Fractional linear transformations
bee
*108.01.31
∼ 108.02.02
重要的變換。
1.
基本定義
分式線型變換 (fractional linear transformations) 的定義如下：
f : z→ az + b cz + d (1) 變換的定義域是黎曼球面 (Riemann sphere) ˆC = C ∪ {∞}。 其中 a, b, c, d 滿足 a b c d = ad− bc ̸= 0，同時 f(∞) = a c，f ( −d c ) = ∞。 因為當 a b c d = ad− bc = 0 時，變換 f 會將整個平面對應到單點去 (即 f : z → z0)，這不 是我們要討論的對象，所以要求其值不為 0。 雖然 f 是一個分式線型變換，但是我們【將用矩陣】 ( a b c d ) 來表示此變換，即 f (z) = ( a b c d ) z = az + b cz + d (2)
此處的矩陣之幾何意義是分式線型變換，但是我們希望它和一般線性群 (general linear group)
GL2(C) 相對應。
底下先觀察分式線性變換有那些性質。
2.
基本性質與定理
性質 1：任何分式線型變換 f (z) = az + b cz + d 都有【反分式線型變換】f −1(z) = −dz + b cz− a 。 說明：這裡是直接計算得反變換。 性質 2：任兩個分式線型變換的合成，依然是一個分式線型變換。 說明：直接代入即可得。 定理 1：每一個分式線型變換的幾何意義是可以由底下的幾何變換合成： 伸縮、旋轉、鏡射、反演與平移 底下先了解各種變換：伸縮 (dilation)：f (z) = az, a∈ R。 旋轉 (rotation)：f (z) = az, a = eiθ。
鏡射 (reflection)：f (z) = z。 反演 (inversion)：|f(z)| = 1 |z|。 平移 (translation)：f (z) = z + a。 於是我們有： f (z) = az是【伸縮和旋轉的合成】。 f (z) = 1 z 是【鏡射與反演的合成】： z → z → 1 z (3) 證明：分兩種情形： (1) c = 0。我們有 az + b cz + d = a dz + b d (4) 因為 ad− bc ̸= 0，所以 d ̸= 0，由上式可知：f 可由伸縮 f1(z) = a dz與平移 f2(z) = z + b d 所合 成。 (2) c̸= 0。我們有 az + b cz + d = a c(cz + d) cz + d + b− adc cz + d = a c + bc− ad c 1 cz + d (5) 可見得： z → cz + d → 1 cz + d → bc− ad c 1 cz + d + a c (6)
定理 2：分式線性變換會將圓與直線【依舊變換到】圓與直線，同時【保角】(preserve angles) 與 【保交比】(preserve cross-ratio)。 說明： (1) 取 β ∈ GL2(C)，且 Cβ ={z ∈ ˆC |βz| = 1} (7) 想想看：Cβ 的圖形為何？ z ∈ Cβ∩ C 的意思是 |az + b| = |cz + d|。 (a) 若 a̸= c，則 |az + b| = |cz + d| ⇒ |z −−b a | = | c a||z − −d a | (8) 表示 Cβ∩ C 是一個阿波羅圓，所以其圖形是一個圓。 (b) 若 a = c，則 |az + b| = |cz + d| ⇒ |z − −b a | = |z − −d a | (9) 表示 Cβ∩ C 是線段的中垂線，所以其圖形是一條直線。 因此 Cβ∩ C 的圖形不是一個圓就是一條直線，也因此，C 上的任意直線或圓，都可以找到一 個 β，使得 Cβ∩ C 可以表示你所選取的直線或圓 (真的嗎？想想阿波羅圓的意義。) 然後，取 α∈ GL2(C)，考慮 α(Cβ) ={αz |βz| = 1} (10) 我們希望 α(Cβ)的圖形是一個圓或直線。因為 z = α−1(αz)，所以|βα−1(αz)| = 1，即 α(Cβ) = Cβα−1 (11) 這就說明圓和直線經過任意的分式線性變換後都還是圓或直線。 (2) 幾個基本變換都是保角的。 (3) 保交比這件事得再研究。
3.
