高一上第二次期中考數學題庫(40).dot

3-1 一、單一選擇題 1. ( ) 已知多項式 _f（x）＝3_x4_－5_x3_＋2_x2_＋7_x＋1_{，則（f（x））}2_{的次數為？　(Ａ)} 2　(Ｂ)　4　 (Ｃ)　6　(Ｄ)　8　(Ｅ)　10。 答案：(Ｄ) 解析：_{（f（x））}2_＝（3x4_－5x3_＋2x2_＋7x＋1）2



最高次項為_9x8 故選(Ｄ) 2. ( ) 下列何者是多項式 _f（x）＝2_x4_＋3_x3_－2_x2_－x－2_{的因式？　(Ａ)　x＋1　(Ｂ)　x＋2} (Ｃ)　x＋5　(Ｄ)　x－3。 答案：(Ｂ) 解析：由因式定理可知若　x－a　為　f（x）的因式，則　f（a）＝0 (Ａ)╳： f（－1）＝2－3－2＋1－2＝－40 (Ｂ)○：f（－2） 2 2 2 2 2 3 2 2_（－）4_＋（－）3_－（－）2_{－（－）－} ＝ 0 2 2 8 24 32－ －＋－＝ ＝ (Ｃ)╳： (Ｄ)╳： 故選(Ｂ) 二、填充題 1. 設3_（x－1_）3_＋4_（x－1_）2_＋2_{＝a（x－1）（x－2）（x＋1）＋b（x－1）（x－2）＋} c（x－2）＋d，試求序組（a，b，c，d）＝【　　　　】。 答案：（3，1，7，9） 解析：令　x＝2



d＝3＋4＋2＝9 令　x＝1



－c＋d＝2



c＝7 令　x＝－1



6b－3c＋d＝－6



b＝1 令　x＝0



2a＋2b－2c＋d＝3



a＝3 故序組（a，b，c，d）＝（3，1，7，9） 2. 若多項式　g（x）除以　3x－1　的餘式為　2，f（x）除以　g（x）的商式為　3x－1，餘式為　3，

試問　f（x）除以_{（ x3 －1）}2 _{的餘式為【　　　　】。} 答案：6x＋1 解析：g（x）除以　3x－1　的餘式為　2



設　g（x）＝（3x－1）Q（x）＋2 f（x）除以　g（x）的商式為　3x－1，餘式為　3



f（x）＝g（x）（3x－1）＋3 故　f（x）＝g（x）（3x－1）＋3 ＝〔（3x－1）Q（x）＋2〕（3x－1）＋3 ＝（3x－1）2_{Q（x）＋2（3x－1）＋3} ＝（3x－1）2_{Q（x）＋6x＋1} 故餘式為　6x＋1 3. 設　a，b　為實數且_x4_＋ax3_－3_x2_＋bx－2_可被x2_{＋x－1整除，則數對（a，b）＝【} 　】。 答案：（－3，6） 解析： 2 2 4 3 2 4 3 2 3 2 3 2 2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 x a x x x x a x x b x x x x a x x b x a x a x a x a x b a x x x ＋（ －） ＋ ＋－＋－＋－ ＋－ （ －） －＋ （ －） ＋（ －） －（ －） （－－） ＋（ ＋－） － ＋－



－a－3＝0　且　b＋a－3＝0



a＝－3，b＝6 故數對（a，b）＝（－3，6） 4. 設多項式　f（x）除以_x2_{＋ x}5 _－6_{，餘式為　2x－1；除以x}2_{－x－6，餘式為　x＋4，} 則多項式　f（x）除以_x2_＋x－2_{的餘式為【　　　】。} 答案： 3 4 3 1 ＋ － x 解析：∵_x2＋5_x－6＝（_x＋6）（_x－1）_，x2_{－x－6＝（x－3）（x＋2）} ∴f（1）＝2×1－1＝1，f（－2）＝（－2）＋4＝2 設　f（x）除以_x2_＋x－2_{的餘式為　ax＋b} 即 f（x）＝（x2＋x－2）q（x）＋ax＋b ∵ _x2＋_x－2＝（_x＋2）（_x－1）_{∴a＋b＝1，－2a＋b＝2} 解得 3 1 ＝－ a ， 3 4 ＝ b 故餘式為 3 4 3 1 ＋ － x 5. 多項式_{（1＋2x＋3x}2_{＋ ＋9x}8_＋10x9_）2   展開後x4項係數為【　　　　】。【嘉義高中】 答案：35 解析：_{（1＋2x＋3x}2_{＋ ＋9x}8_＋10x9_）2   ＝（₁＋_2x＋_3x2＋_4x3＋_5x4＋ ＋_10x9）   × ） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （_{1 2x 3x}2 _4x3 _5x4 _10x9   4 x 項係數為　1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1＝35 6. 設多項式　f（x）除以　x－1　所得的餘式為　6，f（x）除以　x－2　所得的餘式為　4， 則　 f（x）除以（x－1）（x－2）所得的餘式為【　　　　】。

