國中數學2 4 1認識函數

4−1 認識函數

一、認識函數：( function) 在日常生活中，兩種量之間常存在一些特別的關係，這些關係有時可以用數學式子加以描述， 有時無法寫成數學式子，而只能用文字敘述或用列表方式來描述。 練習1：以2014年為例，在一年12個月中，若月分用x表示，當月的天數用 y表示，將x、y的變化情形 以下表來呈現，則 月分 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天數 y (1)根據給定的x值，在空格內填入對應的 y值。 (2)對於給定的每一個x值，是否都恰有一個對應的 y值？ 練習2：右表是2014年5月的月曆， 若以x表示5月的「日期」、 y表示x日的「星期幾」， 例如：5月10日是星期六， 此時x表示10日、y表示星期六。 將x、y的變化情形以下表來呈現，則 (1)根據給定的x值，在空格內填入對應的 y值。 日期 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 星期 y … (2)對於給定的每一個x值，是否都恰有一個對應的 y值？ 練習3：小翊以每小時60公里的固定速率開車在路上行駛，若行駛時間為x小時、行駛距離為 y公里， 將x、y的變化情形以下表來呈現，則 行駛時間 x(hr) 0.5 1 1.5 2 … x 行駛距離 y(km) … (1)寫出變數x、y的關係式。 (2)根據給定的x值，在空格內填入對應的 y值。 (3)對於給定的每一個x值，是否都恰有一個對應的 y值？ 練習4：小妍從家裡出發開車到360公里遠的外婆家，若行駛速率為每小時x公里、行駛時間為 y小時， 將x、y的變化情形以下表來呈現，則 行駛速率 x(km/hr) 40 60 80 90 … x 行駛時間 y(hr) … (1)寫出變數x、y的關係式。 (2)根據給定的x值，在空格內填入對應的 y值。 (3)對於給定的每一個x值，是否恰有一個對應的 y值？ 2014 年 5 月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

◎函數：對於給定的每一個x值，都恰有一個 y值與它對應，就稱「y是x的函數」。 例如：練習1，天數( y)是月分(x)的函數；練習2，星期 y是x日的函數。 練習3，速度固定時，距離是時間的函數；練習4，距離固定時，時間是速率的函數。 【觀念釐清】在 x 與 y 的對應關係中，若 x 對應到 y 是「一對一」或「多對一」，則 y 為 x 的函數； 若 x 對應到 y 是「一對多」或「一對無」，則 y 不為 x 的函數。 若 x 與 y 為正比或反比關係時，則 y 為 x 的函數且 x 為 y 的函數。 練習5：攝氏度數和華氏度數的關係為：華氏度數＝ 9_{5 ×攝氏度數＋32°，如果以 x 代表攝氏度數、} y 代表華氏度數，那麼 y 是 x 的函數嗎？ 練習6：取一條長 100 公分的繩子，要剪成兩段，若其中一段長 x 公分，另一段長 y 公分，則 y 是 x 的函數嗎？ ◎一次函數：二元一次方程式 y＝ax＋b(其中a、b為常數，且a≠0)滿足給定一個x值，都恰有一個 y值 與它對應，所以關係式 y＝ax＋b 也表示 y是x的函數，並稱 y是x的一次函數。

練習7：小恩使用某家電信公司的網路，月繳 800 元可以不限時數上網，若以 x 表示每月小恩上網的 時間(分)，以 y表示小恩該月應繳的上網費用，則 (1)根據給定的x值，在下表的空格內填入對應的 y值。 上網時間 x(分) 20 50 250 500 1000 … 應繳費用 y(元) … (2) y是x的函數嗎？ 練習8：珍饗受餐廳推出「299吃到飽」的促銷活動，活動期間每人一律299元(需另付一成服務費)， 若以x表示小靖所吃的量、y表示小靖所需支付的價格，則 y是x的函數嗎？並說明理由。 (服務費以四捨五入取至整數位) ◎常數函數：不論 x 值是多少，y 值都相同，則這樣的函數就稱為 y 是 x 的常數函數。一般常數函數 會寫成 y＝b，其中 b 為某個常數。 【觀念釐清】將兩個變量的數值用 x、y 表示後，如果不是每個 x 都恰有一個 y 值與它對應，就稱 「y 不是 x 的函數」。 例如：以 2014(平)年為例，在一年 12 個月中，假設月分的天數用 x 表示，x 天所對應 的月分用 y 表示，將 x、y 的變化情形以下表來呈現，得 天數 x 28 30 31 月分 y 2 4 , 6 , 9 , 11 1 , 3 , 5 , 7 , 8 , 10 , 12 也就是說，當 x＝28 時，y 有 1 個值與它對應； 當 x＝30 時，y 有 4 個值與它對應； 當 x＝31 時，y 有 7 個值與它對應； 因為 x＝30、x＝31 所對應的 y 值不只一個，所以 y 不是 x 的函數。

