國中數學3 1 1乘法公式

1−1 乘法公式

一、分配律：設 a、b、c、d 為任意數，則(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd。

例如：121_{2 ×20}1_{3 ＝(12＋}1_{2 )(20＋3 )＝12×20＋12×}1 1_{3 ＋}1_{2 ×20＋}1_{2 ×}1_{3 。} 【說明】透過長方形的面積公式來說明此分配律。

(1)下圖的長方形中，長是 a、寬是(b＋c)，面積表示成 a．(b＋c)，省略乘號記為 a(b＋c)。 經由面積計算，可以知道： a b a c a b c   a(b＋c) ＝ ab ＋ ac a(b＋c)＝ab＋ac，這就是乘法對加法的分配律。例如：16×(100＋2)＝16×100＋16×2。 (2)下圖的長方形中，長是 a、寬是(b－c)，面積表示成 a．(b－c)，省略乘號記為 a(b－c)。

經由面積計算，可以知道： c b－c a c c a a b b   a(b－c) ＝ ab － ac a(b－c)＝ab－ac，這就是乘法對減法的分配律。例如：16×(100－2)＝16×100－16×2。 所以利用乘法對加法的分配律可知：(a＋b)(c＋d)＝a(c＋d)＋b(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd， 即(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd。 練習1：下圖中，一個長為 a、寬為(a＋b)的大長方形，分割成邊長為 a 的正方形與長為 a、寬為 b 的 長方形。請在空格中填入適當的文字符號，以表示圖中的面積關係。 a a a b b a a   面積＝ ×( ＋ )＝ ＋ 。 練習2：利用分配律，計算下列各式的值。(1) 49×501 (2) 121_{2 ×20}1₃

練習3：利用分配律，計算下列各式的值。(1) 62×89 (2) 101_{3 ×12}2₅

二、乘法公式：

◎和的平方公式：設 a、b 為任意數，則(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。 例如：2052＝(200＋5)2＝2002＋2×200×5＋52。 【說明】邊長為(a＋b)的大正方形，可分割成一個邊長為 a 的正方形，加上兩個長為 a、寬為 b 的 長方形和一個邊長為 b 的正方形，如下圖。 b b a _b ab a a2 a b2 ab a＋b a＋b a b

從面積來看可以得到：(a＋b)2_＝a2_{＋ab＋ab＋b}2_＝a2_＋2ab＋b2_， 也可以將(a＋b)2表示成(a＋b)×(a＋b)，用分配律的規則來計算： (a＋b)(a＋b)＝a×(a＋b)＋b×(a＋b)＝a2＋ab＋ba＋b2＝a2＋2ab＋b2。

【觀念釐清】因為文字符號可以代表數，所以公式中的 a、b 也可以用其他文字符號代替， 例如：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2

↑ ↑ ↑ ↑↑ ↑ x y x x y y 可得(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2。 練習4：計算下列各式的值。(1) 5042 (2) 20.32 【觀念釐清】計算5042時，是將504 看成 500＋4。如果看成 501＋3，再利用和的平方公式來算，答案 會一樣。如果拆成其他兩數的和，再用和的平方公式來算，算出來的結果也是一樣的。 其中將 504 拆解成 500 與 4 的和比較好，是因為 5002比較容易計算。 練習5：計算下列各式的值。(1) 2012 (2) 5.72

【觀念釐清】如果將和的平方公式的等號兩邊對調，可以得到等式 a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2。

可以利用這個等式幫助計算，例如：612＋2×61×39＋392＝(61＋39)2＝1002＝10000。 練習6：(1)在空格中填入適當的數，以完成計算結果。442＋2×44×6＋62＝(44＋ )2＝ 。

(2)計算 8.92＋2×8.9×1.1＋1.12的值。

◎差的平方公式：設 a、b 為任意數，則(a－b)2＝a2－2ab＋b2。 例如：1992＝(200－1)2＝2002－2×200×1＋12。 【說明】如右圖，邊長為 a 的大正方形面積比邊長為(a－b)的正方形面積 多出了一塊 L 型區域。這個區域是兩個長為 a、寬為 b 的長方形 所疊合成的，重疊部分正好是邊長為 b 的小正方形。也就是說： a b b b a b a a b b 即 L 型區域面積＝兩個長為 a、寬為 b 的長方形面積－重疊部分的小正方形面積 ＝2×a×b－b2＝2ab－b2。 所以邊長為(a－b)的正方形面積＝邊長為 a 的大正方形面積－L 型區域面積 即(a－b)2＝a2－(2ab－b2)＝a2－2ab＋b2。

