2−1 因數與倍數
本節課程學習重點： ◎辨識質數與合數，並能判別2、5、4、9、3、11 的倍數。 ◎能檢驗1 到 100 的數，哪些是質數，哪些是合數。 ◎能理解埃拉托賽尼的方法並找出小於100 的所有質數。 ◎知道正整數的質因數，並能做質因數分解。 一、因數與倍數： 對於 a、b、c 三個整數，b≠0，若滿足 a＝b×c，則 a 是 b 和 c 的倍數；b 和 c 是 a 的因數。 【說明】由42÷6＝7，可知 42 可以被 6 整除，就說 42 是 6 的倍數，或說 6 是 42 的因數； 由 42＝6×7，可知 42 是 6 和 7 的倍數，或說 6 和 7 是 42 的因數。 【觀念釐清】(1)正整數與其相反數的正因數相同，且每個正因數的相反數也恰好是這個正整數的因數。 (2)在國中數學中，如果沒有特別指明，因數是指正因數，倍數是指正倍數。 練習1：(1) 196 是否為 24 的倍數？ (2)判斷下列各數中，哪些是 132 的因數？ 1、3、8、22、58 練習2：請分別寫出 12 和－12 的正因數與負因數。 【觀念釐清】(1) 1 是任何整數的因數；任何整數都是 1 的倍數。 (2) 0 不是任何整數的因數；0 是任意不為 0 的整數的倍數。 【說明】(1)因為每一個整數 n 都可寫成 n＝1×n，所以 1 是任何整數的因數，或任何整數都是 1 的倍數。 (2)因為 0 不能當除數，所以 0 不是任何整數的因數； 又 0＝1×0＝2×0＝3×0＝…＝(－1)×0＝(－2)×0＝(－3)×0＝…，則 0 是任意非零整數的倍數。 練習3：將正整數 N 的所有正因數由小到大排列如下：1、a、b、c、6、12、d、26、e、f、g、N 。 則(1)此正整數 N 為多少？d 為多少？ (2)寫出 N 的所有因數。 練習4：除了 1 以外的所有正整數，是否都恰好有偶數個因數？如果不是，請舉出不是的例子。練習5：若 24 可以分解成 a×b，其中 a、b 為正整數且 a＋b＝10，則 a、b 兩數各為多少？ 練習6：若 48 可以分解成 c×d，其中 c、d 為正整數且 c－d＝2，則 c、d 兩數各為多少？ 練習7：若 n 是正整數，且 30 n 也是正整數，則 n 可能是多少？ 練習8：若 n 是正整數，且 21n 也是正整數，則 21n 最大是多少？最小是多少？ 二、倍數判別法： ◎ 2、5 的倍數判別法： (1)如果一個整數的個位數字是 0、2、4、6、8，那麼這個數一定是 2 的倍數；否則就不是 2 的倍數。 (2)如果一個整數的個位數字是 0 或 5，那麼這個數一定是 5 的倍數；否則就不是 5 的倍數。 【觀念釐清】一般稱2 的倍數為偶數，不是 2 的倍數為奇數。 練習9：若五位數 1893□是 2 的倍數，也是 5 的倍數，則□可以填入哪些數？ 練習10：設 a 是四位數 946□，試回答下列問題： (1)若 a 是 5 的倍數，也是 2 的倍數，則□可以填入哪些數？ (2)若 a 是 5 的倍數，但不是 2 的倍數，則□可以填入哪些數？ 練習11：(1)如果一個整數是 10 的倍數，則此數是否一定是 2 和 5 的倍數？ (2)五位數 13□93 被 2、5 除後的餘數分別是多少？
【觀念釐清】由乘法對加法的分配律 a×c＋b×c＝(a＋b)×c，可知： 當甲＝a×c 是 c 的倍數、乙＝b×c 是 c 的倍數時，則甲＋乙＝(a＋b)×c 也是 c 的倍數。 ◎ 4 的倍數判別法： 如果一個整數的末兩位數是 00 或 4 的倍數，那麼這個整數就是 4 的倍數；否則就不是 4 的倍數。 【說明】判別324 是否為 4 的倍數？ 因為 4 324= ×3 100+24 的倍數 ，所以由24是4 的倍數，可知 324 是 4 的倍數。 練習12：(1)判別 1998 是不是 4 的倍數。 (2)若五位數 5216□是 4 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習13：(1)判別 2528 和 39500 是不是 4 的倍數。 (2)若五位數 864□2 是 4 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習14：六位數 32□□56 被 4 除後的餘數是多少？ ◎ 9 的倍數判別法： 如果一個整數的各個數字和是 9 的倍數，那麼這個整數就是 9 的倍數；否則就不是 9 的倍數。 