國小低年級學生辨認簡單平面圖形概念之因素分析研究

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國立台中教育大學進修暨推廣部數學教育系

在職進修教學碩士學位班碩士論文

指導教授：吳德邦博士

國小低年級學生辨認簡單平面圖形概念

之因素分析研究

研究生：戴五騰撰

中華民國九十五年元月

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摘

要

本研究旨在探討國小低年級學生簡單平面圖形之因素分析研究，再用因素分析的結果來探討國小低年級學生在三角形、四邊形、圓形此三種簡單平面圖形之概念。並分析國小一年級學生經過暑假，升上二年級之簡單平面圖形的概念保留如何，以及分析不同性別與不同縣市國小低年級學生在簡單平面圖形概念之差異。本研究以「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」為工具，依試題屬性針對三角形、四邊形、圓形此三種簡單平面圖形之概念作因素分析。研究對象為國小新生、一年級學生和二年級學生。根據研究目的與資料分析，得到研究結果摘述如下：一、由三種簡單平面圖形通過率之結果分析，在三角形方面以特大鈍角三角形圖形的通過率是最低的，四邊形方面以不規則類型圖形的通過率是最低的，圓形方面以不同大小類型圖形的通過率是最低的。三種簡單平面圖形通過率的結果都顯示，接受九年一貫的數學課程視覺層次的概念，延後測的結果保留成效良好。二、三種簡單平面圖形的三個因素概念分別為：（1）三角形的因素一是「大小方位不同不規則或鈍角的三角形」，因素二是「凹凸或折線的類似三角形」，因素三是「開放封閉或複雜的類似三角形」。（2）四邊形的因素一是「大小方位不同或不規則的四邊形」，因素二是「凹凸開放封閉或複雜的類似四邊形」，因素三是「多邊形或折線的類似四邊形」。

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（3）圓形的因素一是「橢圓凸出或折線的類似圓形」，因素二是「開放封閉或缺口的類似圓形」，因素三是「大小不同的圓形」。三、國小低年級學生每種平面圖形三個因素之間的相關，都是低相關或沒有相關，只有圓形的 F01 和 F03 相關係數高達.963，是相關最大的。四、國小低年級學生簡單平面圖形的概念，只有一年級學生在圓形的因素三的概念影響總平均分數最大，其餘的受測學生不論是三角形或四邊形都是因素一的概念影響總平均分數最大。五、經過一個暑假接受九年一貫數學課程國小一年級升上二年級的小朋友在簡單平面圖形之概念差異不大，顯示有良好的保留概念。六、國小低年級學生不同性別在簡單平面圖形的概念沒有顯著差異，但是不同縣市國小低年級學生在簡單平面圖形的概念是有城鄉的顯著差異。關鍵字：一年級學生、二年級學生、大台中地區、國小新生、簡單平面圖形

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ABSTRACT

This research is for the purpose of discussing of factor analysis research of the simple plane figures of the primary school lower grade students, again using the result of the factor analysis discusses the concept of the three kinds of simple plane figures of the primary school lower grade students in the triangle, the quadrangle and the circular, and analysis the retaining concept of the simple plane figures of the primary school students of the grade one after the summer vacation rising the grade two, as well as analysis the difference in concept of the simple plane figures that the primary school lower grade students in different sex and different countries and cities.

This research takes " Wu’s Test of Geometric Thinking of Visual Level " as the tool, according to the test question attribute in view of the concept of the triangle, the quadrangle, and the circular the three kinds of simple plane figures makes the factor analysis. The objects of research are new students of primary school, grade one and grade two. According to studies the goal and the data analysis, obtains the findings to pick states as follows:

(a) By three kinds of simple plane figures result analysis, the passing rate of the especially big obtuse triangle is lowest in the triangle aspect, the passing rate of the irregular type figures is lowest in the quadrangle aspect, and the passing rate of the different size type figures is lowest in the circular aspect. Three kinds of simple plane figures passing rate result all showed that, accepts nine years consistent mathematics curriculum vision level the concept, postpones the result retention result which measured to be good.

(b) Three kinds of simple plane figures three factors concept respectively are:

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angle triangle", the factor two is "concave-convex or the broken line similar triangle", the factor three is "the opening seal or the complex similar triangle". (2) The quadrangle factor one is "the size position different or the irregular quadrangle", the factor two is "the concave-convex opening seal or the complex similar quadrangle", the factor three is "the polygon or the broken line similar quadrangle".

(3) The circular factor one is "the oval protrudes or the broken line similar circular", the factor two is "the opening seal or the gap similar circular", the factor three is "the size different circular".

(c) Primary school lower grade pupils there is the relative between factors of three pieces in kind each of the plane figures, it is all low relative or does not have relative. Only F01 and F03 of the circular correlation coefficient are up to .963, it is the biggest.

(d) Concept of lower grade pupil's simple plane figures of primary school, only it is greatest that the students of grade one influence the total average mark in the concept of the circular factor three, the rest are examined students no matter the triangle or the quadrangle is all the concepts of factor one influence the total average mark to be greatest.

(e) It is accepted for nine years in a summer vacation that pass always grade one of primary school of mathematics course promotes children in grade two not big in the concept difference of the simple plane figures, show that there is good concept of keeping.

(f) Lower grade pupil's different sex of primary school has no difference of significance in the concept of the simple plane figures, but lower grade pupils of primary school of counties and cities have difference of significance in urban and

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rural areas in the concept of the simple plane figures.

Key words: A big Taichung Area, grade one, grade two, new students of primary school, simple plane figures

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目

次

摘要 ... i 目次 ... vii 圖目次 ... xi 表目次 ... xiii 第一章緒論 ... 1 第一節研究的動機與目的 ... 1 一、研究動機... 1 二、研究目的... 4 第二節待答問題 ... 5 第三節名詞定義 ... 5 一、一年級學生... 5 二、二年級學生... 6 三、大台中地區... 6 四、國小新生... 6 五、簡單平面圖形... 7 第四節研究的限制 ... 7 第二章文獻探討 ... 9 第一節 van Hiele 理論... 9 一、van Hiele 幾何思考層次 ... 9 二、van Hiele 幾何思考層次之特性 ... 11 三、小結... 12 第二節簡單平面圖形的相關研究 ... 12 ㄧ、辨認簡單平面圖形的因素... 12 二、四邊形概念的研究... 14 三、三角形概念的研究... 15 四、圓形概念的研究... 16 五、平面圖形綜合相關研究... 17

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六、小結... 18

第三節幾何圖形概念的研究 ... 18

一、Piaget & Inhelder 的兒童的幾何發展理論 ... 19

二、Mesquita 對於圖形暸解的理論 ... 20

三、Duval 在幾何的論述 ... 21

四、Burger（1986）在視覺層次的說明... 21

五、Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念 ... 22

六、小結... 22 第四節層次 0 之研究 ... 23 一、有關層次0 的研究... 23 二、層次0 的特性... 24 三、小結... 25 第五節其他相關研究 ... 25 第三章研究方法 ... 29 第一節研究的步驟與流程 ... 29 第二節研究的工具 ... 31 第三節研究對象 ... 35 第四節變項測量 ... 36 第五節資料分析 ... 38 第四章研究結果與討論 ... 41 第一節簡單平面圖形之整體通過率 ... 42 一、三角形... 42 二、四邊形... 43 三、圓形... 44 四、小結... 45 第二節簡單平面圖形之探討 ... 46 一、一年級學生各小題通過率之分析... 46 二、國小新生各小題通過率之分析... 56 三、二年級學生各小題通過率之分析... 66 四、小結... 77 第三節三種簡單平面圖形概念的因素分析結果... 80 一、三角形因素分析... 80 二、四邊形因素分析... 85 三、圓形因素分析... 90 四、簡單平面圖形的三個因素群... 94

