮-Ⅱ-前晤-1-2）

從阿亮老師在「柱體體積」單元教學的事件 15 觀察紀錄中發現，「學科 內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」與「學習成效評估知識」面 向很流暢的被整合。由晤談資料（亮-Ⅱ-前晤-1-2）得知：「要教新概念之前 一定會利用舊經驗引導」（學科內容知識）是阿亮進行新單元教學的初始作 為，「慢慢帶入解題」（教學表徵知識）及「邊解題邊評估學習成效」（教學 策略知識）（學習成效評估知識）在教學進行中很自然地被運用。

89

二、小孟教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合

在「柱體體積」單元教學，小孟老師第一節先以生活經驗引入介紹生活 中的與體積有關事物引起動機、討論物體體積的所占空間的實際問題、購買 物品時的消費概念問題、複習計算體積的舊經驗、說明立體概念討論層疊問 題進而引出物體體積的概念與體積單位的正確寫法、『高』的概念引導、介 紹生活中的四角柱、三角柱、圓柱體積，並引導柱體體積計算方式為『底面 積乘以柱高』；第二節則複習面積計算方法、澄清平行四邊形的『底面積的 高』與『柱高』的差異、練習觀察同底不同位高的柱體體積、計算三角柱與 四角柱的體積、引導不同的體積計算方式、複習梯形面計算方法並練習計算 底面為梯形之四角柱體積、利用題目引導解題技巧、複習圓面積算法並帶入 圓柱體計算方法；第三節複習圓面積與圓柱體計算方法、複習各柱體的體積 計算方法並以題目練習、強調小數計算應注意事項、複合形體的體積計算、

提供多種切割方式觀念以方便計算、介紹空心管柱的體積計算方法；第四節 複習空心管柱的計算方法並提供二種計算方式做選擇、提醒空心管柱的厚度 問題避免計算錯誤、利用分組合作解題練習、介紹空心容器有底部的體積算 法；第五節利用題目複習柱體體積的計算、立即解題並共同訂正、強調解題 前的觀察有助於作答、不因視覺上的錯覺而判斷體積的大小。

研究者根據小孟老師在本單元的教學活動歷程，分別觀察、記錄其在每 一個教學事件中各數學教學知識面向的整合情形，並逐一做成次數統計，再 依據統計表繪製數學教學知識整合歷程圖。其數學教學知識面向整合統計表 如表 4-2-4，數學教學知識面向整合歷程圖如圖 4-2-4 所示：

90

91

圖 4-2-4 小孟於「柱體體積」單元教學中的數學教學知識整合歷程圖

透過「數學教學知識整合歷程圖」的觀察，小孟老師在「柱體體積」單 元教學過程呈現的數學教學知識面向之間的整合互動情形為：「課程與目標 知識」與「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」、「學習成效 評估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合情形分別為 13 次、12 次、12 次、10 次、11 次；「學科內容知識」與「教學策略知識」、「教學表徵知識」、

「學習成效評估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合情形分別為 33 次、

37 次、27 次、24 次；「教學策略知識」與「教學表徵知識」、「學習成效評 估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整合情形分別為 30 次、24 次、19 次；

「教學表徵知識」與「學習成效評估知識」、「生活脈絡知識」面向之間的整 合情形分別為 26 次、19 次；「學習成效評估知識」、「生活脈絡知識」面向 之間的整合情形為 17 次。由「數學教學知識整合歷程圖」中的數據得知：

小孟老師於「柱體體積」單元的教學歷程中，其數學教學知識的整合概況以

92

93

知識），並運用引導討論（教學策略知識）的方式，讓學生進行思考並解決 問題。在教學活動進行中，小孟老師會隨時提醒學生比較過去與現在所學的 概念內涵間的關係，針對待解問題的目標不斷提示學生關鍵字句。這樣的數 學教學整合歷程，小孟老師在教學後的晤談中也談到，「為了幫助學生能有效解 決問題，所以我會不厭其煩的一直重複提醒，面積公式是什麼…（孟-Ш-後晤-1-2）」， 此 結果顯示，小孟老師在此事件的數學教學知識面向整合，能將「學科內容知 識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」與「學習與評估知識」等四個面向 流暢的整合。

三、二位教師在「柱體體積」單元中數學教學知識整合之相同性分析 本研究觀察二位個案教師在「柱體體積」單元中的數學教學知識整合情 形，整理出二位教師所呈現相同之處，說明如下：

（一）「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」、「學習成效評 估知識」為主要整合面向

從二位個案教師的數學教學知識整合數據發現，二位個案教師都是以

「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」與「學習成效評估知 識」為主要整合面向。透過教學事件分析，二位個案教師都是依據課本的例 題作為上課的佈題（教學策略知識）依據，以引導討論的方式進行教學（教 學策略知識），課本上每一頁的「做做看」即為評量試題，教師會以行間巡 視檢視學生的作答狀況，也同時請部分學生上台習寫（學習成效評估知識），

「學科內容知識」、「教學策略知識」、「教學表徵知識」與「學習成效評估知 識」為主要整合面向。透過教學事件分析，二位個案教師都是依據課本的例 題作為上課的佈題（教學策略知識）依據，以引導討論的方式進行教學（教 學策略知識），課本上每一頁的「做做看」即為評量試題，教師會以行間巡 視檢視學生的作答狀況，也同時請部分學生上台習寫（學習成效評估知識），