簡單平面圖形的相關研究

本研究主要是以國小學生四邊形、三角形與圓形這三個簡單平面圖形的概念 為主題。因此，對於辨認簡單平面圖形的因素，四邊形、三角形與圓形這三個簡 單平面圖形的相關研究分別探討如下：

ㄧ、辨認簡單平面圖形的因素

Wu & Ma(2005a)有關簡單平面圖形不同類型的研究，從台灣地區二十三個縣 市中隨機抽取5581 位ㄧ到六年級的小學生為施測樣本，測驗工具為吳氏幾何測 驗(Wu’s Geometry Test 簡稱 WGT)。該測驗總共有 25 題選擇題，全部都是 van Hiele 幾何思考層次一的題目，涵蓋三角形、四邊形和圓形，所有題目的幾何特性分為 九個不同類型的概念（如表2-1）。

表2-1: WGT 之層次一幾何問題特性的類型

(引自 Wu & Ma, 2005a, v. 4, p. 331)

Wu & Ma(2005a)的研究結果主要有兩個重點，第一是提出三種幾何形狀的通 過率，第二是提出九個不同類型的概念的通過率（如表2-2）。

表2-2: 每一個類型和形狀的答對人數和通過率

全部答對的 三角形答對的 四邊形答對的 圓形答對的 總人數 通過率 人數 通過率 人數 通過率 人數 通過率 類型 1 12289 73.40% 4072 72.96% 3976 71.24% 4241 75.99%

類型 2 14308 85.46% 4750 85.11% 4181 74.91% 5377 96.34%

類型 3 15642 93.42% 5307 95.09% 4932 88.37% 5403 96.81%

類型 4 13213 78.92% 4522 81.02% 3723 66.71% 4968 89.02%

類型 5 11401 68.09% 3047 54.60% 3713 66.53% 4641 83.16%

類型 6 6122 54.85% 3675 65.85% 2447 43.85%

類型 7 6537 58.56% 3232 57.91% 3305 59.22%

類型 8 14088 84.14% 4940 88.51% 4706 84.32% 4442 79.59%

類型 9 13686 81.74% 4570 81.88% 4928 88.30% 4188 75.04%

總和 107286 77.50% 38115 75.88% 35911 71.49% 33260 85.14%

(引自 Wu & Ma, 2005a, v. 4, p. 332) 該研究的主要結果顯示：

三角形 四邊形 圓形 類型 1: 開放、封閉圖形(open and closed figure) 問題 1 問題 2 問題 3 類型 2: 凹、凸圖形(convex and concave figures) 問題 4 問題 5 問題 6 類型 3: 直線和曲線圖形(straight line and curve line) 問題 7 問題 8 問題 9 類型 4: 旋轉圖形(rotate figure) 問題10 問題11 問題12 類型 5: 不同大小圖形(figures of different sizes) 問題13 問題14 問題15 類型 6: 特大鈍角圖形(extremely obtuse figures) 問題16 問題17

類型 7: 寬和窄圖形(wide and narrow figures) 問題18 問題19 類型 8: 辨認粗線和細線圖形

(identification on width of the contour line) 問題20 問題21 問題22 類型 9: 辨認中空和填滿圖形

(identification on filled and hollow figures) 問題23 問題24 問題25

（一） 學生認為對直線和曲線圖形的辨認是最容易的，整體的通過率達 到93.42%。

（二） 學生對判斷特大鈍角的圖形是最困難的，因為要有方向和位置的 概念，在特大鈍角圖形的辨認通過率僅達到54.85%。

（三） 學生對寬和窄圖形的答對率只有58.56%，對不同大小圖形的答對率只 有68.09%。

（四） 學生對辨認圓形是最簡單的，其次是三角形，四邊形是最困難的。

二、四邊形概念的研究

（一）由van Hiele 各層次上的分布與比較：國小四、六年級學生四邊形的概念上 有一成多未達van Hiele 層次一，在 van Hiele 的各層次人數的分布，以層 次二的人數最多，層次一的人數次之，層次三的人數最少。不同性別學生 在van Hiele 層次上的分布不受影響（盧銘法，1999）。