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五、本節綜合結果... 98 第四節大台中地區國小新生簡單平面圖形之概念... 99 一、三角形的結果... 99 二、四邊形的結果... 100 三、圓形的結果... 101 四、小結... 102 第五節大台中地區一年級學生簡單平面圖形之概念... 102 一、三角形的結果... 103 二、四邊形的結果... 104 三、圓形的結果... 105 四、小結... 106 第六節大台中地區二年級學生簡單平面圖形之概念... 106 一、三角形的結果... 106 二、四邊形的結果... 108 三、圓形的結果... 109 四、小結... 110 第七節一年級學生升上二年級的簡單平面圖形之概念分析... 110 一、相關性的考驗... 110 二、顯著性考驗... 111 三、小結... 112 第八節大台中地區國小新生和二年級學生簡單平面圖形概念之差異... 112 第九節大台中地區不同性別國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異... 113 第十節大台中地區不同縣市國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異... 114 第五章結論與建議 ... 117 第一節結論 ... 117 一、低年級三角形、四邊形與圓形三種簡單平面圖形之概念... 117 二、簡單平面圖形之探討... 117 三、三種簡單平面圖形的三個主要概念因素... 118 四、三種簡單平面圖形三個因素概念的相關與「總平均分數」的影響... 119 五、一年級學生經過一個暑假升上二年級的簡單平面圖形之概念... 120 六、不同性別與不同縣市國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異... 121 七、總結... 121 第二節建議 ... 122 一、課程與教學上的建議... 122 二、後續研究的建議... 123

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參考文獻 ... 125 一、中文部份... 125 二、英文部分... 129 附錄 ... 133 附錄一：「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」工具... 133 附錄二：信度

α

係數... 140 附錄三：van Hiele 層次的描述和學生反應的例子 ... 142 附錄四：效標關聯效度... 147 附錄五：因素陡坡圖... 148 附錄六：因素分析解說總變異量與轉軸後成分矩陣... 151 附錄七：低年級敘述統計表... 158 附錄八：低年級三角形、四邊形與圓形各小題之答對率... 167

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圖

圖3-1 研究流程……… 30 圖3-2 測驗工具第 1 題……… 32 圖3-3 測驗工具第 13 題……… 32 圖4-1 測驗工具第 27 題……… 48 圖4-2 測驗工具第 19 題……… 48 圖4-3 測驗工具第 13 題……… 49 圖4-4 測驗工具第 28 題……… 49 圖4-5 測驗工具第 30 題……… 50 圖4-6 測驗工具第 14 題……… 51 圖4-7 測驗工具第 18 題……… 52 圖4-8 測驗工具第 25 題……… 52 圖4-9 測驗工具第 16 題……… 53 圖4-10 測驗工具第 12 題……… 53 圖4-11 測驗工具第 23 題……… 54 圖4-12 測驗工具第 29 題……… 55 圖4-13 測驗工具第 20 題……… 56 圖4-14 測驗工具第 17 題……… 56 圖4-15 測驗工具第 28 題……… 58 圖4-16 測驗工具第 27 題……… 58 圖4-17 測驗工具第 19 題……… 59 圖4-18 測驗工具第 13 題……… 60 圖4-19 測驗工具第 24 題……… 60 圖4-20 測驗工具第 14 題……… 62 圖4-21 測驗工具第 18 題……… 62 圖4-22 測驗工具第 25 題……… 63 圖4-23 測驗工具第 16 題……… 63 圖4-24 測驗工具第 23 題……… 64 圖4-25 測驗工具第 29 題……… 65 圖4-26 測驗工具第 20 題……… 66 圖4-27 測驗工具第 17 題……… 66 圖4-28 測驗工具第 27 題……… 68 圖4-29 測驗工具第 19 題……… 68 圖4-30 測驗工具第 13 題……… 69

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圖4-31 測驗工具第 28 題……… 69 圖4-32 測驗工具第 30 題……… 70 圖4-33 測驗工具第 24 題……… 70 圖4-34 測驗工具第 14 題……… 72 圖4-35 測驗工具第 18 題……… 72 圖4-36 測驗工具第 25 題……… 73 圖4-37 測驗工具第 16 題……… 73 圖4-38 測驗工具第 23 題……… 74 圖4-39 測驗工具第 9 題……… 74 圖4-40 測驗工具第 29 題……… 75 圖4-41 測驗工具第 20 題……… 76 圖4-42 測驗工具第 17 題……… 76 圖4-43 一年級的三角形因素陡坡圖……… 81 圖4-44 二年級的三角形因素陡坡圖……… 82 圖4-45 三年級的三角形因素陡坡圖……… 84 圖4-46 一年級的四邊形因素陡坡圖……… 86 圖4-47 二年級的四邊形因素陡坡圖……… 87 圖4-48 三年級的四邊形因素陡坡圖……… 89 圖4-49 一年級的圓形因素陡坡圖……… 91 圖4-50 二年級的圓形因素陡坡圖……… 92 圖4-51 三年級的圓形因素陡坡圖……… 93 圖4-52 不同縣市的總分平均數……… 114

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表

表3-1 預試樣本……… 34 表3-2 施測對象說明……… 35 表3-3 施測樣本分配表……… 36 表3-4 「WTGTVL」工具各概念及題號分佈情形……… 37 表4-1 三角形低年級之通過率……… 42 表4-2 四邊形低年級之通過率……… 43 表4-3 圓形低年級之通過率……… 45 表4-4 一年級學生三角形通過率之小題數……… 47 表4-5 一年級學生在三角形部分小題之通過率……… 47 表4-6 一年級學生四邊形通過率之小題數……… 50 表4-7 一年級學生在四邊形部分小題之通過率……… 51 表4-8 一年級學生圓形通過率之小題數……… 54 表4-9 一年級學生在圓形部分小題之通過率……… 55 表4-10 國小新生三角形通過率之小題數……… 57 表4-11 國小新生在三角形部分小題之通過率……… 57 表4-12 國小新生四邊形通過率之小題數……… 61 表4-13 國小新生在四邊形部分小題之通過率……… 61 表4-14 國小新生圓形通過率之小題數……… 64 表4-15 國小新生在圓形部分小題之通過率……… 65 表4-16 二年級學生三角形通過率之小題數……… 67 表4-17 二年級學生在三角形部分小題之通過率……… 67 表4-18 二年級學生四邊形通過率之小題數……… 71 表4-19 二年級學生在四邊形部分小題之通過率……… 71 表4-20 二年級學生圓形通過率之小題數……… 75 表4-21 二年級學生在圓形部分小題之通過率……… 75 表4-22 一年級三角形因素群分析表……… 81 表4-23 二年級三角形因素群分析表……… 83 表4-24 三年級三角形因素群分析表……… 84 表4-25 三角形各概念因素分析結果……… 85 表4-26 一年級四邊形因素群分析表……… 86 表4-27 二年級四邊形因素群分析表……… 88 表4-28 三年級四邊形因素群分析表……… 89 表4-29 四邊形各概念因素分析結果……… 90

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表4-30 一年級圓形因素群分析表……… 91 表4-31 二年級圓形因素群分析表……… 92 表4-32 三年級圓形因素群分析表……… 93 表4-33 圓形各概念因素分析結果……… 94 表4-34 「WTGTVL」工具因素群總表……… 95 表4-35 簡單平面圖形三個因素群……… 95 表4-36 簡單平面圖形三個因素群與類型對照表……… 96 表4-37 簡單平面圖形的三類主要的概念……… 97 表4-38 簡單平面圖形的三類主要概念與代號對照表……… 98 表4-39 國小新生三角形相關……… 99 表4-40 國小新生四邊形相關……… 100 表4-41 國小新生圓形相關……… 101 表4-42 一年級學生三角形相關……… 103 表4-43 一年級學生四邊形相關……… 104 表4-44 一年級學生圓形相關……… 105 表4-45 二年級學生三角形相關……… 107 表4-46 二年級學生四邊形相關……… 108 表4-47 二年級學生圓形相關……… 109 表4-48 一年級學生升上二年級學生之皮爾森相關考驗……… 111 表4-49 一年級學生升上二年級學生之單一樣本 T 檢定……… 111 表4-50 不同年級的組別統計量……… 112 表4-51 不同年級的檢定……… 112 表4-52 不同性別的組別統計量……… 113 表4-53 不同性別的檢定……… 113 表4-54 不同縣市的描述性統計量……… 114 表4-55 不同縣市的變異數分析……… 115

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第一章

緒論

本章共分成四節，分別為研究的動機與目的、待答問題、名詞定義與研究的限制等。

第一節研究的動機與目的

一、研究動機我國國民小學數學科課程的修訂，於西元 1975 年的課程，將數學課程規劃成數、量、形三個範疇。西元 1993 年國民小學數學課程標準修改為數與計算、量與實測、圖形與空間、統計圖表、數量關係、術語與符號六個主題(教育部， 1993)。現今正在實施的國民中小學九年一貫課程綱要中，數學科學習領域則分為五大主題，這五大主題是數與量、幾何、代數、統計與機率、連結(教育部，2003)。數學課程的幾何教材，從西元1975 年首次將「形」的獨立出來，西元 1993 年改為「圖形與空間」，到現在國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域改為「幾何」。由上述所知，從歷次的修改，國小數學的幾何教材皆完整而獨立，相當受到重視。因此，數學的幾何教學是值得關切與研究的，是研究者最感興趣的一部分。幾何教材從西元 1975 年將「形」獨立出來至今，三次的課程修訂，幾何教

