幾何圖形概念的研究

在認知心理學上，概念和圖像（image）是不同的。概念通常定義成對事物 的抽象或一般化的具體表徵；而圖像則是定義對物體或事件知覺的呈現。這兩種

不同的範疇經常在心智活動中相互影響，基本上是不能相互比較的。因此而有了 第三種範疇的出現，也就是幾何圖形的範疇，它是同時具有概念範疇和圖像範疇 的特性。以下就幾何圖形的相關研究敘述如下：

一、Piaget & Inhelder 的兒童的幾何發展理論

Piaget & Inhelder(1967)從心理學認知發展的觀點來研究學童的幾何發展階 段，並將兒童幾何發展的階段分成三個時期，分別是：

（一）拓樸幾何概念（Topological concepts orstructure）時期（約 3 到 4 歲），

屬於運思前期（Preoperatimal stage），此一階段的兒童對於幾何圖形的 概念僅局限在於基本的拓樸概念，亦即僅能分辨出圖形的開放亦或是封 閉，而完全沒有基本的角、邊等概念。兒童對於直線和曲線，尚未具有 嚴格的區分能力，相同的，對於長度和角度的差異，也不能做詳細的觀 察。

（二）投影幾何概念（Projectire geometry）時期（約 4 到 6 歲），此一階段屬 於運思前期（Preoperatimal stage）至具體運思期（concrete operational stage）認知發展階段，乃為過渡時期。在這個階段的兒童對外界的認知

（Cognition），自己本身所在觀點的視覺比其他條件佔優越的地位，凡 是經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而非視覺所承認 的所認知的，他們並不認為那是真實的，他們也相信，各種事物的形體 會因為視覺的感受不同而有所變化。

（三）歐幾里德幾何概念（Euclidean geometry）時期（約 6 到 8 歲），一直要 到這一段階兒童才會慢慢有歐氏幾何學的概念。此一階段的兒童認為，

物體不管怎麼移動，其形狀、大小都不改變，因為歐幾里德幾何學是由 全等變換（Congruent Transformation）的原則去探討圖形不變的定律。

皮亞傑認為要使小孩子有歐幾里德性的空間觀念，則必須使他能從視覺

的迷惑中超脫出來才有可能。因此，圖形概念的發展以下面的認識為基 礎：（1）認知線段長短的保留性（2）認知角度大小的保留性（3）認知 面的大小的保留性。

本研究的對象是上述的投影幾何概念時期與歐幾里德幾何概念時期的學生。

二、Mesquita 對於圖形暸解的理論

教育部（2003）公佈的九年一貫數學學習領域課程綱要中提到：「圖形與空 間的瞭解可分為知覺性的瞭解、操弄性的瞭解、構圖性的瞭解、論述性的瞭解。

小學教師在從事幾何教學時，最要避免的是來自本身歐氏公設幾何訓練的干擾，

處處受制於定義的認定與邏輯順序。」因此，圖形暸解類型是小學教師首要瞭解 的課題，以便在從事幾何教學時能得心應手。以下對圖形暸解類型描述。

吳德邦(2003)的研究中提到Mesquita 的理論，就是以「圖形暸解類型」作為 理論基礎，對於想觀察學生幾何學圖形的認知是有用的。Mesquita 對於圖形的暸 解堅持四種類型如下：

（一）知覺性的暸解(Perceptual apprehension)： 它以圖形的感知性質為基礎的一 種暸解並且在完形心理學(Gestalt Psychology)中與圖形組織定律有關。

（二）操弄性的暸解(Operative apprehension)：它是以圖形的修正或者轉換為基礎 的一種暸解。藉著對這種類型的暸解將產生一個洞察力進而給學生對問題 的解決產生一個啟發式的功能。

（三）作圖性的暸解(Sequential apprehension)：它是以插圖的建構序列為基礎的 一種暸解。對於這種類型的暸解圖形的建構是必要的。

（四）論述性的暸解 (Discursive apprehension)：它是以問題的假設為基礎的一種 暸解。由這種類型的暸解將產生假設推斷的證據。

三、Duval 在幾何的論述

在學生學習幾何知識上，Duval(1998)認為應有三種認知過程，分別為：

（一）視覺(visualization)過程：對於圖形空間表徵的認知，可能僅是純粹的表象 圖形（線條與形狀的組織體），但也可以是幾何意義（角、平行、垂直、

等距、等面積）的洞察，亦可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。

（二）作圖(construction)：根據作圖工具對圖形的再製過程，通常這個過程對於 學生去發現圖形中的幾何意義是有幫助。

（三）推理(reasoning)：進行論說的過程，例如：說明、證明…等。

在幾何認知的教學方面，Duval 主張：

（一）視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨力發展。

（二）不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的。

（三）三種認知過程的整合僅在這些區別活動趨於成熟後才有可能(Duval, 1998) 解題與論證在數學中是一個重要的核心，學生要以什麼樣的經驗才能有較 好的圖形論證與解題呢？

四、Burger（1986）在視覺層次的說明

Burger（1986）：層次間的課程應該注意不要太嚴格區分年齡或年級。例如，

很多學生已經在學習層次一或層次二的正式幾何課程，不可以期待這些學生能接 受層次二或層次三的課程。本研究的對象是國小低年級學生，此階段學生大部分 屬於層次一（視覺層次）。因此，摘述Burger（1986）在層次一所提出的說明：

（一）可以使用不嚴密的性質，對於所畫的圖形的比較，以及說明、描述和分類 各種形狀。

（二）指導以視覺的形式關係描述形狀。

（三）對形狀的說明或描述，不必提供相關的結論。

（四）不必陳述各種形狀的類型的不同形式的變化。

（五）不必合理的分類；也就是說，以形狀的視覺特點分類，不以形狀的類型分 類。

（六）不必要求說明形狀的必要條件。

五、Piaget & Inhelder 之兒童的空間概念

Piaget & Inhelder(1967)的影響兒童空間概念的兩個主要論點：

（一） 空間的表徵是透過兒童在操作系統的原動力和內在行動的前進組織所構 成的，因此空間的表徵並不是空間環境的知覺讀取，而是從空間環境積極的操作 建立的。

（二） 幾何思想的進步組織，遵循一個明確的次序，這個次序比最原始的拓樸 關係（例如：有連通性、封閉性和連續性）被建立起來，和後來的投影幾何（直 線性）及歐幾里得（角的性質，平行性質和距離）關係被建立的歷史更符合邏輯。

這已被稱為拓樸基本理論。

由Piaget & Inhelder 對兒童空間概念主要強調是要兒童去體驗而不是去閱 讀，是要去探索、觸摸、感覺、操作，而不是僅僅知識的傳遞與接受。

六、小結

從Piaget & Inhelder（1967）研究學童的幾何發展階段、Mesquita 對於圖形暸 解的理論、Duval（1998）在幾何的論述、Burger（1986）在視覺層次及 Piaget &

Inhelder 之兒童的空間概念的說明，對於簡單平面圖形的教學，必須考量學童的 認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺。並且盡量讓兒童去體驗，配 合探索、觸摸、觀察、操作、堆疊、組合、著色…等，讓學童認識各種簡單幾何 形體與其性質，再慢慢適當的加入簡單的推理與彼此之間的關係。