解析：設　f（x）＝（x－1）（x－2）Q（x）＋（ax＋b） ∵f（1）＝6　∴a＋b＝6　………① 又　f（2）＝4　∴2a＋b＝4………② 由②－①得　a＝－2，b＝8 故　f（x）除以（x－1）（x－2）所得的餘式為－2x＋8 7. 設　f（x）與　g（x）為實係數多項式，以_x2_{－ x}3 _＋2_{除　f（x）得餘式　3x－4，以　x－1　除　g（x）} 得餘式　5，則以　x－1　除　f（x）＋g（x）的餘式為【　　　】。 答案：4 解析：設 _{f（x）＝（x}2_－3_x＋2_{）q（x）＋}3_x－4



_{f（1）＝0．q（1）＋3－4＝－1} 又　g（1）＝5 故　x－1　除　f（x）＋g（x）的餘式為　f（1）＋g（1）＝4 三、計算題 1. 若多項式 _f（x）＝3_x2_＋2_{且g（x）＝2x}2_{－3x＋1，試將下列各式以降冪排列表示：} (１)　f（x）＋2g（x）。 (２)　f（x）g（x）。 (３)x2 f（x）－g（x）_。 答案：(１)7_x2_{－ x}6 _＋4_；(２)6x4_－9x3_＋7x2_{－6x＋2；(３)　3x}4_{＋ x3 －1} 解析：(１)　f（x）＋2g（x）＝（3_x2＋2）＋（4_x2－6_x＋2） ＝7_x2_{－ x}6 _＋4 (２)　f（x）g（x）＝3_x2（2_x2－3_x＋1）＋2（2_x2－3_x＋1） ＝6_x4_－9_x3_＋3_x2_＋4_x2_－6_x＋2 ＝6_x4_－9_x3_＋7_x2_－6_x＋2 (３)x2f（x）－g（x）_＝（3x4_＋2x2_）－（2x2_－3x＋1） ＝3_x4_{＋ x}3 _－1 2. (１)試求多項式 _f（x）＝x10_－4_x8_＋3_x2_＋1_{除以　x－2　的餘式。} (２)試求　134_－172．132_{＋40．13－13　的值。} 答案：(１)　13；(２)　0 解析：(１)由餘式定理知，f（x）除以　x－2　的餘式為 　f（2）＝210_－4_28_＋3_22_＋1_＝13 (２)設　f（x）＝x4_－172x2_＋40x－13 由餘式定理知，f（13）等於　f（x）除以　x－13　的餘式 利用綜合除法得　f（x）除以　x－13　如下 1 ＋　0 －172 ＋40 －13 13 ＋13 ＋169 －39 ＋13 1 ＋13 －　3 ＋　1 ＋　0 計算得　f（x）除以　x－13　的餘式為　0 所求為　f（13）＝0 3. 設多項式　f（x）除以多項式　x＋2　的商式為　q（x），餘式為　5，試求： (１)　f（x）除以　3x＋6　的商式和餘式。 (２)　2f（x）除以　x＋2　的商式和餘式。 (３)　xf（x）除以　x＋2　的餘式。 答案：(１)商式為 q（x） 3 1 ，餘式為　5；(２)商式為　2q（x），餘式為　10；(３)餘式為－10 解析：由除法原理，f（x）＝（x＋2）q（x）＋5………（＊） (１)將（＊）式改寫成 5 3 1 2 3（ ＋） （ ）＋ ）＝ （       _{q x} x x f 故　f（x）除以　3x＋6　的商式為 q（x） 3 1 ，餘式為　5