材編排的理論是以van Hiele 幾何思考為基礎。國內外有許多關於 van Hiele 幾何

思考的研究(吳德邦，1998，1999，2000a，2000b，2001a，2001b，2002，2003， 2004，2005；林玉琦，2003；黃盈君，2001；盧銘法，1999；薛建成，2003；Baynes, 1998; Clements & Battista, 1992; Fuys, 1985; Golinskaia, 1997; Lee, 1999; Matos, 1999; Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B., 1994; Wu & Ma, 2005a, 2005b; Wu,

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Ma, & Lan, 2005)，提出有關 van Hiele 理論與該理論的幾何思考層次的相關報告，可見van Hiele 幾何思考理論相當受到重視。 van Hiele 理論原來是針對那些在中學修習「歐氏平面幾何」的學生設計的，但是國小之幾何教材是歐氏幾何之預備概念，身為國小教師，應充分瞭解 van Hiele 理論。小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎（教育部，2003）。研究者在理論與教學上，深深感到van Hiele 幾何思考理論的重要程度，因此，本研究是以van Hiele 幾何思考為主要的理論依據。幾何圖形的概念是教師教學的重要目標，學生對於幾何圖形的概念仍存在許多問題，也就是不能將幾何圖形概念化，因而對幾何圖形產生許多的迷思概念(吳德邦，2000b；劉好，1985；劉好，2003；盧銘法，1999；譚寧君，1993；Stigler et al., 1990)。Clements & Battista (1992)的研究是經由多方面數學的學習成果之評量，顯示在美國小學和國中學生對學習基本幾何概念和解決幾何問題是失敗的；尤其和其他國家比較，美國小學和國中學生對學習更複雜的幾何概念和證明是準備不足的。Stigler et al. (1990)對美國、日本和台灣的研究顯示，日本和台灣的五年級學生在幾何測驗上比美國的成績高於兩倍。日本學生一年級和五年級學生比美國學生在視覺和摺紙測驗上的成績都還要高很多，台灣的學生在這方面的成績比美國學生只高一些。綜觀上述的研究，研究者感到學生的幾何圖形概念非常重要，尤其是初學幾何圖形的低年級小朋友，在幾何圖形概念的澄清與建構，是後續學習幾何的重要基礎。因此，研究者從低年級學生在簡單平面圖形的辨認著手研究。張英傑（2001）研究兒童說明圖形之性質，結果兒童大多數都以整理性的知覺思考，而常以舉例方式比擬說明圖形，少數只說出圖形的特徵；幼稚園或國小

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一、二、三年級兒童，對於任何簡單圖形，無論在視覺或觸覺察看或做分類之活動時圖形的特徵，都不能全部說出必要充分的相關屬性。然而，學生對於辨認簡單平面圖形的相關研究，有的研究ㄧ到六年級的幾何圖形的概念與辨認，有的研究單一年級的幾何圖形的辨認，有的僅對一種簡單平面圖形的概念做研究(吳德邦，2002；呂季霏，2001；高耀琮和張英傑，2003；張英傑，2003；黃盈君，2001；劉好，2003；盧銘法，1999；謝貞秀和張英傑，2003；

Duval, 1998; Kay, 1986; Wu & Ma, 2005a, 2005b)。綜合上述的研究，在國內外縱然在簡單平面圖形有多方面研究成果，有的的研究概括各類圖形或單獨某一圖形，有的研究van Hiele 幾思考層次的概念，也有提出課程與教學的一些建議，沒有針對影響簡單平面圖形概念的因素作深入的分類與探討。影響簡單平面圖形的辨認，有許多相關因素存在，這些因素僅吳德邦（2002）和Wu & Ma (2005a)提出對簡單平面圖形不同類型的研究，但是該研究顯示簡單平面圖形不同類型有九類，是否影響簡單平面圖形的辨認就是這九類型？這九類型之間是否有相關？或可以歸納為同一類型？這些問題引起研究者對於影響低年級學生辨認簡單平面圖形的因素產生研究動機與興趣。有關因素分析的研究運用在不同的學術領域，經由因素分析進行因素抽取，找出結構化訊息和重要且合理的因子(何偉雲，1997；呂欣茹，2002；洪儷瑜，1992；陳建豪，2003；劉湘川，1994；簡良平，2001)。因素分析用在數學領域，有林軍治(1983)的研究是智力及社經地位皆為決定數學學習成就的重要因素，詹婉華 (2003)研究以共同因素分析檢驗「國小高年級分數概念量表」，結果抽取出三個分數的因素概念，陳容枝(2003)研究現今國中學生學習數學時，影響學生們學習的重要因素，結果「影響國中生學習數學之重要因素」有七大因素。綜觀上述的研究，國內尚未有用因素分析來分析影響幾何概念的因子，或甚至分析影響簡單平面圖形概念的因素，研究者認為這個研究有其必要性。近年來，探討國小學生簡單平面圖形的研究已相當多，但都不是分析影響簡

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單平面圖形概念的因素，進一步將這些影響的因素加以分類。因此，本研究針對國小低年級學生的簡單平面圖形概念著手，目的是研究低年級學生簡單平面圖形的概念，及影響簡單平面圖形概念的因素，將這些影響的因素作適當的分類，並深入的分析與探討，茲將所有目的詳述如後。二、研究目的本研究是針對接受九年一貫數學課程的國小低年級學生，在簡單平面圖形的概念。藉此以充實研究者對低年級小朋友簡單平面圖形概念的發展與發展的過程之了解，有助於研究者在簡單平面圖形之教學能力，並將研究結果提供編製簡單平面圖形的教材及教師在簡單平面圖形的教學參考。因此，本研究的主要目的有：（一）九年一貫數學課程實施下，低年級在簡單平面圖形之整體通過率。（二）九年一貫數學課程實施下，低年級在簡單平面圖形各小題之探討。（三）以「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」（吳德邦，2002）為工具，依試題屬性針對三角形、四邊形、圓形此三種簡單平面圖形的概念作因素分析。（四）探討大台中地區國小新生簡單平面圖形之概念。（五）探討大台中地區一年級學生簡單平面圖形之概念。（六）探討大台中地區二年級學生簡單平面圖形之概念。（七）探討大台中地區一年級學生經過一個暑假升上二年級的簡單平面圖形之概念。（八）探討大台中地區國小新生和二年級學生簡單平面圖形概念之差異。（九）探討大台中地區不同性別國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異。（十）大台中地區不同縣市國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異。

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第二節待答問題

根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題：（一）九年一貫數學課程實施下，低年級在簡單平面圖形之整體通過率為何？（二）九年一貫數學課程實施下，低年級在簡單平面圖形有哪些小題答對率不理想並探討之？（三）依試題屬性針對三角形、四邊形、圓形此三種簡單平面圖形概念的因素分析為何？（四）大台中地區國小新生簡單平面圖形之概念為何？（五）大台中地區一年級學生簡單平面圖形之概念為何？（六）大台中地區二年級學生簡單平面圖形之概念為何？（七）大台中地區一年級學生經過一個暑假升上二年級的簡單平面圖形之保留概念如何？（八）大台中地區國小新生和二年級學生簡單平面圖形概念之差異為何？（九）大台中地區不同性別國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異為何？（十）大台中地區不同縣市國小低年級學生簡單平面圖形概念之差異為何？