和
GL
2(
C
)
搭上線
我們知道任何兩個分式線型變換的合成仍然是一個分式線型變換，而更好的是，我們可以用相對 應的兩個矩陣的乘法加以表示，即 【矩陣表示的性質】：設 g1 = ( a b c d ) , g2 = ( α β γ δ ) ，則 ( a b c d ) ( α β γ δ ) 就恰好是 g1g2 所表示的分式線型變換。 說明：直接代入即可得： a ( αz+β γz+δ ) + b c ( αz+β γz+δ ) + d = a(αz + β) + b(γz + δ) c(αz + β) + c(γz + δ) ⇒ ( α ( a c ) + γ ( b d ) , β ( a c ) + δ ( b d )) = a b c d ( α β γ δ ) 上面的計算說明矩陣的乘法和變換的合成是【恰恰好的對應】。考慮不變變換 f (z) = z，其相 對應的矩陣為 ( 1 0 0 1 ) , ( −1 0 0 −1 ) 因此我們可以取 GL2(C)/{±I}，【似乎】分式線型變換的合成和商群 GL2C/{±I} 是同構的。 想更多一點！ 事實上，用矩陣來表示分式線型變換是取其恰巧，有一些不同的矩陣會表示相同的變換，例 如： ( a b c d ) , ( −a −b −c −d ) , 1 b a c a d a 都表示相同的變換，因此，我們不需要找 GL2(C) 這樣的群，可以找 SL2(C)/{±I} 即可。 甚麼是 SL2(C)/{±I} 呢？我們稱 SL2(C)/{±I} 為特殊線性群 (special linear group)，指的是滿足
a b c d = 1的矩陣 群，即 SL2(C) = { ( a b c d ) ad− bc = 1}
因為分式可以約分，所以行列式值等於 1 就可以了。同時，取商群，因為乘以−I 相當於分子分 母同乘以−1，表示一樣的變換，也因此，我們可以把分式線型變換和 SL2(C)/{±I} 做一個【等 構的對應】。 性質 3：分式線型變換以【合成為運算】，其結構與特殊線性商群 SL2(C)/{±I} 等構。 於是，分式線型變換的【反變換】可以用矩陣的反元素來計算，即 ( a b c d )−1 = 1 a b c d ( d −b −c a ) = ( d −b −c a ) (12) 當然，也可以等於 ( −d b c −a ) ，即 f (z) = az + b cz + d的反變換為 f −1(z) = dz− b −cz + a = −dz + b cz− a 。
4.
一些應用
我們介紹幾個性質： 首先是在R 上的性質： 性質 4：設 α = ( a b c d ) ∈ GL2(R)，則 Im(αz) = det(α)Im(z) |cz + d|2 (13) 這一個性質僅在R 上討論，透過 Im(z) = z− z 2i ，我們可以驗證此性質成立。這一個性質將在後 面的文章中被應用。 接著考慮兩個C 上特殊的域 H 和 K： H ={z ∈ C Im(z) > 0} K ={z ∈ C |z| < 1} (14) 其中 H 就是上半平面，而 K 是單位圓盤。性質 5：H 和 K 是【複數可析同構】(complex analytically isomorphic)。
說明：我們得找一個對應把 H 送到 K，且這一個對應是複數可析同構。這一個對應是： ρ : z → z− i z + i (15) 或寫成 ρ = ( 1 −i 1 i ) (16)
這一個對應是 ˆC 的自同構對應 (Automorphism)。為什麼呢？我們可以找到 ρ 的反變換 ρ−1= 1 2i ( i i −1 1 ) ≡ ( i i −1 1 ) = i(w + 1) −w + 1 (17) 後面我們用等價關係，這要就知道 ρ 是自同構對應。 接著，我們把焦點放在 H 和 K 上。 首先觀察 ρ 作用在 H 上滿足： |ρz| = z− i z + i < 1 (18) 這是因為小邊長除以大邊長的關係，表示 ρ 把 H 送進 K。接著觀察 Im(ρ−1w) = Im ( i w + 1 −w + 1 ) = Re ( (1 + w)(1− w) (1− w)(1 − w) ) = Re(1− ww + 2i(Im(w))) |1 − w|2 = 1− |w|2 |1 − w|2 > 0 (19) 這表示 ρ−1可以把 K 送回 H，即 ρ 是自同構對應，即 H 和 K 是複數可析同構。