也可以將(a－b)2表示成(a－b)×(a－b)，用分配律的規則來計算： (a－b)×(a－b)＝a×(a－b)－b×(a－b)＝a2－ab－ba＋b2＝a2－2ab＋b2。

練習7：計算下列各式的值。(1) 1992 (2) (93_{4 )}2 【觀念釐清】計算1992時，將199 看成 200－1。如果將 199 看成 202－3，再利用差的平方公式來算， 答案會一樣。如果拆成其他兩數的差，再利用差的平方公式來算，所得的值也是一樣的。 其中將 199 拆解成 200 與 1 的差比較好，是因為 2002比較容易計算。 練習8：計算下列各式的值。(1) 4982 (2) (2992_{3 )}2 a a b a－b a－b b

a a b b 【觀念釐清】如果將差的平方公式的等號兩邊對調，可以得到等式 a2－2ab＋b2＝(a－b)2。 可以利用這個等式幫助計算，例如：1612－2×161×61＋612＝(161－61)2＝1002＝10000。 練習9：計算下列各式的值。(1) 932－2×93×3＋32 (2) (404_{5 )}2－2×404_{5 ×}4_{5 ＋(}4_{5 )}2 練習10：想想看，下面的等式是否正確？如果不正確，請寫出正確的等式。 (1) (7－2)2＝72－22 _{(2) (8－4)}2_＝82_{－2×8×4＋4}2 _{(3) (9－3)}2_＝92_{－2×9×3－3}2 ◎平方差公式：設 a、b 為任意數，則(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 例如：205×195＝(200＋5)(200－5)＝2002－52。 【說明】在一張邊長為 a 的大正方形紙片中，將鋪色區域的小正方形剪下， 則剩餘的面積為 a2－b2。 將剩餘的部分重新分割成甲和乙兩部分，如下圖，並重新組合成 一個長方形，則組合後的長方形面積為(a＋b)(a－b)。 乙 a－b 甲 甲 乙 a－b b b a a b a a－b 由於分割重組後，面積沒有改變，所以(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 也可以將(a＋b)(a－b)用分配律的規則來計算：

(a＋b)(a－b)＝a(a－b)＋b(a－b)＝a2－ab＋ba－b2＝a2－b2。

練習11：計算下列各式的值。(1) 203×197 (2) 201_{4 ×19}3₄

25 45 【觀念釐清】如果將平方差公式的等號兩邊對調，可以得到等式 a2－b2＝(a＋b)(a－b)。可以利用 這個等式來計算兩數平方的差，例如：1012－1002＝(101＋100)(101－100)＝201×1＝201。 練習13：計算下列各式的值。(1) 642－362 (2) 9992－12 ◎綜合應用：乘法公式除了可以幫助計算，也可以用來解生活中的應用問題。 練習14：佳菁做教室布置，在紙上畫了兩個半徑分別為 45 公分和 25 公分的圓， 如右圖。若將兩個圓之間的區域貼上亮片，那麼貼亮片的區域面積為 多少平方公分？(Hint：圓面積＝半徑2×π) 練習15：瑩芳在邊長 16 公分的正方形桌墊外加了一條寬為 13_{4 公分的 L 型拼布，如下圖。} 則加了拼布後的桌墊面積為多少平方公分？ 16 13₄ ◎補充：乘法公式內的符號變化：

(1) (－a＋b)2＝(a－b)2＝a2－2ab＋b2。 (2) (－a－b)2＝(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2。

(3) (－a－b)(－a＋b)＝(a＋b)(a－b)＝a2－b2。 (4) (－a＋b)(a＋b)＝(b－a)(b＋a)＝b2－a2。

(5) (－a－b)(a－b)＝－(a＋b)(a－b)＝－(a2－b2)＝－a2＋b2。 ◎補充：求值公式：

(1) a2＋b2＝(a＋b)2－2ab；a2＋b2＝(a－b)2＋2ab。 (2) (a－b)2＝(a＋b)2－4ab；(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab。 自我評量