第三節名詞定義

本節將研究中所涉及到的相關名詞，作更進一步的定義與說明，茲分述如下：一、一年級學生係指九十一學年度下學期就讀於公立（縣市、市立）國民小學一年級學生，

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本研究在學期結束前進行施測時，已接受九年一貫數學課程滿一學年。二、二年級學生係指九十二學年度上學期就讀於公立（縣市、市立）國民小學二年級學生，是上述一年級學生經過一個暑假升上二年級之同批學生，本研究在學期開始時，未學習幾何單元即進行施測。三、大台中地區係指台灣中部四個縣市，而為了消除研究上的敏感程度，因此茲將此四縣市以甲、乙、丙、丁之代號定義之。此四縣市之相關人文背景的描述如下：甲縣市：土地面積約163.4 平方公里，目前總人口數約 1,007,659 人，學風鼎盛，學術環境良好，教育資源豐富，工商業活動頻繁，是臺灣中部第一大城，本研究的取樣是市中心的一所國民小學。乙縣市：土地面積約為 2051 平方公里，目前人口有 1,518,906 人，由於環境與氣候的優勢，近年來人口不斷成長，但偏遠地區仍然相當不方便，本研究的取樣是本縣市某城市裡家長多為務農或工人的一所國民小學。丙縣市：土地面積約為 1074 平方公里，目前人口為 1,315,377 人，人口集中在城市裡，城市工商業發達，鄉村則發展農漁業，城鄉差距明顯，本研究的取樣是本縣市某城市的一所國民小學。丁縣市：土地面積約為4,106 平方公里，目前人口有 541,292 人，境內居民原住民比例多，多山地，居民大多以農業為主，本研究的取樣是本縣市鄉村的二所國民小學。四、國小新生係指九十二學年度上學期就讀於公立（縣市、市立）國民小學一年級剛入學

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之學生，本研究在學期開始即進行施測，並未接受過九年一貫數學課程之幾何相關單元。五、簡單平面圖形本研究中所謂的簡單平面圖形，係依國民中小學九年一貫數學課程綱要（教育部，2003）中所提到的簡單平面圖形，包括三角形、正方形、長方形、圓形等。

第四節研究的限制

本研究的主要限制如下: １. 由於經費及人力的限制，本研究僅限於臺灣中部四縣市之國民小學在學學生，無法擴及全國之樣本。２. 大部分的研究指出，國民小學學生之幾何思考層次僅限於前三層次，本研究的範圍亦僅限於層次一，至於後二個層次則留待以後有意研究的人再行討論。３. 本研究對象為台灣中部地區的國小在學低年級學生，不代表全台灣的學生。

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(24)

第二章

文獻探討

本章分成四節，主要是針對本研究所提到的相關文獻資料作進一步的探討，其中第一節是van Hiele 理論，第二節是簡單平面圖形的相關研究，第三節是幾何圖形概念的研究，第四節層次0 之探討，第五節其他相關研究。茲將其內容分述如下：

第一節 van Hiele 理論

自西元1993 年起實施的國小數學課程中，有關幾何教材的編制，即是以 van

Hiele 理論為主軸。可知 van Hiele 理論在國內受到相當的重視，本節就來探討 van Hiele 理論。一、van Hiele 幾何思考層次 根據van Hiele 的理論，幾何思考的發展模式共分為五個層次，每個層次都有各自獨特的發展特徵。對於這五個層次的描述方式，國內外的研究者有兩種不同的表達方式，一部份研究者使用「層次０、層次一、層次二、層次三、層次四」來描述這五個幾何思考層次(黃盈君，2001；盧銘法，1999；Fuys, 1985; Golinskaia, 1997) 另一部份研究者則使用「層次一、層次二、層次三、層次四、層次五」來

描述van Hiele 的五個幾何思考層次(吳德邦，1998，1999，2000a，2000b，2001a，

2001b，2002，2003，2004，2005；林玉琦，2003；薛建成，2003；Usiskin, 1982; van Hiele, 1986; Wu, D. B., 1994; Wu & Ma, 2005a, 2005b)。 Van Hiele（1986）自己在書中提到，我現在所說的層次二就是以前的層次一，層次三就是以前的層次

二，以此類推。本研究採用van Hiele(1986)對層次的說法，分別為層次一：視覺

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次、層次四：形式邏輯的(formal logic)層次、層次五：邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次。以下分別描述各層次的內容：（一）層次一：視覺的(visual)層次這個層次的學生，主要是經由視覺觀察物體的輪廓而得知形體，視覺差異不大的圖形，可以透過移動或旋轉等方法來辨識，並且能夠依據各種物體的外觀說出形狀(如：三角形、正方形等)，但是他們無法瞭解這些圖形的真正定義，不能根據圖形的性質或組成要素來進行分析。（二）層次二：描述的(descriptive)層次這個層次的學生，具有豐富的視覺辨識經驗，除了藉由圖形的外觀輪廓來判斷圖形，更能依據視覺所觀察到的結果，進而分析圖形的構成要素及性質，也能利用這些要素及性質來辨認整個圖形(如：他們能說出正方形有四個相等的邊、四個直角)。但是他們還無法分辨不同類圖形間的關係(如：他們不會認為正方形也是長方形)。（三）理論的(theoretical)層次這個層次的學生，已經很清楚各種圖形的構成要素，並且知道圖形之間的相互關係。能夠依據圖形的性質進行非正式的推演，瞭解圖形的內在屬性關係與圖形間的包含關係。（如：知道正方形可以分成兩個直角等腰三角形，但是還不能進行有系統的證明）（四）形式邏輯的(formal logic)層次這個層次的學生，能夠用邏輯推理來解釋未定義的名詞、定理、定義、公設，而不再只是記憶，並經由抽象的推理過程，來證明幾何問題及相互間的關係，也能了解這些定理證明的方法可能不只一種。（如：能證明三角形的內角和是180 度）。

（五）邏輯法則本質的(the nature of logical laws)層次

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較各種不同的公設系統，也能根據不同的公設系統進行推論。能達到此層次的人並不多，即使是專業的數學工作者也都不容易達到這個層次。

二、van Hiele 幾何思考層次之特性

Crowley(1987)對 van Hiele 幾何思考層次特性的描述為：次序性(sequential)、提昇性(advancement)、內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)、語言性

(linguistics)、以及不配合性(mismatch)。各特性分別敘述如下：（一）次序性(sequential)：幾何思考層次的發展是循序漸進的，每一個層次的概念一定是來自於前一個層次的概念。學生必須充分的學習所在層次的各種概念、知識、能力，才能順利進到下一個層次的學習。所以學生不可能還沒學會層次一的各項概念、知識與能力就已經到達層次二，或直接跳過層次二的學習到達層次三。（二）提昇性(advancement)：學生層次的提昇是經由教學，而非個體的年齡成長或個體的成熟而發展，也沒有一種教學方式可以讓學生躍過某一層次而進入下一個較高的層次。van Hiele(1986)曾經提到，學童幾何思考層次的進展，主要是依賴教學而不是兒童的年齡成長或成熟度的增加。因此由一個層次到另一個層次的轉變並不是一個自然的過程，它是在教與學課程計畫的影響下而提昇的。

（三）內因性與外因性(intrinsic and extrinsic)：在幾何思考層次中，某個層次的應有目標，即為下一個層次的研究目標。林軍治(1992)也指出：在每一思考層次上，先前層次的內在性，變為目前層次的外在性。而對某些概念的瞭解，雖然在目前這個層次可能不明顯，但在下個層次卻是明確可知的 (Clements & Battista, 1992)。

（四）語言性(linguistics)：每一個層次都有屬於該層次獨特的語言、符號，以及這些符號之間的關聯系統。每一層次有其專屬的獨特語言，在某一個層次

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中屬於正確的語言，到了另一個層次中，可能就必需經過修正才能符合。（五）不配合性(mismatch)：依據 van Hiele 幾何思考層次的語言獨特性，每個層次有它自己獨特的語言、符號。若學生是屬於層次一，然而教學設計，語言符號的運用，卻是層次二或層次三，那麼學生的學習成效就會不好，老師的教學效果就很差。這也就是為什麼老師和學生之間會常常發生誤解或無法溝通的原因之一。三、小結一九九三年起實施的國小數學課程中，幾何教材的發展順序，即是以van

Hiele 理論為主軸，可見 van Hiele 理論在國內受到相當的重視。本研究使用的工

具即是以van Hiele 理論為基礎所開發出來，尤其是低年級大部分屬於視覺層次，對於測驗低年級簡單平面圖形的概念，相當適合。

第二節簡單平面圖形的相關研究

本研究主要是以國小學生四邊形、三角形與圓形這三個簡單平面圖形的概念為主題。因此，對於辨認簡單平面圖形的因素，四邊形、三角形與圓形這三個簡單平面圖形的相關研究分別探討如下：ㄧ、辨認簡單平面圖形的因素 Wu & Ma(2005a)有關簡單平面圖形不同類型的研究，從台灣地區二十三個縣市中隨機抽取5581 位ㄧ到六年級的小學生為施測樣本，測驗工具為吳氏幾何測