【說明】判別225 是否為 9 的倍數？ 因為 9 225= ×2 100+ × + = ×2 10 5 2 (99 1) 2 (9 1) 5 (2 99 2 9) (+ + × + + = × + × + + + 2 2 5) 的倍數 ， 所以由(2+ + = 是 9 的倍數，可知 225 是 9 的倍數。 2 5) 9 練習15：(1)判別 541998 是不是 9 的倍數。 (2)若六位數 24□005 是 9 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習16：(1)判別 111111111 這個數是不是 9 的倍數。 (2)若六位數 283□32 是 9 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習17：求 246005 被 9 除後的餘數是多少，但不要經由 246005÷9 的運算。
◎ 3 的倍數判別法： 如果一個整數的各個數字和是 3 的倍數，那麼這個整數就是 3 的倍數；否則就不是 3 的倍數。 【說明】判別321 是否為 3 的倍數？ 因為 3 321= ×3 100+ × + = ×2 10 1 3 (99 1) 2 (9 1) 1 (3 99 2 9) (+ + × + + = × + × + + + 3 2 1) 的倍數 ， 所以由(3+ + = 是 3 的倍數，可知 321 是 3 的倍數。 2 1) 6 練習18：(1)判別 1997 是不是 3 的倍數。 (2)若六位數 30□010 是 3 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習19：(1)下列哪些數是 3 的倍數？ 528、825、852、258、582、285 (2)判別 123456789 是不是 3 的倍數。 (3)若四位數 4□31 是 3 的倍數，則□中可以填入哪些數？ 練習20：(1)若一個數是 3 的倍數，那麼它一定是 9 的倍數嗎？ (2)求 246005 被 3 除後的餘數是多少，但不要經由 246005÷3 的運算。 ◎ 11 的倍數判別法： 如果一個整數的奇數位數字和與偶數位數字和的差是 11 的倍數或 0，那麼這個整數就是 11 的倍數； 否則就不是 11 的倍數。 【說明】判別56419 是否為 11 的倍數？ 因為56419= ×5 10000+ ×6 1000+ ×4 100+ × +1 10 9 11 5 (9999 1) 6 (1001 1) 4 (99 1) 1 (11 1) 9 (5 9999 6 1001 4 99 1 11) (5 4 9) (6 1) = × + + × − + × + + × − + = × + × + × + × + + + − + 的倍數 所以由 (5 4+ + − + = 是 11 的倍數，可知 56419 是 11 的倍數。 9) (6 1) 11 練習21：判別 51370 是不是 11 的倍數。 練習22：判別 1408 和 13579 這兩個數是不是 11 的倍數。
三、質數與質因數： ◎質數與合數：一個大於 1 的整數，除了 1 和本身以外，沒有其他的因數，這樣的數稱為質數。 一個大於 1 的整數，除了 1 和本身以外，還有其他的因數，這樣的數稱為合數。 【觀念釐清】一般規定，1 不是質數也不是合數，所以 2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數。 練習23：判別 9 和 29 分別是質數還是合數。 練習24：判別 57 與 132 分別是質數還是合數？ 練習25：欲將 n 個邊長為 1 的小正方形緊密排列拼成矩形，且不會剩下任何小正方形。則 (1)若 n＝11，可以拼出幾種不同形狀的矩形？ (2)若 n＝12，可以拼出幾種不同形狀的矩形？ (3)若 n＝36，可以拼出幾種不同形狀的矩形？ 練習26：欲將 n 個邊長為 1 的小正方形緊密排列拼成矩形，且不會剩下任何小正方形。若 n 是質數， 可以拼出幾種不同形狀的矩形？ ◎質數的判別：要判別一個正整數是不是質數，要看它能不能被比它小的正整數整除。 【說明】判別17 是否為質數？ 要判別 17 是不是質數，只要看 17 能不能被比 17 小的質數 2、3、5、7、11、13 整除就好， 而 17 不能被它們整除，所以 17 是質數。 