練習9：右表是2014年5月的月曆， 若5月的「星期幾」以x表示， x所對應的「日期」以 y表示， 例如：5月11日是星期日， 此時x表示星期日、y表示11日。 將x、y的變化情形以下表來呈現，則 (1)根據給定的x值，在空格內填入對應的 y值。 星期 x 一 二 三 四 五 六 日 日期 y 5, 12, 19, 26 6, 13, 20, 27 7, 14, 21, 28 1, 8, 15, 22,29 2, 9, 16, 23, 30 3, 10, 17, 24, 31 4, 11, 18, 25 (2) y是x的函數嗎？ 二、函數值：如果 y 是 x 的函數，則給定一個 x 值，都恰有一個 y 值與它對應，而這個 y 值就稱為 此函數在這個 x 值的函數值。

【觀念釐清】(1)函數 y＝60x 中，在 x＝1 時的函數值為 y＝60；在 x＝2 時的函數值為 y＝120； (2)函數 xy＝360 中，在 x＝10 時的函數值為 y＝36；在 x＝8 時的函數值為 y＝45； (3)以 2014 年為例，假設月分用 x(x＝1, 2,…, 12)表示，當月的天數用 y 表示，

得 y 是 x 的函數，在 x＝1 時的函數值為 y＝31；在 x＝6 時的函數值為 y＝30； 在(3)中，x＝1, 2,…, 12 時，才有函數值。當 x＝13 時，沒有合適的 y 值與之對應。 由此可見，變數 x 必須在合適的範圍內，該函數才會有意義。

◎函數值：設函數 y＝f(x)，則 f(a)代表 x＝a 時所對應的函數值。

例如：若函數 f(x)＝2x＋3，則 f(5)＝2×5＋3＝13，代表 x＝5 時所對應的函數值為 13。 練習10：(1)設函數 y＝ 9_{5 x＋32，求在 x＝10 時的函數值。}

(2)已知 y 是 x 的常數函數，且關係式為 y＝850，當 x＝10、100、1000 時，則其函數值分別 為多少？

練習11：若函數 y＝2x＋3 與 y＝4x－7 在 x＝a 時的函數值相等，則 a 為多少？

練習12：若函數 y＝ x－3_{2 與 y＝} 3x＋5_{2 在 x＝a 時的函數值相等，則 a 為多少？}

2014 年 5 月 一 二 三 四 五 六 日 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

【觀念釐清】在函數 y＝2x＋3 中，給定一個 x 值，經過「乘以 2 後再加 3」後，會得到函數值 y， 若以文字 f 表示這個過程，那麼 x 經過 f 之後的結果，可以寫成 f(x)，讀作「f of x」。 由於 y 是經過這樣過程得到的值，所以 y＝f(x)，以下圖看出 x、f(x)、y 的關係： 給定 x 值 得到函數值 y＝f(x) f：乘以 2 後再加 3 因此函數 y＝2x＋3 可以寫成 y＝f(x)＝2x＋3，或簡寫成 f(x)＝2x＋3， 當 x＝1 時的函數值為 y＝f(1)＝2×1＋3＝5； 當 x＝－2 時的函數值為 y＝f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1。 也可以參照上述的方法，用文字 g、h、…來表示一個函數，例如： 若以 g 表示函數 y＝60x，則可以寫成 y＝g(x)＝60x，或簡寫成 g(x)＝60x。 練習13：某地區自來水管因地震破裂，導致每分鐘漏水 30 公升，若以 x 表示漏水的時間(小時)、y 表示 x 小時漏水的數量(公升)，設 y＝f(x)，則 (1)以 x 列出 f(x)的關係式。 (2) f( 1_{2 )＝？ f(2)＝？} 練習14：已知一長方形的長為x公分、寬為y公分，且周長為24公分。設y＝f(x)，則 (1)以x列出f(x)的關係式。 (2) f(2)＝？ f(8)＝？ 自我評量 1. 下表列出 x、y 之間的對應關係，哪一組的 y 不是 x 的函數？ (A) _{x 1 2 3 4} y 1 2 3 4 (B) _{x 1 2 3 4} y 1 1 1 1 (C) _{x 1 1 1 1} y 1 2 3 4 (D) _{x 1 2 3 4} y 4 3 2 1 2. 設函數 f(x)＝4(x－2)－7，則(1) f(6)＝？ (2) f(－3)＝？