驗(Wu’s Geometry Test 簡稱 WGT)。該測驗總共有 25 題選擇題，全部都是 van Hiele

幾何思考層次一的題目，涵蓋三角形、四邊形和圓形，所有題目的幾何特性分為

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表2-1: WGT 之層次一幾何問題特性的類型

(引自 Wu & Ma, 2005a, v. 4, p. 331)

Wu & Ma(2005a)的研究結果主要有兩個重點，第一是提出三種幾何形狀的通過率，第二是提出九個不同類型的概念的通過率（如表2-2）。表2-2: 每一個類型和形狀的答對人數和通過率全部答對的三角形答對的四邊形答對的圓形答對的總人數通過率人數通過率人數通過率人數通過率類型 1 12289 73.40% 4072 72.96% 3976 71.24% 4241 75.99% 類型 2 14308 85.46% 4750 85.11% 4181 74.91% 5377 96.34% 類型 3 15642 93.42% 5307 95.09% 4932 88.37% 5403 96.81% 類型 4 13213 78.92% 4522 81.02% 3723 66.71% 4968 89.02% 類型 5 11401 68.09% 3047 54.60% 3713 66.53% 4641 83.16% 類型 6 6122 54.85% 3675 65.85% 2447 43.85% 類型 7 6537 58.56% 3232 57.91% 3305 59.22% 類型 8 14088 84.14% 4940 88.51% 4706 84.32% 4442 79.59% 類型 9 13686 81.74% 4570 81.88% 4928 88.30% 4188 75.04% 總和 107286 77.50% 38115 75.88% 35911 71.49% 33260 85.14% (引自 Wu & Ma, 2005a, v. 4, p. 332)

該研究的主要結果顯示：

三角形四邊形圓形

類型 1: 開放、封閉圖形(open and closed figure) 問題 1 問題 2 問題 3

類型 2: 凹、凸圖形(convex and concave figures) 問題 4 問題 5 問題 6

類型 3: 直線和曲線圖形(straight line and curve line) 問題 7 問題 8 問題 9

類型 4: 旋轉圖形(rotate figure) 問題10 問題11 問題12

類型 5: 不同大小圖形(figures of different sizes) 問題13 問題14 問題15

類型 6: 特大鈍角圖形(extremely obtuse figures) 問題16 問題17

類型 7: 寬和窄圖形(wide and narrow figures) 問題18 問題19

類型 8: 辨認粗線和細線圖形

(identification on width of the contour line) 問題20 問題21 問題22

類型 9: 辨認中空和填滿圖形

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（一）學生認為對直線和曲線圖形的辨認是最容易的，整體的通過率達到93.42%。（二）學生對判斷特大鈍角的圖形是最困難的，因為要有方向和位置的概念，在特大鈍角圖形的辨認通過率僅達到54.85%。（三）學生對寬和窄圖形的答對率只有58.56%，對不同大小圖形的答對率只有68.09%。（四）學生對辨認圓形是最簡單的，其次是三角形，四邊形是最困難的。二、四邊形概念的研究（一）由van Hiele 各層次上的分布與比較：國小四、六年級學生四邊形的概念上

有一成多未達van Hiele 層次一，在 van Hiele 的各層次人數的分布，以層

次二的人數最多，層次一的人數次之，層次三的人數最少。不同性別學生在van Hiele 層次上的分布不受影響（盧銘法，1999）。（二）四邊形概念中「圖形辨識概念」、「邊長、平行對邊、垂直角等基本性質」、「作圖概念」和「包含關係及演繹概念」構成一主要階層系統，其中的順序性結構複雜而緊密。「圖形辨識概念」、「邊長、平行對邊、垂直角等基本性質」分布在關係結構圖的底層部分，且兩者互為交錯緊密結合（盧銘法，1999）。（三）在正方形的辨認上，受影響最明顯的是圖形的方位，底不是水平邊的正方形兒童會認為圖形歪歪的或斜斜的，所以不是正方形（高耀琮和張英傑， 2003）。（四）四邊形概念之試題關聯結構分析，「包含關係及演繹概念」分布在關聯結圖的較上層部分（盧銘法，1999）。（五）在長方形的辨認上，兒童容易將平行四邊形視為長方形，可能受形狀「長長的」影響有長的長方形之原型，而忽略了「直角」的性質，尤其是一年

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級的兒童有比較強烈「長長的」長方形原型，所以長的圖形一年級的兒童有比較認為是長方形；幼稚園的兒童會因為長方形的直立或橫擺而產生不同的辨認焦點（高耀琮和張英傑，2003）。（六）張英傑（2003）利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思概念的研究結果中發現，學生出現「認為正方形不是長方形」、「認為正方形不是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不是平行四邊形」、「認為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。研究者讓學童實際運用GSP 動態幾何軟體來模擬長方形、菱形、平行四邊形，並依據診斷教學的模式，首先先診斷出學生的迷思概念，接著再與學生舊有的學習經驗相連結，最後製造認知衝突來澄清學童的迷思概念。結果，診斷教學前後達到顯著差異，延後測與後測沒有顯著差異，表示學生在診斷教學後概念的保留成效良好。（七）有些兒童受方位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的；認為長方形是「長長的」形狀，而忽略直角的性質；對於四邊形的辨識，三年級的通過率高於四年級，有些兒童不認為特殊的四邊形（菱形、梯形、箏形）是四邊形；且認為四個邊一樣長才是四邊形（謝貞秀和張英傑， 2003）。三、三角形概念的研究（一）辨認三角形容易產生的迷思概念是認為三角形的邊長比例差距較大時，會認為三角形太長，所以不是三角形，兒童可能是在教學的過程中受對稱的三角形影響，所以產生「次級直觀」認為邊長比例差距大的三角形不是三角形（高耀琮和張英傑，2003）。（二）兒童可能是受「三角形」這個圖形名稱的影響，故會以「三個角」或「三個尖尖的」來辨認三角形，而忽略邊的性質，因此對於邊是弧形的圖形因

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為有「三個尖尖的」所以也是三角形（高耀琮和張英傑，2003）。（三）正三角形的圖形是所有三角形中最容易被辨認出來的，男、女生概念結構大致相同，包括了正三角形與其他三角形之相互關係的概念（黃盈君， 2001）。（四）三角形圖形概念結構，主要是以三角形圖形基上辨識概念、三角形基本性質概念以及等腰三角形圖形基本辨識概念和直角三角形圖形基本辨識概念為主要出發點，向上連結至三角形封閉圖形圖形辨識概念、等腰三角形圖形旋轉後辨識概念、銳角三角形圖形辨識概念、直角三角形與其他三角形相互關係概念以及等腰直角三角形概念（黃盈君，2001）。（五）國小中年級兒童對三角形仍有迷思概念：認為三角形一定是兩個邊一樣長；三角形邊長比例相差較大，就不認為是三角形；把有曲線的圖形視為三角形（謝貞秀和張英傑，2003）。（六）一下學童對於正方形的辨認大都不受圖形方位改變的影響；三上學童幾乎能明白四邊形的構成要素（劉好，2003）。四、圓形概念的研究（一）在圓形辨認中，半圓或橢圓的圖形兒童比較容易認為是圓形，特別是一、二年級的兒童容易認為橢圓是壓扁的圓形也算是圓形，而半圓是圓形的一半所以是圓形（高耀琮和張英傑，2003）。（二）在描述圖形方面，國小中年級兒童大都是用「形容詞」來描述圓形；將虛線所構成的圓，或橢圓、半圓視為圓形，認為橢圓是較長的圓（謝貞秀和張英傑，2003）。（三）被兩三角形夾住的圓，學童可能不認為是圓，易受外圍圖形之干擾（劉好， 2003）。