(２)將（＊）式左右同乘　2，得 2f（x）＝2（x＋2）q（x）＋2．5＝（x＋2）（2q（x））＋10 故　2f（x）除以　x＋2　的商式為　2q（x），餘式為　10 (３)將（＊）式左右同乘　x，得 xf（x）＝x．（x＋2）q（x）＋5x ＝x（x＋2）q（x）＋5（x＋2）－10 ＝（x＋2）〔xq（x）＋5〕－10 故　xf（x）除以　x＋2　的餘式為－10 4. 若多項式 _f（x）＝2_x3_－5_x2_＋x－4_{＝a（x－2）}3_{＋b（x－2）}2_{＋c（x－2）＋d ，其} 中　a，b，c，d　 是常數，試求： (１)　a，b，c，d　的值。 (２)計算　f（1.99）的近似值。（四捨五入至小數點後第二位） 解： 答案：（１）a＝2，b＝7，c＝5，d＝－6；(２)－6.05 解析：(１)利用綜合除法 2 －5 ＋1 －4 2 ＋4 －2 －2 2 －1 －1 －6 　………d＝－6 ＋4 ＋6 2 ＋3 ＋5 　………c＝5 ＋4 2 ＋7 　………b＝7 ………a＝2 得　a＝2，b＝7，c＝5，d＝－6 (２)將　x＝1.99　代入 _f（x）＝2_（x－2_）3_＋7_（x－2_）2_＋5_（x－2_）－6 得　f（1.99）＝2_（－0.01_）3_＋7_（－0.01_）2_＋5_（－0.01_）－6



5（－0.01）－6＝－6.05 5. 設多項式　f（x）除以　x＋2　的餘式為　1，除以　x－2　的餘式為　2，試求多項式　f（x）除以_x2_－4 的 餘式。 答案： 2 3 4 1 ＋ x 解析：設 f（x）＝（x2－4）q（x）＋ax＋b_，即 b ax x q x x x f（ ）＝（ ＋2）（ －2） （ ）＋ ＋ 因為　f（x）除以　x＋2　的餘式為　1，除以　x－2　的餘式為　2 由餘式定理得







2

2

2

1

2

2

＝

＋

）＝

（

＝

＋

）＝－

（－

b

a

f

b

a

f

，解得 4 1 ＝ a ， 2 3 ＝ b 所以 2 3 4 1 4 2_{－） （ ）＋ ＋} ）＝（ （x x q x x f 即　f（x）除以_x2_－4_的餘式為 2 3 4 1 ＋ x

6. 某人宣稱有一個二次多項式　f（x），只要輸入樂透遊戲的期號即可預知得獎號碼。試了前三期 都很準，分別是　f（1）＝0，f（2）＝1，f（3）＝6，試找出此多項式。 解： 答案：2_x2_{－ x}5 _＋3 解析：因為　f（1）＝0，由因式定理可知　x－1　為　f（x）的因式， 故可設 f（x）＝（x－1）（ax＋b） 由







6

3

1

2

）＝

（

）＝

（

f

f

，可得







6

3

1

3

1

2

1

2

）＝

＋

（

）

－

（

）＝

＋

（

）

－

（

b

a

b

a

， 即







3

3

1

2

＝

＋

＝

＋

b

a

b

a

，解得　a＝2，b＝－3 故 _{f（x）＝（x－}1_）（2_x－3_）＝2_x2_－5_x＋3 7. 若三次多項式　f（x）滿足　f（1）＝f（3）＝0，f（2）＝1，f（4）＝4，試求　f（6）。 答案：55 解析：∵f（1）＝f（3）＝0，由因式定理知　f（x）有因式（x－1）（x－3） 又　f（x）是三次多項式，故可令　f（x）＝（x－1）（x－3）（ax＋b） 由題目條件可知　f（2）＝1，f（4）＝4，得















4

4

1

3

4

1

2

1

1

2

）＝

＋

（

）＝

（

）＝

＋

（

）

（－

）＝

（

b

a

f

b

a

f

，即







4

3

12

1

2

＝

＋

＝－

＋

b

a

b

a

解得 6 7 ＝ a ， 3 10 ＝－ b 所以       3 10 6 7 3 1）（ －） － － ）＝（ （x x x x f 故 55 3 11 3 5 6）＝ ＝ （   f 3-2 一、單一選擇題 1. ( ) 下列各圖形何者可為一次函數　f（x）＝ax＋b（其中　a≠0）的圖形？　 (Ａ)　 　(Ｂ)　 　(Ｃ)　 　(Ｄ)　 答案：(Ｃ) 解析：一次函數　f（x）＝ax＋b（其中　a≠0）的圖形為一斜直線 故選(Ｃ)