練習27：判別 31 是不是質數？ ◎埃拉托賽尼(Eratosthenes)篩檢法：(可找出某個範圍內的質數) 【說明】檢驗1 到 100 中的質數，步驟如下： (1) 1 不是質數，刪去 1。 (2)在所有 2 的倍數中，除了 2 是質數，其他都是合數，所以保留 2，再依序刪去 2 的倍數。 (3)仿照(2)，以同樣的道理，分別保留 3、5、7，再依序刪去 3、5、7 的倍數。 (4)保留 11，刪去 11 的倍數，可以發現 11 的倍數都已經在刪去 2、3、5、7 的倍數時被刪去。 (5)保留 13，刪去 13 的倍數，可以發現 13 的倍數都已經在刪去 2、3、5、7 的倍數時被刪去。 (6)列出到目前剩下的數，並檢驗它們是否為質數。 剩下的數有 2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、 71、73、79、83、89、97，它們都是質數。 【觀念釐清】在1 到 100 的整數中，只要刪去 2、3、5、7 的倍數後，剩下的(25 個)數都是質數。
◎質因數：如果一個整數的因數也是質數，則這個因數就是這個整數的質因數。 例如：18 的因數有 1、2、3、6、9、18，其中 2、3 是質數，所以 2、3 就是 18 的質因數。 ◎質因數分解：每一個合數都可以分解成它的質因數的連乘積，分解的過程稱為質因數分解。 ◎標準分解式：將一個合數做質因數分解，寫成指數的形式，並將底數由小排到大，這樣的表示法 稱為此合數的標準分解式。例如：180＝22×32×5，22×32×5 稱為 180 的標準分解式。 【觀念釐清】72 2 2 2 3 3= × × × × = 2 3×32 質因數分解 標準分解式 。 練習28：寫出 180 的標準分解式。(Hint：短除法) 練習29：寫出下列各數的標準分解式。(1) 91 (2) 150 (3) 1188 練習30：將一個數 a 用短除法做質因數分解的過程如右，請求出 a、b 的值。 練習31：將 1190 用短除法做質因數分解的過程如右，請求出 c、d 的值。 自我評量 1. 有兩正整數，若其積為 63，其和為 16，則此兩正整數分別為多少？ 2. 已知 3415□是五位數，試回答下列問題。 (1)若 3415□是 2 的倍數，則□可以填入哪些數？ (2)若 3415□是 5 的倍數，則□可以填入哪些數？ (3)若 3415□是 4 的倍數，則□可以填入哪些數？ (4)若 3415□是的 9 倍數，則□可以填入哪些數？ (5)若 3415□是 3 的倍數，則□可以填入哪些數？ (6)若 3415□是 11 的倍數，則□可以填入哪些數？ 2 a b 429 11 143 13 2 1190 5 c d 119 17
3. 下列哪些數是 459 的質因數？ 1、2、3、5、6、7、13、17、22 4. 將下列各數寫成標準分解式。(1) 990 (2) 300 (3) 546 5. 將 12×3×57 做質因數分解，並寫出它的標準分解式。 習作 1. 若 n 是正整數，42 n 也是正整數，則 n 可能是多少？ 2. 有兩正整數 a
、
b，若 a×b＝66，則 a＋b 的最大值是多少？最小值是多少？ 3. 將正整數 N 的所有正因數由小到大排列如下：1、2、a、b、c、32、N 。 則此正整數 N 的所有正因數為何？ 4. 已知 814□32 是一個六位數： (1)若 814□32 是 3 的倍數，則□可以是哪些數？ (2)若 814□32 是 9 的倍數，則□可以是哪些數？ (3)若 814□32 是 11 的倍數，則□可以是哪些數？ 5. (1)若五位數 23451□是 2 的倍數，也是 3 的倍數，則□可以是哪些數？ (2)若六位數 12345□是 3 的倍數和 4 的倍數，則□可以是哪些數？6. 下列敘述中，正確的打「○」，錯誤的打「X」。 (1) 2 是最小的質數，也是質數中唯一的偶數。 (2)因為質數 2 與質數 3 的乘積為 2×3＝6，所以 6 也是質數。 (3)正整數中，1 是最小的合數。 (4)如果乙數是合數，則乙數必為偶數。 7. 君君利用短除法做質因數分解時，不小心將作業本弄髒了，經過清理後有些地方(包括要被質因數 分解的數)不見了，如下圖。 (1)請協助君君完成不見的部分。 (2)寫出被分解的數及該數的標準分解式。 2 3330 1665 3 555 5 8. 