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五、平面圖形綜合相關研究（一）陳創義（2003）的研究指出，圖形分類受到語意(95%學生)、典型例(95% 學生)、互斥思維(33%學生,局部互斥 82%)、空間思維(30%學生)等因素的影響，國中生對有關幾何形狀的敘述中的邏輯語詞以及性質的描述，到了三年級能夠瞭解清楚不到1/5。（二）林軍治（1992）在以花蓮地區國小學童為對象所做的一項研究中指出：花蓮地區城市和鄉村的國小學童之幾何圖形的差異並沒有顯著的差異。發現國小一年級學童對於正方形和長方形的辨認，會因為圖形放置的方向或位置，而影響其對於圖形的辨別。國小一年級學童對於圖形的辨別，只局限在視覺層次，完全是以直觀的方式來辨認圖形，到了二年級才開始以長度的概念來辨別圖形。而三年級之後已有能力能夠辨識角的概念，但也只局限於角度的不同而已。一直要到四年級方能對於角的大小做更進一步的辨認。五年級對於圖形的辨認傾向於分布在較高的層次。（三）吳德邦（2000b）針對台灣中部地區國小學童幾何概念的研究中也指出：不同性別之國小學生在正方形、圓形、等腰三角形、直角三角形等概念方面是沒有明顯的差異。（四）學童在幾何圖形的辨識上，最直接的是受視覺的影響，在其眼前的圖形位置、方向、大小都會影響其對圖形的辨識。對圖形基本輪廓有正確瞭解，才能正確辨識圖形，而對圖形基本輪廓正確的認識，有助於後續幾何概念的學習。由此可知，圖形在位移、旋轉和大小改變之後的辨識是一個重要的主題（林玉琦，2003）。（五）泰雅族低年級學生的平面幾何概念有：普遍對圓形有完整的認識，其次為正方形及長方形，多半只將正三角形及等腰三角形當作三角形，對其他形狀的認識不多（呂季霏，2001）。

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（六）國小中年級兒童辨識圖形可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念。在描述圖形方面，國小中年級兒童對正方形、長方形、菱形、正三角形、等腰三角形大都是描述「邊的性質」；描述平行四邊形、梯形、箏形對兒童來說是較困難的，因此兒童會舉出日常生活實例來描述（謝貞秀和張英傑，2003）。（七）排灣語中有長方形、圓形、橢圓形、線及圖形內「長」「寬」「高」「底」等專有用語；三角形與正方形是屬於外來語；沒有菱形、梯形及平行四邊形的個別說法，它們都稱為「四邊形」或講「四個點圍起來」，用生活中的扇子比喻扇形（林莠芹，2003）。（八）兒童辨認簡單平面圖形的迷思概念比較明顯的是在圖形的封閉性、圖形的方位以圖形的大小（高耀琮和張英傑，2003）。（九）一上階段學童可以將三角形、正方形、長方形、圓形等形狀和術語相連結，但平面圖形的辨認缺乏方位保留概念；一下階段平面圖形全等關係的辨認，混淆「包含」與「全等」概念（不明白剛好套上的意義）（劉好，2003）。六、小結影響簡單平面圖形的辨認因素很多，類型也是有很多類，如：圖形的封閉性、大小和方位，另一方面，圖形的凹凸、名稱之間的關係、邊的直曲或缺角，也都是影響簡單平面圖形的辨認。上述簡單平面圖形的相關研究，敘述很多影響的因素，但是卻沒有對這些影響簡單平面圖形辨認的因素作因素分析。因此，這些影響辨認簡單平面圖形的因素分析是本研究的重點。

第三節幾何圖形概念的研究

在認知心理學上，概念和圖像（image）是不同的。概念通常定義成對事物的抽象或一般化的具體表徵；而圖像則是定義對物體或事件知覺的呈現。這兩種

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不同的範疇經常在心智活動中相互影響，基本上是不能相互比較的。因此而有了第三種範疇的出現，也就是幾何圖形的範疇，它是同時具有概念範疇和圖像範疇的特性。以下就幾何圖形的相關研究敘述如下：

一、Piaget & Inhelder 的兒童的幾何發展理論

Piaget & Inhelder(1967)從心理學認知發展的觀點來研究學童的幾何發展階段，並將兒童幾何發展的階段分成三個時期，分別是：

（一）拓樸幾何概念（Topological concepts orstructure）時期（約 3 到 4 歲），屬於運思前期（Preoperatimal stage），此一階段的兒童對於幾何圖形的概念僅局限在於基本的拓樸概念，亦即僅能分辨出圖形的開放亦或是封閉，而完全沒有基本的角、邊等概念。兒童對於直線和曲線，尚未具有嚴格的區分能力，相同的，對於長度和角度的差異，也不能做詳細的觀察。（二）投影幾何概念（Projectire geometry）時期（約 4 到 6 歲），此一階段屬於運思前期（Preoperatimal stage）至具體運思期（concrete operational stage）認知發展階段，乃為過渡時期。在這個階段的兒童對外界的認知（Cognition），自己本身所在觀點的視覺比其他條件佔優越的地位，凡是經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而非視覺所承認的所認知的，他們並不認為那是真實的，他們也相信，各種事物的形體會因為視覺的感受不同而有所變化。（三）歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）時期（約 6 到 8 歲），一直要到這一段階兒童才會慢慢有歐氏幾何學的概念。此一階段的兒童認為，物體不管怎麼移動，其形狀、大小都不改變，因為歐幾里德幾何學是由全等變換（Congruent Transformation）的原則去探討圖形不變的定律。皮亞傑認為要使小孩子有歐幾里德性的空間觀念，則必須使他能從視覺

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的迷惑中超脫出來才有可能。因此，圖形概念的發展以下面的認識為基礎：（1）認知線段長短的保留性（2）認知角度大小的保留性（3）認知面的大小的保留性。本研究的對象是上述的投影幾何概念時期與歐幾里德幾何概念時期的學生。二、Mesquita 對於圖形暸解的理論 教育部（2003）公佈的九年一貫數學學習領域課程綱要中提到：「圖形與空間的瞭解可分為知覺性的瞭解、操弄性的瞭解、構圖性的瞭解、論述性的瞭解。小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾，處處受制於定義的認定與邏輯順序。」因此，圖形暸解類型是小學教師首要瞭解的課題，以便在從事幾何教學時能得心應手。以下對圖形暸解類型描述。吳德邦(2003)的研究中提到Mesquita 的理論，就是以「圖形暸解類型」作為理論基礎，對於想觀察學生幾何學圖形的認知是有用的。Mesquita 對於圖形的暸解堅持四種類型如下：（一）知覺性的暸解(Perceptual apprehension)：它以圖形的感知性質為基礎的一種暸解並且在完形心理學(Gestalt Psychology)中與圖形組織定律有關。（二）操弄性的暸解(Operative apprehension)：它是以圖形的修正或者轉換為基礎的一種暸解。藉著對這種類型的暸解將產生一個洞察力進而給學生對問題的解決產生一個啟發式的功能。（三）作圖性的暸解(Sequential apprehension)：它是以插圖的建構序列為基礎的一種暸解。對於這種類型的暸解圖形的建構是必要的。（四）論述性的暸解 (Discursive apprehension)：它是以問題的假設為基礎的一種暸解。由這種類型的暸解將產生假設推斷的證據。

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三、Duval 在幾何的論述 在學生學習幾何知識上，Duval(1998)認為應有三種認知過程，分別為：（一）視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能僅是純粹的表象圖形（線條與形狀的組織體），但也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，亦可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。（二）作圖(construction)：根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程對於學生去發現圖形中的幾何意義是有幫助。（三）推理(reasoning)：進行論說的過程，例如：說明、證明…等。在幾何認知的教學方面，Duval 主張：（一）視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨力發展。（二）不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。（三）三種認知過程的整合僅在這些區別活動趨於成熟後才有可能(Duval, 1998) 解題與論證在數學中是一個重要的核心，學生要以什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？四、Burger（1986）在視覺層次的說明 Burger（1986）：層次間的課程應該注意不要太嚴格區分年齡或年級。例如，很多學生已經在學習層次一或層次二的正式幾何課程，不可以期待這些學生能接受層次二或層次三的課程。本研究的對象是國小低年級學生，此階段學生大部分屬於層次一（視覺層次）。因此，摘述Burger（1986）在層次一所提出的說明：（一）可以使用不嚴密的性質，對於所畫的圖形的比較，以及說明、描述和分類各種形狀。（二）指導以視覺的形式關係描述形狀。（三）對形狀的說明或描述，不必提供相關的結論。