1. 試選出正確的式子。

(1) (200＋4)2＝？ (A) 2002＋42 (B) 2002＋2×200×4＋42

(2) (300－6)2＝？ (A) 3002－62 (B) 3002－2×300×6＋62 (C) 3002－2×300×6－62 (3) 3192－1992＝？ (A) 2×(319－119) (B) (319－119)2 (C) (319＋119)(319－119)

33 7 2. 計算下列各式的值。 (1) (301_{6 )}2 _{(2) 9.9}2 _{(3) 888}2_－1122 _{(4) 248×252} (5) (532_{5 )}2＋2×532_{5 ×6}3_{5 ＋(6}3_{5 )}2 (6) 77.72－2×77.7×7.7＋7.72 3. 若 10042＝10002＋A，則 A 的值為何？(Hint：練習一題多解) 4. (1)計算(a＋1)(a－1)－a2的值。 (2)計算 2007×2005－20062的值。 5. 如右圖，有兩個邊長分別為 33 公分和 7 公分的正方形，這兩個正方形 之間的黃色區域面積為多少平方公分？ 習作 1. 計算下列各式之值。(1) (91₃₎2 (2) 972＋2×97×3＋32

10m 10m 50cm 50cm 2. 計算下列各式之值。(1) 99.92 (2) 10072－2×1007×7＋72 3. 計算下列各式之值。(1) 20.4×19.6 (2) 562－442 4. 回答下列問題。 (1)若 2989×3011＝30002－m，則 m 的值為何？ (2)若 9.152＝92＋0.152＋n，則 n 的值為何？ (3)若(491₂₎2＝502＋s，則 s 的值為何？ 5. 阿榮伯有一塊邊長 10 公尺的正方形土地，他規畫在土地內部開闢一條 50 公分寬的 L 型水泥道路， 如右圖。則剩餘的土地面積是多少平方公尺？ 6. 試問 1234.562－234.562 的百位數字是多少？ 7. 計算 2010 2_{＋2×2010＋1} 2011 － 20112－1 2012 。

類題補充 1. 若 9.8 × 40.2＝(10－a)(40＋0.2)＝400＋b－0.04，則 a＋b＝ 。 2. 若 49992－50002＝1111 × a，則 a＝ 。 3. 若 a＋b＝6，且 a2＋b2＝20，則 ab＝？ 4. 求 3 2 22－1 × 42 32－1 × 52 42－1 ×…× 202 192－1 ＝？ 5. 已知 1＝12，1＋2＋1＝22，1＋2＋3＋2＋1＝32，…以此類推， 若 K＝12＋13＋…＋88＋89＋88＋…＋12＋11，試求出 K 的值為何？ 6. 如圖，兩正方形其邊長分別為 n 公分與(n＋3)公分，若斜線部分面積 為159 平方公分，則兩正方形邊長和為多少公分？ n＋3 n

7. 如右圖，已知 a＋b＝11，且兩個長方形面積各為 5，則 a2＋b2＝ 。

8. 若(3x－2y)2＝ax2＋bxy＋cy2，則 a＋b＋c＝ 。

9. 若 8764_{5 ×723}1_{5 ＝m－(76}4_{5 )}2，則 m＝ 。 10. 計算 529×0.54－371×0.46＋371×0.54－529×0.46＝ 。 11. 計算 3001×3006－3003×3004＝ 。 12. 計算 1532－472＋532－1472＝ 。 5 5 a a b b

13. 化簡 34792－2×(29792－5002)＋24792＝□2，□＝ 。 14. 設 a＋b＝5，ab＝1，則 2a2－2ab＋2b2＝ 。 15. 若 x2＝14，則(x＋2)(x－2)(x2＋4)＝ 。 16. 計算 357 2_－2432 3572＋357×486＋2432 ＝ 。

17. 已知(x＋2y)2＝9_{4 ，xy＝}1_{4 ，則(1) x}2＋4y2＝ 。(2) (x－2y)2＝ 。

18. 若 8×(92＋1)×10×(94＋1)＝9n_{－1，求 n＝ 。}

20. 已知 22－12＝1＋2，32－22＝2＋3，42－32＝3＋4，…，1002－992＝99＋100， 若12332＋1233＋2468＋1235＝a2，且 a＞0，則 a＝ 。