（二）四邊形概念中「圖形辨識概念」、「邊長、平行對邊、垂直角等基本性質」、

「作圖概念」和「包含關係及演繹概念」構成一主要階層系統，其中的順 序性結構複雜而緊密。「圖形辨識概念」、「邊長、平行對邊、垂直角等基 本性質」分布在關係結構圖的底層部分，且兩者互為交錯緊密結合（盧銘 法，1999）。

（三）在正方形的辨認上，受影響最明顯的是圖形的方位，底不是水平邊的正方 形兒童會認為圖形歪歪的或斜斜的，所以不是正方形（高耀琮和張英傑，

2003）。

（四）四邊形概念之試題關聯結構分析，「包含關係及演繹概念」分布在關聯結 圖的較上層部分（盧銘法，1999）。

（五）在長方形的辨認上，兒童容易將平行四邊形視為長方形，可能受形狀「長 長的」影響有長的長方形之原型，而忽略了「直角」的性質，尤其是一年

級的兒童有比較強烈「長長的」長方形原型，所以長的圖形一年級的兒童 有比較認為是長方形；幼稚園的兒童會因為長方形的直立或橫擺而產生不 同的辨認焦點（高耀琮和張英傑，2003）。

（六）張英傑（2003）利用診斷教學實驗對於澄清高年級學童的四邊形迷思概念 的研究結果中發現，學生出現「認為正方形不是長方形」、「認為正方形不 是菱形」、「認為長方形不是平行四邊形」、「認為菱形不是平行四邊形」、「認 為正方形不是平行四邊形」五項迷思概念。研究者讓學童實際運用GSP 動態幾何軟體來模擬長方形、菱形、平行四邊形，並依據診斷教學的模式，

首先先診斷出學生的迷思概念，接著再與學生舊有的學習經驗相連結，最 後製造認知衝突來澄清學童的迷思概念。結果，診斷教學前後達到顯著差 異，延後測與後測沒有顯著差異，表示學生在診斷教學後概念的保留成效 良好。

（七）有些兒童受方位影響，認為正方形一定是正正的，菱形一定是斜斜的；認 為長方形是「長長的」形狀，而忽略直角的性質；對於四邊形的辨識，三 年級的通過率高於四年級，有些兒童不認為特殊的四邊形（菱形、梯形、

箏形）是四邊形；且認為四個邊一樣長才是四邊形（謝貞秀和張英傑，

2003）。

三、三角形概念的研究

（一）辨認三角形容易產生的迷思概念是認為三角形的邊長比例差距較大時，會 認為三角形太長，所以不是三角形，兒童可能是在教學的過程中受對稱的 三角形影響，所以產生「次級直觀」認為邊長比例差距大的三角形不是三 角形（高耀琮和張英傑，2003）。

（二）兒童可能是受「三角形」這個圖形名稱的影響，故會以「三個角」或「三 個尖尖的」來辨認三角形，而忽略邊的性質，因此對於邊是弧形的圖形因

為有「三個尖尖的」所以也是三角形（高耀琮和張英傑，2003）。

（三）正三角形的圖形是所有三角形中最容易被辨認出來的，男、女生概念結構 大致相同，包括了正三角形與其他三角形之相互關係的概念（黃盈君，

2001）。

（四）三角形圖形概念結構，主要是以三角形圖形基上辨識概念、三角形基本性 質概念以及等腰三角形圖形基本辨識概念和直角三角形圖形基本辨識概 念為主要出發點，向上連結至三角形封閉圖形圖形辨識概念、等腰三角形 圖形旋轉後辨識概念、銳角三角形圖形辨識概念、直角三角形與其他三角 形相互關係概念以及等腰直角三角形概念（黃盈君，2001）。

（五）國小中年級兒童對三角形仍有迷思概念：認為三角形一定是兩個邊一樣 長；三角形邊長比例相差較大，就不認為是三角形；把有曲線的圖形視為 三角形（謝貞秀和張英傑，2003）。