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（四）不必陳述各種形狀的類型的不同形式的變化。

（五）不必合理的分類；也就是說，以形狀的視覺特點分類，不以形狀的類型分類。

（六）不必要求說明形狀的必要條件。五、Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念

Piaget & Inhelder(1967)的影響兒童空間概念的兩個主要論點：

（一）空間的表徵是透過兒童在操作系統的原動力和內在行動的前進組織所構成的，因此空間的表徵並不是空間環境的知覺讀取，而是從空間環境積極的操作建立的。（二）幾何思想的進步組織，遵循一個明確的次序，這個次序比最原始的拓樸關係（例如：有連通性、封閉性和連續性）被建立起來，和後來的投影幾何（直線性）及歐幾里得（角的性質，平行性質和距離）關係被建立的歷史更符合邏輯。這已被稱為拓樸基本理論。

由Piaget & Inhelder 對兒童空間概念主要強調是要兒童去體驗而不是去閱

讀，是要去探索、觸摸、感覺、操作，而不是僅僅知識的傳遞與接受。六、小結

從Piaget & Inhelder（1967）研究學童的幾何發展階段、Mesquita 對於圖形暸解的理論、Duval（1998）在幾何的論述、Burger（1986）在視覺層次及 Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念的說明，對於簡單平面圖形的教學，必須考量學童的認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺。並且盡量讓兒童去體驗，配合探索、觸摸、觀察、操作、堆疊、組合、著色…等，讓學童認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢適當的加入簡單的推理與彼此之間的關係。

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第四節層次 0 之研究

一、有關層次0 的研究

本節仍採用van Hiele (1986)對層次的說法，為層次一：視覺的(visual)層次到

層次五：邏輯法則本質的層次，這裡的層次 0--前認知層次 (pre-recognition)是由

Clements & Battista (1992)所定名的，在本節第二部分有詳細說明。

Usiskin (1982)的研究主要是在測驗美國中學生 van Hiele 幾何思考層次的能

力。該測驗施測兩次，學期初測驗一次，學期末測驗一次。結果顯示 9%到 34% 的中學生無法說明屬於視覺層次（層次 1）幾何圖形的特性，26%的中學生學期初的測驗結果顯示在層次 0，學期末的測驗結果顯示仍停留在層次 0。Mayberry ( 1983) 的研究提到 13%的職前教師在 van Hiele 幾何思考層次的能力沒有達到層次1（視覺的層次）的準則。Senk ( 1989) 的研究顯示達到層次 1 的學生在寫幾何過程證明時顯然比達到層次0 的學生好。

Fuys 等人(1988)聲明 van Hiele 幾何思考的層次 1 是不同於其他層次的，在此層次學生的幾何思考可能無法表現出應有的行為，也就是說，學生可能無法命名形體。依照研究者的眾多研究結果，這些學生的幾何思考層次不應被描述成「未達層次1」，他們把這些學生的幾何思考行為標記為「弱的思考層次1」(weak Level 1)。 Fuys 等人(1988) 假設「弱的思考層次 1」的學生是使用個案本位模型 (case-based models)當作他們概念的基本原則，而不是用更複雜的規則本位模型 (rule-based models)。吳德邦和薛建成(2004) 對判別簡單平面圖形的九大類型因素之研究，歸納出在未達層次一的所有受試者中，有具備於比視覺層次較低之基本層次。在圓形方面有開放與封閉的概念、凹凸的概念、直線與曲線的概念及旋轉的概念，在三角

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形有直線與曲線的概念，在四邊形也是直線與曲線的概念。張英傑（2001）將原視覺層次再細分為二個層次階段。第一個階段是層次 0：視覺特徵(Visual Level)－這個層次的兒童可能只注意到圖形的視覺特徵，而無法區分和辨認很多一般的圖形；第二階段是層次1︰整體融合(Syncretic Level)－在這個層次的兒童能透過圖形的整體輪廓辨認，去學習辭彙及辨認或再造出一個與指定的圖形相同的圖形，但不能利用圖形的特徵或組成要素來分析。由上述研究，層次0 是一個獨立的層次或是副層次，這種爭論已經是公開的

問題。由 van Hiele 個案研究大多數相關資料的證據，和 Piaget 的洞察力一起研究，

指明比van Hiele 層次 1 更基本的思考存在是可能必要的(Clements & Battista, 1992)。

二、層次0 的特性

Clements & Battista(1992)把比 van Hiele 層次 1（視覺的層次）更基本的思考層次定名為層次0--前認知層次 (pre-recognition)。在前認知層次，兒童察覺幾何的形狀，但或許因為缺乏知覺的活動可能專注於形狀視覺特徵的部份集合。他們可以區別在曲線和直線圖形之間的不同，但無法辨認許多共同的形狀。也就是說，他們可以區分正方形和圓形，但無法區分正方形和三角形。依照Piaget 的說法，「察覺圓形和正方形是一回事，而重建視覺圖像又完全是另外是一回事；這個圖像就是從一堆模型中挑選出來，或在完全觸摸探索後畫出來」(Piaget & Inhelder, 1967, p-37)。

在這個層次的學生，不能辨認相同類的形狀，因為這個層次的學生缺乏形成視覺圖像要素的能力。從兒童自己的活動中，這些圖像事先建構成心智的表徵。也就是說，「這個圖像起初只有履行活動的內心模擬，後來，這些活動能夠被進行且完成」(Piaget & Inhelder, 1967, p-37)。

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在這個層次，學生對辨認形體的理由是具體的視覺(specific visual)或是觸覺的刺激(tactile stimuli)；這個推理的結果是把一堆圖形以視覺的方式歸類為相同形體。

三、小結

綜合國內外關於幾何思考層次0 的研究(Piaget & Inhelder, 1967; Usiskin, 1982; Mayberry, 1983; Fuys et al.,1988; Senk, 1989; Clements & Battista, 1992; 張英傑， 2001；吳德邦、薛建成，2004)，比 van Hiele 幾何思考層次 1 更基本的層次有部分的證據與說明，摘錄層次0 的特性如下。（一）幾何思考層次0 的學生可以察覺圖形，能辨認圓形和正方形，也能區分圓形和三角形，但不能辨認正方形和三角形、正方形和長方形或三角形和長方形。（二）幾何思考層次0 的學生可以察覺直線和曲線，但可能無法分辨斜線是直線或曲線。（三）幾何思考層次0 的學生可以察覺圖形，但無法複製圖形或從一堆圖形中挑出剛看過的圖形。（四）幾何思考層次0 的學生無法在ㄧ堆圖形中把同類的圖形歸類在一起，也就是無法挑出所有的四邊形。

第五節其他相關研究

本節主要將與本研究有關的國內外其他相關研究整理分段於下。劉好(1985)的研究指出大多數的師專生無法依據題意畫出適當的幾何圖形，並且詳加描述，探究其原因可能是在小學階段的幾何圖形學習中，並沒有把握概念化的圖形特徵作為構圖的要素所致。林軍治(1992)發現學童在幾何教材中，對於需要進一步的分析比較與思考推

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理才能正確回答的概念化問題，錯誤反應出現率高達70％以上，而對於直觀的記憶性的問題方面，則能有較好的表現。譚寧君(1993)認為我國小學數學課程中幾何方面的教材流於強行記憶一些抽象公式，無法透過實際操作與推理來建立正確的幾何觀念，因此阻礙了學童未來學習幾何的推理能力。盧銘法(1999)以 van Hiele 幾何思考層次與試題關聯結構分析為探討基礎，自編「國小學生幾何圖形概念測驗」針對國小四到六年級學生進行施測。發現不同年級的學生四邊形概念有顯著差異。國小中年級兒童辨識圖形可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念。吳德邦(2000a) 針對小一、三、五年級學生、由筆試及晤談中瞭解國小學生 van Hiele 幾何思考層次的分布情形。一年級學生的思考層次大都低於層次 1；大部分三年級學童已達層次 1；五年級的學童分布相當分歧，散於層次 0、層次 1、層次2。張英傑(2001)研究兒童說明圖形之性質時，大多數都以整理性的知覺思考，而常以舉例方式比擬說明圖形，少數只說出圖形的特徵；幼稚園或國小一、二、三年級兒童，對於任何簡單圖形，無論在視覺或觸覺察看或做分類之活動時圖形的特徵，都不能全部說出必要充分的相關屬性。劉好(2003)建議一年級教學宜適當加強立體實物與其視圖的連結之教學，布題時應使用學童易於理解且不易造成誤解的語詞；二年級在評量時以採用操作評量為宜，在紙筆評量時，能提供可操作的物件，以利學童可採操作方式觀察。謝貞秀和張英傑(2003)在描述圖形方面，國小中年級兒童對正方形、長方形、菱形、正三角形、等腰三角形大都是描述「邊的性質」；描述平行四邊形、梯形、箏形對兒童來說是較困難的，因此兒童會舉出日常生活實例來描述。吳德邦(2005)的研究顯示，有部分高年級學生的表徵階段，停留在較低下的

