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4-1-3空間向量-空間向量的內積

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Academic year: 2021

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(1)1-3 空間向量的內積 【目標】 首先能熟悉空間向量以坐標表示時,兩向量內積的推算及其性質。再者,能應用 向量內積處理向量的正射影﹑三角形的高等簡易的空間幾何問題,及三維空間的 柯西不等式的向量表示,並應用它處理相關的不等式。 【討論】 1. 坐標平面上, 向量 v1 與 v2 的內積 v1  v2  | v1 | | v2 | cos ,其中  是 v1 與 v2 的夾角。 坐標空間中,設 v1  ( x1 , y1 , z1 ), v2  ( x2 , y2 , z2 ) , 且 P1 ( x1 , y1 , z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) ,則 v1  OP1 , v2  OP2 ,其中 O 是原點, 當 O, P1 , P2 三點不共線時,令 v1 , v2 的夾角為  ,如圖所示。. 2. 2. 2.  OPP P P  OP1  OP2  2OP1  OP2  cos , 1 2 中使用餘弦定理可得 1 2. 即 ( x1  x2 )2  ( y1  y2 )2  ( z1  z2 )2  x12  y12  z12  x22  y22  z22  2 | v1 | | v2 | cos , 整理得 | v1 | | v2 | cos  x1 x2  y1 y2  z1 z2 。 因此,對空間中任意向量 v1  ( x1 , y1 , z1 ), v2  ( x2 , y2 , z2 ) , 定義其內積 v1  v2  x1 x2  y1 y2  z1 z2 。 由定義可知: 當 v1  0 且 v2  0 時, v1  v2  | v1 | | v2 | cos ,其中  為 v1 , v2 的夾角; 當 v1  0 或 v2  0 時, v1  v2  0 。 2.. 當 a  0 且 b  0 時, a  b  | a | | b | cos 。 於是 cos . a b. ,此式常用來求 a , b 的夾角  。. | a || b |. 3.. 我們已經知道:兩非零向量垂直的充要條件是內積為零, 即 a  0 且 b  0 時, a  b 的充要條件是 a  b  0 。 在坐標空間中,設 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) , 則 a  b 的充要條件是 a1b1  a2b2  a3b3  0 。. 24.

(2) 4.. 坐標空間中,已知 a  (2, 1,  1), b  (1,  2, 3) 。 (1)設 ( a  t b )  b ,求 t 。 (2)求 a 在 b 上的正射影。 解答: (1) a  t b  (2, 1,  1)  t (1,  2, 3)  (2  t , 1  2t ,  1  3t ) , ( a  t b )  b , 故 (2  t )  2(1  2t )  3(1  3t )  0 , 14t  3 , t  . 3 。 14. (2)在(1)中的 t b 就是 a 在 b 上的正射影, 故得 t b  . 3 3 3 9 (1,  2, 3)  ( , ,  ) 。 14 14 7 14. 一般而言,當 b  0 時,欲求 a 在 b 上的正射影,可設正射影為 t b , 則 ( a  t b )  b ,故 ( a  t b )  b  0 ,得 t . a b | b |. 即 a 在 b 上的正射影為. a b. ,. 2. b 。. | b |2. 5.. 設 a  (1, 3,  1), b  (2,  4, 3) ,已知 v  a , v  b , 且 v  ( x, y, z )  0 ,求 x : y : z 。 解答: 由 v  a ,得 x  3 y  z  0 ,即 x  3 y  z ; 由 v  b ,得 2 x  4 y  3z  0 ,即 2 x  4 y  3z 。 x  3y  z 1 1 ,得 x   z, y  z ,其中 z  0 (否則 v  0 ), 2 2 2 x  4 y  3z. 解. 1 2. 1 2. 1 1 2 2. 故 x : y : z   z : z : z   : :1  1:1: 2 。 6.. 在第三冊中,介紹過柯西不等式: 任意向量 a , b 恆滿足 | a |2 | b |2  ( a  b )2 , 其中等號成立的充要條件為 a , b 線性相依。 在坐標空間中,若令 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) , 則柯西不等式可表為 (a12  a2 2  a32 )(b12  b2 2  b32 )  (a1b1  a2b2  a3b3 )2 , 其中等號成立的充要條件為存在實數 k ( k 可能為 0 ), 使 a k b 或 b k a , 亦即使 a1  b1k , a2  b2k , a3  b3k 或 b1  a1k , b2  a2 k , b3  a3k , 此時可稱 a1 , a2 , a3 與 b1 , b2 , b3 成比例。. 25.

(3) 【定義】 1. 向量的內積: 若 a  (a1 , a2 , a3 ), b  (b1 , b2 , b3 ) ,則 a  b  a1b1  a2b2  a3b3 。 2. 向量的長度:   2 2 2 對於空間中任意向量 u  ( x1 , y1 , z1 ) ,則 | u | x1  y1  z1 。 3. 單位向量:  a  a 方向上的單位向量為  。 |a| 【性質】 1. 由向量內積的定義及實數的運算性質可推得下列基本性質: (1) v1  v2  v2  v1 。 (2) (k v1 )  v2  k ( v1  v2 ) 。 (3) v1  ( v2  v3 )  v1  v2  v1  v3 。 2.. (4) v  v  | v |2 。 向量垂直的充要條件: 在坐標空間中, 當 a  (a1 , a2 , a3 )  0 , b  (b1 , b2 , b3 )  0 時, a  b  a1b1  a2b2  a3b3  0。. 26.

(4) 【公式】 1. 正射影(投影): a 在 b 上的正射影為. a b. b 。. 2. | b |. 2.. 3.. 4.. 正射影長(投影長):   | a b |   a 在 b 方向上的投影長為  。 |b | 柯西(Cauchy)不等式: 設 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 是實數, 則 (a12  a2 2  a32 )(b12  b2 2  b32 )  (a1b1  a2b2  a3b3 )2 。 其中等號成立的充要條件為 a1 , a2 , a3 與 b1 , b2 , b3 成比例。   設空間中任意兩向量 u  ( x1 , y1 , z1 ), v  ( x2 , y2 , z 2 ) 且其夾角為  ,   x1 x2  y1 y2  z1 z 2 u v 則 cos     。 2 2 2 2 2 2 | u || v | x y z x y z 1. 5.. 6.. 7.. 8.. 1. 1. 2. 2. 2. 三角形的面積:     設 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a , b 所張成的三角形面積為  1 2 2   2 1 1 a1 a2 1 a | a | | b | (a  b )  | a1b2  a2b1 | | | |  | 。 2 2 2 b1 b2 2 b 註:利用本公式,可求給定三點所圍成的三角形面積。 兩向量平行:  a a    設 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ,試證: a // b  1 2  0 。 b1 b2 三點共線: 平面中三點 A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c2 ) 共線. . a b a b AB  S ABC  0  0  1 1 2 2 0。 a1  c1 a2  c2 AC 兩向量垂直:       設 a  (a1 , a2 ), b  (b1 , b2 ) ,若 a  b  0  a  b  0  a1b1  a2b2  0 。. 27.

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