3. 若三角形的底為 5 公分、高為 x 公分、面積為 y 平方公分。設 y＝f(x)，則 (1)以 x 列出 f(x)的關係式。 (2) f(5)＝？ f(10)＝？ 4. 世界衛生組織計算女性標準體重的公式為： 標準體重＝(身高－70)×60% 單位：體重(公斤)、身高(公分) 設女性身高為 x 公分、標準體重為 y 公斤，則 (1)寫出 x、y 的關係式。 (2)若小妍的身高為 130 公分，則她的標準體重是多少公斤？ 5. 若函數 f(x)＝4x＋a 與 g(x)＝3(2x－1)＋7 在 x＝－ 1_{2 時的函數值相等，則 a＝？} 習作 1. 在下列各題中，y 是 x 的函數者打「○」，不是的打「×」。 (1)小恩第二次段考 5 科的平均成績為 x，總分為 y。 (2)一長方形的周長為 12，長為 x，寬為 y。 (3)閏年中，x 表示天數，y 表示 x 天所對應的月分。 (4)便利商店的某品牌咖啡一杯 y 元，小妍買了 x 杯。 (5)一梯形的上底為 8，下底為 x，高為 6，面積為 y。 2. 下列是 x 與 y 之間的對應關係，請問 y 是 x 的函數的有哪幾組？ 甲： x 1 3 5 7 y 2 4 6 8 乙： x 1 3 5 7 y 1 3 5 7 丙： x 1 3 5 7 y 0 0 0 0 丁： x 1 1 1 1 y 1 3 5 7 戊： x 2 0 1 0 y 2 4 6 8 3. 設函數 f(x)＝－2x－9，則(1) f(x)在 x＝－7 的函數值為何？ (2) f(x)在 x＝0 的函數值為何？

4. 假設閏年 x 月有 y 天，那麼 x 與 y 的關係是一個函數，若以 y＝f(x)表示此函數， 則 f(12)－f(10)＋f(7)－f(2)＝？ 5. 若函數 f(x)＝2x＋13₃ 與函數 g(x)＝2x－3，在 x＝a 時的函數值互為相反數，則 a＝？ 6. 以函數 f 表示下面的計算流程，若輸入的數為 x，輸出的數以 f(x)表示，則

輸入 x

減去

3

乘以

5

加上

7

輸出 f(x)

(1)以 x 列出 f(x)的關係式。 (2)當輸入的數為－2 時，輸出的數為何？ (3)當輸出的數為 22 時，輸入的數為何？ 7. 有一枝長 20 公分的線香，每分鐘可燒掉 2 公分，若點燃 x 分鐘後， 線香剩下的長度為 y 公分，回答下列問題： (1)寫出 x 與 y 的關係式。 (2) y 是否為 x 的函數？ (3)線香在點燃幾分鐘後會全部燒完？ 8. 已知一正整數與它的正因數個數是函數關係，以 x 表示正整數，f(x)表示 x 的正因數個數。 例如：6 有 1、2、3、6 四個正因數，即 x＝6 時，其對應的函數值 f(6)＝4，則 (1) f(7)＝？ (2) f(18)＝？ 20

cm

y cm

類題補充 1. 已知 f(x)＝ 2x－1_{5 與 g(x)＝} 3 x＋2，在 x＝a 時函數值互為倒數，則 a＝？ 2. 已知一個正整數與它的各位數字乘積是函數關係，以 x 表示正整數，f(x)表示 x 的各位數字乘積。 例如：156 的各位數字乘積為 1 × 5 × 6＝30，即 x＝156 時，其對應的函數值 f(156)＝30。 則 f(150)＝ ，f(2223)＝ 。 3. 有一綑總長為 20 公尺的毛線，奶奶織圍巾 x 分鐘後剩下 y 公尺長。下表是 x 與 y 的關係： x (分鐘) 0 18 45 … y (公尺) 20 18 15 … (1)以 x 列出 y＝f(x)的關係式。 (2)毛線在幾分鐘後會剩下 4 公尺？

