4-1-3空間向量-空間向量的內積
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(2) 4.. 坐標空間中,已知 a (2, 1, 1), b (1, 2, 3) 。 (1)設 ( a t b ) b ,求 t 。 (2)求 a 在 b 上的正射影。 解答: (1) a t b (2, 1, 1) t (1, 2, 3) (2 t , 1 2t , 1 3t ) , ( a t b ) b , 故 (2 t ) 2(1 2t ) 3(1 3t ) 0 , 14t 3 , t . 3 。 14. (2)在(1)中的 t b 就是 a 在 b 上的正射影, 故得 t b . 3 3 3 9 (1, 2, 3) ( , , ) 。 14 14 7 14. 一般而言,當 b 0 時,欲求 a 在 b 上的正射影,可設正射影為 t b , 則 ( a t b ) b ,故 ( a t b ) b 0 ,得 t . a b | b |. 即 a 在 b 上的正射影為. a b. ,. 2. b 。. | b |2. 5.. 設 a (1, 3, 1), b (2, 4, 3) ,已知 v a , v b , 且 v ( x, y, z ) 0 ,求 x : y : z 。 解答: 由 v a ,得 x 3 y z 0 ,即 x 3 y z ; 由 v b ,得 2 x 4 y 3z 0 ,即 2 x 4 y 3z 。 x 3y z 1 1 ,得 x z, y z ,其中 z 0 (否則 v 0 ), 2 2 2 x 4 y 3z. 解. 1 2. 1 2. 1 1 2 2. 故 x : y : z z : z : z : :1 1:1: 2 。 6.. 在第三冊中,介紹過柯西不等式: 任意向量 a , b 恆滿足 | a |2 | b |2 ( a b )2 , 其中等號成立的充要條件為 a , b 線性相依。 在坐標空間中,若令 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) , 則柯西不等式可表為 (a12 a2 2 a32 )(b12 b2 2 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 , 其中等號成立的充要條件為存在實數 k ( k 可能為 0 ), 使 a k b 或 b k a , 亦即使 a1 b1k , a2 b2k , a3 b3k 或 b1 a1k , b2 a2 k , b3 a3k , 此時可稱 a1 , a2 , a3 與 b1 , b2 , b3 成比例。. 25.
(3) 【定義】 1. 向量的內積: 若 a (a1 , a2 , a3 ), b (b1 , b2 , b3 ) ,則 a b a1b1 a2b2 a3b3 。 2. 向量的長度: 2 2 2 對於空間中任意向量 u ( x1 , y1 , z1 ) ,則 | u | x1 y1 z1 。 3. 單位向量: a a 方向上的單位向量為 。 |a| 【性質】 1. 由向量內積的定義及實數的運算性質可推得下列基本性質: (1) v1 v2 v2 v1 。 (2) (k v1 ) v2 k ( v1 v2 ) 。 (3) v1 ( v2 v3 ) v1 v2 v1 v3 。 2.. (4) v v | v |2 。 向量垂直的充要條件: 在坐標空間中, 當 a (a1 , a2 , a3 ) 0 , b (b1 , b2 , b3 ) 0 時, a b a1b1 a2b2 a3b3 0。. 26.
(4) 【公式】 1. 正射影(投影): a 在 b 上的正射影為. a b. b 。. 2. | b |. 2.. 3.. 4.. 正射影長(投影長): | a b | a 在 b 方向上的投影長為 。 |b | 柯西(Cauchy)不等式: 設 a1 , a2 , a3 , b1 , b2 , b3 是實數, 則 (a12 a2 2 a32 )(b12 b2 2 b32 ) (a1b1 a2b2 a3b3 )2 。 其中等號成立的充要條件為 a1 , a2 , a3 與 b1 , b2 , b3 成比例。 設空間中任意兩向量 u ( x1 , y1 , z1 ), v ( x2 , y2 , z 2 ) 且其夾角為 , x1 x2 y1 y2 z1 z 2 u v 則 cos 。 2 2 2 2 2 2 | u || v | x y z x y z 1. 5.. 6.. 7.. 8.. 1. 1. 2. 2. 2. 三角形的面積: 設 a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 ) 為非平行的兩向量,則由 a , b 所張成的三角形面積為 1 2 2 2 1 1 a1 a2 1 a | a | | b | (a b ) | a1b2 a2b1 | | | | | 。 2 2 2 b1 b2 2 b 註:利用本公式,可求給定三點所圍成的三角形面積。 兩向量平行: a a 設 a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 ) ,試證: a // b 1 2 0 。 b1 b2 三點共線: 平面中三點 A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ), C (c1 , c2 ) 共線. . a b a b AB S ABC 0 0 1 1 2 2 0。 a1 c1 a2 c2 AC 兩向量垂直: 設 a (a1 , a2 ), b (b1 , b2 ) ,若 a b 0 a b 0 a1b1 a2b2 0 。. 27.
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