2. ( ) 若二次函數 y＝ax2＋bx＋c_{，滿足　a＞0，b＜0，c＜0，b}2_{－ ac4 ＞0，試找出其圖} 形為下列何者？(Ａ)　 　(Ｂ)　 　(Ｃ)　 　(Ｄ)　 答案：(Ｂ) 解析：a＞0，故開口向上，則(Ａ)、(Ｄ)不合 判別式_D＝b2_－4_ac＞0_{，故與　x　軸有兩（相異）交點，則(Ｃ)不合} 故選(Ｂ) 二、填充題 1. 已知線型函數　f（x）＝ax＋b，每當　x　增加　2　單位時，其相對應的函數值減少　6　單位， 而二次函數g（x）＝x2＋ax＋b_{與　x　軸交於　A，B　兩點，且AB＝5，則　b＝【　　　　】。} 答案：－4 解析：x　增加　2，對應值減少　6，故 3 2 6 ＝－ － ＝ a 0 3 2_{－ ＋ ＝} ）＝ （x x x b g



2 4 9 3 b x＝  －



9 4 5 2 4 9 3 2 4 9 3 ＝ － ＝ － － － － ＋ b b _b

_

_b＝－4 2. 若二次函數 _{f（x）＝kx}2_＋8_x－5_{的圖形恆在直線　y＝2x＋4　的下方，試求實數　k　的範圍為【} 】。 答案：k＜－1 解析：由題意知_kx2_＋8_x－5_＜2_x＋4_{對所有實數　x　恆成立} 即得_kx2_{＋ x}6 _－9_＜0_恆成立 故　k＜0，且判別式_D＝62_－4_{．k．（－}9_）＜0_，得







0

1

0

＜

＋

＜

k

k

因此　k＜－1 3. 坐標平面上，點　P　關於　x　軸的對稱點為點　Q，點　Q　關於原點的對稱點為點　R，若點　R　關於 直線　x－y＝0　的對稱點坐標為（1，3），則點　P　的坐標為【　　　　】。 答案：（－3，1） 解析：設點　P　的坐標為（a，b），則點　Q　的坐標為（a，－b），點　R　的坐標為（－a，b） 點　R　關於直線　x－y＝0　的對稱點為（b，－a）＝（1，3）a＝－3，b＝1 故點　P　的坐標為（－3，1） 4. 若ax2＋4x＋a_{的值恆為負，則實數　a　的範圍為【　　　　】。} 答案：a＜－2 解析：ax2＋4x＋a_{的值恆為負}



_ax2_＋4_x＋a＜0_恆成立 ∴







0

0

判別式＜

＜

a













0

4

4

0

2

_－

_＜

＜

a

a

a









0

4

0

2

_＜

－

＜

a

a









4

0

2

_＞

＜

a

a

　









2

2

0

＜－

或

＞

＜

a

a

a

故　a＜－2 5. 已知二次函數在　x＝3　時有最大值　5，且圖形經過（0，－13），則此函數為【　　　　】。 答案： _{f（x）＝－}2_x2_＋12_x－13 解析：二次函數在　x＝3　時有最大值　5



即頂點（3，5）且開口向下 設 _{f（x）＝a（x－}3_）2_＋5_{，又　f（x）過（0，－13）} ∴f（0）＝9a＋5＝－13



a＝－2 故　f（x）＝_－2_（x－3_）2_＋5_＝ 13 12 2 2_{＋ －} － x x 6. 過三點（1，1），（0，2），（2，4）之二次函數為【　　　　】。 答案： _y＝2_x2_－3_x＋2 解析：設此二次函數為y＝ax2＋bx＋c 過點（1，1）



a＋b＋c＝1………① 過點（0，2）



c＝2………② 過點（2，4）



4a＋2b＋c＝4………③ 將②代入①、③得







1

2

1

＝

＋

－

＝

＋

b

a

b

a









3

2

＝－

＝

b

a

故此二次函數為 _y＝2_x2_－3_x＋2 7. 若二次函數_h（_x）＝（_a＋1）_x2－（2_a＋1）_x＋（_a＋2）_{的函數值恆為正數，則　a　值的} 範圍為【　　　　】。 答案： 8 7 ＞－ a 解析：∵二次函數的值恆為正數 ∴二次函數圖形的開口朝上且與　x　軸不相交 因此首項係數大於　0　且判別式小於　0 即











1

2

0

4

1

2

0

1

2

_－

_（

_＋

_）

_（

_＋

_）＜

）

＋

（

＞

＋

a

a

a

a

，化簡得







0

7

8

1

＜

－

－

＞－

a

a

故 8 7 ＞－ a 三、計算題 1. (１)已知一次函數　f（x）＝2x－1。 ① 試求　f（－1），f（0），f（1），f（2）之值。 ② 在坐標平面上描繪此函數圖形。 (２)一次函數圖形如圖，已知直線L1：y＝a1x＋b1，L2：y＝a2x＋b2。 ① 試判斷　a1，a2　的正負。 ② 試判斷　b1，b2　的正負。