21. 若(a＋b)2＝6，(a－b)2＝3，則 ab 之值為 。

22. 已知 x2＋6x－4＝0，則(x＋7)(x－1)＝ 。

23. 小於 19.22的最大整數是 。

24. 計算 _289＋ 1 290×288_{289 －299＝ 。}

25. 計算 19972－2002×1992＝ 。

加強練習

1. 下列選項何者正確？

(A)(5－2) 2＝52－22 (B)(7＋3) 2＝72＋32 (C)(9－5)(9＋5)＝92－52 (D)(11－6) 2＝112－2×11×6－62 2. 若 10052＝10002＋52＋a，則 a＝？ (A) 20000 (B) 10000 (C) 5000 (D) 10

3. 已知 1992＝c＋1，則 c＝？

(A) (199＋1)(199－1) (B) (199＋1)2 (C) (199－1)2 (D) (199＋1)2×(199－1)2

4. 若 19 3_{5 × 29} 2_{5 ＝d＋ 25 ，則 d 的值為下列何者？ (A) 624 (B) 612 (C) 600 (D) 576} 6

5. 展開(－a＋b)(－a－b)其結果與下列何者相同？ (A) b2－a2 (B) a2－b2 (C) (a－b)2 (D) (a＋b)2 6. 請選出下列哪一數最接近(199 _{4 )}3 2的值？ (A) 40000 (B) 39999 (C) 39990 (D) 39900

7. 若 3×5×17×257＝2n_－1＝4m_{－1，則下列何者正確？}

(A) n＝18 (B) m＝12 (C) n＋m＝24 (D) n－m＝10

8. 設 a＝10032－2×1003×3＋32，b＝10002－4，c＝1001×999，試比較 a、b、c 的大小？ (A) a＞b＞c (B) b＞c＞a (C) a＞c＞b (D) c＞b＞a

9. 若 3012_＝3002_{＋K，則 K 之值為多少？ (A) 1 (B) 31 (C) 301 (D) 601} 10. 下列等式何者正確？

(A) (－a－b)2＝－(a＋b)2 (B) (－a－b)2＝－(a－b)2 (C) (a－b)2＝－(b－a)2 (D) (a－b)2＝(b－a)2 11. 下列四個式子，哪一個值最大？ (A) 7772－272 (B) 8522－482 (C) 10012－5992 (D) 10062－6062 12. 若(ax－10)2_＝bx2_{－80x＋100，則 a×b＝ 。} 13. 求 1760×1761－1758×1763＝ 。 14. 求 65 2_－352 652＋65×70＋352 ＝ 。 15. 若 66632＝66662＋1481×k，則 k＝ 。 16. 已知 1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，…以此類推，

假設9＋11＋13＋…＋19＝a2_－b2_{，a、b 為正整數，則 a＝ ，b＝ 。}

17. 利用分配律計算 100 _{25 ×99} 1 22_{25 的值，結果可以表示成 a＋b，其中 a 是正整數，而且 0＜b＜1，} 則a＝ 。

18. 已知 A、B、C、D 各代表下圖中各圖形的面積，若以 B、C、D 來表示 A，則 A＝？ (A) C－B＋2D (B) B＋C－2D (C) B＋D－2C (D) C－D＋2B       a a A   a b B a－b _C a－b   b b D 19. 如右圖，以四個相同的長方形拼成一個大正方形 ABCD，則正方形 ABCD 的 面積為何？ (A) 4[a2_＋(2b)2_{] (B) (a＋2b)}2 _{(C) (2b－a)}2 _{(D) 4(a¯2b)} 20. 設 a＋b＝5，ab＝1，則 2a2－3ab＋2b2＝ 。

21. 若 3¯5¯(42＋1)¯(44＋1)¯(48＋1)＝2n_{－1，則 n＝ 。 B C}

A D

a 2b

Ans：1.(C)；2.(B)；3.(A)；4.(D)；5.(B)；6.(D)；7.(C)；8.(C)；9.(D)；10.(D)；11.(B)；12. 64； 13. 6；14. 3

10；15.－27；16. 10，4；17. 9991；18.(D)；19.(B)；20. 43；21. 32。 心得筆記