4. 下列選項中何者的 y 不是 x 的函數？ (A) y＝3x (B) y＝3x2 (C) xy＝5 (D) y2＝x。

5. 設函數 f(x)的計算流程為： 輸入 x → 減 3 → 平方 → 乘以 2 → 加 7 → 輸出 f(x) 。 則 f(x)的數學式為何？

(A) f(x)＝x－32．2＋7 (B) f(x)＝(x－3)2．2＋7 (C) f(x)＝(x－32)．2＋7 (D) f(x)＝(x－32．2)＋7。

7. 設 x 是一個二位數的正整數，f(x)表示其個位數字與十位數字的和。 例如 f(56)＝5＋6＝11，f(14)＝1＋4＝5，則 (1) f(35)＝ 。 (2) 若 f(a)＝12，則滿足此條件的二位數 a 共有 個。 8. 設 f(x)＝ax＋b，若 f(－2)－f(1)＝6，則 a＝ 。 9. 函數 g(x)＝5x－3，則 g(g(2))＝ 。 10. 若 f(x＋2)＝f(x)＋5，且 f(3)＝20，則 f(7)＝ 。 11. 已知華氏 x 度與攝氏 y 度的關係式為 y＝ 5_{9 (x－32)，則} (1)某天紐約的氣溫為華氏 23 度，相當於攝氏 度。 (2)開水煮沸的溫度為攝氏 100 度，相當於華氏 度。 (3)某冰庫可同時顯示華氏溫度與攝氏溫度，當零下 度時，華氏溫度會等於攝氏溫度。 12. 設 f( x－5_{1－x )＝x－1，則 f(3)＝ 。}

13. 函數 y＝－2_{3 x＋5 中，若 x 的範圍為－3≦x≦6，則函數值 y 最大為 。} 14. 已知由地面每上升 100 公尺，氣溫會下降 0.6 °C。若現在地面溫度為 30 °C，假設離地面 x 公尺處的 溫度為 y °C，y＝f(x)是 x 的函數，則 f(1000)＝？ 15. 已知 f(x)＝3x－7，且 f(3m＋1)＝f(2m－1)，則 m＝？ 16. 設 f(x)＝3x－2、g(x)＝x＋2_{3 ，則 f(g(－10))＝？} 17. 設函數 f(x)＝2x－3，若 f(a)＝－5，則 a＝？ 18. 設 f(x)＝2x－2006，則 f(100)－f(99)＋f(98)－f(97)＋…＋f(2)－f(1)＝ 。 19. 設 f(x)＝x＋1，且 g(x－1)＝f(x＋1)，則 g(4)＝ 。 20. 已知函數 y＝f(x)＝ax3＋bx＋5，若 f(2)＝－2，則 f(－2)＝？