答案：(１)①　f（－1）＝－3，f（0）＝－1，f（1）＝1，f（2）＝3；②圖略； (２)①　a1＜0，a2＞0；②　b1＜0，b2＞0 解析：(１)①　f（－1）＝－3，f（0）＝－1，f（1）＝1，f（2）＝3 ② 由①得下表 x －1 0 1 2 f（x） －3 －1 1 3 直接描點得圖形如圖 (２)①　L1　為左上右下傾斜的直線，故　a1＜0 L2　為右上左下傾斜的直線，故　a2＞0 ②　L1　與　y　軸交於（0，b1），故　b1＜0 L2　與　y　軸交於（0，b2），故　b2＞0 2. 已知 _f（x）＝x2_－3_x＋2_{，試求下列各小題。} (１)　f（0）。 (２)　f（1）。 (３)　f（t）。 (４)　f（2x）。 (５)　f（x＋1）。 答案：(１)　2；(２)　0；(３)_t2_{－ t}3_＋2_；(４)4x2_{－ x6 ＋2；(５)x}2_－x 解析：(１) _f（0_）＝02_－3_．0_＋2_＝2 (２) _f（1_）＝12_－3_．1_＋2_＝0 (３) _f（t）＝t2_－3_t＋2 (４) _f（2_x）＝（2_x）2_－3_．（2_x）＋2 2 6 4 2_{－ ＋} ＝ x x (５) _f（x＋1_{）＝（x＋}1_）2_－3_．（x＋1_）＋2 _＝x2_－x 3. 已知　f（x）為一次函數且　x　每增加　1，相對應的　f（x）值就增加　2，又已知　f（0）＝3： (１)試求　f（1）。 (２)試畫出此一次函數的圖形。 (３)試求此一次函數。 答案：(１)　5；(２)略；(３)　f（x）＝2x＋3 解析：(１)　f（1）＝f（0）＋2＝3＋2＝5 (２) x 0 1 2 3 4 f（x） 3 5 7 9 11 其圖形如圖 (３)令　f（x）＝ax＋b，由　f（0）＝3，f（1）＝5，

可得







5

3

＝

＋

＝

b

a

b

，故







3

2

＝

＝

b

a

即　f（x）＝2x＋3 4. 如圖為兩條直線　y＝2x＋3　與　y＝－x＋3　的圖形， 且　P　點坐標為（2，k），試求　k　的值。 答案：1 解析：由直線的傾斜方向知 P　點在直線　y＝－x＋3　上 將　P　點代入，得　k＝－2＋3＝1 5. 試求下列二次函數的最大值和最小值： (１) _f（x）＝x2_＋x＋4_，1_x_3。 (２)_{g（x）＝－x}2_＋2_x－4_，x_－2。 答案：(１)最大值為　16，最小值為　6；(２)最大值為－3，最小值不存在 解析：(１) 4 1 4 2 1 2_{＋ －} ＋ ）＝ （      _x x f ＝ 4 15 2 1 2_＋ ＋      _x 由圖可知 最小值為　f（1）＝1＋1＋4＝6 最大值為　f（3）＝9＋3＋4＝16 (２)_{g（x）＝－（x}2_－2_x）－4_{＝－（x－}1_）2_－4_＋1 ＝_－（x－1_）2_－3 由圖可知 最大值為　g（1）＝－1＋2－4＝－3 g（x）最小值不存在 6. 若二次函數g（x）＝－x2－3x＋k _{的函數值有正也有負，試求　k　的範圍。} 答案： 4 9 ＞－ k 解析：由二次函數圖形的分類可知 當　g（x）的函數值有正也有負，此時判別式_b2_{－ ac}4 _＞0 即_（－3_）2_－4_（－1_）k＞0_{，化簡得　9＋4k＞0} 故 4 9 ＞－ k 7. 將 _y＝－3_（x－1_）2_＋2_{的圖形水平左移　h　單位，再鉛直上移　3　單位後，得到} k x y＝－₃（ ＋₃）2＋ _{的 圖形，試求　h　與　k　的值。} 答案：h＝4，k＝5 解析：僅觀察頂點的坐標改變，