（六）一下學童對於正方形的辨認大都不受圖形方位改變的影響；三上學童幾乎 能明白四邊形的構成要素（劉好，2003）。

四、圓形概念的研究

（一）在圓形辨認中，半圓或橢圓的圖形兒童比較容易認為是圓形，特別是一、

二年級的兒童容易認為橢圓是壓扁的圓形也算是圓形，而半圓是圓形的一 半所以是圓形（高耀琮和張英傑，2003）。

（二）在描述圖形方面，國小中年級兒童大都是用「形容詞」來描述圓形；將虛 線所構成的圓，或橢圓、半圓視為圓形，認為橢圓是較長的圓（謝貞秀和 張英傑，2003）。

（三）被兩三角形夾住的圓，學童可能不認為是圓，易受外圍圖形之干擾（劉好，

2003）。

五、平面圖形綜合相關研究

（一）陳創義（2003）的研究指出，圖形分類受到語意(95%學生)、典型例(95%

學生)、互斥思維(33%學生,局部互斥 82%)、空間思維(30%學生)等因素的 影響，國中生對有關幾何形狀的敘述中的邏輯語詞以及性質的描述，到了 三年級能夠瞭解清楚不到1/5。

（二）林軍治（1992）在以花蓮地區國小學童為對象所做的一項研究中指出：花 蓮地區城市和鄉村的國小學童之幾何圖形的差異並沒有顯著的差異。發現 國小一年級學童對於正方形和長方形的辨認，會因為圖形放置的方向或位 置，而影響其對於圖形的辨別。國小一年級學童對於圖形的辨別，只局限 在視覺層次，完全是以直觀的方式來辨認圖形，到了二年級才開始以長度 的概念來辨別圖形。而三年級之後已有能力能夠辨識角的概念，但也只局 限於角度的不同而已。一直要到四年級方能對於角的大小做更進一步的辨 認。五年級對於圖形的辨認傾向於分布在較高的層次。

（三）吳德邦（2000b）針對台灣中部地區國小學童幾何概念的研究中也指出：

不同性別之國小學生在正方形、圓形、等腰三角形、直角三角形等概念方 面是沒有明顯的差異。

（四）學童在幾何圖形的辨識上，最直接的是受視覺的影響，在其眼前的圖形位 置、方向、大小都會影響其對圖形的辨識。對圖形基本輪廓有正確瞭解，

才能正確辨識圖形，而對圖形基本輪廓正確的認識，有助於後續幾何概念 的學習。由此可知，圖形在位移、旋轉和大小改變之後的辨識是一個重要 的主題（林玉琦，2003）。

（五）泰雅族低年級學生的平面幾何概念有：普遍對圓形有完整的認識，其次為 正方形及長方形，多半只將正三角形及等腰三角形當作三角形，對其他形 狀的認識不多（呂季霏，2001）。

（六）國小中年級兒童辨識圖形可能受圖形的大小、方位、邊數角數、邊的曲直、

邊的長短、邊角的性質、封閉性等影響，而產生一些迷思概念。在描述圖 形方面，國小中年級兒童對正方形、長方形、菱形、正三角形、等腰三角 形大都是描述「邊的性質」；描述平行四邊形、梯形、箏形對兒童來說是 較困難的，因此兒童會舉出日常生活實例來描述（謝貞秀和張英傑，2003）。

（七）排灣語中有長方形、圓形、橢圓形、線及圖形內「長」「寬」「高」「底」

等專有用語；三角形與正方形是屬於外來語；沒有菱形、梯形及平行四邊 形的個別說法，它們都稱為「四邊形」或講「四個點圍起來」，用生活中 的扇子比喻扇形（林莠芹，2003）。

（八）兒童辨認簡單平面圖形的迷思概念比較明顯的是在圖形的封閉性、圖形的 方位以圖形的大小（高耀琮和張英傑，2003）。

（九）一上階段學童可以將三角形、正方形、長方形、圓形等形狀和術語相連結，

但平面圖形的辨認缺乏方位保留概念；一下階段平面圖形全等關係的辨

但平面圖形的辨認缺乏方位保留概念；一下階段平面圖形全等關係的辨