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階段，而且可以畫出比較高表徵階段的學生，通常幾何層次較高。

Wu & Ma(2005a)對簡單平面圖形不同類型的研究，結果國小學生認為對直

線和曲線的辨認是最容易的，達到 93.42%的通過率，認為對特大鈍角的圖形是最

困難的，通過率僅達到54.85%；另ㄧ方面，學生對辨認圓形是最簡單的，其次是

三角形，四邊形是最困難的。

Usiskin(1982)研究指出學童的 van Hiele 層次與其學習成就在標準測驗中有正面的相關性，並解釋 van Hiele 理論可以預測學童在標準幾何學習上會遇到的困難。 Stigler et al. (1990)對美國、日本和台灣的研究顯示，日本和台灣的五年級學生在幾何測驗上比美國的成績高於兩倍。日本學生一年級和五年級學生比美國學生在視覺和摺紙測驗上的成績都還要高很多，台灣的學生在這方面的成績比美國學生只高一些。Stigler 等人(1990)臆測日本學生在視覺和摺紙測驗上的成績比美國和台灣的學生都還要高的原因，可能是由於日本的教師在教室裡大量的依據視覺表徵的概念教學以及教學的目標是期待學生都能有能力畫圖的。

Clements & Battista(1992)的研究是經由多方面數學的學習成果之評量，顯示在美國小學和國中學生對學習基本幾何概念和解決幾何問題是失敗的；尤其和其他國家比較，美國小學和國中學生對學習更複雜的幾何概念和證明是準備不足的。

Baynes(1998) 研究如何來提昇學生的 van Hiele 幾何思考層次，經由調查發現學生的數學幾何思考層次是有階層性的，並且有由層次低往層次高的地方發展的趨勢。 Duval(1998)在學生學習幾何知識上，認為應有三種認知過程，第一個過程是視覺(visualization)過程，就是對於圖形空間表徵的認知，可能僅是純粹的表象圖形（線條與形狀的組織體），但也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察。

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Matos(1999) 針對美國 15、16 年級學生，對於角度的概念施予特別的課程學習，再經由紙筆測驗與訪談來探究學生的 van Hiele 幾何思考層次。研究發現 van Hiele 理論對於學生的幾何學習是有階層性的。

Lee(1999)針對學院學生在幾何的理解和證明方面與 van Hiele 幾何思考層次的相關性進行質與量的研究，其中量的研究呈現無顯著差異，但在質的研究中則發現 van Hiele 層次一的學生可提昇到層次二，而層次三的學生則停留在原層次。 Kay(1986)的研究提供一年級學生先認識四邊形，再來是長方形，最後是正方形的教法。這種教法注重與每一層次有關的特徵，以及層次之間的關係，並把正方形、長方形－四邊形和正方形－長方形間的關係具體化。研究指出 van Hiele 的理論並未提到兒童如何了解幾何概念其錯綜複雜的狀態，未來的研究應確定學生不容易從反覆辭彙的訓練中反應出任何成效，概念的直接灌輸是不可能且無益的。西元 1993 年教育部頒之「國民小學數學課程標準」教材綱要中，有關四邊形的安排，讓學生先學習正方形、長方形，而後再安排四邊形的教材，如此先特殊化，再一般化，造成日後兒童很難接受「正方形是長方形的一種」之概念，而不易達到層次三；有關三角形的安排，讓學生先學習三角形，而後再安排正三角形、等腰三角形…的教材，如此先一般化，再特殊化，日後兒童較易接受「正三角形是等腰三角形的一種」之概念，而較易達到層次三（吳德邦，2000b）。

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第三章

研究方法

本章根據研究的動機、目的及文獻資料來研究國小低年級學生簡單平面圖形之概念。本章共分五節，分別是第一節研究的步驟與流程、第二節研究的工具、第三節因素分析、第四節研究對象、第五節資料分析。

第一節研究的步驟與流程

根據第一章的研究動機與目的與研讀相關文獻資料，提出以下之研究步驟，以利於進行整個研究：（一）蒐集幾何相關文獻，並探討國內外之相關研究。（二）撰寫研究動機與確定研究目的。（三）進行分析簡單平面圖形概念。（四）印製測驗工具，隨機抽選預試樣本，進行預試。（五）分析測驗工具之信度與效度。（六）隨機抽選施測對象，進行正式施測。（七）用Excel 軟體進行資料處理。（八）用SPSS 因素分析與相關考驗。（九）撰寫論文報告。根據上述之研究步驟，提出以下簡化圖示之研究流程，以利於描述整個研究過程（圖3-1）。

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文獻探討進行預試用 SPSS 因素分析與相關考驗分析測驗工具之信度與效度分析簡單平面圖形概念撰寫論文報告用Excel 軟體進行資料處理進行正式施測「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」工具圖3-1 研究流程撰寫研究動機與目的

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第二節研究的工具

本研究的工具乃採用吳德邦（2002）國家科學委員會專案計畫報告（計畫名

稱：使用van Hiele 五階段學習模式開發九年一貫制課程圖形與空間教材教法之研

究。計劃編號：NSC 90-2521-S-142-001）所發展出來的「吳氏視覺的幾何思考層次測驗」（Wu’s Test of Geometric Thinking of Visual Level，簡稱 WTGTVL）工具。「WTGTVL」工具（吳德邦，2002）是以 van Hiele 幾何思考層次的第一個層次之理論，並依Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (1988) 等人羅列的 van Hiele 層次的描述和學生反應的例子（參考附錄三）來命題測驗工具。同時並參照教育部公告現行之「九年一貫課程暫行綱要」（教育部，2000）與市面上流通之各版

本之國民小學數學教科書（課本、習作和教師手冊）（康軒版、南一版…）以及

幾何相關之研究(吳德邦，1998, 1999, 2000a, 2000b, 2001a, 2001b；盧銘法，1998；黃盈君，2001；Usiskin, 1982; Fuys, et al.1988)等參考文獻編纂而成。由於研究者本身亦為該項專案研究計畫之助理研究員，故工具的使用乃經由該項專案計畫的主持人同意之後使用。「WTGTVL」工具（吳德邦，2002）主要是針對國小低年級的學童而設計，故試題的所有文字均附注音符號；編製範圍也只局限在於 van Hiele 幾何思考層次的第一層次為主。試題的回答採用的是勾選答題的方式，而且每題都只有一個幾何圖形概念，為了進一步確認其概念的真確性，相同概念可能不只出現一次。「WTGTVL」工具（吳德邦，2002）的每一題有四個小題，四個小題依序編為 a、b、c、d 以便後續分析；每一個小題皆是獨立的，採○、×方式回答，對的打○，錯的打×。每一題的四個小題答對一個得 1 分，答對兩個得 2 分，答對三個得3 分，都答對得 4 分，總共有 30 題，總分 120 分。以下抽選兩題說明回答方式，如圖3-2 和圖 3-3。

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1、下圖中是三角形的打○，不是的打╳ （╳）（○）（╳）（╳）圖3-2 測驗工具第 1 題圖3-2 測驗工具的第 1 題是單選的題目，僅有一個答案是（○），另外三個答案是（×）。若學生的回答依序為（×）（○）（×）（×）則得四分；若學生的回答依序為（×）（○）（○）（×）則得三分；若學生的回答依序為（×）（○）（○）（○）則得二分；若學生的回答依序為（）（○）（）（）則得一分，空白不答不予計分；若學生的回答依序為（○）（×）（○）（○）或都空白則得零分。 13、下圖中是三角形的打○，不是的打╳ （ ○ ）（ ○ ）（ ○ ）（ ○ ）圖3-3 測驗工具第 13 題圖3-3 測驗工具的第 13 題是複選的題目，四個答案都是（○）。若學生的回答依序為（○）（○）（○）（○）則得四分；若學生的回答有兩個打（○），如（×）（○）（○）（×）則得二分；若學生的回答三個打（○），如（×）（○）（○）（○）則得三分；若學生的回答只有一個打（○），如（）（○）（）（）或（×）（○）（×）（×）則得一分；若學生的回答都空白則得零分。全部試題包含了三角形、四邊形和圓形這三種簡單平面圖形，其中三角形13