將原二次函數圖形的頂點（1，2）水平左移　h　單位，再鉛直上移　3　單位後 得到的新二次函數圖形的頂點為（1－h，5） 依題目的條件知，（1－h，5）與（－3，k）會重合 故　h＝4，k＝5 8. 根據記載：從地面向上升高，在海拔　11　公里以下的高度，每升高　1　公里，氣溫降低　6　℃；在 海拔　11　公里以上的高度，氣溫幾乎不變。假設地面溫度為　20　℃，上空　x　公里處的大氣溫度是　y ℃，那麼　y　可以表示成　x　的函數為　y＝f（x）。試寫出　0  x  11　時，y＝f（x）的關係式。 答案：f（x）＝20－6x，0x11 解析：由題意知　x＝0　時，f（0）＝20 每上升　1　公里降低　6　℃，故上升　x　公里（0x11），溫度降　6x　℃ 得　f（x）＝20－6x，0x11 9. 已知　y＝f（x）為二次函數， (１)若其圖形以（2，3）為頂點，且過點（3，1），試求　f（x）。 (２)若其圖形與　x　軸交於（－1，0），（3，0），且其頂點的　y　坐標為　4，試求　f（x）。 解： 答案：(１) _{f（x）＝－}2_x2_＋8_x－5_{；(２) f（x）＝－x}2_＋2x＋3 解析：(１)因為頂點在（2，3），可令　f（x）＝_a（x－2_）2_＋3 代入（3，1）得　1＝f（3）＝ 3 2 2 3 ＋ ） － （ a 化簡為　a＋3＝1，得　a＝－2 故　f（x）＝_－2_（x－2_）2_＋3_＝ 5 8 2 2_{＋ －} － x x (２)因為圖形通過（－1，0），（3，0） 故　f（－1）＝0，f（3）＝0 可令　f（x）＝a（x＋1）（x－3）＝_a（_x2－2_x－3） ＝_a（（_x－1）2－4）_{＝a x 1} 2 _4a － ） － （ 故頂點的　y　坐標為－4a＝4，得　a＝－1 故　f（x）＝－（x＋1）（x－3）＝_－x2_＋2_x＋3 10. 若二次函數　f（x）的圖形通過（1，－2），（－2，4）兩點，且　f（－2）＝f（4）， 試求函數　f（x）。 答案： 3 4 3 4 3 2 2_{－ －} ）＝ （x x x f 解析：∵f（－2）＝f（4）　∴f（x）的對稱軸為 1 2 4 2 ＝ ）＋ （－ ＝ x



（1，－2）為　f（x）圖形的頂點 設 _{f（x）＝a（x－}1_）2_－2 將（－2，4）代入，得　9a－2＝4，解得 3 2 ＝ a 故　f（x）＝ 1 2 3 2_（x－）2_{－ ＝} 3 4 3 4 3 2_x2_{－ x－} 3-3 一、單一選擇題 1. ( ) 下列四個圖形中哪一個選項為y_＝－x3_＋2x_的圖形。

　(Ａ)　 　(Ｂ)　 　(Ｃ)　 　(Ｄ)　 答案：(Ｄ) 解析：因為y_＝－x3_＋2x_的x3_{項係數小於　0，所以圖形的最右方會下降到負無限大} x x y_＝－ 3_＋2 _{的　x　項係數大於　0，則圖形在　x＝0　附近時的走向應該要往右增高，故選(Ｄ)} 2. ( ) 設 _{f（x）＝－2（x－1）（x－2）}2_{，則　y＝f（x）的圖形概貌為下列何者？} (Ａ)　 　(Ｂ)　 　(Ｃ)　 　 (Ｄ)　 　(Ｅ)　 答案：(Ｃ) 解析： _{f（x）＝－2（x－1）（x－2）}2 曲線為左上右下的圖形，又在　x＝2　時有重根 故選(Ｃ) 二、填充題 1. 若　x－3＜2x＋a　的解為　x＞－2，則　a　的值為【　　　　】。 答案：－1 解析：移項化簡得 －3－a＜2x－x，即　x＞－3－a



－3－a＝－2 故　a＝－1 2. 設　f（x）為三次實係數多項式其部分圖形如圖，則： (１)　f（x）＝【　　　　】。 (２)　f（－6）＝【　　　　】。 答案：(１)－ （ ＋2）（ －1）（ －4） 8 3 x x x ；(２)　105 解析：(１)∵y＝f（x）之圖形通過（－2，0）、（1，0）與（4，0）三點 ∴令　f（x）＝a（x＋2）（x－1）（x－4），又過點（2，3） ∴3＝a×4×1×（－2）



8 3 ＝－ a



f（x）＝－ （ ＋2）（ －1）（ －4） 8 3 x x x (２)　f（－6）＝－ （－4）（－7）（－10） 8 3_{  } ＝105 1091 高一數學第二次期中考題庫 @ MATH-SHINMIN P11/16 y=f(x) y (-1,0)

3. 設y f x

 

_{的圖形如圖，則} (1) f x

 

0_{的解為____________。} (2) f x

 