加強練習 1. 設函數 f(x)＝3x－5，則 f(0)＋f(1)－f(2)＝？ (A)－15 (B)－12 (C)－8 (D)－5。 2. 下表列出兩變數 x、y 之間的對應關係，則 y 是 x 的函數共有幾組？ (A) 3 組 (B) 4 組 (C) 5 組 (D) 6 組 (甲) x 1 3 5 7 y 2 4 6 8 (乙) x 1 2 3 4 y 2 0 0 9 (丙) x 2 0 0 9 y 1 2 3 4 (丁) x 1 2 3 4 y 31 28 30 31 (戊) x 1 2 3 4 y 0 0 0 0 (己) x 1 3 5 7 y 1 6 8 1 3. 下列關於 f、g、h、k 的描述，何者不能稱為函數？ (A) f(1)＝1，f(2)＝2、f(3)＝3 (B) g(1)＝1，g(1)＝2，g(2)＝3 (C) h(1)＝1，h(2)＝1，h(3)＝1 (D) k(1)＝2，k(2)＝3，k(3)＝1 4. 設－2≦x≦6，且 f(x)＝2x－5，則 f(10)＝？ (A) 15 (B) 25 (C) 30 (D)無意義。 5. 已知一函數 y＝－7，則 x＝0 時所對應的函數值為何？ (A)－7 (B) 0 (C) 7 (D) 無解。 6. 若 f(x)＝ 1 x，則 f( 1 5 )＋f( 1 7 )＝ 。 7. 已知 n 為常數，一函數 f(x)＝(3＋n)x2－(2－n)x＋1，若 f(1)＝4，則 n＝ 。 8. 已知 f(x)＝4x－5，g(x)＝ 2_{3 x＋7，則}

(1) f(a)＝？ (2) g(a)＝？ (3)若 f(x)與 g(x)在 x＝a 時的函數值相同，則 a＝？ 9. 利用電算器，按入一個數值 x，經過一定的步驟運算後，

得一個數值 y，試由右表判斷 x、y 的關係式， 則下列何者較合理？

(A) y＝3x－1 (B) y＝2x＋1 (C) y＝x2 _{(D) y＝x}2_＋1

10. 設 f(x＋1)＝x＋1_{2 ，則 f(2)＋f(4)＋f(6)＋f(8)＋f(10)＝？ (A) f(30) (B) f(25) (C) f(20) (D) f(15)。} 11. 設函數 y＝f(x)＝3x－2，則下列何者的函數值最大？ (A) f(－1) (B) f(1) (C) f(－2) (D) f(2)。 12. 若函數 f(x)＝－10x＋27，則下列何者正確？ (A) f(23)＜f(－23) (B) f(23)＞f(－23) (C) f(23)＝f(－23) (D)無法判斷。 13. 下列有四種函數關係：f(x)＝11，g(x)＝x＋4，h(x)＝16－3_{2 x，p(x)＝2x－2。當 x＝8 時，下列哪一個} 函數值最大？ (A) f(x) (B) g(x) (C) h(x) (D) p(x)。 14. 設函數 y＝f(x)，則下列敘述何者正確？

(A)若 f(a)＝f(b)，則 a＝b (B)若 f(a)≠f(b)，則 a≠b (C)若 a＝b，則 f(a)≠f(b) (D)若 a≠b，則 f(a)≠f(b)。 15. 設 f(x)＝x2＋ax－b，3f(2)－4f(1)＝7，f(3)＝5，則 a＋b 之值為 。 16. 設 f(x)＝3x－1，且 f(f(1))＝f(a－2)，則 a＝ 。 17. 設 f(x)＝2x－9，若要使 f(x)的函數值與其自變數 x 的值互為相反數，則自變數 x 為 。 18. (1) f(x)＝x2－2x＋3，則 f( 1_{2 )＝？ (2) f(} 5 x＋1 )＝3x＋4，則 f(3)＝？ 19. 設 f( x－6_{3－x )＝x－4，則 f(2)＝？} 20. 定義函數 y＝f(x)代表 x 的質因數個數，其中 x 為正整數，則下列何者正確？

(A) f(0)沒有意義 (B)若 a＞b，則 f(a)＞f(b) (C) f(1)＝1 (D)若 a≠b，則 f(a)≠f(b)。 21. 已知 f(x)＝3，則 f(－5)＋f(0)＋f(5)＝ 。

22. 若 f(x)＝ax＋b，且 f(1)：f(3)＝2：5，則 a：b＝ 。 23. 若 f(x)＝2010x－4999，則 f(3999)－f(1999)＝ 。

x 1 2 3 4 5 6

Ans：1.(C)；2.(C)；3.(B)；4.(D)；5.(A)；6. 12；7. 1；8.(1) 4a－5，(2) 2_{3 a＋7，(3)} 18_{5 ；9.(D)；} 10.(A)；11.(D)；12.(A)；13.(D)；14.(B)；15. 0；16. 4；17. 3；18.(1) 21_{4，(2) 6；19. 0；} 20.(A)；21. 9；22. 3：1；23. 4020000。