將下列各數做質因數分解，並寫出其標準分解式及所有的質因數。(1) 432 (2) 34×12 (3) 114345 9. 把 1 大包軟糖分給 17 個小朋友，每個小朋友分到的軟糖一樣多，會剩下 3 顆；同樣的，1 小包軟糖 分給17 個小朋友，每個小朋友分到的軟糖一樣多，會剩下 5 顆。則 (1) 6 大包軟糖分給 17 個小朋友，使每個小朋友分到的軟糖一樣多，會剩下幾顆？ (2) 4 大包軟糖與 1 小包軟糖平分給 17 個小朋友，使每個小朋友分到的軟糖一樣多，會剩下幾顆？ 類題補充 1. 一個自然數除了本身之外，若所有因數的和恰好等於本身，則稱此數為完全數。例如第一個完全數 是 6，6 所有的因數有 1、2、3、6，扣除 6 本身，其它因數的和為 1＋2＋3＝6，恰好等於 6 本身。 則下列何數也是完全數？ (A) 27 (B) 28 (C) 30 (D) 32。 2. 有一個二位數，它可以被 4 整除，而且它的十位數字與個位數字的和為 15，則這個二位數可以被 下列哪一個數整除？ (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 9。
3. 若 98 可分解為 a×b，其中 a、b 均為正整數，則下列哪一個不可能是 a＋b 的值？ (A) 21 (B) 31 (C) 51 (D) 99。 4. 在 1000 以內，能表示成兩個連續偶數乘積的自然數之個數共有幾個？ (A) 15 個 (B) 16 個 (C) 17 個 (D) 18 個。 5. 設 x＝35×36×37×38×…×45，則下列哪個不是 x 的質因數？ (A) 41 (B) 37 (C) 19 (D) 17。 6. 七位數 129□836 的標準分解式為 22×31×…，則□可能為多少？ (A) 1、4、7 (B) 2、5、8 (C) 4、7 (D) 1、4。 7. 五位數 5751□：(1) 若為 33 的倍數，則□＝ 。(2) 若為 19 的倍數，則□＝ 。 8. 若七位數 5674□30 被 11 除的餘數為 2，則□＝ 。 9. 用 1、2、4、7、9 這五個數不重複地排成一個五位數且為 11 的倍數，則其中最大的數為 。 10. 將 96 的所有正因數相乘，得到的積為 96a，則 a＝ 。 11. 有兩質數之差為 161，則這兩質數之和＝ 。
12. 若五位數 485□□的標準分解式為 2a×3b×5c×7d×11e，則此五位數的末二位數為 。
13. 已知 a、b 均為大於 1 的質數，若 a×b＝299，且 c＝a＋b，則 c 的標準分解式為 。
14. 在下列六個整數 320、606、3225、88088、576840、123123 中，有因數 3 的有 a 個，有因數 4 的 有 b 個，是 11 的倍數有 c 個，則 a＋b＋c＝？ (A) 10 (B) 8 (C) 7 (D) 11。 15. 要判斷 197 是否為質數，可用 197 分別除以由小到大的質數 2、3、5、…，看是否能整除來判斷。 以此方法：197 除以 2、3、5、…，最少除到哪一個質數後就可確定 197 是否為質數？ (A) 7 (B) 11 (C) 13 (D) 17。 16. 一數的正因數由小到大依序有 a、b、c、d、6、e、f、g、h，則 (1) b×g＝ 。(2) e－d＝ 。 17. 有 10 個關著的燈泡(開關可切換亮與不亮)，分別編上 1～10 的號碼，第一次把所有 1 的倍數編號的 燈泡切換開關變亮，第二次把所有2 的倍數編號的燈泡切換開關變不亮，第三次把所有 3 的倍數編 號的燈泡切換開關(使亮的變不亮；而不亮的變亮)，如此按照 4、5、6…直到 10 的倍數停止，則最後 有 個燈泡是亮著的。 18. 小蓁買了 60 個蘋果，並將這 60 個蘋果分裝入紙盒中，每個盒子內的蘋果數目都相同。她打算至少 要裝3 盒，且每盒至少裝 6 個蘋果，則共有幾種分法呢？ (A) 4 種 (B) 5 種 (C) 6 種 (D) 7 種。