0_{的解為____________。} (3)y f x



3



_{的圖形與x 軸有____________個交點。} 答案：　(1)x 3_，1，2，4　(2)x 3_或  1 x 2_或x4 ₍₃₎₄ 解析：　(1) f x

 

0_{有四個根 x 3，1，2，4。} (2) f x

 

0_{的解為x 3或  1 x 2或x4。} (3) y f x



3



_表示將y f x

 

_{的圖形向右平移3 單位，交點數不變，即 4 個。} 4. 解不等式



x1

 

11 x1

 

10 x3



0_{，得 x 範圍為____________。} 答案：　x3或x 1或x1 解析：　因為





10 1 x _{恆大於或等於0 且}





11 1 x _{可降為一次式，} 所以原不等式可改寫成



x1

 

x 3



0或x1， 故x3或x 1或x1。 三、計算題 1. 考慮函數 _y＝2_x2_－x－5_，試求： (１)此函數在　x＝1　附近的一次近似。 (２)此函數在　x＝1.02　的近似值。（四捨五入至小數點後第二位） 答案：(１)　y＝3（x－1）－4；(２)－3.94 解析：(１)連續利用綜合除法將 _y＝2_x2_－x－5_{表示成y＝a（x－1）}2_{＋b（x－1）＋c} 因此 _y＝2_（x－1_）2_＋3_（x－1_）－4_，則y＝2x2_{－x－5在　x＝1　附近的一次近似} 為 　y＝3（x－1）－4 (２)將　x＝1.02　代入　x－1　可得　x－1＝0.02，所以 _y＝2_x2_－x－5_{在　x＝1.02　的近似值，可用} 此函數在　x＝1　附近的一次近似求出，故此函數在　x＝1.02　的近似值為　3×0.02－4＝－3.94 2. 試解下列各一元二次不等式： (１)_－2_x2_＋5_x－2_0_。 (２)6_x2_＋29_x－22_＞0_。 (３)（1－x）（3x＋4）0。 (４)_－x2_－x＋5_＞0_。 答案：(１) 2 2 1   x ；(２) 2 11 3 2 ＜－ 或 ＞ x x ；(３)　 3 4 1或 －  x x ；(４)

2 21 1 2 21 1－ _{＜ ＜}－ ＋ － _x 解析：(１)_－2_x2_＋5_x－2_0



_2x2_{－ x5 ＋20}



（2x－1）（x－2）0



2 2 1   x (２)6_x2_＋29_x－22_＞0



_{（3x－2）（2x＋11）＞0}



2 11 3 2 ＜－ 或 ＞ x x (３)（1－x）（3x＋4）0



（x－1）（3x＋4）0



3 4 1或 －  x x (４)_－x2_－x＋5_＞0



_x2_＋x－5＜0 令_x2_＋x－5_＝0_得兩根為 2 21 1 － ＝ x 故_－x2_－x＋5_＞0_之解為 2 21 1 2 21 1－ _{＜ ＜}－ ＋ － _x 3.試解下列各一元二次不等式： (１)　3x（x－1）＋5＜2x－3。 (２)_x2_－8_＜5_x2_＋20_x＋20_。 (３)_x2_{－ x}2 _＋3_＜0_。 (４)_－2_x2_＋3_x－8_＜0_。 答案：(１)無實數解；(２)所有實數；(３)無實數解；(４)所有實數 解析：(１)　3x（x－1）＋5＜2x－3



3_x2_{－ x}5 _＋8_＜0 ∵D＝25－96＜0， 0 12 71 6 5 3 8 5 3 2 2_{－ ＋＝ －  ＋ ＞}     _x x x ∴x　無實數解 (２)_x2_－8_＜5_x2_＋20_x＋20



_x2_{＋ x5 ＋7＞0} ∵D＝25－28＜0， 0 4 3 2 5 7 5 2 2_{＋ ＋＝ ＋  ＋ ＞}     _x x x ∴其解為所有實數 (３)∵D＝4－12＜0，_x2_－2_x＋3_＝（x－1_）2_＋2_＞0 但題目_x2_{－ x}2 _＋3_＜0 ∴x　無實數解 (４)_－2_x2_＋3_x－8_＜0



_2x2_{－ x3 ＋8＞0} ∵D＝9－64＜0， 0 8 55 4 3 2 8 3 2 2 2_{－ ＋ ＝ －  ＋ ＞}     _x x x ∴其解為所有實數 4.(１)試解不等式_（x－1_）（x－4_）（x＋3_）3_＜0_。 (２)試解不等式_（x＋1_）2_（x＋2_）（x2_＋x＋3_）＞0_。

