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多項式不等式

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Academic year: 2021

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單 元 名 稱 多項式不等式 教 材 來 源 翰林100年版 第一冊2-4多項式函數的圖形與多項式不等式 教 學 時 間 50分鐘 學習本單元的 預備知識 1. 了解一次與二次不等式的幾何解法與代數解法。 2. 熟練一次與二次不等式的求解。 3. 能將三次或四次多項式分解成一次與二次式的乘積。 學 生 分 析 大部分的學生上課能專心聽講,多能回答老師的提問;少部 分學生缺乏學習動力,與教師無互動。 單元教學目標 能在沒有函數圖形的輔助下,正確地求出高次不等式的解。 活動時間分配 1. 複習求解二次不等式的幾何觀點與代數觀點。 2. 簡介三次、四次方程式的圖形與其特性(實根、虛根個數 及領導係數)。 3. 求解三次、四次不等式,並歸納結論。 教學前的準備 ppt簡報與GGB/GSP檔案

(2)

教 師 活 動 學生活動 一、複習求解二次不等式的幾何觀點與代數觀點 求解 幾何觀點 畫出 ( ) 的圖形並用數線表示在 不同區間中 值的正負。 由數線可知此不等式 的解為 [指導學生求解二次不等式時能省略作圖,直接利用數線 求解。] 代數觀點 令 ( ) ( )( ) 由上表可知此不等式的解為 。 二、簡介三次、四次方程式的圖形與其特性 (1)三次函數的圖形 [1-1] ( ) 有三相異實根 且 領導係數>0 利用幾何 觀點或帶 數觀點求 出二次不 等式的 解。能回 答教師的 提問。抄 寫筆記。 認真聽 講,回答 教師的提 問,抄寫 筆記。

(3)

[1-2] ( ) 有三相異實根 且 領導係數<0

[2] ( ) 有三相異實根(其中有兩根相等)

(4)

(2)四次函數的圖形 以上圖形僅舉出部分特例(可當場用繪圖軟體呈現),讓學 生了解三次與四次多項式函數圖形的概況;需讓學生學會辨識 根的位置,偶次重根和奇次重根(但不需特別強調2重根與4重 根的差異),領導係數對圖形的影響以及函數值正負的區間, 以便解答高次多項式不等式。 [結論]函數圖形的特性 1.領導係數為正圖形最右邊往上升。 領導係數為負圖形最右邊往下降。 2.能由圖形與x軸的交點個數判斷多項式方程式的實根 與其重根數(粗略判斷)。

(5)

三、求解三次、四次不等式,並歸納結論 [例題]解( )( )( )>0 令 ( ) ( )( )( ) [練習]解 令 ( ) ( )( ) [ ( √ )][ ( √ )]( ) √ √ [例題]解( )( ) ( ) 令 ( ) ( )( ) ( ) 令 ( ) ( )( ) ( ) 認真聽 講、回答 教師的提 問並抄寫 上課筆 記。若有 疑問隨時 提出問 題。

(6)

由上圖可發現 ( ) 與 ( ) 的解範圍相同,因此可 用( )( ) ( ) 取代( )( ) ( ) , 並畫數線求解(2重根在數線上需畫記兩次,中間填0,兩 側不需變號,如圖) 由此可知不等式解的範圍是 [練習]解( )( ) ( ) 令 ( ) ( )( ) ( ) 令 ( ) ( )( ) ( ) 由上圖可發現 ( ) 與 ( ) 的解範圍相同,因此可 用( )( ) ( ) 取代( )( ) ( ) , 並畫數線求解 由此可知不等式解的範圍是 [例題]解( )( ) 令 ( ) ( )( ) 由圖形知所求與( ) 之 解範圍相同,因此可刪去二次 項D<0者,視作( ) , 此不等式之解 為 。

(7)

[結論]  Step1:先將最高次係數調整為正數。  Step2:藉因式分解將多項式分解成一次式或二次式 的連乘積。  Step3:刪去D<0的二次式。  Step4:化簡高次式 奇數次刪減為一次式;偶數次刪減為二次式。  Step5:畫數線求解

參考文獻

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Rashed, Roshdi (1994), The Development of Arabic Mathematics: Between Arithmetic and Algebra.. Dordrecht: Kluwer

[r]

• 當我們在歸類一個問題為 問題時,等於不在乎他的複雜度是 還是 之類的,只要是多項式時間就好。.

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