加強練習 1. 下列何者是 3 的倍數？ (A) 4579 (B) 5690 (C) 7101 (D) 6301。 2. 下列何者不是 4 的倍數？ (A) 4276 (B) 5190 (C) 7160 (D) 6304。 3. 魔法學校的學生學號採八位數編碼方式，其中末兩位數為檢碼，是前面六位數字的因數，則下列何 者不可能是魔法學校的學生學號？ (A) 78932211 (B) 67826404 (C) 59647509 (D) 73345602。 4. 若 p 是質數，使 2p－1 小於 200 且為質數的 p 共有幾個？ 5. 有一個五位數 793□5，試問： (1) 若此五位數除以 22 後餘 3，則□＝ 。(2) 若此五位數為 15 的倍數，則□＝ 。 6. 老師在數學課時找了四位同學玩遊戲，他們的座號分別是 8、18、22、36 號。遊戲規則為 (1) 一開始四位同學都坐下，由老師開始數數。 (2) 當老師數到的數字是自己座號的因數時，必須改變目前的狀態，即坐下的同學必須起立， 起立的同學必須坐下。 則當老師從 1 數到 36 時，有幾位同學是起立的？ (A) 1 位 (B) 2 位 (C) 3 位 (D) 4 位。 7. 將39 3×774×3235 573×1194×1435－ 333×1334×2215 513×914×2095化為最簡分數後，下列何者為分子之因數？ (A) 7 (B) 11 (C)13 (D) 17。 8. 有一個兩位數，它的個位數與十位數的和是 3，而且它也是 5 的倍數，那麼有關這個數的敘述， 下列哪些是正確的？ (甲) 它一定是 3 的倍數 (乙) 它一定是 15 的倍數 (丙) 它一定是偶數 (A) 甲、乙、丙 (B) 乙、丙 (C) 甲、丙 (D) 甲、乙。 9. 若甲＝1×2×3×…×50，乙＝11×12×13×…×50，丙＝21×22×23×…×50，則甲、乙、丙三數的質因數 個數何者最多？ (A) 甲 (B) 乙 (C) 丙 (D) 一樣多。 10. 將正整數 a 分解成質因數乘積的過程如下：a＝23×b＝23×3×c＝23×32×d＝23×32×5×e＝23×32×52×11， 則下列何者不正確？ (A) b＝2475 (B) c＝725 (C) d＝275 (D) e＝55。 11. 試問：646 的最大質因數為何？ (A) 13 (B) 17 (C) 19 (D) 323。 12. 下列哪些數的所有正因數個數為奇數個？ 4、28、32、49、80、144、242 13. 在標有 0、1、3、8 四個不同數字的號碼牌中，任意取出三個牌子，可以組成不同的三位數(例如： 取出1、3、8 三個號碼牌，可以組成 138、183、831…等)，則 (1) 4 的倍數中，可以取出最大的數為 。 (2) 5 的倍數中，可以取出最小的數為 。 (3) 6 的倍數中，可以取出最大的數為 。 14. 如果五位數 5□3□9 除以 11 會餘 5，且□為相同正整數，則□＝ 。 15. 已知二個質數和為 201，則此二個質數乘積為 。 16. 由 1、2、3、4、5、6、7、9 這 8 個數字組成 4 個二位數的質數，且每個數字恰只能用一次，試求 此4 個質數之和。 17. 有一天小山發現他和他姐姐以及兩個雙胞胎弟弟共四人年齡的乘積是 4675，則小山和姐姐差幾歲？ 18. 將 168 人分成若干組，若每組的人數需相等，那麼不可能被分成幾組？ (A) 21 組 (B) 24 組 (C) 26 組 (D) 28 組。 19. 在 1 到 50 的所有正整數中，有 個正整數只有 3 個正因數。 20. 已知「12＝5＋7」可以用兩個質數的和表示，下面四個數 15、18、20、35 中哪一個無法用兩個質數 的和來表示？ (A) 15 (B) 18 (C) 20 (D) 35。 21. 若兩個質數之間只隔一個偶數，則這兩個質數被稱為是一組「孿生質數」，例如：3 和 5、5 和 7。 則哪個選項中的數字不是一組孿生質數？ (A) 11 和 13 (B) 41 和 43 (C) 51 和 53 (D) 71 和 73。 22. 想用 30 塊邊長為 1 公分的正方形紙板緊密地拼出一個長方形，則此長方形的周長最小為多少公分？ 23. 已知 1920 共有 32 個正因數，將這 32 個數由大到小排列，則第 3 個數為 。
Ans：1.(C)；2.(B)；3.(A)；4. 4；5.(1) 3，(2) 0、3、6、9；6.(A)；7.(D)；8.(A)；9.(D)；10.(B)； 11.(C)；12. 4、49、144；13.(1) 380，(2) 130，(3) 810；14. 6；15. 398；16. 190；17. 6； 18.(C)；19. 4；20.(D)；21.(C)；22. 22；23. 640。