答案：(１)x＜－3或1＜x＜4，亦可記為（－，－3）_（1，4）；(２) 1 2， － ＞－ x  x _{， 亦可記為}（－2，－1）_（－1，） 解析：(１)_（x－1_）（x－4_）（x＋3_）3_＜0 故_（x－1_）（x－4_）（x＋3_）3_＜0_{的解為x＜－3或1＜x＜4，亦可記為} ） ， （ ） ，－ （－ 3 _ 1 4 (２)_（x＋1_）2_（x＋2_）（x2_＋x＋3_）＞0 3 2_＋x＋ x 的判別式_b2_{－ ac}4 _＝12_－4_．1_．3_＝－11_＜0_， 因此_x2_＋x＋3_恆正 故_（x＋1_）2_（x＋2_）（x2_＋x＋3_）＞0_{的解為x＞－2，x －1，亦可記為} ） ， （－ ） ，－ （－2 1 _ 1  5.試問有多少個整數滿足不等式（x＋6）（x＋4）（x－1）（x－5） 0 ？ 解： 解析：（x＋6）（x＋4）（x－1）（x－5） 0 _， 依　x　在數線上的值判斷　x＋6，x＋4，x－1，x－5　的正負號， 綜合判斷可得 則滿足不等式的解為－6 x －4或1 x5， 故滿足不等式的整數有－6，－5，－4，1，2，3，4，5，共　8　個 6. 已知　f（x）＝_－2_x3_＋12_x2_－3_x－25_{＝－2（x－2）}3_{＋21（x－2）＋1 ，則：} (１)試說明如何平移 y_＝－2x3_＋21x_{的圖形得到y＝－2x}3_＋12x2_{－3x－25的圖形？} (２)試求　y＝f（x）圖形的對稱中心。 答案：(１)略；(２)（2，1） 解析：(１) y_＝－2x3_＋21x_{的圖形向右平移　2　單位且向上平移　1　單位即為} 1 2 21 2 2_{（ － ）}3_{＋ （ － ）＋} ＝－ x x y ＝_－2_x3_＋12_x2_－3_x－25_的圖形 (２)由(１)及 y_＝－2x3_＋21x_{以原點為對稱中心} 故　y＝f（x）圖形的對稱中心為（2，1） 7. (１)若已知_x3_－3_x2_－x＋6_{＝（x＋b）}3_{＋a（x＋b）＋k，試求　a、b、k　的值。} (２)試說明如何平移y_＝x3_－4x_{的圖形後得到y＝x}3_－3x2_{－x＋6的圖形，並求出y＝x}3_－3x2_－x＋6圖 形的對稱中心。 答案：(１)　a＝－4，b＝－1，k＝3；(２)向右平移　1　單位，再向上平移　3　單位，對稱中心為 （1，3） 解析：(１)比較二次項係數_－3x2_＝3bx2_{，得　b＝－1} 利用綜合除法

得_x3_－3_x2_－x＋6_＝（x－1_）3_－4_（x－1_）＋3 故　a＝－4，b＝－1，k＝3 (２)∵_x3_－3_x2_－x＋6_{＝（x－1）}3_{－4（x－1）＋3} ∴將y_＝x3_－4x_{的圖形向右平移　1　單位，再向上平移　3　單位} 可得_y＝x3_－3_x2_－x＋6_{的圖形，如圖} 又y_＝x3_－4x_{的對稱中心在原點（0，0），經上述平移後} 可知_y＝x3_－3_x2_－x＋6_{的對稱中心為（1，3）} 8. 若三次函數 f（x）＝ax3＋px_{滿足　f（－5）＜0，f（－2）＞0，試判斷　a，p　的正負號。} 答案：a＞0，p＜0 解析：(１)若　a＞0，p＜0 (２)若　a＞0，p＞0 (３)若　a＜0，p＞0 (４)若　a＜0，p＜0 因為　f（－5）＜0　且　f（－2）＞0，唯一符合的圖形只有(１) 故　a＞0，p＜0 9. 已知多項式 _f（x）＝2_x3_＋ax2_＋bx＋2_{有一個因式} 2 2_＋x－ x ，試求　f（x）＜0　的解。

答案：x＜－2　或 1 2 1 ＜ ＜ x 解析：設 f（x）＝（x2＋x－2）（2x＋c） 比較常數項得－2c＝2，得　c＝－1 故 _f（_x）＝（_x2＋_x－2）（2_x－1）_{＝（x＋2）（x－1）（2x－1）} 考量每個因式的正負號，可得下表 故　f（x）＜0　的解為　x＜－2　或 1 2 1 ＜ ＜ x